Œuvres de Fermat/I/Questions de Cavalieri

Pierre de Fermat

Questions de Cavalieri.

Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul Tannery, Gauthier-Villars, 1891, 1 (p. 195-198).

AD BON, CAVALIERII QUAESTIONES RESPONSA^[1],

Dudum est ex quo, ad similitudinem paraboles Archimedes, reliquas in isfinitum quadravimus in quibus abscisse a diametro sunt inter se ut qucevis applicatarum polestates. Hanc scientiam, primis jam olim a nobis adinventam, Domino de Beaugrand aliisque communicavimus; fatendum tamen Dominum de Roberval, qui nobis indicantibus hujusmodi quæstiones est aggressus, earum solutiones suopte ingenio, quod perspicax et in his scientiis felicissimum habet, reperiisse.

Sed et pariter quoque centra gravitatunm in his figuris et ab ipsis compositis deteximus, idque methodo nobis peculiari^[2], cujus etiam beneficio tangentes in lineis quibuscumque curvis, ipsarumque asymptotos, itno et qusecumque ad inventionem maximam et minimat pertinent problemata, feliciter construximus.

Sed ad rem: quærit eruditissimus Bonaventura Cavalieri quid de prædictis quadrationibus sit definiendumn. Huic operi regulam generalem aptavimus, cujus ope non tantum quando partes diametri cum potestatibus applicatarum conferuntur, solutionem damus, sed et quum qu'elibet partium diametri potestates cum quibuslibet applicatarum potestatibus comparantur: ita enim generaliter pronuntiamus.

Sit figura quasvis parabolica, si placet, EAF (fig. 111), sitque, exempli causa,

ut cubus CA ad cubum BA, ita quadratoquadratum EC ad quadratocluadratum DB.

Sumo exponentes potestatum tam in applicatis quam in diametro. Exponens quadratoquadrati est 4 in applicatis, exponens cubi in diametro est 3.

Fig. 111.

Aio igitur parallelogrammum EH esse ad figuram EAF ut summa exponentium ambarum potestatum ad exponentem potestatis applicatarum. Erit igitur in hoc exemplo

parallelogrammum ambiens ad figuram EAF ut 7 ad 4.

Hinc patet, si sit, verbi gratia,

ut quadratoquadratum EC ad quadratoquadratum DB, ita CA simpliciter ad AB,

quum exponens lateris sit unitas, ideo

parallelogrammum ad figuram hoc casu esse ut 5 ad 4. Nec est dissimilis in omnibus omnino hujusmodi figuris in infinitum

progressus.

Verum igitur est quod dubitanter proponebat Vir doctissimus, nempe quum potestates applicatarum cum longitudine tantum portionum diametri, sive, ut loquuntur analyste, cum latere conferuntur:

	trianguli duplilm,
	ad parabolen ut 3 ad 2,
parallelogrammum esse	ad parabolen cubicam ut 4 ad 3,
	ad quadratoquadraticam ut 5 ad 4,
	etc., in infinitum.

Sed si, manente recta CA, figura circumducatur ut fiat solidum, invenietur proportio cylindri EH ad hujusmodi solidum, hoc pacto

Summa dupli exponentis potestatis in diametro et exponentis potestatis in applicatis semel sumpti, ad exponentem potestatis in applicatis est ut cylindrus ad solidum.

Exemplum: esto

ut cubus EC ad cubumn DB, ita quadratum CA ad quadratum BA.

Exponens quadrati in diametro est 2, cujus duplum 4; junctum 3, exponenti potestatis in applicatis semel sumpto, facit 7:- est igitur

ut 7 ad 3 (exponentem potestatis in applicatis), ita cylindrus ad solidurn.

Quo posito, secundwe questioni fit satis.

Centra gravitatum, in omnibus hujusmodi figuris, tam planis quam solidis, secant diamietros in proportione vel parallelogrammi ad figuram planam, vel cylindri ad solidum.

Sed, si figura circumvolvatur circa EF, fit jam solidumn non simplex, ut superiora, sed compositum. Ejus tamen proportio ad cylindrum ambientem facillime ex simplicibus accuratus Geometra derivabit, imo et ipsam centri gravitatis positionem. Quc tamen omnia, si placeat Domino Bonaventuræ, demonstrative et prolixius exsequemur. Dum quaerit an curvae ultra triangulum et parabolen^[3] possint esse conicæ sectiones, non videtur meminisse singularum proprietatis: tam enim hoc < est> impossibile quam sectionem sphæræ per planun dare parabolas aut hyperbolas aut ellipses.

Ut, horum vice, problemata quaseam ex Italia communicet, ex animo rogamus.

1. Inédit, d'après deux copies, sans titre (l'une ancienne, l'autre d'Arbogast), dans les manuscrits du prince Boncompagni. - Ce morceau, adresse a Cavalieri par l'intermédiaire de Mersenne avant 1644, resume les premiers travaux de Fermat sur les quadratures et cubatures, travaux dont il n'a d'ailleurs developpe plus tard qu'une partie dans son dernier Traité: De aequationum localiumn transmutatione, etc.

   Mersenne a reproduit presque textuellement la plus grande partie de ce morceau dans la Praefatio ad Mechanica, IV, de ses Cogitata Physicomathemnatica, où, venant de parler des quadratures obtenues par Roberval, qu'il appelle noster Geometra, il s'exprime ainsi sur les travaux de Fermat:

   « Generalem etiam regulam vir alius summus invenit qua predicta solvit, non solum quando partes diametri cum applicatarum potestatibus conferuntur, sed etiam cuim cqua,libet partium diametri potestates cum quibuslibet potestatibus applicatarum comparantur: qum quia satis commode figura præcedenti possunt eo modo intelligi quo ipse voluit, me requirente, Bonaventura Cavalliero Geometræ subtilissimo innotescere, iisdem Lector noster perfruatur. »

   II termine comme suit la reproduction du texte de Fermat (d'ailleurs sur la meme figure):

   « Si vero figura circumvolvatur circa EF, solidum quæratur, non simplex, uti superiora, sed compositum, cujus rationem ad cylindrum ambiens, et centrum gravitatis vir idem summus, et noster Geometra dudum eruare: a quibus tam omnium curvarum tangentes, quam areas, solida, et contra gravitatis omnium figurarum curvis, et rectis comprehensarum, posses accipere.»

2. Voir plus haut, page 136.
3. Cavalieri n'avait sans doute posé la question que sur les courbes dont il est parlé plus haut.