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Œuvres de Lagrange/Pièces diverses/Équations pour la détermination des éléments de l’orbite d’une planète ou d’une comète au moyen de trois observations peu éloignées

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ÉQUATIONS
POUR LA
DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DE L’ORBITE
D’UNE PLANÈTE OU D’UNE COMÈTE
AU MOYEN DE TROIS OBSERVATIONS PEU ÉLOIGNÉES[1].


(Astronomisches Jahrbuch oder Ephemeriden, für das Jahr 1789. Mit Genehmhaltung der Königl. Akademie der Wissenschaften berechnet und herausgegeben von J.-E. Bode, Astronom der Akademie. — Berlin, 1786.)


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Soient les positions apparentes, sur une sphère de rayon égal à l’unité, d’une comète observée à trois époques peu éloignées. Supposons, en outre, qu’au moment de la première observation, la comète soit au point et le Soleil au point qu’au moment de la deuxième, la comète soit en et le Soleil en au moment de la troisième, la comète en et le Soleil en Si l’on joint ces six points par des arcs de grand cercle, on obtient des triangles sphériques dont les côtés et les angles peuvent être calculés ou mesurés sur un globe céleste suffisamment précis.

Soit le temps écoulé entre la première et la troisième observation, et représentons ce temps par le moyen mouvement du Soleil, c’est-à-dire par la différence de longitude moyenne du Soleil en et en réduite en parties du rayon, c’est-à-dire divisée par l’arc de Dans ces conditions, si l’intervalle de temps est de jours,

3 observations rapprochées d’une comète
3 observations rapprochées d’une comète

Supposons, en outre, que l’intervalle écoulé entre les deux premières observations soit à l’intervalle de temps écoulé entre les deux dernières comme est à de telle façon que représente le premier, et le dernier de ces intervalles.

Enfin, prenons comme unité la moyenne distance de la Terre au Soleil, et désignons par les vraies distances du Soleil aux époques des trois observations, c’est-à-dire quand le Soleil occupe les positions Ces distances sont données dans les Éphémérides, et, à cause de la faible excentricité de l’orbite solaire, on pourra souvent supposer

Cela posé, soient

Soient, en outre,

Soient enfin

On a alors les trois équations

au moyen desquelles les trois quantités inconnues pourront être déterminées ; représente le rayon vecteur de la comète, ou sa distance au Soleil au moment de la seconde observation ; et servent à déterminer le grand axe de l’orbite de la comète et le paramètre de cette orbite au moyen des formules

Ces quantités une fois connues, on obtient la position dans l’orbite du périhélie au moyen de l’équation

désigne l’angle que le rayon vecteur fait avec la direction du périhélie.

Les quantités servent aussi à déterminer les distances de la comète à la Terre et au Soleil ; on a, abstraction faite des signe, pour la distance de la comète à la Terre dans la deuxième observation, dans la première, et dans la troisième. Enfin est la distance de la comète au Soleil dans la première observation, et la même distance dans la troisième observation. Au moyen de ces distances, il est aisé de trouver les autres éléments de l’orbite.

La résolution des trois équations données plus haut ne présente aucune difficulté quand est moindre que ou peu supérieur à ce qui suppose que l’intervalle entre les observations extrêmes ne dépasse pas deux mois. Dans ce cas, les séries qui représentent les quantités sont convergentes, et le sont d’autant plus que est plus petit. Si l’on néglige les termes en et ceux qui renferment de plus hautes puissances de les trois équations dont nous nous occupons contiennent les inconnues et sous forme linéaire, ce qui permet de les éliminer très-facilement et d’obtenir une équation en qui, en réalité, est d’un degré assez élevé, mais qui, dans une première approximation, peut être abaissée au huitième, en supprimant dès le début les termes en

Enfin je remarque, sur les expressions des quantités que les rapports des sinus des angles à celui de l’angle ont le signe puisque, dans la figure, les trois premiers angles sont d’un côté, et le quatrième de l’autre côté de l’arc commun au contraire, les rapports des sinus des angles au sinus de et ceux des sinus de au sinus de sont positifs, puisque les quatre premiers angles sont d’un même côté de l’arc et les quatre derniers d’un même côté de La cause de cela est que ces rapports doivent tendre vers l’unité quand les points tendent vers En tenant compte de ces remarques, on n’aura pas à craindre de se tromper au sujet des signes.


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  1. Ce Mémoire a été traduit en allemand par Schulze, et inséré dans les Éphémérides de Berlin pour l’année 1789. Ne possédant pas le Mémoire original en français, nous donnons la traduction du texte allemand. (Note de l’Éditeur.)