Œuvres de Lagrange/Pièces diverses/Formules relatives au mouvement du boulet dans l’intérieur du canon

Joseph-Louis Lagrange

Formules relatives au mouvement du boulet dans l’intérieur du canon, extraites des manuscrits de Lagrange, par M. Poisson

Pièces diverses non comprises dans les recueils académiques, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VII (p. 603-615).

FORMULES
RELATIVES AU
MOUVEMENT DU BOULET DANS L’INTÉRIEUR DU CANON
EXTRAITES DES MANUSCRITS DE LAGRANGE,
Par M. POISSON.

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(Journal de l’École Polytechnique, XXI^e Cahier, t. XIII, 1832.)

Les manuscrits de Lagrange, déposés à la bibliothèque de l’Institut, renferment des recherches sur les mouvements simultanés du boulet, du canon et de la poudre réduite en gaz, dont la rédaction n’est pas achevée, et qui n’ont point été publiés. Le résultat auquel l’Auteur parvient ne satisfait pas complétement à toutes les conditions de la question ; mais il prouve que la solution qu’on donne ordinairement de ce Problème est inexacte ; et d’ailleurs ce travail de Lagrange contient des vues nouvelles que j’ai cru utile de faire connaître. Il paraît qu’il a été entrepris en 1793 par ordre du Gouvernement. Une loi de cette époque obligeait les étrangers de sortir de France ; pour que Lagrange pût rester, on obtint un arrêté du Comité de Salut public qui le chargeait de traiter des questions de théorie, propres à éclairer la pratique, et l’on croit que ce fut là l’origine des recherches dont je vais donner une sorte de commentaire.

1. À l’origine du mouvement, la densité du gaz est la même en tous ses points, et égale à celle de la poudre. Le fluide se dilate ensuite, et pousse le boulet et le canon en sens contraire l’un de l’autre ; mais sa force de ressort est en même temps employée à transporter sa propre masse dans l’intérieur de la pièce, d’où l’on peut déjà conclure que la vitesse acquise par le boulet, quand il est parvenu à la bouche du canon, doit être moindre que si la masse du gaz était insensible, et qu’il eût cependant la même force de ressort. Pour parvenir à une détermination exacte de cette vitesse, il était donc nécessaire de considérer simultanément le mouvement du gaz et du projectile. C’est ce qu’on ne fait pas ordinairement, et ce que Lagrange a essayé de faire, ainsi qu’on va le voir.

On supposera qu’à chaque instant la vitesse, la densité et la pression sont les mêmes pour tous les points d’une même tranche du gaz, infiniment mince et perpendiculaire à l’axe du canon ; au bout du temps quelconque $t,$ compté depuis l’origine du mouvement, on représentera ces trois quantités par $\upsilon ,\rho ,p,$ relativement à la tranche dont la distance à un plan fixe et perpendiculaire à l’axe est actuellement $z$ et était $x$ à l’origine du mouvement ; en sorte que $\upsilon ,\rho ,p,z$ soient des inconnues qu’il s’agira de détermineren fonctions de $x$ et $t.$

On a d’abord

$\upsilon ={\frac {dz}{dt}}.$

L’épaisseur de la tranche que l’on considère était $dx$ à l’origine du mouvement ; elle est devenue ${\frac {dz}{dx}}dx$ au bout du temps $t\,;$ son volume a changé dans le même rapport, et sa densité en raison inverse ; si donc on appelle $\mathrm {D}$ la densité de la poudre ou du gaz à l’origine, on aura

$\rho =\mathrm {D} \left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-1}.$

D’après la loi de Mariotte, on prend ordinairement la pression $p$ proportionnelle à $\rho \,;$ mais, pour plus de généralité, Lagrange la représente par une puissance $n$ de la densité ; d’où il résulte qu’on a

$p=k\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n},$

$k$ étant la force élastique du gaz à l’origine du mouvement, laquelle force est rapportée à l’unité de surface, et peut être exprimée par un poids $g\mathrm {D} h,$ en désignant par $g$ la gravité et par $h$ une ligne d’une très-grande longueur.

Il ne restera donc plus que l’inconnue $z$ à déterminer. Or, si l’on appelle $\mathrm {A}$ l’aire de la section intérieure du canon, perpendiculaire à son axe, la force motrice de la couche fluide qui répond à $z$ sera ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {DA} dx,$ puisque sa masse est $\mathrm {DA} dx$ comme à l’origine du mouvement ; d’ailleurs la pression qui la pousse dans le sens de $z$ étant $\mathrm {A} p,$ celle qui la pousse en sens contraire s’en déduira, abstraction faite du signe, en y mettant $x+dx$ à la place de $x,$ et sera conséquemment $\mathrm {A} \left(p+{\frac {dp}{dx}}dx\right)\,;$ on aura donc

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {DA} dx=\mathrm {A} p-\mathrm {A} \left(p+{\frac {dp}{dx}}dx\right),$

ou simplement

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {dp}{dx}}=0,$

pour l’équation d’où dépendra la valeur de $z.$ En substituant la valeur de $p$ et faisant, pour abréger,

${\frac {nk}{\mathrm {D} }}=ngh=a^{2},$

elle deviendra

(1)

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}.$

Ces différentes équations sont indépendantes de l’état initial du fluide, et auront encore lieu lorsqu’à l’origine du mouvement ses différentes couches ont reçu des vitesses et éprouvé des déplacements quelconques ; en sorte que les valeurs de $z$ et ${\frac {dz}{dt}}$ qui répondent à $t=0$ soient des fonctions quelconques de $x.$ On peut vérifier, en effet, qu’elles s’accordent avec les équations connues du mouvement dans une colonne d’air dont les couches ont des vitesses et éprouvent des variations de densité qui ne sont pas supposées très-petites. Dans le cas des déplacements très-petits, $z$ diffère très-peu de $x\,;$ et, en réduisant le facteur $\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}$ à l’unité dans le second membre de l’équation (1), elle devient l’équation de la propagation du son dans un tuyau cylindrique.

2. Pour déterminer simultanément les mouvements du gaz, du boulet et du canon, il faudra joindre à l’équation (1) celles du mouvement de ces deux derniers corps. On supposera que l’action du gaz sur l’un et sur l’autre s’exerce dans une étendue égale à la section intérieure du canon, dont l’aire sera $\pi c^{2},$ en désignant par $c$ son rayon. Si donc on appelle $m$ la masse du boulet et $m'$ celle du canon, y compris l’affût qu’il entraîne avec lui ; si de plus on représente par $y$ et $\varpi ,y'$ et $\varpi '$ ce que deviennent $z$ et $p$ relativement aux deux couches extrêmes du gaz, les équations du mouvement du boulet et du canon seront

$m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\pi c^{2}\varpi ,\quad m'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=-\pi c^{2}\varpi '.$

Les valeurs de $\varpi$ et $\varpi '$ se déduiront de celle de $p$ du numéro précédent, en y mettant $y$ et $y'$ à la place de $z\,;$ et, en les substituant dans ces équations, nous aurons

(2)

$\left\{{\begin{aligned}m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\pi c^{2}k\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n},\\m'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=&-\pi c^{2}k\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}.\end{aligned}}\right.$

Je compterai les distances $x$ et $z$ à partir de la position initiale de la culasse ; alors $y$ et ${\frac {dy'}{dt}}$ se déduiront de $z$ et ${\frac {dz}{dt}},$ en y faisant $x=0\,;$ et, si l’on représente par $x$ la longueur de la charge, $y$ et ${\frac {dy}{dt}}$ se déduiront de $z$ et ${\frac {dz}{dt}},$ en y faisant $x=\alpha .$

On admet généralement qu’à l’origine du mouvement les vitesses du boulet et du canon sont nulles ou infiniment petites. C’est aussi ce que Lagrange suppose pour ces deux vitesses initiales et pour celle de la poudre réduite en gaz. Toutefois il ne serait pas impossible que, quand la masse entière du boulet commence à se mouvoir, son centre de gravité eût déjà reçu une vitesse de grandeur finie, et même une très-grande vitesse. En effet, quelque dure que soit la matière du boulet, la pression de la poudre commence d’abord par comprimer un tant soit peu sa partie postérieure ; une partie ad\sqrt{a}cette se comprime ensuite, puis une autre, et de proche en proche le mouvement parvient à la partie antérieure. Cette propagation du mouvement a lieu dans une très-petite fraction de seconde, que l’on peut évaluer à $5$ cent-millièmes, par exemple, en supposant la vitesse du son dans la matière du boulet sextuple de celle du son dans l’air, et prenant $1$ décimètre pour le calibre. Or, pendant cet intervalle de temps, le centre de gravité du projectile reçoit la même vitesse que si la pression y était immédiatement appliquée et que sa masse entière y fût concentrée ; par conséquent, lorsque cette masse enti\delta r e commencera à se déplacer, le centre du boulet aura déjà acquis une vitesse de grandeur finie. L’effet de la pression, pendant ce temps extrêmement court, est ce qu’on appelle un choc ou une percussion, c’est-à-dire une quantité de mouvement imprimée presque instantanément, et sans que le mobile se soit sensiblementdéplacé. La question est donc de savoir si l’on peut négliger, comme on le fait ordinairement, la vitesse initiale du boulet ainsi produite, ou bien si cette vitesse est une partie sensible de celle que le projectile a acquise quand il a atteint la bouche du canon. On ne peut pas décider a priori que ce dernier cas soit impossible, et c’est l’expérience seule qui nous apprendra s’il a réellement lieu ; car, pour qu’il arrivât, il suffirait, par exemple, que l’état d’incandescence du gaz de la poudre ne subsistât que pendant les premiers instants qui suivent l’inflammation, et que, dans cet état, l’action du gaz compensât son peu de durée par la grandeur de son intensité, de sorte que dans un temps qui serait, pour fixer les idées, la centième partie de la petite fraction de seconde pendant laquelle le boulet se meut dans la pièce, l’action initiale ou la percussion du gaz incandescent pût imprimer à ce projectile une vitesse comparable, égale, ou même supérieure à celle qu’il acquiert ensuite graduellement par la pression du gaz refroidi.

M. Cazaux, officier supérieur d’artillerie, a voulu prouver l’existence d’une percussion exercée par la poudre dans les premiers instants de sa réduction en gaz. Il appuie son opinion sur des considérations différentes de celles qu’on vient d’indiquer, pour montrer seulement la possibilité de cette force initiale. C’est à cette force qu’il attribue les effets de l’explosion des mines et le refoulement du métal du canon qui s’observe à l’endroit occupé par la charge et le boulet ; de cette manière, il donne une explication assez plausible de la singularité qu’ont présentée les poudres inflammables substituées à la poudre ordinaire on a reconnu qu’elles détériorent beaucoup plus les armes à feu sans communiquer néanmoins une vitesse plus grande à la balle ou au boulet.

Quoi qu’il en soit, Lagrange n’est point entré dans cette discussion, et il a supposé nulles les vitesses de toutes les parties du système à l’origine du mouvement. Ainsi l’on aura à la fois

$t=0,\quad z=x,\quad {\frac {dz}{dt}}=0,\quad {\frac {dy}{dt}}=0,\quad {\frac {dy'}{dt}}=0,$

et le problème consistera à satisfaire en même temps à ces conditions initiales et aux équations (1) et (2).

3. On pourra, si l’on veut, remplacer les équations (2), qui sont différentiellesdu second ordre, par les équations qui résultent des principes généraux du mouvement et ne sont que du premier ordre.

Pour cela, j’ajoute les équations (2) après les avoir multipliées par $dt\,;$ en intégrant ensuite, il vient

$m{\frac {dy}{dt}}+m'{\frac {dy'}{dt}}=\pi c^{2}k\int \left[\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt,$

cette intégrale commençant avec $t,$ ainsi que toutes les suivantes qui répondent à cette variable. L’équation (1) donne, par l’intégration relative à $x,$

$\int _{0}^{\alpha }{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dx=-{\frac {k}{\mathrm {D} }}\left[\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]\,;$

en multipliant par $dt$ et intégrant par rapport à $t,$ on aura, par conséquent,

$\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz}{dt}}dx=-{\frac {k}{\mathrm {D} }}\int \left[\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt\,;$

et, si l’on appelle $\mu$ la masse de la poudre, de sorte qu’on ait

$\mu =\pi c^{2}\alpha \mathrm {D} ,$

on conclura de ces équations

(3)

$m{\frac {dy}{dt}}+m'{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {\mu }{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz}{dt}}dx=0,$

ce qui résulte en effet du principe général de la conservation du mouvement du centre de gravité, appliqué au centre de gravité du boulet, du canon et de la poudre réduite en gaz.

Je multiplie la première équation (2) par $2{\frac {dy}{dt}}dt$ et la seconde par $2{\frac {dy'}{dt}}dt\,;$ je les ajoute, et j’intègre par rapport à $t,$ ce qui donne

$m{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+m'{\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}=2\pi c^{2}k\int \left[{\frac {dy}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-{\frac {dy'}{dt}}\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt\,;$

l’équation (1) donne aussi

${\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2nk}{\mathrm {D} }}\int {\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}dt\,;$

par l’intégration par partie relative à $x,$ on a d’ailleurs

$n\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}dx=$

${\frac {dy'}{dt}}\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}-{\frac {dy}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}+\int _{0}^{\alpha }{\frac {d^{2}z}{dtdx}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n}dx\,;$

à cause de $z=x$ et ${\frac {dz}{dx}}=1,$ quand $t=0,$ on a

$\int {\frac {d^{2}z}{dtdx}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n}dt={\frac {1}{1-n}}\left[\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{1-n}-1\right]\,;$

nous aurons donc

$\int n\left[\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}dx\right]dt=$

${\frac {1}{1-n}}\int _{0}^{\alpha }\left[\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{1-n}-1\right]dx-\int \left[{\frac {dy}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-{\frac {dy'}{dt}}\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt,$

et, par conséquent

$\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dx={\frac {2k}{\mathrm {D} (1-n)}}\left[\int _{0}^{\alpha }\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n}dx-\alpha \right]$

$-{\frac {2k}{\mathrm {D} }}\int \left[{\frac {dy}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n}-{\frac {dy'}{dt}}\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}\right]dt.$

En multipliant cette dernière équation par ${\frac {\mu }{\alpha }}$ ou $\pi c^{2}\mathrm {D} ,$ et l’ajoutant à l’une des précédentes, on en conclut

(4)

$m{\frac {y^{2}}{t^{2}}}+m'{\frac {y'^{2}}{t^{2}}}+{\frac {\mu }{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dx={\frac {2\pi c^{2}k}{1-n}}\left[\int _{0}^{\alpha }\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{1-n}dx-\alpha \right],$

résultat qui coïncide avec le principe général des forces vives. Dans le cas particulier de $n=1,$ on supposera d’abord $1-n$ infiniment petit, et l’on en conclura

$m{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+m'{\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mu }{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dx=2\pi c^{2}k\int _{0}^{\alpha }\left(\log {\frac {dz}{dx}}\right)dx.$

4. Dans la solution que Robins et d’autres auteurs ont donnée du Problème qui nous occupe, on suppose que la densité du gaz est la même dans toute son étendue, et qu’elle ne varie qu’avec le temps. En désignant par $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ des fonctions de $t,$ on a donc

${\frac {dz}{dx}}=\mathrm {T} ,\quad z=\mathrm {T} x+\mathrm {T} '\,;$

et si l’on détermine $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ de manière qu’on ait $z=y'$ et $z=y,$ pour $x=0$ et $x=\alpha ,$ il en résultera

$z=(y-y'){\frac {x}{\alpha }}+y',$

expression qui satisfait aussi à la condition $z=x$ quand $t=0,$ puisque alors on a $y'=0$ et $y=\alpha .$ De plus, on néglige, dans la solution dont il s’agit, la masse de la poudre par rapport à celle du boulet. Pour obtenir cette solution, je supprime donc les termes multipliés par $\mu$ dans les premiers membres des équations (3) et (4), et je substitue cette valeur de $z$ dans le second membre de l’équation (4) ; il en résulte

(5)

$\left\{{\begin{aligned}m\ {\frac {dy}{dt}}+\ m'{\frac {dy'}{dt}}\ =&0,\\m{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+m'{\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left[\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{1-n}-1\right],\end{aligned}}\right.$

et, en intégrant la première de ces deux équations, on a

$my+m'y'=m,$

ce qui fera connaître l’une des deux inconnues $y$ et $y',$ quand l’autre sera déterminée.

Pour séparer les variables dans la seconde équation (5), je fais

$y-y'=\theta ,\quad y+y'=\theta '\,;$

de sorte que $\theta$ soit, à un instant quelconque, la distance du boulet à la culasse. Les équations (5) deviennent

${\begin{aligned}&(m'-m){\frac {d\theta }{dt}}=(m'+m){\frac {d\theta '}{dt}},\\&{\frac {1}{4}}(m+m')\left({\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\theta '^{2}}{dt^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}(m'-m){\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\theta '}{dt}}={\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left({\frac {\theta ^{1-n}}{\alpha ^{1-n}}}-1\right)\,;\end{aligned}}$

en éliminant $d\theta '$ entre elles, il vient

(6)

${\frac {mm'}{m+m'}}{\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left({\frac {\theta ^{1-n}}{\alpha ^{1-n}}}-1\right),$

d’où l’on tire

$dt={\sqrt {\frac {(1-n)mm'\alpha ^{-n}}{2\pi c^{2}k(m+m')}}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}}}.$

Par la méthode des quadratures, on aura donc la valeur de $t$ relative à chaque valeur de $\theta ,$ et réciproquement, ce qui fera connaître à chaque instant la position du boulet dans l’intérieur de la pièce. Si l’on appelle $l$ sa longueur, on aura en particulier

$t={\sqrt {\frac {(1-n)mm'\alpha ^{-n}}{2\pi c^{2}k(m+m')}}}\int _{\alpha }^{l}{\frac {d\theta }{\sqrt {\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}}},$

pour le temps que le projectile emploie à atteindre la bouche du canon. Au bout de ce temps, si l’on désigne par $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} '$ les vitesses du boulet et du canon, on aura, d’après les équations (5),

${\begin{aligned}m\mathrm {V} \ \ +m'\mathrm {V} '\ \ =&0,\\m\mathrm {V} ^{2}+m'\mathrm {V} '^{2}=&{\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left({\frac {\theta ^{1-n}}{\alpha ^{1-n}}}-1\right),\end{aligned}}$

formules qui sont effectivement celles dont on se sert pour déterminer ces deux vitesses.

5. Au lieu de supprimer les termes multipliés par $\mu$ dans les équations (3) et (4), Lagrange y substitue, comme dans le second membre de l’équation (4), la valeur précédente de $z,$ savoir

$z={\frac {y-y'}{\alpha }}x+y',$

ce qui change ces équations en celles-ci

${\begin{aligned}&\left(m+{\frac {1}{2}}\mu \right){\frac {dy}{dt}}+\left(m'+{\frac {1}{2}}\mu \right){\frac {dy'}{dt}}=0,\\&\left(m+{\frac {1}{3}}\mu \right){\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\left(m'+{\frac {1}{3}}\mu \right){\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mu }{3}}{\frac {dy}{dt}}{\frac {dy'}{dt}}={\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left[\left({\frac {y-y')}{\alpha }}\right)^{1-n}-1\right].\end{aligned}}$

Or, en les comparant aux équations (5), et observant que la masse $\mu$ de la poudre est communément le tiers ou la moitié de la masse $m$ du boulet, on voit combien doit être fautive la solution du numéro précédent, et combien doivent être inexactes les valeurs de $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} '$ qui s’en déduisent. Mais, si cette comparaison suffit pour rendre sensible l’inexactitude des équations (5) celles que nous venons d’écrire ne sont pas elles-mêmes suffisamment exactes quand on veut avoir égard à la masse de la poudre ; car, lors même qu’on la suppose très-petite et qu’on ne veut conserver que la première puissance de dans le calcul, il faut substituer dans le second membre de l’équation (4) une valeur de $z$ plus approchée que la précédente.

Pour obtenir cette valeur, Lagrange fait

$z={\frac {y-y'}{\alpha }}x+y'+u,$

$u$ étant une nouvelle inconnue qu’il suppose très-petite. Après avoir mis l’équation (1) sous la forme

(7)

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {D} }{nk}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{n+1}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$

il y substitue cette expression de $z$ et il néglige les différences partielles de $u$ dans son second membre, de sorte qu’on a

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {D} }{nk}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{n+1}\left[\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\right){\frac {x}{\alpha }}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\right].$

Mais les équations (2) donnent en même temps

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\quad \ {\frac {\pi c^{2}k}{m}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n},\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=&-{\frac {\pi c^{2}k}{m'}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n}\,;\end{aligned}}$

et en substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et observant que $\pi c^{2}\alpha \mathrm {D} =\mu ,$ on aura

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}={\frac {\mu }{n\alpha ^{3}}}(y-y')\left({\frac {x}{m}}+{\frac {x-\alpha }{m'}}\right).$

D’après les conditions $z=y'$ et $z=y,$ quand $x=0$ et $x=\alpha ,$ il faut que $u$ s’évanouisse pour ces deux valeurs extrêmes de $x,$ et, cela étant, on trouve en conséquence

$u={\frac {\mu (y-y')(x-\alpha )x}{6n\alpha ^{3}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right),$

valeur qui sera effectivement très-petite, ou plutôt une très-petite partie de $z,$ lorsque la masse $\mu$ sera très-petite par rapport à $m.$ Nous aurons

(8)

$z={\frac {y-y'}{\alpha }}x+y'+{\frac {\mu (y-y')(x-\alpha )x}{6n\alpha ^{3}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right),$

pour la valeur correspondante de $z$.

Ce serait donc cette expression qu’il faudrait substituer à la place de $z$ dans le second membre de l’équation (4) ; mais on voit qu’elle ne satisfait pas à la condition $z=x$ quand $t=0,$ car pour cette valeur de $t$ on a $y'=0$ et $y=u,$ et par conséquent

$z=x+{\frac {\mu (x-\alpha )x}{6n\alpha ^{2}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right).$

Or cette valeur initiale de $z$ n’est point applicable à la question qui nous occupe elle suppose que les couches du fluide ont été déplacées suivant une certaine loi, ou, autrement dit, qu’elles ont été condensées et dilatées d’une certaine manière à l’origine du mouvement, ce qui n’a pas lieu dans le Problème du mouvementde la poudre réduite en gaz, où l’on suppose que la densité du fluide est constante dans toute sa longueur, et la même que celle de la poudre lorsqu’il commence à se mouvoir. La formule (8) est donc étrangère à la question ; mais je ferai voir tout à l’heure qu’on peut la compléter et la rendre applicable au mouvement du gaz de la-poudre, en supposant toujours la masse de ce fluide peu considérable par rapport à celle du projectile.

Cette formule se compose des deux premiers termes d’une série ordonnée suivant les puissances de $\mu ,$ qu’on peut représenter par

$z=\mathrm {Z+\mu Z'+\mu ^{2}Z''+\mu ^{3}Z'''} +\ldots .$

En la substituant dans l’équation (1), et égalant ensuite les coefficients des mêmes puissances de $\mu$ dans les deux membres, on formera une série d’équations d’après lesquelles on pourra déterminer successivement les coefficients $\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots ,$ au moyen les uns des autres, et du premier dont la valeur est $(y-y'){\frac {x}{\alpha }}+y'\,;$ mais ces équations seront très-compliquées, et, encore plus les valeurs de $\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots .$ Lagrange a aussi essayé de développer la valeur de $z$ en série ordonnée suivant les puissances de $x\,;$ mais ces différents développements ne l’ont conduit à aucun résultat satisfaisant. Il a ensuite reconnu qu’on peut satisfaire en même temps aux équations (1) et (2) par certaines valeurs de $z,y,y',$ qui ne dépendent que des quadratures : et, quoique cette solution ne remplisse pas non plus la condition $z=x$ quand $t=0,$ je crois cependant utile de la faire connaître.

6. Soit $\mathrm {X}$ une fonction inconnue de $x,$ et supposons qu’on puisse avoir exactement

$z=\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)\mathrm {X} +y'.$

Il faudra d’abord que $\mathrm {X}$ s’évanouisse avec $x,$ et qu’on ait $\mathrm {X} =\alpha$ quand $x=\alpha ,$ afin que les valeurs extrêmes de $z$ soient $y'$ et $y.$ Je désignerai par ${\text{ϐ'}}$ et ${\text{ϐ}}$ les valeurs de ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ qui répondent à $x=0$ et $x=\alpha ,$ et alors, après avoir substitué cette expression de $z$ dans les équations (1) et (2), on aura

(9)

$\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\right){\frac {\mathrm {X} }{\alpha }}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}={\frac {nk}{\mathrm {D} }}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)^{-n-1},\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ ={\frac {\pi c^{2}k}{m{\text{ϐ}}^{n}}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n},\\&{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=-{\frac {\pi c^{2}k}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n}.\end{aligned}}\right.$

Au moyen de ces deux dernières équations et de $\mu =\pi c^{2}\alpha \mathrm {D} ,$ la première devient

${\frac {1}{m{\text{ϐ}}^{n}}}\mathrm {X} +{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}(\mathrm {X} -\alpha )={\frac {n\alpha ^{2}}{\mu }}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)^{-n-1},$

et, comme elle ne renferme plus que $\mathrm {X}$ et $x,$ il s’ensuit déjà la possibilité de la forme de $z$ qu’on a supposée.

Je multiplie cette équation par $2d\mathrm {X} ,$ et j’intègre de manière que les deux membres s’évanouissentpour $x=0,$ $\mathrm {X} =0,$ ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}={\text{ϐ}}'\,;$ il vient

(10)

${\frac {1}{m{\text{ϐ}}^{n}}}\mathrm {X} ^{2}+{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}\mathrm {\left(X^{2}-2\alpha X\right)} ={\frac {2n\alpha ^{2}}{(1-n)\mu }}\left[\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)^{1-n}-{\text{ϐ}}'^{1-n}\right].$

En faisant $x=\alpha ,\ \mathrm {X} =\alpha ,\ {\frac {d\mathrm {\mathrm {X} } }{dx}}={\text{ϐ}},$ on aura

${\frac {1}{m{\text{ϐ}}^{n}}}-{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}={\frac {2n}{(1-n)\mu }}\left({\text{ϐ}}^{1-n}-{\text{ϐ}}'^{1-n}\right),$

pour l’une des deux équations qui devront servir à déterminer ${\text{ϐ}}$ et ${\text{ϐ}}'.$ En résolvant l’équation (10) par rapport à $dx,$ on a

$dx=\left[{\text{ϐ}}'^{1-n}+{\frac {(1-n)\mu }{2nm\alpha ^{2}{\text{ϐ}}^{n}}}\mathrm {X} ^{2}+{\frac {(1-n)\mu }{2nm'\alpha ^{2}{\text{ϐ}}'^{n}}}\left(\mathrm {X} ^{2}-2\alpha \mathrm {X} \right)\right]^{\frac {1}{n-1}}d\mathrm {X} ,$

d’où l’on déduira, par les quadratures, les valeurs de $x$ d’après celle de $\mathrm {X} ,$ et réciproquement. Si l’on intègre cette formule depuis $\mathrm {X} =0$ jusqu’à $\mathrm {X} =\alpha ,$ cette intégrale définie devra être égale à $\alpha ,$ ce qui fournira la seconde des équations d’où dépendront les valeurs de ${\text{ϐ}}$ et ${\text{ϐ}}'.$ Dans le cas de $n=1$ ces formules changent de forme, et, par exemple, l’équation (10)

${\frac {1}{m{\text{ϐ}}}}\mathrm {X} ^{2}+{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'}}\mathrm {\left(X^{2}-2\alpha X\right)} ={\frac {2\alpha ^{2}}{\mu }}\left({\frac {1}{\text{ϐ'}}}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right),$

d’où l’on tire

${\text{ϐ}}'dx=e^{-{\frac {\mu }{2m{\text{ϐ}}\alpha ^{2}}}\mathrm {X} ^{2}-{\frac {\mu }{2m'{\text{ϐ'}}\alpha ^{2}}}\left(\mathrm {X} ^{2}-2\alpha \mathrm {X} \right)}d\mathrm {X} ,$

en désignant par $e$ la base des logarithmes népériens.

Il reste encore $y$ et $y'$ à déterminer en fonctions de $t.$ Or, si l’on retranche l’une de l’autre les deux dernières équations (9), et qu’on mette à la place de $y-y',$ on a

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=\pi c^{2}k\left({\frac {1}{m{\text{ϐ}}^{n}}}+{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}\right)\theta ^{-n},$

et, pars l’intégration,

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}={\frac {2\pi c^{2}k}{1-n}}\left({\frac {1}{m{\text{ϐ}}^{n}}}+{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}\right)\left(\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}\right)\,;$

tirant de là la valeur de $dt,$ puis intégrant par la méthode des quadratures, on aura les valeurs de $t$ correspondantes à celles de $\theta ,$ et réciproquement. L’une des deux dernières équations (9) fera connaître ensuite les valeurs de $y$ ou $y'\,;$ mais il vaudra mieux les déduire de l’équation (3), laquelle devient

$m{\frac {dy}{dt}}+m'{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {\mu }{\alpha ^{2}}}\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy'}{dt}}\right)\int _{0}^{\alpha }\mathrm {X} dx+\mu {\frac {dy'}{dt}}=0,$

après qu’on y a mis pour $z$ sa valeur : en intégrant, on aura donc

$my+m'y'+{\frac {\mu }{\alpha }}(y-y')\int _{0}^{\alpha }\mathrm {\mathrm {X} } dx+\mu y'=\mu \alpha +\mu \int _{0}^{\alpha }\mathrm {X} dx,$

pour déterminer $y$ ou $y'$ au moyen de $\theta$ ou $y-y'.$

7. Voici maintenant comment on peut rectifier la formule (8).

Je conserve, pour abréger, $u$ à la place de sa valeur ; je désigne par une nouvelle inconnue, du même ordre de grandeur que $u,$ et je fais

$z=(y-y'){\frac {x}{\alpha }}+y'+u+\omega .$

En substituant cette valeur dans l’équation (7), je néglige ${\frac {du}{dx}}$ et ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}$ dans son second membre, où ces quantités se trouveraient divisées par $k,$ qui est toujours très-grand ; par la même raison, je néglige aussi ${\frac {d\omega }{dx}}\,;$ mais il faudra conserver ${\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}},$ parce que la différentiation relative à $t$ donne à cette quantité un facteur très-grand, qui fait disparaître le diviseur $k$. En observant d’ailleurs que la valeur de $z$ satisfait déjà à l’équation (7), abstraction faite des termes dépendants de $\omega ,$ on trouve

${\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {D} }{nk}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{n+1}{\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}}.$

Au lieu de $t$ si l’on prend une autre variable indépendante, il faudra remplacer ${\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}}$ par

${\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\omega d.dt^{2}}{dt^{4}}}.$

et, si cette autre variable est $\theta$, il suffira, au degré d’approximationoù nous nous arrêtons, de prendre pour $dt^{2}$ sa valeur donnée par l’équation (6). On en déduit

${\begin{aligned}&dt^{2}={\frac {(1-n)mm'\alpha ^{-n}}{2\pi c^{2}k(m+m')}}{\frac {d\theta ^{2}}{\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}},\\ad.&dt^{2}=-{\frac {(1-n)mm'\alpha ^{-n}}{2\pi c^{2}k(m+m')}}{\frac {\theta ^{-n}d\theta ^{3}}{\left(\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}\right)^{2}}},\end{aligned}}$

ce qui change l’équation précédente en celle-ci

${\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}={\frac {2\mu (m+m')\theta ^{n+1}}{nmm'\alpha ^{2}}}\left({\frac {\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}{1-n}}{\frac {d^{2}\omega }{d\theta ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\theta ^{-n}{\frac {d\omega }{d\theta }}\right).$

La valeur de $\omega$ qui s’en déduira devra en outre s’évanouir pour $x=0$ et $x=\alpha ,$ puisque alors $z$ doit coïncider avec $y$ et $y'\,;$ or on remplit cette condition et l’on satisfait à cette équation en prenant

$\omega =\sum q_{i}\varphi _{i}\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }},$

$i$ étant un nombre entier et positif, $q_{i}$ une constante indéterminée qui pourra dépendre de $i,$ $\varphi _{i}$ une fonction de $\theta$ et $i$ déterminée par l’équation

(11)

${\frac {i^{2}\pi ^{2}}{\alpha ^{2}}}\varphi _{i}+{\frac {2\mu (m+m')\theta ^{n+1}}{nmm'\alpha ^{2}}}\left({\frac {\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}{1-n}}{\frac {d^{2}\varphi _{i}}{d\theta ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\theta ^{-n}{\frac {d\varphi _{i}}{d\theta }}\right)=0,$

et la caractéristique $\sum$ désignant une somme relative à $i,$ qui s’étendra depuis $i=1$ jusqu’à $i=\infty .$ À cause du coefficient indéterminé $q_{i},$ on pourra supposer que $\varphi _{i}$ se réduit à l’unité quand $\theta =\alpha \,;$ d’ailleurs, à l’origine du mouvement, pour que ${\frac {dz}{dt}}$ soit zéro, il faudra que ${\frac {d\varphi _{i}}{d\theta }}$ le soit aussi ; on déterminera donc les deux constantes arbitraires qui seront contenues dans l’intégrale complète de l’équation (11), de sorte qu’on ait simultanément

$\theta =\alpha ,\quad \varphi _{i}=1,\quad {\frac {d\varphi _{i}}{d\theta }}=0\,;$

de cette manière $\varphi _{i}$ sera une fonction entièrement déterminée de $i$ et $\theta ,$ et il ne restera plus qu’à trouver l’expression de $q_{i}.$

Or, la condition $z=x,$ quand $t=0$ ou $\theta =\alpha ,$ exige que la quantité $u+\omega$ soit alors égale à zéro ; d’où l’on conclut

(12)

$\sum q_{i}\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }}={\frac {\mu (\alpha -x)x}{6n\alpha ^{2}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right),$

équation qui devra subsister pour toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=u,$ en y comprenant les deux extrêmes ; mais d’après une formule connue et due à Lagrange, on a pour toutes ces valeurs

$f(x)={\frac {2}{\alpha }}\sum \int _{0}^{\alpha }\left(\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }}\sin {\frac {i\pi x'}{\alpha }}\right)f(x')dx',$

$i$ étant un nombre entier et positif auquel répond la somme $\sum$ qui s’étend depuis $i=1$ jusqu’à $i=\infty ,$ comme précédemment, et $f(x)$ désignant une fonction quelconque de $x,$ pourvu qu’elle s’évanouisse aux deux limites $x=0$ et $x=\alpha .$ On peut donc prendre successivement

$f(x)=x\left(\alpha ^{2}-x^{2}\right),\quad f(x)=x\left(\alpha -x\right)(x-2\alpha )\,;$

et, comme on a

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\alpha }\left(\alpha ^{2}-x'^{2}\right)x'\sin {\frac {i\pi x'}{\alpha }}dx'=-{\frac {6\alpha ^{4}}{i^{3}\pi ^{3}}}\cos i\pi ,\\&\int _{0}^{\alpha }(\alpha -x')(x'-2\alpha )x'\sin {\frac {i\pi x'}{\alpha }}dx'=-{\frac {6\alpha ^{4}}{i^{3}\pi ^{3}}},\end{aligned}}$

il en résultera

${\begin{aligned}&x\left(\alpha ^{2}-x^{2}\right)=-12\sum {\frac {\alpha ^{3}}{i^{3}\pi ^{3}}}\cos i\pi \sin {\frac {i\pi x}{\alpha }},\\&x(\alpha -x)(x-2\alpha )=-12\sum {\frac {\alpha ^{3}}{i^{3}\pi ^{3}}}\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }},\end{aligned}}$

valeurs que je substitue dans l’équation (12), et d’où je conclus, par la comparaison des termes semblables dans les deux membres,

$q_{i}=-{\frac {2\mu x}{n\pi ^{3}i^{3}}}\left({\frac {\cos i\pi }{m}}+{\frac {1}{m'}}\right).$

Il résulte de cette analyse qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {U} ={\frac {(y-y')(x-\alpha )}{6n\alpha ^{3}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right)$

$-{\frac {2\alpha }{n\pi ^{3}}}\sum \left({\frac {\cos i\pi }{m}}+{\frac {1}{m'}}\right){\frac {\varphi _{i}}{i^{3}}}\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }},$

la valeur rectifiée de $z$ qu’il s’agissait d’obtenir sera

$z=(y-y'){\frac {x}{2}}+y'+\mu \mathrm {U} .$

On la substituera dans les équations (3) et (4), et l’on négligera les termes dépendants du carré de $\mu .$ Si l’on représente toujours par $l$ la longueur de la pièce, par $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} '$ les vitesses

du boulet et du canon qui répondent à $x=l,$ et par $\psi$ la valeur correspondante de ${\frac {d\mathrm {U} }{dx}},$ on aura de cette manière

$\left(m+{\frac {1}{2}}\mu \right)\mathrm {V} +\left(m'+{\frac {1}{2}}\mu \right)\mathrm {V} '=0,$

$\left(m+{\frac {1}{3}}\mu \right)\mathrm {V} ^{2}+\left(m'+{\frac {1}{3}}\mu \right)\mathrm {V} '^{2}+{\frac {1}{3}}\mathrm {VV} '=$

${\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left[\left({\frac {l}{\alpha }}\right)^{1-n}-1+(1-n)\left({\frac {l}{\alpha }}\right)^{-n}\mu \psi \right].$

En éliminant $\mathrm {V} '$ entre ces deux équations, on en déduira ensuite une valeur de la vitesse $\mathrm {V}$ du boulet à la bouche du canon, qui sera d’autant plus approchée que le poids de la charge aura été plus petit par rapport à celui du projectile.

Toute la question se trouve ainsi réduite à la détermination de la quantité $\varphi _{i}$ en fonction de $i$ et $\theta ,$ laquelle dépend de l’équation (11), qui ne peut s’intégrer que par les méthodes d’approximation.