Œuvres de Fermat/I/Dissertation tripartie

Pierre de Fermat

Dissertation tripartie.

Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul Tannery, Gauthier-Villars, 1891, 1 (p. 118-132).

Dissertation tripartie

DE SOLUTIONE
PROBLEMATUM GEOMETRICORUM
PER CURVAS SIMPLICISSIMAS
ET UNICUIQUE PROBLEMATUM GENERI PROPRIE CONVENIENTES,
DISSERTATIO TRIPARTITA.

PARS I.

Ut constet Cartesium in Geometricis etiam hominem esse, quod paradoxum merito forsan quis dixerit, videant subtiliores Cartesiani an mendum contineat linearum curvarum in certas classes aut gradus Cartesiana distributio, et an probabilior et commodior secundum veras Analyseos Geometricæ leges debeat assignari. Quod sine dispendio famæ tanti et tam celebris viri exsecuturos nos censemus, quum Cartesii et Cartesianorum omnium intersit veritatem, cujus fautores se non immerito jactant acerrimos, licet ipsorum placitis aliquantisper adversetur, omnibus aut (si generale hoc nimis) Geometris saltem et Analystis fieri manifestam.

Problematum geometricorum in certas classes distributio, non solum veteribus, sed et recentioribus necessaria visa est Analystis. Proponatur videlicet

A + D aequari B,aut A quadratum + B in A aequari Z plano.

Hae duae aequationes quarum prior radicem aut latus ignotum suis terminis non excedit, posterior autem lateris ignoti secundam potestatem sive quadratum continet, primum et simplicius problematum genus constituunt. Ea vero sunt problemata quse plana Geometris dici consueverunt.

Secundum problematum genus illud est in quo quantitas ignota ad tertiam vel ad quartain potestatem, hoc est ad cubum vel ad quadratoquadratum, pertingit. Ratio autem cur duse potestates proximæ, licet diversi gradus sint, unum tamen tantum constituant problematum genus, hæc est, quod æquationes quadratica reducuntur ad simplices aut laterales facili, quæ et veteribus et novis cognita est, methodo, ideoque per regulam et circinum nullo negotio resolvuntur.AEquationes autem quarti gradus sive quadratoquadratica reducuntur ad œquationes tertii gradus sive cubicas beneficio novæ, quam Vieta et Cartesius prodiderunt, methodi. Huic enim operi Vieta subtilem illam et sibi peculiarem climacticam paraplerosin destinavit, ut apud eum videre est cap. 6 libelli De emendatione æquationum, nec absimili in pari casu usus est artificio Cartesius^[1], licet aliis verbis illud enunciet.

Similiter quoque cubocubicam aequationem ad quadratocubicam sive æquationem sexti gradus ad equationem quinti deprimet, licet aliquanto difficilius, Vietaeus aut Cartesianus Analysta^[2]. Ex eo autem quod in prœdictis casibus, in quibus una tantum ignota quantitas invenitur, æquationes graduum parium ad wequationes graduum imparium proxime minorum deprimuntur, idem omnino contingere in sequationibus in quibus duse ignotas quantitates reperiuntur confidenter pronunciavit Cartesius pagina 323 Geometrie lingua gallicai a ipso conscriptæ^[3]. Hujusmodi vero sunt sequationes olmnes linearum curvarum constitutive: in his enim non solum prcedicta reductio vel depressio non succedet, ut Cartesius affirmabat, sed earn omnino impossibilem Analysta experientur. Proponatur, verbi gratia, equatio paraboles quadratoquadraticæ constitutiva, in qua

A quadratoquadratum aequatur Z solido in E;

qua ratione æquatio hsec quarti gradus deprimetur ad tertium? quo utentur remedio climacticce parapleroseos artifices?

Quantitatibus autem ignotis characteres vocalium juxta Vietam assignamus: haec enim levia et prorsus arbitraria cur immutarit Cartesius ^[4], non video.

Ut autem pateat disquisitionem hanc aut animadversionem non esse otiosam et inutilem, suppetit methodus universalis qua problemata qusecumque ad certum curvarum gradum reducimus.

Proponatur namque problema in quo quantitas ignota ad tertiam vel ad quartam potestatem ascendat, illud per sectiones conicas quæ sunt secundi gradus expediemus; sed si sequatio ad quintam vel ad sextam potestatem ascendat, tune solutioner per curvas tertii gradus possumus exhibere; si æquatio ad septimam vel ad octavam potestatem ascendat, solutionem per curvas quarti gradus exhibebimus, et sic uniformi in infinitum methodo. Unde evidens fit non hic de nomine tantum, sed de re agitari quwstionem.

Proponatur in exemplum

A cub. cub. + B pl. sol. in A aequari Z sol. sol.,

aut, si velis,

A qu. cub. - B pl. pl. in A æquari Z pl. sol.; in utroque hoc casu problema solvemus per curvas tertii gradus seu

cubicas, quod et fecit Cartesius ^[5]. Sed si proponatur

A qu.cub.cub. + B pl.pl.sol. in A aequari Z pl.sol.sol.,aut A qu.qu.cub. + B sol.sol. in A aequari Z pl.pl.sol.,tunc problema solvemus per curvas quarti gradus seu quadratoquadraticas, quod nec fecit nec fieri posse existimavit Cartesius ^[6], quum in

hoc casu ad curvas quinti vel sexti gradus necessario recurrendum crediderit. Puriorem certe Geometriam offendit qui ad solutionem cujusvis problematis curvas compositas nimis et graduum elatiorum assumit, omissis propriis et simplicioribus, quum jam swepe et a Pappo ^[7] et a recentioribus determinatum sit non leve in Geometria peccatum esse quando problema ex improprio solvitur genere. Quod ne accidat, corrigendus est Cartesius et singula problemata suis, hoc est propriis et naturalibus, sedibus restituenda.

Sed et pag. 322 ^[8] idem Cartesius diserte asserit curvas ex intersectione regulæ et alterius aut recta aut curvæ oriundas esse semper ela tioris gradus aut generis, quam est recta aut curva in figura pag. 321 (fig. 90), ex qua derivantur. Intelligatur, si placet, in locum ipsius rectæ CNK, in dicta figura pag. 32, substitui parabolen cubicam cujus vertex sit puncturm K et axis indefinitus KLBA, et cætera construantur

Fig. 90.
ad mentem Cartesii. Patet equationem dictæ parabolœ cubicæ constitutivam esse sequentem A cub. ex una parte, et B quad. in E ex altera.Experiere auter n statim curvam EC ex hujusmodi positione provenientem ad c equationem tantum quadratoquadraticam ascendere: ergo curva quadratoquadratica est elatioris gradus aut generis quam curva cubica, secundumn predictam Cartesii definitionem, quum tamen contrarium pag. 323^[9] expresse idem Cartesius definierit, curvam nempe quadratoquadraticam et curvam cubicam esse unius et ejusdem gradus aut generis.

Methodum autem nostram qua omnia in infinitum problemata, ea nempe quorum æquationes tertiam et quartam potestatem continent, ad secundum curvarum gradum: quæ quintam et sextam potestatem, ad tertium: que septimam et octavam, ad quarturn reducimus, et eo in infinitum ordine, exhibere non differemus quotiescumque id voluerint quibus piaculum videtur errores quoscumque vel etiam Cartesianos in prwejudicium veritatis dissimulare.

Nec moveat problemata quæ ad secundam potestatem ascendunt et quæ ejusdem cum problematis primi gradus sint speciei et plana dicuntur, circulis, hoc est curvis secundi gradus, indigere; suum enim et proprium huic objectioni responsum non deerit, quum methodulm nostram generaler omnia omnino problemata per curvas convenientes absolventem proferemus.

DISSERTATIONIS
PARS II.

Ut datae publice fidei satisfiat, methodum generalem ad solvenda quæcumque problemata per curvas proprias et convenientes exhibemus. Prædictum est jam in prima Dissertationis parte problemata duorum graduum inter se proximorum, tertii verbi gratia et quarti, quinti et sexti, septimi et octavi, noni et decimi, etc., unicum tantum curvarum gradum respicere: problemata nempe quSe ad tertiam vel quartam potestatem ascendunt, solvi per curvas secundi gradus; ea vero quæ ad quintam vel ad sextam potestatem ascendunt, solvi per curvas tertii gradus; etc. in infinitum.

Modus autem operandi talis est: Data quwevis aquatio, in qua unica tantum reperitur ignota quantitas, reducatur primo ad gradum elatiorem sive parem; deinde ab adfectione sub latere omnino liberetur. Quo peracto remanebit xequatio inter quantitatem cognitam vel homogeneum datum ex una parte, et aliquod homogeneum incognitum, cujus singula membra a quadrato lateris incogniti adficientur, ex altera. Homogeneum istud incognitum æquetur quadrato cujus latus effingendum eo artificio ut, in wequatione ipsius quadrati cum homogeneo incognito, elatiores quantum fieri poterit lateris ignoti gradus evanescant. Cavendum etiam ut singula lateris quadratici sic efflngendi homogenea a radice vel latere ignoto adficiantur, et ultimum tandem ex illis a secunda etiam radice incognita adficiatur. Orientur tandem beneficio divisionis simplicis ex una parte, et extractionis lateris quadrati ex altera, duse equationes linearum curvarum problemati dato convenientiumr constitutive, et earum intersectio solutionem. problematis exhibebit, ea qua dudum usi sumus in solutione problematum per locos methodo.

Exemplum proponatur, si placet,

A cub. cub. + B in A qu. cub. + Z pl. in A qu. qu. + D sol. in A cub. + M pl. pl. in A qu. æequari N sol. sol.;problemata quippe omnia quæ ad quintam vel ad sextam potestatem ascendunt ad hanc formam reduci possunt. Nihil enim hoc aliud est quam vel quintam potestatem ad sextam evehere vel ear deinde al ultima adfectione sub A vel latere liberare, quæ omnia et Vieta ^[10] et Cartesius ^[11] abunde docuerunt.

Effingatur itaque quadratum a latere

A cub. + B in A in E

et æquetur priori primurn illius æquationis parti. Fiet itaque

Acub. cub. + B in A qu. qu. in E bis + B qu. in A qu. in E qu. aequale Acub. cub. -- B in A qu. cub. -- Zpl. in Aqu. qu. + D sol. in A cub. -- Mpl. p1. in Aqu.

et, deleto utrimque Acub. cub. et reliquis per Aqu. divisis, quod ex cautione adjecta methodo semper liberum est, remanebit tequatio inter

B in A cub. + Z pl. in A qu. + D sol. in A + M pl.pl. ex una parte,et B in A qu. in E bis + B qu. in E qu. ex altera.

Haec autem aequatio, ut patet, dat curvam tertii gradus.

Quia autem, ut constituatur duplicata equalitas et commode ad solutionem problematis deveniatur, aequandum etiam est quadratum a latere A cub. + B in A in E posteriori prioris æquationis parti, hoc est N sol.sol., ergo, per extractionema lateris quadrati, latus quadraticum N sol.sol., quod facile datur et dicatur, si placet, N sol., aequabitur

A cub. + B in A in E,quod est latus quadrati priori sequationis primum data parti aequalis. Habemus igitur hanc secundam aequationem inter N sol. et A cub. + B in A in E,

quae dabit pariter curvam tertii gradus. Quis deinde non videt intersectionem, duarum curvarum jam inventarum dare valorem ipsius A, hoc est problematis propositi solutionem?

Si problema ad septimam vel ad octavam potestatem ascendat, statuetur primo sub forma octavæ potestatis, deinde ab adfectione sub latere omnino liberabitur. Hoc peracto, esto itaque, post legitimam ex jam præscripta methodo reductionem,

A qu.cub.cub. + B in A qu.qu.cub. - D pl. in A cub.cub. + N sol. in A qu.cub. + M pl.pl. in A qu.qu. + G pl.sol. in A cub. + R sol.sol. in A qu. æquale Z pl.sol.sol.

Effingetur quadratum cuilibet istius equationis parti æquandum a latere

A qu.qu. + B ½ in A cub. + D pl. in A in E.

Secundum autem hujus lateris quadratici homogeneum eo artificio effinximus ut duse elatiores lateris vel radicis A potestates in aequatione omnino evanescant, quod perfacile est. Quadratum igitur illius lateris si aeques priori tequationis propositæ parti, deletis communibus et reliquis per A qu. divisis, orietur æquatio curvse quarti gradus constitutiva ex una parte.

Deinde, post extractionem lateris quadrati ex altera æquationis primumn propositæ parte, latus Zpl.sol. sol., quod Ppl.pl. dicere licet, aequabitur

A qu. qu. + B - in A cub. + D pl. in A in E;

hæc vero equatio dabit etiam aliam quarti gradus curvam, et harum duarum curvarum intersectio dabit valorem A, hoc est problematis propositi solutionem.

Notandum porro in problematis quwe ad nonam aut decimam potestatem ascendunt, ita effingendum latus quadrati ut in eo sint quatuor ad minus homogenea quorum beneficio evanescant tres elatiores lateris ignoti gradus; in problematis autem quse ad undecimam aut duodecimam potestatem ascendunt, latus effingendi quadrati constare debere quinque ad minus homogeneis, ita formandis ut eorum beneficio quatuor elatiores lateris ignoti gradus evanescant. Perpetua autem et facillima metlodo, hanc lateris quadrati effingendi formam per solam et simplicem divisionem vel applicationem, ut verbis geometricis et in re pure geometrica utamur, expediri Analystas experiendo deprehendent, et characterum + et - variatio nullum methodo prxejudicium est allatura.

Quum autem problemata qune ad secundam potestatem ascendunt per extractionem lateris quadrati reducantur ad primam, ut notum est, per lineas primi gradus, hoc est rectas, expedientur, et vana evadet quam in priore Dissertationis istius parte metueramus objectio, quum extractionem radicis quadratice tanquam notam et obviam in quolibet problematum genere ex nostra methodo usurpandam supposuerimus.

Non latebit igitur deinceps accurata et simplicissima problematum geometricorum per locos proprios a curvis variæ, prout expedit, speciei oriundos, resolutio et constructio. Variare autem curvas salvo semper et retento naturali problematis genere, liberum erit Analystis, et semper problemata octavi aut septimi gradus per curvas quarti, problenata decimi aut noni per curvas quinti, problemata duodecimi et undecimi per curvas sexti et sic uniformi in infinitum methodo expedientur; quum contra per Cartesium problemata octavi aut septimi gradus curvis quinti aut sexti indigeant, problemata decimi aut noni curvis septimi aut octavi, problemata duodecimi aut undecimi curvis noni aut decimi et sic in infinitum. Quod quam longe a simplicitate et veritate geometrica absit, videant ipsi Cartesiani, aut, si ita visum fuerit, contradicant.

Veritatem enim tantum inquirimus et, si in scriptis tanti viri alicubi delitescat, earn libenti statim animo et amplectemur et agnoscemus. Tanta me sane, ut verbis alienis utar, hujus portentosissimi ingenii incessit admiratio, ut pluris faciam Cartesium errantem quam multos

DISSERTATIONIS
PARS III.

Itec ad generalenm doctrinam fortasse sufficiant: quæ enim problemata Cartesius per gradus curvarum elatiores determinat expedienda, ea nos generali methodo ad curvarum gradum duplo minorem feliciter depressimus. Quod ita tamen intelligi debere pronunciamus, ut id saltern auxilium omnes omnino qusestiones admittant: majus quippe infiniti casus speciales non recusant. Juvat itaque ulterius exspatiari et Analysin Cartesianam non solum ad terminos duplo minores, sed ad quadruplo, sextuplo, decuplo, centuplo, etc. in infinitum aliquando minores deprimere, ut tanto magis error Cartesianus detegatur et proprium statim ab Analysi remedium consequatur: potestates autem per numeros ipsarum exponentes designare in gradibus elatioribus, deinceps commodius erit.

Proponatur inwenire sex continue proportionales inter duas datas.

Sint duæ date B et D; prima inveniendarum ponatur A: fiet

æquatio inter $A^{7}$ et $B^{6}D$.

Haec aequatio secundum Cartesium per curvas quinti tantur aut sexti gradus solvi potest. Nos eam per curvas quarti gradus in secunda hujus Dissertationis parte, sicut reliquas etiam ejusdem nature, generaliter resolvinus. Sed nihil vetat quominus earn per curvas tertii gradus resolvamus.

AEquentur quippe singuli -equationis termini 'homogeneo sequenti A⁴E²D: æquabitur ex una parte A⁷ et, divisis omnibus per A⁴, manebit æquatio inter E²D et A³ quae dat, ut patet, curvam tertii gradus. Ex altera vero parte A⁴E²D æquabitur B⁶D, et, omnibus per D divisis et reliquis subquadratice depressis, manebit aequatio inter A²E et B³ quae dabit etiam curvam tertii gradus. Harum autem duarum curvarum intersectio dabit valorem A, hoc est problematis propositi per curvas tertii gradus solutionem.

Sed proponatur inter duas datas invenire duodecim medias proportionales continue,

aequatio erit inter A¹³ et B¹²D;eam autem Cartesius tantum per curvas undecimi aut duodecimi gradus solvi posse existimavit. Nos generaliter, ut similes quasvis ejusdem gradus, earn in secunda hujus Dissertationis parte per curvas septimi gradus solvi posse docuimus. Sed ulterius inquirenti occurrit statim elegans per curvas quinti gradus solutio, imo et datur per curvas quarti, ut infra videre est.

AEquentur primum singula hujus equationis membra homogeneo A⁸E⁴D, ex una parte nempe A¹³, et ex altera B¹²D. In prima, omnibus per A⁸ divisis, fiet æquatio inter A⁵ et E⁴D quae dat curvam quinti gradus, ut patet. In secunda, omnibus per D divisis et per quartam potestatem sive quadratoquadratum depressis, remanebit aequatio inter A²E et B³, quae dat curvam tertii gradus. Per duas itaque curvas quarum una est quinti gradus, altera tertii, problema propositum expedimus. Sed idem etiam problema facilius, hoc est per curvas quarti gradcus, construere possumus: equientur singula sequationis membra A9E'D. Fiet illinc, post divisionem per A⁹, A⁴ aequale E³D, quæ equatio dat curvam quarti gradus; istinc vero, omnibus per D divisis et deinde per tertiam potestatem sive cubum depressis, fiet wequatio inter A³E et B⁴ que dabit etiam curvam quarti gradus. Problema itaque per duas quarti gradus curvas facillime construimus.

Qui haec exempla viderit, non poterit dubitare quin inveniio triginta mediarum continue proportionalium per curvas septimi, imo et per curvas sexti possit expediri. Aequatio

nempe inter A³¹ et B³⁰D

communi termino A²⁴E⁶D aequabitur, unde problema per curvas septimi gradus expedietur; aut communi termino A²⁵E⁵D aequabitur, unde manabit solutio per curvas sexti gradus.

Sic inventio 72 mediarum solvetur per curvas noni gradus, (t patet ex prwmissis posse assignari rationem, inter gradum problematis et gradum curvarum illud solventis, omni data ratione majorem. Quod quum viderint Cartesiani, non dubito quin necessitati et admonitionis et emendationis nostrwe subscribant.

Advertendum autem immutandam scepe esse ipsam requationis formam, ut commodam per partes aliquotas divisionem homogenea ipsa recipiant, quod semel monuisse sufficiet.

Proponatur videlicet inventio decem mediarum et sit

aequatio inter A¹¹ et B¹⁰D.

Ducatur quodlibet ex homogeneis in rectam datam, verbi gratia Z, ut sit

aequatio inter A¹¹ et B¹⁰DZ;

ita enim ad numerum 12 pervenietur cujus ope facillima per partes aliquotas evadet reductio aut depressio. AEqiuetur videlicet quodlibet ex homogeneis AE-: illinc orietur

aequatio inter A3Z et El,

qu' dat curvam quarti gradus; istinc vero, beneficio extractionis lateris quadratoquadratici, inter A^2E et latus quadratoquadraticurn homogenei dati B¹⁰DZ, quod, si placet, sit N solidum, quæ æquatio dat curvam tertii gradus, atque ita invenientur decem mediæ per duas curvas quarum altera est quarti, altera vero tertii gradus quod per levem illam prioris aequationis immutationeim facillime sumus exsecuti.

Nec moror infinita alia quæ Analystis ars ipsa abunde suppeditabit compendia; hoc tantum adjungo ea omnia qu' superius diximus non solum locum habere, quum potestas ignota nullum aliud sub gradibus inferioribus adfectum continet hoinogeneum, sed etiam si aliqua ex homogeneis a gradibus potestati proximioribus adficiantur: ut, si

A¹³ + NA¹² + MA¹¹ + RA¹⁰ aequetur B¹²D,

solutio hujus quæstionis perinde facilis reddetur, communi adsumpto aequationis homogeneo quo supra usi sumus, nempe A⁹E³D, ac si invenienda duodecim mediwa inter duas datas proponerentur. Simili autem in wequationibus ab altioribus gradibus adfectis utemur artific1io.

Notandum tamen, in waquationibus in quibus una tantum reperitur ignota quantitas ex una parte, exponentem potestatis illius puræ debere esse numerum primiunl ut ab eo gradus illius problematis designetur. Si enim exponens ille sit numerus compositus, problema ad gradus numerorum qui eum metiuntur statim devolvetur. Quwerantur, exempli gratia, octo media continue proportionales inter duas datas, fiet

aequatio inter A⁹ et B⁸D,

quo casu, quum numerus 9 sit compositus, a numero 3 bis mensuratus, inferetur problema esse tertii gradus: quod quidem ita se habet. Si enim inter duas datas reperiantur duæ mediwe, et rursus inter primam et secundam, secundam et tertiam, tertiam et quartam reperiantur similiter due medie, fient octo mediæ inter duas primum propositas lineas.

Si querantur quatuordecim medile inter duas datas, sequatio, quae est inter A'5 et BD, indicabit problema devolvi ad alia duo problemata, quorum unum est tertii gradus, alterum quinti.

Unde apparet exponentem puræ potestatis debere esse numerum primum ut vere gradum problematis exprimat et designet. Quum autem numeros a binario quadratice in se ductos et unitate auclos esse semper numeros primos ^[12] apud me constet et jamcludum Analystis illius theorematis veritas fuerit significata, nempe esse primos 3, 5, 17, 257, 65 537, etc. in infinitum, nullo negotio inde derivabitur methodus cujus beneficio problema construemus cujus gradus ad gradum curvarum ipsius solutioni inservientium rationem habeat data quavis majoremn.

Proponatur namque inter duas datas invenire 256 medias continue proportionales: fiet

aequatio inter A²⁵⁷ et B²⁵⁶D,

et singuli termini aequabuntur sequenti A²⁴⁰E¹⁶D, et mox quaestio per curvas 17ⁱ gradus expedietur.

Si quærantur mediæ 65 536, quatstio per curvas 257ⁱ gradus solvetur, et sic in infinitum gradus majoris numeri deprimetur ad gradum numeri proxime minoris. Inter duos autem proximos rationem in infinitum augeri quis non videt?

An vero errasse Cartesium ulterius Cartesiani dissinmulabunt? ego sane ἐπέχω et quid statuendum hac de re sit sollicitus et tacitus exspecto.

1. Viète, édition Schooten, pages 140 et suivantes. - Descartes (Géométrie), édition de 1637, pages 383 et suivantes; édition de 1886 (Paris, Hermann), pages 65 et suivantes.
2. Cette assertion est singulière: Fermat a-t-il cru, d'après le passage de Descartes rapporté dans la note qui suit, que son rival possédait le secret d'une pareille réduction?
3. Descartes (Géométrie, édition de 1637, p. 323): « Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter cette equation jusqu'au quarré de quarré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu'au cube; et celles dont 1'équation monte au quarré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres; dont la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au quarré de quarré, et au sursolide toutes celles qui vont au quarré de cube; de facon qu'on ne doit pas les estimer plus composées. » (Page 20 de l'édition de 1886.)
4. On sait que Descartes fut le premier à désigner les inconnues par les dernieres lettres de l'alphabet; c'est egalement à lui que remonte 1'emploi, en Algebre, dans les Ouvrages imprimés, des minuscules italiques.
5. Geométrie de Descartes, édition de 1637, pages 403 et suivantes; édition de 1886, pages 80 et suivantes.
6. Geométrie de Descartes, édition de 1637, page 389: « Si la quantité inconnue a trois ou quatre dimensions, le probleme pour lequel on la cherche est solide, et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des autres.  » (Page 71 de l'édition de 1886.) Le reproche spécial adressé ici à Descartes par Fermat n'est certainement pas fondé: Descartes a bien eu le tort de considérer comnme d'un seul GENRE n les courbes de degré 2n-1 et 2n; mais, pour résoudre un problème de degré 2n-1 ou 2n, il ne demandait que des courbes de degré n. Voir page 308 de l'édition de la Géométrie de 1637, page 10 de l'édition de 1886. Fermat a été induit en erreur en croyant retrouver partout dans le langage de Descartes les consequences de l'idée erronée qu'il se proposait de relever.
7. Pappus, Livre IV, 59; édition Hultsch, page 270, lignes 27 et suivantes.
8. Edition de 1886, page 20 : « Mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le plan CNKL, on en decrira par son moyen une du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini. » Descartes suppose que le plan CNKL se meut parallelement à lui-même, le point L parcourant la droite fixe AB. La courbe decrite est le lieu de l'intersection de la droite GL, determinée par le point fixe G et le point mobile L, avec une courbe CK donnie sur le plan mobile. Si l'on suppose que les x soient paralleles a AB, les y a AG, que l'equation de la courbe donnee, en prenant L pour origine des axes, soit F(x,y)= o; si enfin l'on pose AG = a, il est aisé de voir que l'equation de la courbe décrite sera, en prenant A pour origine, $F({\frac {xy}{x-y}},y)=0$.

   Or, l'assertion de Descartes revient à dire que, si l'équation de la courbe donnee est du degré n2-1 ou 2z1, l'equation de la decrite sera du degré 2z -+-i ou 2/i + 2. Il est singulier que, au lieu de relever ce lapsus 6vident, Fermat se soit au contraire attache a montrer que, dans tel cas particulier, le degré de la courbe décrite pouvait être encore moins élevé que celui indiqué par Descartes.

9. Voir la note 3 de la page 119.
10. Viète, De emendclatione cequatlionum, cap. I (ed. Schooten, p. 132).
11. Descartes, Geométrie, page 383 de l'édition de 1637, page 65 de 1'édition de 1886.
12. C’est la célèbre proposition, que $\scriptstyle 2^{2n}+1$ est un nombre premier, dont Euler a reconnu la fausseté pour n = 5, c’est-à-dire pour le nombre qui suit immédiatement le dernier donné par Fermat.