Œuvres de Fermat/I/Lieux plans et solides
ISAGOGE[1]
De locis quamplurima scripsisse vetercs, haud dubium: testis Pappus initio Libri septimi [2], qui Apollonium de locis planis, Aristeum de solidis scripsisse asseverat. Sed aut fallimur, aut non proclivis satis ipsis fuit locorum investigatio; illud auguramur ex eo quod locos quamplurimos non satis generaliter expresserunt, ut infra patebit. Scientiam igitur hane proprime et peculiari analysi subjicimus, ut leinceps generalis ad locos via pateat.
Quoties in ultima sequalitate duæ quantitates ignote reperiuntur, fit locus loco et terminus alterius ex illis describit lineam rectam aut curvam. Linea recta unica et simplex est, curva infinita: circulus, parabole, hyperbole, ellipsis, etc.
Quoties quantitatis ignote terminus localis describit lineam e'ctam aut circulum, fit locus planus; at quando describit paralbolen, hyperbolen vel ellipsin, fit locus solidus; si alias curvas, dicitur locus linearis. De hoc nihil adjungemus, quia facillime ex planorum et solidorum investigatione linearis loci cognitio derivabitur, mediantibus reductionibus.
Commode autem institui possunt æquationes, si duas quantitates ignotas ad datum angulum constituamus (quem ut plurimum rectum sumemus), et alterius ex illis positione datæ terminus'unus sit datus; modb neutra quantitatum ignotarum quadratum prætergrediatur, locus erit planus aut solidus, ut ex dicendis clarum fiet.
Recta data positione sit NZM (fig. 78), cujus punctum datum N; NZ
Erit enim
Ad hanc aqualitatem reducentur omnes, quarum homogenea partim sunt data, partim ignotis A et E admixta, vel in datas ductis vel simpliciter sumptis.
Fiat
Fiat MN equalis R: dabitur punctum M, ideoque MZ aquabitur 1R- A. Dabitur ergo ratio MZ ad ZI; sed datur angulus ad Z, ergo triangulum IZM specie, et concludetur rectam AI junctam dari positione, ideoque punctum I erit ad rectam positione datam. Idemque nullo negotio concludetur in qualibet aqualitate cujus homogenea quædam afficientur ab A vel E.
Et est simplex hæc et prima locorum tequalitas, cujus beneficio invenientur loci omnes ad lineam rectam: verbi gratia, septima propositio Libri I Apollonii de locis planis [3], quæ generalius jam poterit enuntiari et construi.
Huic æqualitati subest pulcherrima propositio sequens, quam nos illius ope deteximus:
Si sint quotcumque rectce linece positione datce atque ad ipsas a quoldan puncto ducantur rectce in datis angulis, sit autem quod sub ductis et datis efficitur dato spatio cequale, punctum rectam lineam positione datain continget.
Infinitas omittimus, quæ Apollonianis merito possent opponi.
Secundus hujusmodi æqualitatum gradus est, quando
quo casu punctum I est ad hyperbolen.
Fiat NR (fig. 79) parallela ZI; sumatur in NZ quodlibet punctum, ut M, a quo ducatur MO parallela ZI; et fiat rectangulum NMO equale Zpl.
Per punctum O, circa asymptotos NR, NM, describatur hyperbole: dabitur positione et transibit per punctumr I, quum ponatur rectangulurm A in E, sive NZI, æquale NMO.
Ad bane tqualitatemn reducentur omnes quarum homogenea partim sunt data, vel ab A aut E aut A in E aflecta.
Ponatur
Igitur, ex artis præceptis,
Effingatur rectangulum abs duobus lateribus, in quo homogenea
reperiantur: erunt duo latera
et rectangulurn sub ipsis tequabitur R in A -+ S in E - A in E - in S.
Si igitur a Dpi. abstuleris RinS, rectangulum sub A - S in R - E æquabitur Dpi. - R in S.
Fiat NO (fig. 8o) tequalis S, et ND, parallela ZI, fiat æqualis B; per punctum D ducatur DP parallela NM, < per punctum 0 > 0V paralela ND, et ZI producatur in P.
Quum NO æquetur S, et NZ, A, ergo A - S æquabitur OZ sive VP; similiter, quum ND, sive ZP, cequetur 1, et ZI, E, ergo R -- E æqua bitur PI: rectangulum igitur sub VP in PI Tquatur dato Dpl. -- in S. Ergo punctum I erit ad hyperbolen, cujus asymptoti PV, VO.
Rectangulo enim Dpl. - R in Sæquetur, sumpto quovis puncto X et ducta' parallela XY, rectangulurn VXY, et per punctum Y, circa asymptotos PV, VO, hyperbole describatur: per punctum I transibit, nec est difficilis in quibuslibet casibus analysis aut constructio.
Sequens æqualitatum localium gradus est, quumn Aq. vel qequatur Eq., vel est in ratione data ad Eq., vel etiam Aq. +- A in E est ad Eq. in data ratione; denique hic casus omnes aquationes comprehendit intra metam quadratorum, quarum homogenea omnia vel a quadrato A, vel a quadrato E, vel a rectangulo A in E afficiuntur.
His omnibus casibus punctumr I est ad lineam rectam, cujus rei demonstratio facillima.
Sit NZ quad. + NZ in ZI ad ZI quad. in ratione data (fig. 81 ).
Ducatur quwevis parallela OR; quadratum NO - NO in OR erit ad OR quadratum in eadem ratione, ut est facillimum demonstrare. Punctum igitur I erit ad rectam positione < datam >.
[Sumatur enim quodvis punctum, ut 0, et fiat data ratio quadrati NO + NO in OR ad OR quadratum. Juncta NR dabitur positione et satisfaciet proposito] [4], idemque continget in quibuslibet equationibus, quarum omnia homogenea a potestatibus ignotarum vel rectangulo sub ipsis afficientur, ut inutile sit singulos casus scrupulosius percurrere.
Si potestatibus ignotarum vel rectangulis sub ipsis admisceantur homogenea, partim omnino data, partim sub data recta in alteram ignotarum, difficilior evadet constructio: singulos casus construimus breviter et demonstramus.
Si
punctum I est ad parabolen.
Fiat NP parallela ZI (fig. 82), et circa diametrum NP describatur
parabole, cujus rectum latus recta D data, et applicatæ sint parallelbe NZ: punctum I erit ad parabolen hane positione datam. Ex constructione rectangulum sub D in NP æquabitur quadrato PI, hoc est, rectangulum sub D in IZ equabitur quadrato NZ, ideoque:
Ad hanc requationem facillime reducentur omnes in quibus Aq. miscetur homogeneis sub datis in E, aut Eq. homogeneis sub datis in A, idemque continget, licet homogenea omnino data Tequationibus misceantur.
Sit
In pracedenti figura, vertice N, circa diametrum NZ, describatur parabole, cujus rectum latus sit D, et applicatæ rectæ NP parallelse prsestabit propositum, ut patet.
Ponatur
Ergo
Applicetur Bq. ad D et sit eequale D in R. Ergo
ideoque
Ideoque hæc æquatio reducetur ad prsecedentem: recta quippe B -- E succedet ipsi E.
Fiat quippe (fig. 83) NM parallela ZI et æqualis R, et per pun ctum M3 ducatur MO parallela NZ: datur punctum M, et recta MO positione. In
hæ constructione, OI æquatur R - E: ergo D in 01 æquatur NZ quad., sive MO quad. Yertice M, circa diametrum MN, descripta parabole, cujus rectum latus D, et applicatæ ipsi NZ parallelx, prsestabit propositum, ut patet ex constructione.
Si
SED Aq. miscetur spepe Eq. et homogeneis omnino datis. Bq.-Aq. æquetur Eq. punctumn I est ad circulum positione datum, quando angulus NZI est rectus. Fiat NM (fig. 84) æqualis B; circulus centro N, intervallo NM, descriptus præstabit propositum, hoc est: quodcumque punctum sumpFig. 84.
seris in ipsius circumferentia, ut I, quadratum ZI œquabitur quadrato NM (sive Bq.) - quadrato NZ (sive Aq.), ut patet. Ad hanc xequationemn reducentur omnes affecte ab Ay. et Eq., et ab A vel E in datas ductis, modb angulus NZI sit rectus, et præterea cœfficientes Aq. æquentur cœfficientibus Eq. Sit
Bq.- D in A his - A q. equale Eq. T- B in E his.
Addatur utrimque Rq., ut E 4- R succedat E: fiet
Rq. -- Bq.- Din A bis- A q. equale Eq. -- +lq.- R in E bis.
Ipsis Rq. et Bq. addatur Dq., ut D + A succedat ipsi A, et summa quadratorum Rq., Bq., et Dq. sequetur Pq. Ergo Pq. â Dq. â D in bis - A q. æquabitur Rq. Bq. - -D in A bis - Aq.; nam ex constructione
Pq. -Dq. æquatur Rq. -- Bq. Si igitur loco ipsius A -- D sumpseris A et loco E -+ R sumpseris E, fiet
et reducetur æquatio ad precedentem. Simili ratiocinatione similes æquationes reducentur, et hac via omnes propositiones secundi Lihri Apollonii De locis planis [5] construximus, et sex priores in quibuslibet punctis habere locum demonstravimus: quod sane mirabile est et ab Apollonio fortasse ignorabatur. SED
Bq. - Aq. ad Eq. habeat rationerm datam,
punctum I erit ad ellipsin.
Fiat MN tequalis B, et per verticem M, diametrum NM, centrum N, describatur ellipsis, cujus applicatse sint recte ZI parallelse et quadrata applicatarum ad rectangulum sub segmentis diametri habeant rationem datam: punctum I erit ad hujusmodi ellipsin. Etenim quadratum NM - quadrato NZ æquatur rectangulo sub diametri segmentis.
Ad hanc reducentur similes in quibus Aq. ex una parte opponetur Eq. sub contraria affectionis nota et sub cœfficientibus diversis. Nam si cœfficientes sint ewedem et angulus sit rectus, locus erit ad circulum, ut jam diximus; licet igitur cœfficientes sint ecedem, mod6 angulus non sit rectus, locus erit ad ellipsin, et, licet immisceantur equationibus homogenea sub datis et A vel E, fiet reductio eo quod jam usurpavimus artificio. SI
A q. + Bq. est ad Eq. in data ratione,
punctum I est ad hyperbolen.
Fiat NO (fig. 85) parallela ZI; data ratio sit eadem quæ Bq. ad quadratum NR: dabitur ergo punctum R. Circa diametrum RO, per ver ticem R, centrum N, describatur hyperbole, cujus applicatæ sint parallelke NZ, et rectangulum sub toto diametro et RO una cum RO quadrato ad quadratum OI sit in data ratione, NR quadrati ad Bq. Ergo, componendo, rectangulum sub MOR (posita MN sequali NR) una curn quadrate NR erit ad quadratum 01 una cum Bq. in ratione data, NR quadrati ad Bq. Sed rectangulum MOR, una cum NR quadrato, equa
tur NO quadrato, sive ZI quadrato, sive Eq.; et quadratum 01 una cum Bq. equatur quadrato NZ (sive Aq.) unai cum Bq.: ergo est
et, convertendo,
Punctumr igitur I est ad hyperbolen positione datam.
Eodem quo jam usi sumus artificio, ad hanc equalitatem reducentur omnes que ab Aq. et Eq. afficiuntur una cum datis, sive simpliciter, sive misceantur ipsis homogenea sub A vel E in datas, modb Aq. habeat eamudem ex altera parte affectionis notam, quam Eq. Nam, si sint diverse, propositio concludetur per circulos vel ellipses.
DIFFICILLIMA omniumln equalitatum est quando ita miscentur Aq. et Eq. ut nihilominus homogenea quædam ab A in E afficiantur una cum datis, etc.
Pro A + E sumatur E, si placet, et ex præcedentibus circulus MI (fig. 86) præstet propositum, hoc est:
Fiat VI æqualis NZ, sive A: ergo ZV æquatur E. In hac autem qumestione punctum V, sive extremum rectæ E, tantum inquirimus: videndun ergo et demonstrandum ad quam lineam sit punctum V.
Fiat MR parallela ZI et tequalis MN, et jungatur NR, adc quam producta IZ incidat ad punctum 0. Quum MIN sequetur AIR, ergo NZ æquabitur ZO; sed NZ æquatur VI: ergo tota VO toti ZI est æqualis, ideoque
Datur autem triangulum NMR specie: ergo quadrati NM ad quadratum NR datur ratio, ideoque et quadrati NZ ad quadratuni NO dabitur ratio. Ratio igitur
ergo ratio quadrati NR - NO quadrato ad quadratum OV datur. Dantur autem puncta N et R, et angulus NOZ: ergo punctum V, ex superius demonstratis, est ad ellipsin.
Non absimili methodo ad superiores casus reducentur reliqui, in quibus homogenea sub A in E homogeneis partim datis, partim sub Aq. aut Eq. immiscebuntur, aut etiam sub A et E in datas ductis, cujus rei disquisitio facillima: semper enim beneficio trianguli specie noti construetur quæstio.
Breviter igitur et dilucide complexi sumus quidquid de locis planis et solidis inexplicatum veteres reliquere, constabitque deinceps ad quem locum pertinebunt casus omnes propositionis ultimæ Libri I Apollonii de locis planis[6], et omnia omnino ad hanc materiam spectantia nullo negotio detegentur.
Sed libet coronidis loco pulcherrimam hanc propositionem adjungere, cujus facilitas statim innotescet.
Si, positione datis quotcumque lineis, ab uno et eodem puncto ad singulas ducantur rectæ in datis angulis, et sint species ab omnibus ductis dato spatio æquales, punctum contingit positione datum solidum locum.
Unico exemplo fit via ad practicen: Datis duobus punctis N, M (fig. 87), inveniendus locus a quo si jungas rectas IN, IM, quadrata rectarum IN, IM ad triangulum INM datam habeant rationem.
Recta NM æquetur B, et recta ZI, ad angulos rectos, dicatur E terminus; NZ dicatur A: ergo, ex artis præceptis,
habebit rationem datam et, resolvendo hypostases ex jam traditis præceptis, ita procedet constructio: NM bifariam secetur in Z; a puncto Z excitetur perpendicularis ZV, et fiat data ratio eadem quæ ZV quadruple ad NM; descripto semicirculo VOZ super VZ [7] applicetur ZO æqualis ipsi ZM, et juncta VO, centro V, intervallo VO, describatur circulus OIR, in quo sumatur
quodlibet punctum, ut R, et jungantur rectse RN, RM: Aio quadrata RN, RM ad triangulum RNM esse in data ratione.
Hæc inventio, si libros duos de locis planis a nobis dudum restitutos præcessisset, elegantiores sane evasissent localium theorematium constructiones: nec tamen præcocis licet et immaturi partus nos adhuc pœnitet, et informes ingenii feetus posteris non invidere scientiœ ipsius quadamtenus interest, cujus opera primo rudia et simplicia novis inventis et roborantur et augescunt. Imo et studiosorum interest latentes ingenii progressus et artem sese ipsam promoventem penitus habere perspectam.
CONTINENS SOLUTIONEM PROBLEMATUM SOLIDORUM PER LOCOS.
Patuit methodus qua lineœ locales deteguntur: inquirendum restat qua ratione problematum solidorum solutio possit ex supradictis ele gantissime derivari. Hoc ut fiat, coarctanda illa quantitatum ignotarum extra limites suos evagandi licentia; infinita enim sunt puncta quibus quæstioni propositæ satisfit in locis.
Commodissime igitur per duas œqualitates locales questio determinatur: secant quippe se invicem duse lineæ locales positione datæ, et punctum sectionis, positione datum, quæstionem ex infinito ad terminos præscriptos adigit.
Exemplis breviter et dilucide res explicatur. Proponatur
Commode utraque squalitatis pars potest equari solido B in A in E, ut per divisionem istius solidi, illinc per A, hinc per B, res deducatur ad locos.
Quum igitur
ergo
et erit, ut patet ex nostra methodo, extremitas ipsius E ad parabolen positione datam.
Deinde quum
ergo
et erit, ex nostra methodo, extremitas ipsius E ad hyperbolen positione datam.
Sed jam probavimus esse ad parabolen positione datam: ergo dabitur positione, et est facilis ab analysi ad synthesin regressus.
Nec dissimilis est methodus in omnibus æquationibus cubicis: constitutis enim ex una parte solidis omnibus ab A affectis, ex altera solido omnino dato vel etiam cum solidis al A vel Aq. affectis, poterit fingi equalitas superiori similis.
Proponatur exemplum in sequationibus quadratoquadraticis:
Quum igitur
Deinde, quum
Non dissimili methodo solventur quwestiones omnes quadratoquadratice: expurgabuntur enim, methodo Vietæ (Cap. I, De enmetdatione)[8], ab affectione sub cubo et, quadratoquadrato ignoto ab una parte, reliquis homogeneis ab altera constitutis, per parabolen, circulumr vel hyperbolen solvetur qusestio.
Proponatur ad exemplum inventio duarum mediarum in continua proportione.
Sint duæ rectæ, B major, D minor, inter quas due medie proportionales sunt inveniendæ. Fiet
si major mediarum ponatur A. AEquentur singula homogenea B in A in E: illinc fiet
Exponatur enim recta qusevis positione data OYN (fig. 88), in qua detur puncturn O. Sint rectæ date B et D, inter quas duw medie proportionales inveniendæ: ponatur recta OV equari A, et recta VM, ipsi OV ad rectos angulos, æquari E.
Ex priori æqualitate, qua
Ex secunda æqualitate, qua
per idem punctum M transit: datur igitur punctum MI positione, a quo si demittatur perpendicularis MV, dabitur punctumr V, et recta OV, major duarum continue proportionalium quas quærimus.
Inventse igitur sunt duæ mediæ per intersectionem paraboles et hyperboles.
Si ad quadratoquadrata lubeat quæstionem extendere, omnia ducantur in A:
AEquentur singula homogenea, juxta superiorem methodum, Bq. in Eq.; fient duse aqualitates, nempe
quæ singulse dabunt parabolen positione datam. Fiet igitur constructio mesolabii per intersectionem duarum parabolarum hoc casu.
Prior constructio et posterior sunt apud Eutocium in Archimedem[9], et huic methodo facile redduntur obnoxiæ.
Abeant igitur climacticæ illæ parapleroses Vietææ[10], quibus equationes quadratoquadraticas reducit ad quadraticas per medium cubicarum abs radice plana. Pari enim elegantia, facilitate et brevitate solvuntur, ut jam patuit, perinde quadratoquadraticse ac cubicæ qusestiones, nec possunt, opinor, elegantius.
Ut pateat elegantia hujus methodi, en constructionem omnnium problematum cubicorunz et quadratoquadraticorum per parabolen et circulum.
Ponatur
ergo
Fingatur quadratum abs Aq. - Bq. aut alio quovis quadrato: fiet quadratum
Addantur ad supplementumn singulis tequalitatis partibus
tiet
Sit
Descriptione igitur paraboles et circuli solvitur quæstio.
Hæc methodus facillime ad omnes casus tam cubicos quam quadratoquadraticos extenditur. Curandum enim tantum ut ex una parte sit Aqq., ex altera qualibet homogenea, modo non afficiantur ab Ac.; at, per expurgationem Vietaeam, omnes aequationes quadratoquadraticae ab affectione sub cubo liberantur: ergo eadem erit in omnibus methodus.
Quum autem æquationes cubicæ liberentur ab affectione sub quadrato per methodum Vieteam[11], homogeneis omnibus in A ductis, fiet aequatio quadrltoquadratica cujus nullum ex homogeneis afficietur sub cubo, ideoque solvetur per superiorem methodum.
Id solum in secunda aequalitate curandum est ut Aq. ex una parte, ex altera Eq., sub contraria affectionis nota reperiantur, quod est semper facillimum.
Sit enim in alio casu, ut omnia percurramus,
Fingatur quodvis quadratum abs Aq. - quovis quadrato dato, ut Bq., fiet
Adjiciatur utrique æqualitatis parti, ad supplementum,
fiet
Ut igitur commoda fiat divisio, in secunda xequalitate sumenda differentia inter Bq. bis et Zpl., que sit, verbi gratia, Nq., et utraque æqualitatis pars aequanda Nq. in Eq., ut illinc fiat
istinc,
Advertendum deinde Bq. bis debere præstare Zplano, alioquin Aq. non afficeretur signo defectus et pro circulo inveniremus hyperbolen. Cui promptum remedium: Bq. enim ad libitum suminus, ideoque ipsius duplum majus Z plano nullius est negotii sumere. Constat autem, ex methodo locali, circulum creari semper ex vequalitate, in cujus parte altera quadratum unum ignotum afficitur signo +, in altera aliud quadratum ignotum signo -.
Si sumas ad hoc exemplum inventionem duarum mediarum, erit
et
Sit
et singular tequalitatis partes æquentur Nq. in Eq.: fiet illinc
ideoque extremum E erit ad parabolen; istinc fiet
ideoque extremum E erit ad circulum.
Qui hæc adverterit, frustra qusestionem mesolabii, trisectionis angularis et similes, tentabit deducere ex planis, hoc est, per rectas et circulos expedire.
- ↑ Le texte de cet important Traité est très défiguré dans l'édition des Varia Opera de 1679, en particulier par l'adoption de la notation cartésienne des exposants. L'Isagoge, qui renferme les élements de la Géométrie analytique moderne, et notamment uno discussion de l'equation génerale du second degre a deux inconnues, a cependant été rédigee et même, d'apres l'article du Journal des Savants du 9 fevrier 1665, communiquée par Fermat avant l'apparition de la Geométrie de Descartes. D'un autre c6t6, il est aisé de se convaincre que Fermat est toujours resté fidele aux errements de Viète et n'a jamais fait usage dans ses écrits de la notation des exposants, sauf pour des cas exceptionnels, comme lorsqu'il faisait allusion aux travaux de Descartes. L'existence, dans le portefeuille 1848 I de la collection Ashburnham, d'une ancienne copie de l'lsaoge a permis de r6tablir en toute suret6 la notation employee par Fermat et d'éliminer certaines additions faites a son texte sur le manuscrit qui avait servi pour 1'édition des Varia.
- ↑ Pappus, 6d. Hultsch, page 636, lignes 22 et 23.
- ↑ Voir plus haut, page 24, note I.
- ↑ La démonstration mise entre crochets est suspecte à divers titres; si elle n'a pas été interpolée, on ne peut quère la considérer que comme un reste d'une premiere rédaction de Fermat.
- ↑ Voir plus haut, pages 29 et 30, note 2.
- ↑ Voir plus haut, p. 27, la note sur le sens qu'il faut attribuer à cette proposition d'Apollonius.
- ↑ Construisez : ZO, æqualis ipsi ZM, applicetur semicirculo VOZ, descripto super VZ. Fermat veut dire que, dans le demi-cercle VOZ, il faut inscrire une corde ZO égale à ZM.
- ↑ Voir page 132 de l'édition de Schooten. Il s'agit de la methode aujourd'hui vulgaire.
- ↑ Commentaire sur le Traité de la sphère et du cylindre, II, 2, dans les OEuvres d'Archimède; édition Torelli, page 142; édition Heiberg, vol. 1Il, pages 93-99. Ces deux constructions sont attribuées par Eutocius a Ménechme, l'inventeur presumé des coniques.
- ↑ De emendatione æquationum, Cap. VI, pages 14o et suivantes de 1'édition de Schooten. II s'agit de la solution algébrique des équations du quatrième degré.
- ↑ De emendatione æquationum, Cap. I, pages 130 et suivantes de l'édition de Schooten.