Œuvres de Fermat/I/Problème d’Adrien Romain

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Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul TanneryGauthier-Villars1 (p. 189-194).


< AD ADRIANI ROMANI PROBLEMA >[1]


Viro Clarissimo Christiano HUGGENIO P. F. S. T.[2]

Dum Francisci Vietae[3] celebre illud Ad problema Adriani Romani responsum accuratius anno superiore examinarem, et in verba capitis sexti incidissem quibus profitetur subtilis ille mathematicus haud scire se « an ipsemet » Adrianus « ejus quam proposuit sequationis genesim et symptomata pernoverit », subvenire cepit an ipsemet quoque Vieta æquationis illius famnosœ satis generalern tradiderit aut invenerit solutionem.

Proponentis quippe Adriani Romani verba haec sunt, emendante Vieta[4]:

Detur in numeris algebricis

45 (1) - 3795 (3) + 95634 (5) - 1138500 (7)
+ 7811375 (9) - 34512075 (11) + 105306075 (13) - 232676280 (15)
+ 384942375 (17) - 488494125 (19) + 4838418000 (21) - 3786588000 (23)
+ 236030652 (25) - 117679100 (27) + 46955700 (29) - 14945040 (31)
+ 3764565 (33) - 740259 (35) + 111150 (37) - 12300 (39)
+ 945 (41) - 45 (43) + 1 (45) æqualis numero dato;

quæritur valor radicis.

Sane perquam eleganter et doctissime, suo more, quæstionem propositam abduxit Vieta ad sectiones angulares et tabulam feliciter construxit, pag. 3i8 editionis Elzevirianæ[5], ad quotlibet in infinitum terminos, methodo qua usus est, facile extendendam, cujus beneficio dignoscitur quunam sequationes ad speciales angulorum sectiones pertineant.

Si enim, in sedibus numerorum imparium, sumatur primo

1C-3N aequalis numero dato

qui non sit major binario, reducitur quaestio ad trisectionem anguli. Si deinde

1QC - 5C + 5N aequetur numero dato

qui non sit etiam binario major, reducitur quaestio ad quintusectionem anguli. Si

1QQC-7QC + 14C - 7N æquetur numero dato
qui non sit item binario major, reducitur qusstio ad septusectionem; et si tabulalm in infinitum extendas, juxta methodum a Vieta præscriptam, terminus equationis ab Adriano propositse erit quadragesimus quintus tabuls, et qumestionem ad inveniendam quadragesimam quintain anguli dati partem deducet.

Verùm observandum est in his omnibus aquationibus contingere, ut iis solum ipsarum casibus inserviant sectiones angulares et methodus Vietæ, in quibus numerus datus, cui proponitur aquandus quilibet in numeris algebricis tabule terminus, binarium non excedit, ut jam diximus: si enim numerus datus sit binario major, silet statim omne sectionum angularium mysterium et ad quwestionis proposite solutionem inefficax dignoscitur.

Proposuerat tamen generaliter Adrianus dato terminoposteriore, inve niendum esse priorem: aliunde igitur quam a Vieta et a sectionibus angularibus petendum auxilium.

Proponatur, in primo casu, iC - 3N æquari numero qui non sit binario major, reducitur qusestio ad trisectionem, ut jam indicavimus. Sed, si C - 3N aquetur 4 vel alteri cuilibet numero binario majori, tune Tequationis proposite solutionem per methodum Cardani analystas expediunt. An autem, in ulterioribus in infinitum casibus, solutiones per radicum extractionern fieri possint, nondum ab analystis tentatum fuit; quidni igitur in hac parte Algebram liceat promovere, tuis præcipue, Huggeni Clarissime, auspiciis, quem in his scientiis adeo conspicuum eruditi omnes merito venerantur [6]?

Proponatur itaque

1QC - 5C + 5N æquari numero 4

vel alteri cuilibet binario majori. Obmutescet in hoc casu methodus Vietæ; hoc itaque, ut generaliter Adriano proponenti satisfiat, confidenter pronuntiamus: in omnibus omnino tabule prsedictæ casibus, quoties numterus datus est binario major, solutiones propositte questionis per extractionem radicum commodissime dari posse.

Observavimus quippe, imo et demonstravimus, in omnibus illis casibus, quæstiones posse deduci, sicut in cubicis ad quadraticas a radice cubica, ex methodo Cardani et Viete[7], sic in quadratocubicis ad quadraticas a radice quadratocubica, in quadratoquadratocubicis ad quadraticas a radice quadratoquadcatocubica, et ita uniformi in infinitum progressu.

Sit

1C- 3N aequalis 4,

verbi gratia. Norunt omnes radicem qusesitam, ex methodo prsedicta, aequari

radici cubicwa binomii 2 -+ /3- radice cubica apotomes 2 - 3.

Sed proponatur, in exemplo Viete et Adriani,

1QC - 5C + 5N aequari 4,

vel alteri cuilibet numero binario majori.

Fingemus, perpetua et ad omnes tabulæ casus producenda' in infinitum methodo, radicemt quæsitam esse I 0 - cujus beneficio resolvendo hypostases, evanescent semper homogenea simplici per extractionem radicum questionis resolutioni contraria; et, in hoc casu ad exemplum præcedentis, radix proposita æquabitur

radici quadratocubicæ binomii 2 + -/3
raclice quadratocubica apotomes 2 - V/3.

Si

1QQC-7QC+ 4C- 7N,

qui est numerus tabule septimus apud Vietam (ad exponentern namque maximte potestatis, qui est in hoc casu 7, respicimus), æquetur similiter numero 4, fingatur, ut supra, radix quœsita esse : evanescent pariter in hoc casu homogenea omnia solutioni per extractiones radicum adversa, et radix quæsita æquabitur

radici quadratoquadratocubicte binomii 2 + /3
+ radice quadratoquadratocubica apotomes 2 - V3;

et sic in infinitum.

Quod tu, Vir Eruditissime, non solum experiendo deprehendes, sed et demonstrando, quandocumque libuerit, assequeris: ea enim est equationum ex tabula Viete derivandarum specifica proprietas, ut semper ipsarum solutiones, in iis casibus in quibus homogeneum comparationis est binario majus, simplices omnino extractionis radicum beneficio evadant.

Vel igitur numerus datus, termino tabulie analytices equandus, est binarius vel minor binario vel eoderm binario major.

Primo casu semper radix proposita est ipse binarius.

Secundo devolvitur quwestio proposita secundum Vietam ad angulares sectiones.

Tertio per nostram methodum jam expositam, hoc est per extractionem radicum, facile expeditur.

Sit itaque numerus ille analyticus Adriani superius expositus

45 (1) - 3795 (2) etc. aequalis numero 4,
radix quæsita erit
radix quadragesimae quintae potestatis binomii 2 + /3
+ radice quadragesime quintc potestatis apotomes 2 - \/3.

Nec amplius in re perspicua et jam satis exemplificata immorandum, nisi quod monendum superest: extractionem radicis quadragesima quintte potestatis, sive inventionem quadraginta quatuor mediarum proportionalium inter duas quantitates datas, expediri facillime per extractionem radicis cubicte bis factam et extractionem radicis quadratocubicsa semel: quod numeri 5 et 9, qui numerum 45 metiuntur, satis indicant: 5 enim ad radicem quadratocubicam refertur et 9 ad radicem cubicam bis sumptam: ternarius enim, qui est cubi exponens, bis ductus novenarium producit.

Ideoque, per inventionem duarum mediarum proportionalium inter duas bis factam et inventionem quatuor mediarum inter duas senel, inveniuntur quadraginta quatuor medie et quaestioni nostræ satisfit, quemadmodum Vieta inventionem sectionis anguli in 45 partes, quat est questio vel æquatio Adriani, ad equationem cubicam bis factam et ad quadratocubicam semel, sive ad duplicem trisectionem et ad unicam quintusectionem, abduxit.

Nihil de multiplicibus aequationis vel questionis propositae solutionibus adjungimus; primogenitam tantum repraesentamus, de reliquis, quarum operosior est disquisitio, alias fortasse, si otium suppetat, fusius acturi.

Vale, Vir Clarissime, et me ama.

  1. Ce morceau, qui, comme le précédent, concerne les travaux de Fermat sur Viète, a été publié par M. Ch. Henry (Recherches, etc., p. 211-213) d'après le manuscrit Huygens 30 de l'Université de Leyde.
  2. Lisez: Petrus Fermatius, senator Tolosanus.
  3. Viète, édition Schooten ou des Elzevirs, pages 305-324.
  4. De fait, Fermat ne cite exactement ici ni l'énoncé d'Adrien Romain, dont il a toutefois conservé les notations, ni la formule adoptée par Viète, page 308.
  5. Theoreme V du Traité de Viète: la Table, poussée seulement jusqu'au neuvième terme, et qui se trouve à la page 319, donne en fait le développement de 2cos nx suivant les puissances de asin x, si n est pair, ou de acos x, si n est impair. Le premier membre de 1'équation d'Adrien Romain est précisement le développement de 9 cos45x suivant les puissances de 2cosx.
  6. Lors de l'envoi par Fermat de ce travail (en 1661?), Huygens était déja célèbre, non seulement pour ses decouvertes astronomiques et son application du pendule aux horloges, mais pour ses travaux de Mathématique pure, quoiqu'on n'eut imprimé de lui que les Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli (1651) et le Traité De ratiociniis in ludo alece (1657).
  7. On sait qu'en fait la méthode de Viète (De emendatione aequationum, cap. VI) n'est pas précisement identique à celle de Cardan ou plutôt de Ferrari (Hieironiymi Carlda i.rs magnla sire de regulis algeblaicis, i545).