Essai sur la théorie des eaux courantes
Imprimerie Nationale, .
TABLE DES MATIÈRES
Pages.
Rapport approbatif, par MM. Bonnet, Phillips, de Saint-Venant, rapporteur
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INTRODUCTION.
i.
L’écoulement des fluides, bien continu dans les espaces capillaires, est tumultueux et tourbillonnant dans les grandes sections
1
Sur les mouvements bien continus et sur les phénomènes de filtration (note)
1
II.
Comment on peut tenir compte analytiquement de l’agitation tourbillonnaire. Régime uniforme.
6
III.
Mouvement permanent graduellement varié. Division dès cours d’eau en deux classes principales, rivières et torrents.
8
IV.
Influence d’une courbure sensible de la surface libre. Circonstances que présentent l’établissement et la destruction du régime uniforme
ou, plus généralement, de tout régime graduellement varié.
11
V.
Influence d’une courbure sensible du fond. Cas d’un fond régulièrement ondulé
14
VI.
Du mouvement non permanent. Propagation des ondes le long d’un canal contenant une eau en repos
15
VII.
Propagation des ondes le long d’un canal dont l’eau s’écoule
19
VIII.
Lois particulières qui régissent les longues intumescences de courbure insensible.
20
IX.
Objet des Notes complémentaires
22
PREMIÈRE PARTIE.
ÉTABLISSEMENT DES FORMULES FONDAMENTALES.
§ i. — considérations préliminaires sur le mouvement des eaux courantes : vitesses moyennes locales, accélérations moyennes locales, etc.
1.
Vitesses moyennes locales, filets fluides
24
2.
Condition de continuité ou de conservation des volumes fluides
25
3.
Vitesses des dilatations et des glissements
26
4.
Expressions des accélérations moyennes locales
28
5.
Cas exceptionnel pour lequel ces expressions sont peut-être en défaut.
30
§ ii. — formules relatives aux actions moyennes qui sont exercées à travers des éléments plans fixes.
Pages.
6.
Composantes des pressions moyennes locales, exprimées en fonction de six d’entre elles
32
Sur les formules générales qui régissent les pressions à l’intérieur des milieux (note)
32
7,
8 et 9. Formules de ces six composantes N, T
33
§ iii. — expression approchée du coefficient ε des frottements intérieurs.
10
et 11. Causes dont dépendent le coefficient ε des frottements intérieurs et l’intensité de l’agitation tourbillonnaire
46
12.
Valeurs de ε quand la section est rectangulaire très-large ou circulaire
49
13.
Forme de l’expression de ε dans les autres cas
51
§ iv. — équations indéfinies des mouvements.
14.
Établissement de ces équations
52
15.
Ce que ces équations deviennent : 1o Quand les frottements sont négligeables.
53
16.
2o Quand les filets fluides sont presque rectilignes et parallèles.
55
§ v. — conditions spéciales aux surfaces-limites.
17.
Conditions cinématiques
57
18.
Conditions dynamiques
58
19.
Application aux parois. Frottement extérieur
59
20.
Application aux surfaces libres
60
DEUXIÈME PARTIE.
ÉTUDE DU MOUVEMENT PERMANENT.
§ vi. — du mouvement permanent graduellement varié ; équations différentielles.
21
et 22. Ces équations : 1o En général.
62
23.
2o Quand la section est un rectangle de grande largeur.
67
24.
3o Quand la section est circulaire ou demi-circulaire
70
§ vii. — cas particulier du régime uniforme.
25.
Lois du régime uniforme : 1o Quand la section est rectangulaire très-large
72
26.
2o Quand-elle est circulaire ou demi-circulaire
73
27.
3o Quand elle est quelconque
75
28.
Remarques.
77
§ viii. — comparaison de la théorie avec l’expérience
Pages.
29.
Accord de la théorie avec les expériences anciennes et avec celles de MM. Darcy et Bazin sur les débits des tuyaux et des canaux
78
29
bis. Expression approchée du débit d’une rivière à régime uniforme, en fonction de la hauteur de ses eaux en un point donné
80
30.
Formules monômes et valeur moyenne du coefficient de frottement b
82
31.
Accord de la théorie avec les expériences de MM. Darcy et Bazin sur la répartition des vitesses aux divers points-des sections.
84
32.
Valeurs moyennes des deux coefficients a et B, caractéristiques du frottement intérieur èf du frottement extérieur
86
33.
Remarques
87
34.
Expériences à faire pour déterminer a et B dans les divers cas
87
§ ix. — du mouvement permanent graduellement varié, quand la section est rectangulaire très-large.
35.
Équation fondamentale
88
36.
Son intégration par approximations successives
89
37.
Expression du frottement extérieur en fonction de la vitesse moyenne
90
38.
Équation du mouvement
92
§ x. — du mouvement permanent graduellement varié, quand la section est circulaire ou demi-circulaire
39.
Équation fondamentale. Son intégration par approximations successives
93
40.
Expression du frottement extérieur en fonction de la vitesse moyenne
94
41.
Équation cherchée du mouvement
95
§ xi. — vérification, dans les deux-cas précédents et dans un autre cas assez général, de la condition d’incompressibilité.
42.
Celle vérification résulte de ce que les rapports mesurant les inclinaisons relatives des filets fluides, sont sensiblement des fonctions linéaires des coordonnées transversales y, z
96
42
bis. Sur un autre cas assez général où les rapports varient encore linéairement d’un point à un autre d’une même section
98
43.
Les rapports ne sont ainsi des fonctions linéaires des coordonnées transversales qu’autant que le mouvement permanent est graduellement varié
101
§ xii. — équation générale du mouvement permanent graduellement varié.
44.
Forme provisoire de l’équation cherchée
102
45.
Expression du frottement extérieur en fonction de la vitesse moyenne
104
45
bis. Valeur générale du coefficient β caractéristique de la partie du frottement extérieur qui dépend de la variation du mouvement
107
46.
Équation définitive du mouvement : ses différences d’avec l’équation de Coriolis. Évaluation de la perte de charge due aux frottements
112
§ xiii. — considérations générales sur l’emploi de cette équation.
47.
Application aux cas : 1o D’un tuyau unique
114
48.
2o D’un réseau de tuyaux
115
49.
3o D’un canal découvert
116
50.
Sur les points où le mouvement cesse d’être graduellement varié, parce que le lit s’y écarte notablement de la forme prismatique
117
51.
Sur les points où il se produit des ressauts
119
52.
Il doit exister un principe général de stabilité du mouvement permanent, qui lève l’indétermination apparente du problème
120
§ xiv. — principe de borda et formule du ressaut.
53.
Principe de Borda modifié
121
54.
Perte de charge que produit un élargissement brusque d’un tuyau
126
55.
Coefficient de la dépense fourme par un ajutage cylindrique court
126
56.
Cas d’un ajutage dont la section est plus grande que l’orifice en mince paroi plane auquel il est adapté
127
56
bis. Perte de charge produite à l’entrée non évasée d’un tuyau
129
57.
Formule du ressaut
129
58.
Tout ressaut relie deux parties d’un cours d’eau, dont l’une est à l’état torrentueux et l’autre à l’état tranquille
131
59.
Accord de la formule du ressaut, modifiée, avec les résultats fournis par l’expérience
134
60.
Formule générale pour le calcul de tout accroissement brusque de la section vive d’un canal découvert
135
60
bis. Extension de cette formule et du principe de Borda à des cas où les parois ne sont plus prismatiques et à d’autres où il y a bifurcation des tuyaux ou des canaux
138
§ xv. — du mouvement permanent varié dans un canal où pourrait s’établir un régime sensiblement uniforme.
61.
Exposé du problème
141
62.
Caractère distinctif des parties d’amont et des parties d’aval
142
63.
Trois cas peuvent se présenter
144
64.
1o Canal de faible pente
145
65.
Impossibilité de l’existence de plus d’un ressaut le long d’un canal prismatique et détermination complète de l’état hydraulique d’un tel canal
147
66.
2o Canal de forte pente
149
67.
3o Canal dont la pente est très-graduellement variée, tantôt forte, tantôt faible
150
§ xvi. — classification des cours d’eau : rivières et torrents. — considérations sur l’établissement du régime des cours d’eau naturels.
68.
Division des cours d’eau en deux classes principales.
151
69.
Caractères des cours d’eau de forte pente
152
70.
Caractères des cours d’eau de faible pente
152
71.
Dénominations de torrent et de rivière. Remarque sur le fait consistant en ce que le coefficient b’ varie en sens inverse du rayon moyen
153
72.
Endroits exceptionnels où un torrent est à l’état tranquille ou une rivière à l’état torrentueux
154
73
et 74. Comment se règle à la longue le lit de la plupart des cours d’eau. Pourquoi les rivières sont-elles, en général, de plus grands cours d’eau que les torrents ?
154
§ xvii. — digression sur les thalwegs et les faîtes à la surface du sol et sur leurs rapports avec les lignes des déclivités minima.
75.
Trait distinctif de la forme de la surface terrestre
162
76
et 77. Lignes de thalweg et bassins
164
78.
Lignes de fuite. Réflexion sur les deux modes comparés de la circulation des liquides à la surface du globe et dans l’organisme animal
169
79.
Versants
171
80.
Propriété caractéristique des lignes des déclivités maxima et de celles des déclivités minima. Rapports des faîtes et des thalwegs avec ces dernières lignes
172
81.
Formes diverses de l’équation des lignes des déclivités maxima ou minima
173
81
bis. Autre propriété de ces lignes remarquables
175
§ xviii. — du mouvement permanent varié dans un canal d’une largeur constante très-grande, en avant égard à la courbure des filets fluides. équations différentielles.
82
et 83. Formules fondamentales
178
84.
Mode d’intégration
185
84
bis. Forme que prend l’équation du mouvement, quelle que soit l’expression de la petite quantité μ
186
§ xix. — équation approchée du mouvement permanent.
85.
Hypothèse simplificatrice consistant à remplacer, dans les termes qui dépendent des courbures, les composantes longitudinales u des vitesses par leur valeur moyenne U
189
86.
Établissement de l’équation cherchée
191
87
et 88. Formes diverses qu’on peut lui donner
193
§ xx. — examen du cas où le fond n’a pas de courbure longitudinale sensible. formules préliminaires.
Pages.
89.
Introduction de la profondeur de régime uniforme
194
§ xxi. — circonstances que présentent l’établissement et la destruction du régime uniforme et, plus généralement, de tout régime graduellement varié. nécessité d’établir, sous le nom de torrents de pente modérée, une troisième classe de cours d’eau.
90
et 91. Simplifications qui résultent, aux points considérés, de la petitesse de l’excès relatif de la profondeur sur celle de régime uniforme prise pour unité
196
92
et 93. Intégration de l’équation approchée du mouvement permanent
198
94,
95, 96, 97 et 98. Circonstances que présentent l’établissement et la destruction du régime uniforme
200
99.
Nécessité d’admettre une troisième classe intermédiaire de cours d’eau
207
99
bis. Circonstances que présentent, en général, l’établissement et la destruction d’un régime graduellement varié.
208
§ xxii. étude de la forme des ressauts allongés et onduleux qui se produisent, dans les torrent peu rapide, aux points où le régime cesse d’être uniforme.
100.
Exposé du problème
211
101.
Forme générale du profil longitudinal du ressaut
212
102.
Calcul approximatif de la hauteur des ondulations successives
214
103.
La forme de chaque ondulation est à peu près celle d’une onde solitaire.
216
104.
Vérifications expérimentales
216
105.
Forme que prend la surface quand on produit une cataracte et non un ressaut
217
§ xxiii. — retour au cas plus général d’un fond courbe. intégration approchée de l’équation du mouvement permanent aux points où le régime est presque uniforme.
106
et 107. Simplifications qui proviennent de la quasi-uniformité supposée du mouvement
218
108
et 109. Superposition des petits effets. Intégration de l’équation, principalement quand le fond présente une série d’ondulations de même longueur, mais d’une hauteur progressivement croissante ou décroissante
220
§ xxiv. — influence que des ondulations du fond exercent sur la surface.
110.
Cas d’un fond régulièrement ondulé : phase et amplitude des ondulations produites à la surface
223
111
et 112. Lois de la phase
224
113,
114 et 115. Lois de l’amplitude
228
116.
Pente particulière pour laquelle le régime est pseudo-uniforme. Équation exacte propre à ce régime
232
116
bis. Cas d’un fond irrégulièrement ondulé ou dont la forme résulte de la superposition de plusieurs systèmes distincts d’ondulations sinusoïdales.
236
§ xxv. — des diverses formes courbes du fond du canal pour lesquelles, à son entrée et à sa sortie, la surface libre est la même que si le fond était plat.
117
et 118. Intégration de l’équation différentielle approchée des profils de fond qui jouissent de cette propriété remarquable
238
119.
Forme de ces profils
240
TROISIÈME PARTIE.
ÉTUDE DU MOUVEMENT NON PERMANENT.
§ xxvi. — du mouvement non permanent, graduellement varié, dans les tuyaux de conduite et dans les canaux découverts.
120.
Du mouvement non permanent dans les tuyaux
242
120
bis. Ce mouvement est presque toujours quasi-permanent
248
Du mouvement non permanent des eaux souterraines (note)
252
121.
Du mouvement non permanent dans un canal rectangulaire. Équations à intégrer
261
121
bis. Condition de continuité
262
122.
Expression de la composante transversale de la vitesse
262
123.
Formule fondamentale
264
124.
Sa résolution par approximations successives
265
125.
Équation cherchée du mouvement. Autre manière plus simple de l’établir
267
125
bis. Considérations relatives à son intégration
270
126.
Équation analogue pour un canal dont la section a une forme quelconque
274
126
bis. Ce qu’elle devient quand on peut négliger les frottements
280
127.
Réduction de cette équation et de celle de continuité à leur forme immédiatement applicable
281
§ xxvii. — propagation des ondes et des remous d’une médiocre hauteur dans un canal sensiblement prismatique, où se trouve établi un régime à peu près permanent, uniforme ou très-graduellement varié. première approximation.
128
et 129. Équations différentielles de première approximation
282
130.
Leur intégration
285
131.
Lois qui régissent, à une première approximation, la marche des ondes et des remous
287
132.
Comparaison avec l’expérience, dans le cas d’une eau en repos et dans celui d’une eau courante
288
133.
Nouveau caractère distinctif des deux états principaux, tranquille et torrentueux, que peut affecter un cours d’eau. Application à la théorie du régime permanent dans un canal prismatique
290
134.
Trajectoires décrites par les molécules liquides au passage d’une onde
293
135.
Modes de détermination des fonctions arbitraires dont dépendent la hauteur d’intumescence et la vitesse
296
135
bis. Réflexion des ondes
298
§ xxviii. — équations diverses applicables quand la surface présente des courbures sensibles, et qui régissent le mouvement non permanent, soit dans un canal rectangulaire où les vitesses des divers filets fluides sont supposées assez peu différentes, soir dans un bassin dont le liquide était d’abord en repos. étude succincte des ondes périodiques ou d’oscillation.
136.
Équations différentielles du problème pour le cas d’un canal rectangulaire
299
136
bis. Équation du mouvement qui s’en déduit, quand les vitesses sont peu variables aux divers points d’une même section
300
136
ter. Cette équation est surtout applicable au calcul d’ondes propagées au sein d’une eau en repos
305
137.
Elle est alors un cas particulier d’autres équations, qui se rapportent à des mouvements produits dans un bassin et se propageant en largeur aussi bien qu’en longueur
307
137
bis. Les formules dont il s’agit ne s’étendent pourtant pas aux ondes périodiques d’une demi-longueur d’ondulation inférieure à une huitaine de fois environ la profondeur d’eau. Autre équation, qui comprend les précédentes dans le cas d’un bassin à fond horizontal et d’où se déduisent en même temps les lois de ces ondes
315
Considérations diverses sur les ondes liquides périodiques (noie)
317
137
ter. Formules approchées d’un clapotis et d’une houle simples
332
138.
On peut encore, dans l’étude des ondes périodiques, déterminer directement les déplacements des molécules et non leurs vitesses
336
138
bis. Lois exactes d’une houle simple, dans un bassin qui contient plusieurs liquides superposés et même compressibles, quand la profondeur totale est assez grande pour que les mouvements soient insensibles au fond
342
Sur un mémoire de M. Stokes, relatif aux ondes qui se propagent sans se déformer. Étude de deuxième approximation d’une houle et d’un clapotis simples (note)
347
§ XXIX. — lois qui régissent, à une deuxième approximation, la propagation des ondes et des remous dans un canal rectangulaire, quand les vitesses des divers filets fluides sont peu différentes.
Pages.
139.
Équations différentielles à intégrer
348
140,
141 et 142. Leur intégration, effectuée une première fois en introduisant les vitesses de propagation des diverses parties de l’intumescence
354
143
et 144. Lois générales
358
Vitesse de propagation d’une crue des eaux souterraines d’une contrée (note)
359
§ XXX. — cas particulier d’ondes propagées au sein d’un liquide en repos. mouvement que prend alors le centre de gravité d’une intumescence. énergie et moment d’instabilité d’une onde.
145.
Équations dont dépendent les variations de hauteur d’un même élément d’intumescence
361
146,
147 et 148. Mouvement du centre de gravité d’une intumescence ou d’une partie d’intumescence
362
149.
Évaluation de l’énergie d’une onde
365
150.
Cette énergie est constante quand on fait abstraction des frottements. Son expression peut être étendue au cas d’ondes quelconques produites
dans un bassin
367
Sur l’emploi des théorèmes des forces vives et du viriel dans l’étude des petits mouvements d’un système matériel quelconque (note)
376
151.
Quantité totale de mouvement d’une onde
377
152.
Conservation ou invariabilité du moment d’instabilité d’une onde
378
§ XXXI. — onde solitaire.
153.
Équation différentielle de l’onde solitaire de Scott Russell
380
154.
Son équation finie
380
155.
Sa vitesse de propagation
382
156
et 157. Formes diverses de l’équation finie de l’onde solitaire
382
158
et 159. Propriété géométrique distinctive de la même onde
384
160.
Détermination de son centre de gravité
386
161.
Déformations graduelles qu’elle éprouve le long d’un canal de profondeur variable
387
162.
Trajectoires paraboliques des molécules
388
162
bis. Forme la plus générale des intumescences, propagées le long d’un canal horizontal et rectangulaire, qui avancent sans se déformer
390
§ xxxii — moment d’instabilité d’une intumescence. stabilité de l’onde solitaire et cause de sa formation fréquente.
Pages.
163,
164, 165 et 166. Le moment d’instabilité, est minimum pour l’onde solitaire
396
Autre propriété de minimum dont jouit l’onde solitaire (note)
400
167.
Conséquences
401
§ xxxiii — examen des cas où l’intumescence n’est pas une onde solitaire
168.
Vitesse de propagation d’une intumescence continue. Analogie d’une telle intumescence avec un ressaut
402
169.
Onde initiale signalée par M. Bazin
404
170.
Subdivision, observée par Scott Russell, d’une grosse intumescence en plusieurs ondes solitaires
406
171.
Oncles négatives
406
171
bis. Autre méthode pour l’étude des déformations successives d’une onde négative. Vitesses de propagation des divers éléments d’énergie d’une intumescence
408
§ xxxiv. — étude particulière des longues intumescences, positives ou négatives, dont la surface n’a qu’une courbure insensible.
172.
Simplifications résultant de l’extrême petitesse de la courbure
411
173.
Intégration complète et facile quand on néglige les frottements
412
174.
Application qu’on pourrait en faire au calcul de la marche des marées le long d’un canal communiquant avec l’Océan, si l’influence des frottements était, en effet, négligeable
413
175.
Accord des formules obtenues avec d’autres de M. de Saint-Venant
415
§ xxxv. — retour au cas général d’onde propagées le long d’un canal où se trouve établi un régime presque permanent et uniforme ou très-graduellement varié, mais en continuant à évaluer l’influence des courbures sans tenir compte de l’inégalité de vitesse des filets fluides.
176.
Extension, à ce cas, de la plupart des résultats établis pour des ondes propagées au sein d’une eau en repos
417
177.
Calcul de l’énergie d’une onde, énergie dont l’expression devient alors plus complexe
421
§ xxxvi. — sur les causes qui empêchent ces lois d’être vérifiées dans un canal où les filets fluides ont des vitesses sensiblement différentes. formules approchées qui conviennent alors.
178,
179, 179 bis, 180 et 180 bis. Équation différentielle du mouvement, à une deuxième approximation, quand les filets fluides présentent
des courbures sensibles et sont animés de vitesses notablement différentes
425
181.
Son intégration
437
182.
Conséquences relatives aux vitesses de propagation d’une onde isolée, d’un remous indéfini, d’un gonflement ascendant produit par l’abaissement
d’une vanne, etc.
438
183
et 184. Conséquences relatives à la forme des ondes. Leur décroissement incessant de hauteur, confirmé par expérience
442
Sur une forme particulière d’intumescence continue, qui est moins instable (note)
443
§ xxxvii. — mise en compte de l’influence des frottements et de la pente du fond sur la propagation des ondes et des remous
185
et 185 bis. Calcul du terme qui représente ces influences dans les équations
différentielles du mouvement
448
186.
Intégration de ces équations
450
187.
Modifications éprouvées par les vitesses de propagation
451
187
bis. Concavité des longs remous positifs, confirmée par l’expérience, etc.
453
188.
Intégrale malheureusement compliquée qui représente sous forme finie, aux diverses époques, la surface libre des longs remous de courbure insensible
453
189.
Formule des vitesses que prennent les molécules fluides au passage d’une onde ; explication de certaines circonstances observées par M. Partiot, etc.
455
189
bis. Calcul des déformations successives éprouvées par des marées fluviales d’une hauteur médiocre
457
§ xxxviii. — des lois dont dépendent, à une deuxième approximation, les remous de petite courbure propagés le long d’un canal prismatique non rectangulaire.
190.
Influencé des variations de la largeur à fleur d’eau sur les vitesses de propagation
465
190
bis. Influence des mômes variations sur la vitesse effective que prennent les molécules fluides
468
§ xxxix. — du régime quasi-permanent des cours d’eau.
191.
Calcul des variations lentes de régime. Première approximation
470
191
bis. Comparaison des vitesses avec lesquelles se transmettent différentes valeurs du débit Q aux vitesses effectives de la masse fluide et aux célérités de propagation des éléments d’une crue
476
192.
Deuxième approximation. Les débits sont plus grands, pour même profondeur de la masse liquide, quand le cours d’eau est en crue que lorsqu’il est en décroissance
480
192
bis. Dénivellations dans le sens transversal. Remarque sur les marées fluviales
485
§ xl. — retour à la théorie générale des mouvements qui se font par filets peu courbes et peu inclinés les uns sur les autres. nouvelle exposition, plus simple et plus complète, de cette théorie.
Pages.
193.
Équations générales
487
193
bis. Observations relatives à l’évaluation des sections fluides σ des vitesses moyennes U ou de leurs dérivées, etc.
500
194.
Cas où le mouvement est graduellement varié. Formule générale de ce mouvement
502
194
bis. Problème de la détermination des vitesses qui s’y trouvent produites aux divers points d’une section
505
Du mouvement graduellement varié des gaz (note)
505
195.
Des cas où il faut tenir compte des dérivées d’ordre supérieur de U et σ : 1o Cas où le mouvement continue à être graduellement varié
519
195
bis. 2o Cas où le mouvement est plus rapidement varié
521
QUATRIÈME PARTIE.
NOTES COMPLÉMENTAIRES, CONTENANT DIVERSES CONSIDÉRATIONS, OU MÊME DES THÉORIES PARTIELLES, SUR LES MOUVEMENTS DE GRANDE AMPLITUDE LES PLUS FRÉQUENTS QUE PRÉSENTENT LES FLUIDES QUAND LA COURBURE DE LEURS FILETS CESSE D’ÊTRE PETITE.
NOTE 1.
sur l’écoulement par les orifices et les déversoirs.
196.
Caractère général des phénomènes de contraction. Principe de D. Bernoulli
530
197.
Sur les cas où les trois composantes de la vitesse sont les dérivées partielles en x, y, z d’une même fonction
532
§ i. — écoulement par les orifices.
198.
Équations différentielles, pour les points situés à l’intérieur d’un vase, de l’écoulement par un orifice percé dans une mince paroi plane indéfinie
536
L’axe de la veine est normal à la paroi (note)
536
199.
Détermination du problème
539
200.
Sa solution au moyen d’un potentiel d’attraction, toujours pour les points intérieurs au vase
541
201.
Loi qui régit l’appel du fluide vers les diverses régions de l’orifice
545
202.
Extension de la solution trouvée à des cas où l’aire totale de l’orifice est infinie et à d’autres cas nombreux de vases non indéfinis latéralement
546
203.
Équations différentielles dont doit dépendre la forme de la veine. Lois générales qui en résultent
548
204.
Propriétés diverses de la fonction qui représente la composante longitudinale, ou normale au plan de l’orifice, de la vitesse aux divers points de celui-ci. Inversion de la veine
552
205.
Cas d’un orifice rectangulaire allongé : formules générales
555
206.
Ce qu’elles donnent à une première approximation
557
207.
Cas d’un orifice circulaire : formules générales
558
208.
Résultats qu’elles fournissent à une première approximation
559
209.
Accord satisfaisant de la théorie avec l’expérience
562
210.
Recherche d’une deuxième approximation
564
211.
Examen d’une opinion de Navier
566
§ ii — écoulement par les déversoirs.
212.
Théorie de l’écoulement, quand le seuil a une certaine étendue dans le sens du courant
569
213.
Comparaison avec l’expérience et réflexions diverses
574
214.
Écoulement par des orifices verticaux avec faibles charges sur leurs sommets
575
215.
Théorie approchée d’un déversoir incomplet ou noyé
577
216.
Simplification des formules, dans le cas où le relèvement qui se produit en aval est peu sensible. Manière de tenir compte d’une inégalité notable des vitesses en amont du déversoir
584
217.
Sur le cas exceptionnel d’un régime torrentueux en amont d’un déversoir
588
218.
Calcul approché de la perte de charge que cause le défaut d’évasement du seuil d’un déversoir
594
NOTE 2.
sur les phénomènes que présentent les coudes des tuyaux de conduite ou les tournants des canaux découverts, et sur ceux qui se produisent dans les tourbillons liquides à axe vertical.
219.
Perte de charge qui résulte d’un changement brusque de direction, soit quand la section est circulaire, soit quand elle est rectangulaire très-large
596
220.
Résistance d’un coude ou d’un tournant arrondis
600
221.
Comparaison avec l’expérience. Équation du mouvement graduellement varié dans un tuyau et dans un canal à axes courbes
602
222.
Considérations nouvelles sur l’établissement du régime des cours d’eau naturels
605
223.
Confirmation, par l’expérience, de l’expression de la perte de charge due à un coude brusque. Valeur de k
607
224.
Extension de la formule de Borda et de l’équation analogue concernant les canaux découverts, aux cas où il y a tout à la fois épanouissement et déviation des filets fluides
609
225.
Circonstance remarquable que présente le mouvement au passage d’un coude, et manière dont se dispose en conséquence, dans les tournants, le lit des cours d’eau naturels
610
226.
Évaluation de l’approfondissement qui se produit dans un tournant
613
227.
Des tourbillons liquides à axe vertical
616
228.
Étude de ceux dont le fluide se renouvelle sans cesse en s’écoulant le long de l’axe
618
229.
Des tourbillons formés, au contraire, de volumes fluides qui circulent incessamment sans se renouveler d’une manière sensible. Équations différentielles de leur mouvement
621
230.
Intégration de ces équations
627
231.
Surface libre et énergie d’un tourbillon
632
232.
Équations générales des mouvements d’un liquide en coordonnées cylindriques ou semi-polaires
634
233.
Conséquences diverses
637
NOTE 3.
sur un cas remarquable de mouvement permanent où intervient une condition restrictive de stabilité. — étude théorique des nappes liquides rétractiles observées par savart.
234.
Équations différentielles du mouvement d’une molécule, qui décrit un méridien de la nappe
639
Formule fondamentale de la théorie de la capillarité (note)
641
235.
Première intégration effectuée sur ces équations
645
236.
Condition exprimant la stabilité de forme de la nappe
647
237.
Circonstances diverses, confirmées par l’expérience
650
238.
Deuxième intégration, effectuée, soit au moyen de formules exactes ou approchées dans divers cas particuliers soit numériquement et de proche en proche dans tous les autres cas
653
Corrections et Additions
660