MÉMOIRE
SUR LA
THÉORIE DU MOUVEMENT DES FLUIDES.
(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1781.)
Depuis que M. d’Alembert a réduit à des équations analytiques les vraies lois du mouvement des fluides, cette matière est devenue l’objet d’un grand nombre de recherches qui se trouvent répandues dans les Opuscules de M. d’Alembert, et dans les Recueils de cette Académie et de celle de Pétersbourg. La Théorie générale a été beaucoup perfectionnée dans ces différentes recherches ; mais il n’en est pas de même de la partie de cette Théorie qui concerne la manière de l’appliquer aux questions particulières. M. d’Alembert paraît même porté à croire que cette application est impossible dans la plupart des cas, surtout lorsqu’il s’agit du mouvement des fluides qui coulent dans des vases.
Après avoir soigneusement étudié tout ce qui a déjà été écrit sur la Théorie rigoureuse du mouvement des fluides, je me suis appliqué à lever, ou du moins à diminuer les difficultés qui ont retardé les progrès de cette Théorie, et ont obligé les Géomètres à se contenter, pour la solution des Problèmes les plus simples, de méthodes indirectes, ou fondées sur des suppositions précaires. C’est ce qui a occasionné les Recherches dont je vais donner le résultat dans ce Mémoire.
SECTION PREMIÈRE.
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ÉQUATIONS FONDAMENTALES DU MOUVEMENT DES FLUIDES.
1. Soit une masse quelconque de fluide que l’on considérera comme composée d’une infinité de particules
et soient
les coordonnées rectangles de chaque particule
les vitesses de cette particule parallèlement aux mêmes coordonnées et dans le sens dans lequel ces coordonnées augmentent ; et enfin
le temps écoulé depuis le commencement du mouvement. Ces quantités
devant appartenir, en général, à chaque particule et à chaque instant du mouvement, ne peuvent être que des fonctions des variables
et c’est de la détermination de ces fonctions que dépend celle du mouvement du fluide.
Ces fonctions étant connues, on aura, pour le mouvement de chaque particule, les équations
![{\displaystyle dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6498e8c4b4e7f3a4129aa8a4c657a1e32cc1c9e)
lesquelles, étant intégrées, donneront les valeurs de
exprimées en
et en trois constantes arbitraires
dépendantes du lieu initial de la particule ; ainsi l’on connaîtra le lieu de chaque particule du fluide après un temps quelconque.
Si l’on chasse
de ces équations, on aura ces deux-ci
![{\displaystyle pdy=qdx,\quad pdz=rdx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f884119a2300d755b591e51bd922591a0ff0e7fb)
lesquelles expriment la nature des différentes courbes dans lesquelles tout le fluide se meut à chaque instant, courbes qui changent de place et de forme d’un instant à l’autre.
2. Maintenant, à cause de la continuité du fluide, on peut imaginer que chaque particule
ait la figure d’un parallélépipède rectangle, et que son volume soit par conséquent exprimé par
en supposant que
soient les côtés du parallélépipède et représentent les variations des coordonnées
pour les particules adjacentes, dans la direction de ces coordonnées.
Si donc on nomme
la densité de chaque particule
on aura
![{\displaystyle dm=\Delta \delta x\delta y\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1422055f8c8572754a53a26b075b295e942c0137)
et la quantité
devra être pareillement une fonction de ![{\displaystyle x,\,y,\,z,\,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59c5dbaeea5aaf4a98453e8895c3b104c28b5a3)
3. Dans l’instant suivant, le parallélépipède changera à la fois de place et de forme, mais la masse
demeurera la même. Pour voir ce que devient le volume, ou l’espace
on remarquera que les coordonnées
de la particule
deviennent, par le mouvement de cette particule,
(1) ; donc, faisant varier successivement dans ces dernières expressions les variables
de
les coordonnées
![{\displaystyle x+\delta x,\ y,\ z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9a1375dedf70d85c353d29336f0f28a9d44794)
de la particule adjacente dans la direction de la ligne
deviendront
![{\displaystyle x+pdt+\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)\delta x,\quad y+qdt+{\frac {dq}{dx}}dt\delta x,\quad z+rdt+{\frac {dr}{dx}}dt\delta x\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd9aa3fd73854d0dad7d196884a7a08492afae0)
ainsi le côté
lequel joint les angles du parallélépipède relatifs aux coordonnées
et
deviendra évidemment
![{\displaystyle \delta x{\sqrt {\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}dt\right)^{2}}}=\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5086434e3b0e9f1127136e0a98c50ec98863ce3a)
en négligeant les quantités infiniment petites du troisième ordre. À l’égard des deux autres côtés égaux et parallèles à
dont l’un joint les angles relatifs aux coordonnées
![{\displaystyle x,\ y+\delta y,\ z,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23aed606edadf93fa26870a80e1b41e509217cb2)
et
![{\displaystyle \quad x+\delta x,\ y+\delta y,\ z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e73139116acd887e68d589b7edef1fd7fa8500)
et l’autre joint les angles relatifs aux coordonnées
![{\displaystyle x,\ y,\ z+\delta z,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52172c2214adeb7cc66d351a328063b9e1c16540)
et
![{\displaystyle \quad x+\delta x,\ y,\ z+\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d2d450f3a154af4354044d467556b73d54cdd4)
il est visible que, pour savoir ce que deviennent ces côtés, il n’y aura qu’à augmenter, dans l’expression précédente,
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
de
![{\displaystyle \delta y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc454b7f0e03259e9c5e8568fcef1c8e6b78230)
et ensuite
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
de
![{\displaystyle \delta z\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd40ffcd72d1c7db77a6be0ed7aa18873fc3a49)
ainsi ces côtés deviendront
![{\displaystyle \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)+{\frac {d^{2}p}{dx\,dy}}dt\delta x\delta y,\quad \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)+{\frac {d^{2}p}{dx\,dz}}dt\delta x\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d08530cb3561b98dac7694e456dd0c3f3755468)
valeurs qui se réduisent à
![{\displaystyle \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af67d1af83694bf766e7e0db83028d1e89df0ba4)
en négligeant les infiniment petits du troisième ordre.
Il s’ensuit de là que les trois côtés parallèles et égaux à
du parallélépipède rectangle
deviendront dans l’instant suivant
![{\displaystyle \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4f65ae5762e7ba192f45d648dc37088e9638fe)
et seront par conséquent encore égaux entre eux. On trouvera par une
analyse semblable que les trois côtés parallèles et égaux à
se changeront en
![{\displaystyle \delta y\left(1+{\frac {dq}{dy}}dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec97c31b64d579e72389296146885943679bfa1e)
et que les trois côtés parallèles et égaux à
se changeront en
![{\displaystyle \delta z\left(1+{\frac {dr}{dz}}dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b715294f835761b8845dfff8751a11784ed9714c)
de sorte que le parallélépipède rectangle
se trouvera changé en un autre parallélépipède dont les côtés seront
![{\displaystyle \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),\quad \delta y\left(1+{\frac {dq}{dy}}dt\right),\quad \delta z\left(1+{\frac {dr}{dz}}dt\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1224daef3a215a3f2470c1ee841d10126aea19)
Or, si ces côtés étaient encore dans la direction des lignes
il n’y aurait qu’à les multiplier ensemble pour avoir la capacité du parallélépipède laquelle serait donc, en négligeant ce qu’on doit négliger,
![{\displaystyle \delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d9058b90ed7ff11d1f4301aa30dbdc081254c5)
Mais, quelle que puisse être leur déviation, il est certain qu’elle ne peut être qu’infiniment petite ; en effet le côté
![{\displaystyle \delta x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6825e5bcc2f31b254fb6c271686970e184bf29b2)
en devenant
![{\displaystyle \delta x{\sqrt {\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dz}}dt\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56401d007e0868fc557bc02a4d9eaf6978ace28a)
fera avec la ligne des
un angle dont la tangente sera égale à
![{\displaystyle \delta x{\sqrt {\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}dt\right)^{2}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2111dcbbf46c2a95a419439274de55e93a3af7a2)
divisé par
![{\displaystyle \quad \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4e685b03937aa9c95596a61bd2025fb9494682)
de sorte qu’en négligeant les infiniment petits du second ordre on aura
![{\displaystyle dt{\sqrt {\left({\frac {dq}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a962ffa8088d5b9944d8e712ab9015baf7e83d7)
pour l’expression de cet angle ; et ainsi des autres angles de déviation. D’ailleurs, de ce que le parallélépipède rectangle est celui qui a la plus grande capacité parmi tous ceux qui ont les mêmes côtés, il s’ensuit qu’en faisant varier infiniment peu les angles d’un parallélépipède rectangle, sa capacité ne saurait varier que dans une proportion qui ne différera de l’unité que par des quantités infiniment petites du second ordre, celles du premier devant disparaître par la propriété du maximum. Donc la quantité
![{\displaystyle 1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdca65d0e035d8d3d33da4339e2ce6ca5afb075)
que nous avons trouvée pour le rapport entre la capacité du nouveau parallélépipède et celle du parallélépipède primitif
ne pourra varier, en conséquence de la déviation infiniment petite de ses côtés, que de quantités infiniment petites du second ordre, lesquelles devront par conséquent être négligées vis-à-vis des termes du premier ordre
4. Ainsi la quantité
deviendra simplement dans l’instant suivant
![{\displaystyle \delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d9058b90ed7ff11d1f4301aa30dbdc081254c5)
Mais la densité
![{\displaystyle \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2)
devient en même temps (en y faisant varier
![{\displaystyle t,x,y,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9d23ab0e2c4a0d259cef52e5a053d152d305de)
de
![{\displaystyle dt,pdt,qdt,rdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1928cfffa99a3e7f2b4c5182b0a6d0549eeba6e9)
)
![{\displaystyle \Delta +{\frac {d\Delta }{dt}}dt+{\frac {d\Delta }{dx}}pdt+{\frac {d\Delta }{dy}}qdt+{\frac {d\Delta }{dz}}rdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ccce27482a822a8e369ff95c61532ff2929736)
Par conséquent la quantité
![{\displaystyle \Delta \delta x\delta y\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657f95651a1419ffa1969e9832be2932f8d7d465)
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &\delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right)\\&+\delta x\delta y\delta z\left({\frac {d\Delta }{dt}}dt+{\frac {d\Delta }{dx}}pdt+{\frac {d\Delta }{dy}}qdt+{\frac {d\Delta }{dz}}rdt\right)\ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1589a70b0b529c45bc2dbe9d4a656c048a8f55)
laquelle devant toujours être égale à
![{\displaystyle dm=\Delta \delta x\delta y\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1422055f8c8572754a53a26b075b295e942c0137)
on aura, en divisant par
l’équation
![{\displaystyle \Delta \left({\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}\right)+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r+{\frac {d\Delta }{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdff7842331535a3bf4041676ffb968b2f7ca86)
ou
![{\displaystyle {\frac {d(\Delta p)}{dx}}+{\frac {d(\Delta q)}{dy}}+{\frac {d(\Delta r)}{dz}}+{\frac {d\Delta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b764f1fe5a740c165cab1d6c8c7756a2c2825b)
C’est la première équation fondamentale de la Théorie du mouvement des fluides ; et comme elle est relative à la densité du fluide, elle peut être nommée en général l’équation de la densité.
5. Lorsque le fluide est incompressible, la densité de chaque particule
ne varie point d’un instant à l’autre ; ainsi il faudra que l’on ait dans ce cas
![{\displaystyle {\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd211a51cde8af008d12d8c2a3866f076e8d8f38)
et l’équation précédente se réduira alors à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dz}}+{\frac {dr}{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c2d84ff9aca91de90a8bbed39d60dbc3b02dd2)
Donc pour les fluides incompressibles l’équation de la densité se décompose en deux de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r=0,\\&{\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cb94c319eca5fc4710f98968b7300801eaa96b)
dont la première sert à déterminer la densité en fonction de
et la seconde renferme la condition de l’incompressibilité du fluide, et peut être nommée en conséquence équation de l’incompressibilité.
6. Considérons présentement l’effet des forces accélératrices qui agissent
sur le fluide.
Soient
les forces par lesquelles chaque point du fluide est sollicité parallèlement aux coordonnées
et dans le sens suivant lequel ces coordonnées augmentent. Si l’on suppose d’abord le fluide en repos et en équilibre en vertu de ces forces, il faudra, par les principes connus de l’équilibre des fluides, que la quantité
![{\displaystyle \Delta \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654dba5f67619ef79ee86fdd5b0b2955a14597b8)
soit une différentielle exacte par rapport à
et son intégrale exprimera la pression du fluide sur le point qui répond aux coordonnées
pression qui sera ainsi représentée par une fonction finie de ces mêmes variables.
Si donc on nomme en général cette pression produite par les forces
on aura, dans le cas où le fluide doit être en équilibre en vertu de ces forces,
![{\displaystyle d\Pi =\Delta \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8858a23216dc7cff244c1cab79396259da03d406)
équation qui doit ètre intégrable d’elle-même, et dont les conditions de l’intégrahilité donneront celles auxquelles doivent être soumises les forces données pour l’existence de l’équilibre.
À la surface extérieure la pression
doit être nulle, lorsque le fluide est libre ; mais si le fluide est pressé par une force quelconque donnée, il faut que cette force soit balancée par la même pression
. Ainsi la valeur de la fonction
sera donnée à la surface du fluide, ce qui fournira une équation entre les variables
laquelle déterminera la figure de cette surface dans l’état d’équilibre.
7. Supposons maintenant que le fluide animé des mêmes forces
soit en mouvement, et que chaque particule
ait les vitesses
fonctions de
(1). Dans l’instant suivant le temps
devient
et les coordonnées
de la particule
deviennent
à cause du mouvement de cette particule. Donc les variations des quantités
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {dp}{dt}}+p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dp}{dy}}+r{\frac {dp}{dz}}\right)dt,\\&\left({\frac {dq}{dt}}+p{\frac {dq}{dx}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dq}{dz}}\right)dt,\\&\left({\frac {dr}{dt}}+p{\frac {dr}{dx}}+q{\frac {dr}{dy}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bc646d249cd9e3d2421cf6d66d1fba888bdb1a)
Or, par les principes de la Mécanique, ces variations étant divisées par l’élément
du temps donnent les forces accélératrices capables de les produire, lesquelles doivent être par conséquent équivalentes aux forces
qui agissent réellement sur le fluide. Donc les premières dirigées en sens contraire doivent faire équilibre à ces dernières ; d’où il s’ensuit que le fluide étant animé dans chaque point par les forces accélératrices
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}},\\&\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}},\\&\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1c3ba64696b3251ad1b7db4cb0318e9aab08a6)
dirigées suivant les lignes
dans le sens où ces lignes augmentent, devra être en équilibre de lui-même.
Ainsi, en nommant la pression qui naît de toutes ces forces dans chaque point du fluide, on aura (6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\Pi &=\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)dx\\&+\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right)dy\\&+\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right)dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a54a8c48054f3c44b56f35b2bbd156be462bd3)
équation qui devra pareillement être intégrable par rapport aux variables
le temps
étant regardé comme constant.
C’est la seconde équation fondamentale du mouvement des fluides, et
qui peut être nommée équation de la pression.
8. L’intégrabilité de cette équation donne (en regardant
comme une fonction finie de
) ces trois équations partielles
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Pi }{dx}}&=\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right),\\{\frac {d\Pi }{dy}}&=\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right),\\{\frac {d\Pi }{dz}}&=\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a1a77fb2da210c06f4ba008448e7cb0989d6fb)
Or dans les fluides compressibles la densité
est toujours donnée par une fonction connue de
dépendante de la loi de l’élasticité du fluide et de celle de la chaleur qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l’espace. Ainsi, combinant les trois équations précédentes avec l’équation générale de la densité (4), on aura quatre équations aux différences partielles entre les quatre inconnues
et les variables
lesquelles équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides compressibles et élastiques.
9. Pour les fluides incompressibles nous avons vu (5) que l’on a deux équations, l’une relative à la loi de la densité, l’autre relative à la condition de l’incompressibilité.
Or, éliminant la quantité
des trois équations du numéro précédent, on a ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\left[\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)\right]}{dy}}&={\frac {\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right)}{dx}},\\{\frac {d\left[\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)\right]}{dz}}&={\frac {\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right)}{dx}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104337be2451a5224ab0c7857836335e728d5092)
lesquelles étant combinées avec les deux dont nous venons de parler, on aura de nouveau quatre équations aux différences partielles entre les inconnues
et les variables
et ces équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides incompressibles.
10. Les équations que nous venons de donner étant aux différences
partielles, leurs intégrales renfermeront nécessairement des fonctions
arbitraires des variables
et la détermination de ces fonctions dépendra de l’état initial du fluide, c’est-à-dire des valeurs de
lorsque
et des conditions particulières auxquelles la surface même du fluide devra être assujettie pendant le mouvement.
On suppose tacitement dans la Théorie du mouvement des fluides que les particules, qui sont une fois à la surface du fluide, y restent toujours pendant tout le mouvement. Cette condition paraît en effet nécessaire pour que le fluide ne se divise pas, mais forme toujours une masse continue ; cependant nous verrons qu’il y a des cas où elle ne doit pas avoir lieu.
Soit, en général,
![{\displaystyle \mathrm {A} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854c5ae9ae556fa9e11c6fa88196bcfae01008c7)
l’équation de la surface du fluide,
étant une fonction de
Puisque par le mouvement du fluide les coordonnées
d’une particule quelconque deviennent
tandis que le temps
devient
(1), pour que les mêmes particules se trouvent encore à la surface après l’instant
il faudra que l’équation
ait lieu également en y mettant ![{\displaystyle x+pdt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5e13f8d102504f4307cb6151e5c551973d24e7)
à la place
de
![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Mais par ces substitutions il est visible que
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
devient
![{\displaystyle \mathrm {A} +{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}dt+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}pdt+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}qdt+{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}rdt\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9c800efe5594664272faaa02b42b794dbd43e2)
donc on aura, pour la condition dont il s’agit, l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3a94b935f1acb21dd3d6af60dbb86bc6503229)
laquelle devra par conséquent avoir lieu en même temps que l’équation
de la surface.
Si le fluide est contenu par des parois d’une figure donnée, il est clair que la partie de la surface du fluide, laquelle sera contiguë à ces parois, devra avoir la même figure que les parois ; ainsi l’équation
devra être celle de la figure donnée des parois.
Mais, dans les endroits où la surface du fluide sera libre, il faudra que la pression
y soit nulle ; et si le fluide y était comprimé à l’extérieur par des forces quelconques données
il faudrait que ces forces fussent égales et de direction contraire aux pressions
Ainsi on aura dans le premier cas
et dans le second
pour l’équation de la surface libre du fluide.
Désignant donc, en général, ces équations par
on prendra
à la place de
et l’on aura, pour la condition que les mêmes particules du fluide soient toujours à la surface, l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {B} }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeceb6ae2de932a330360ee305109714fe9cf93c)
laquelle devra subsister en même temps que l’équation
et par conséquent appartenir à la même surface courbe.
11. L’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3a94b935f1acb21dd3d6af60dbb86bc6503229)
est intégrable par la méthode générale que j’ai donnée pour ces sortes
d’équations dans les
Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin de 1779
[1]. Suivant cette méthode il faut intégrer les quatre équations
![{\displaystyle dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt,\quad d\mathrm {A} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8cf57118032a43d9eebda5736e2d4295dd48d0)
et, nommant
les quatre constantes arbitraires, on aura
![{\displaystyle h=f(a,b,c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fa31be126296ad1bb88c593aa193273ec37c68)
pour l’intégrale de la proposée, dans laquelle il faudra mettre pour
leurs valeurs en
la caractéristique
dénotant une fonction quelconque de
L’équation
donne d’abord
ainsi l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} =f(a,b,c),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761c350953b57cad6f13eb6d392b68919628a51b)
les quantités
étant les trois constantes arbitraires qui entreront dans les intégrales des équations
![{\displaystyle dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cab78362245f8a719858fae81251c2bc6768bd2)
ou plutôt les valeurs de ces constantes en
déduites de ces intégrales. Or nous avons vu dans le no 1 que ces intégrales servent à déterminer les valeurs des coordonnées
de chaque particule pour un temps quelconque
et que les constantes arbitraires
dépendent du lieu initial de la particule. Ainsi 1"équation
![{\displaystyle \mathrm {A} =f(a,b,c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be1d347d778734cb63cde844c763a81cf85f75f)
indique que la quantité
regardée comme une fonction de
doit être telle, que si l’on y substitue pour
leurs valeurs en
et en
elle devienne une fonction de
sans
c’est-à-dire que
s’évanouisse. C’est aussi ce qu’on peut démontrer à priori par le raisonnement suivant.
Puisque
est l’équation de la surface du fluide,
étant une fonction des coordonnées
et du temps
qui est comme le paramètre variable de cette surface ; il s’ensuit que, si l’on y substitue pour
leurs valeurs en
et
et qu’on suppose pour plus de simplicité que
soient les valeurs de
lorsque
c’est-à-dire les coordonnées initiales de chaque particule, il s’ensuit, dis-je, que l’équation
sera entre ces coordonnées
et le temps
et représentera par conséquent la surface que formaient dans l’état initial les mêmes particules, qui après le temps
forment la surface représentée par l’équation donnée
entre
Donc, pour que les particules qui sont une fois à la surface y demeurent toujours, il faudra que l’équation
entre
représente la surface initiale du fluide, et ne contienne par conséquent point le temps
Par conséquent, si la surface initiale est connue, en sorte que pour cette surface on ait
exprimé par une fonction donnée de
et
et qu’on substitue cette valeur de
dans l’équation
l’équation résultante devra subsister d’elle-même, c’est-à-dire indépendamment d’aucune relation entre
donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {A} }{da}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {A} }{db}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f648326339bf3ee91ee856cc6155e9feb3b8d7af)
Ce que nous venons de démontrer à l’égard des équations
![{\displaystyle \mathrm {A} =0,\quad {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ef8137d14222b6ff81e1668a68f6d35aff5e43)
doit s’appliquer également aux équations
![{\displaystyle \mathrm {B} =0,\quad {\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13bb950ca324638994301e88abf4b7b652c586f)
12. Tels sont les principes et les formules générales de la Théorie des fluides. La difficulté ne consiste que dans leur application ; mais cette difficulté est si grande, que jusqu’à présent, même dans la solution des questions les plus simples, on s’est contenté d’employer des méthodes particulières et fondées sur des hypothèses très-limitées. Pour diminuer autant qu’il est possible cette difficulté, nous allons examiner maintenant comment et dans quel cas les formules générales peuvent être simplifiées ; nous en ferons ensuite l’application au mouvement des fluides dans des vases ou des canaux de figure quelconque.
13. Considérons d’abord l’équation de la densité trouvée dans le no 4
pour les fluides compressibles, et supposons
![{\displaystyle \Delta p={\frac {d\alpha }{dt}},\quad \Delta q={\frac {d\beta }{dt}},\quad \Delta r={\frac {d\gamma }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ecbbad0e24ae1df4e602b4e50fc246f2042d41)
en regardant les quantités ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ab677d974cccb0132cac08bd67fc8ac765627e)
comme des fonctions inconnues de
Cette équation deviendra par ces substitutions
![{\displaystyle {\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d^{2}\alpha }{dt\,dx}}+{\frac {d^{2}\beta }{dt\,dy}}+{\frac {d^{2}\gamma }{dt\,dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18cab2285ba60975a2fe87d2c5d364157686852)
laquelle est intégrable relativement à
et dont l’intégrale donnera
![{\displaystyle \Delta =\mathrm {D} -{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}}-{\frac {d\gamma }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b7c87a877923c2f52aafcde0b9571e0e2aae59)
étant une fonction arbitraire de
sans
dépendante de la densité initiale du fluide.
Ensuite on aura
![{\displaystyle p={\frac {\dfrac {d\alpha }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}},\ q={\frac {\dfrac {d\beta }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}},\ r={\frac {\dfrac {d\gamma }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ca651f7b797df48da4d430bb921c090c0d2e6c)
Donc, faisant ces substitutions dans les trois équations du no 8, et mettant pour
sa valeur donnée en
on n’aura plus à intégrer que trois équations entre les inconnues
![{\displaystyle \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ab677d974cccb0132cac08bd67fc8ac765627e)
et les variables
mais cette intégration surpassera les forces de l’analyse connue.
Si le fluide est incompressible, on considérera l’équation de l’incompressibilité (5)
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09870524d8ce0e6af8fef4abc26a4750f5f25c7)
et l’on y fera
![{\displaystyle p={\frac {d\alpha }{dz}},\quad q={\frac {d\beta }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c62d366bdfdda61e4f5567a03d22e8b1d2440a1)
ce qui la réduira à la forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dx\,dz}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy\,dz}}+{\frac {dr}{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf9f6e223c86df484920799e175bc5db93947a4)
laquelle est intégrable relativement à
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
et donne
![{\displaystyle r=-{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d00e284cb511bab8ed5698da8894e37f0eebbc)
n’étant point nécessaire d’ajouter ici aucune fonction arbitraire, à cause des valeurs indéterminées de
et
Ainsi l’équation dont il s’agit sera satisfaite par ces valeurs
![{\displaystyle p={\frac {d\alpha }{dz}},\quad q={\frac {d\beta }{dz}},\quad r=-{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb60657f3316f3771da796bf6c3e3a6d5c9fbd9)
lesquelles étant ensuite substituées dans l’équation de la densité du même no 5, ainsi que dans les deux équations du no 9, on aura de nouveau trois équations entre les inconnues ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
et les variables
et la Théorie du mouvement des fluides incompressibles sera réduite à l’intégration de ces équations ; mais cette intégration surpasse aussi les forces de l’analyse.
14. Considérons présentement l’équation générale de la pression trouvée dans le no 7, et voyons si cette équation n’est pas susceptible en elle-même de quelque simplification.
Nous supposerons ici que la densité
soit ou constante, ou simplement proportionnelle à une fonction, quelconque de la pression
ce qui est le cas de tous les fluides connus, tant qu’on y fait abstraction de la chaleur.
Nous supposerons de plus que les forces accélératrices
du fluide soient telles, que
![{\displaystyle \mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6745816ebfad3e572f6528e0ca2e37591a2c1a9)
soit une différentielle complète ; ce qui a lieu, en général, lorsque ces forces viennent d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances.
De cette manière, si l’on fait
![{\displaystyle d\mathrm {V} =\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b250429357ba5156b553bdd9ef73107b8d1938)
l’équation proposée étant divisée par
![{\displaystyle \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2)
se réduira à cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {dp}{dt}}+p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dp}{dy}}+r{\frac {dp}{dz}}\right)dx+\left({\frac {dq}{dt}}+p{\frac {dq}{dx}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dq}{dz}}\right)dy\\+&\left({\frac {dr}{dt}}+p{\frac {dr}{dx}}+q{\frac {dr}{dy}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d0ddbcff17e0802bfff4364e193b06cb1054f0)
Ainsi le premier membre de cette équation devra être en particulier une différentielle complète relativement à
puisque le second en est une.
Qu’on retranche de part et d’autre la différentielle de
![{\displaystyle {\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad145a84b8ddd9d331b686cf6793864ee4eba201)
prise relativement à
laquelle est
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dq}{dx}}+r{\frac {dr}{dx}}\right)dx&+\left(p{\frac {dp}{dy}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dr}{dy}}\right)dy\\&+\left(p{\frac {dp}{dz}}+q{\frac {dq}{dz}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dz\ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44cdf523abc45ede10cd632b27dccf38b595ef3)
on aura, en ordonnant les termes, cette transformée
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}&dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz\\&+\left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)\left(qdx-pdy\right)+\left({\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}}\right)\left(rdx-pdz\right)\\&+\left({\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\right)\left(rdy-qdz\right)\\&=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57de510245339c71129ccfc5d461131ce9698931)
Donc le premier membre de cette équation devra être pareillement une différentielle exacte.
15. Il est visible que, si l’on suppose que la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
soit elle-même la différentielle exacte d’une fonction quelconque
composée de
et
on aura
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc7caf9ea056d19821acc2d25c169c98bc40eb5)
Donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\frac {dp}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dx}},\quad &&{\frac {dq}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dy}},\quad {\frac {dr}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dz}},\\&{\frac {dp}{dy}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}},\quad &&{\frac {dq}{dx}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}},\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de639c942c3d440af44accb6c8508598c23b2f9e)
Ainsi l’équation précédente deviendra par ces substitutions
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dx}}dx+{\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dy}}dy+{\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dz}}dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b24e3753671b7cc99fb9d69cb778418b0def07)
laquelle est évidemment intégrable par rapport à
de sorte qu’en intégrant, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\mathrm {V} -\int {\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4157eaf818080263885bce86889b5173cf56ec99)
On pourrait ajouter à l’un des membres de cette équation intégrale une fonction arbitraire de
puisque la variable
a été regardée dans l’intégration comme constante. Mais j’observe que cette fonction arbitraire peut être censée renfermée dans la valeur de
en effet, si l’on augmente d’une fonction quelconque
de
le premier membre de l’équation précédente se trouvera augmenté de la fonction arbitraire
et les valeurs des quantités
demeureront les mêmes qu’auparavant. Ainsi on peut sans déroger à la généralité de l’équation se dispenser d’y ajouter aucune fonction arbitraire de
On aura donc, dans la supposition dont il s’agit, l’équation
![{\displaystyle \int {\frac {d\Pi }{\Delta }}=\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea26fd37efe4c223469a05e8bfa283dcc140159)
par laquelle on connaîtra la pression
étant supposée une fonction donnée de ![{\displaystyle \Pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258cc515d57db2d995c29082014a55edfe602396)
Et il ne restera plus qu’à satisfaire à la première équation fondamentale du no 4, laquelle, en y mettant aussi pour
leurs valeurs
deviendra
![{\displaystyle {\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dy}}\right)}{dy}}+{\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dz}}\right)}{dz}}+{\frac {d\Delta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14874721ce7052afd3a533a3a1811ae3203ffd0)
Ainsi, en substituant à
sa valeur donnée par l’équation précédente, on aura une seule équation finale en
de l’intégration de laquelle dépendra la détermination du mouvement du fluide.
16. Dans les fluides élastiques connus la densité est toujours proportionnelle à la pression ; de sorte qu’on a pour ces fluides
étant un coefficient constant qu’on déterminera en connaissant la valeur de la pression pour une densité donnée.
Ainsi pour l’air, la pression étant déterminée par la pesanteur de la colonne de mercure dans le baromètre, il est clair que, si l’on nomme
la force accélératrice de la gravité (force qui doit être exprimée, comme on sait, par le double de l’espace qu’un corps grave abandonné à lui-même parcourt dans le vide pendant le temps qu’on prend pour l’unité des temps),
la hauteur du baromètre pour une certaine densité de l’air qu’on prendra pour l’unité des densités,
le rapport numérique de la densité du mercure à celle de l’air, rapport qui est le même que celui des gravités spécifiques de ces deux fluides, il est clair, dis-je, qu’on aura pour cet état de l’air
![{\displaystyle \Pi =\rho gh,\quad \Delta =1\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225d4fca00bc224b67281e8a1067ca3b624d0898)
donc
![{\displaystyle k=\rho gh.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe38df7956ef9fad0cbc524f8155e6ef3a26128)
Faisant donc
![{\displaystyle \Pi =k\Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9703198c19bfee5f3c474e32c25234f12e43450)
on aura
![{\displaystyle \int {\frac {d\Pi }{\Delta }}=k\log \Delta \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4818a74363db7b280c54572b68f6ec92dbdeb2e4)
par conséquent la première équation du numéro précédent sera
![{\displaystyle k\log \Delta =\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f33ca980cdd28bb424072c1f2a66b2c1f49d4b)
Or la seconde équation du même numéro se réduit à cette forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\log \Delta }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\log \Delta }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\log \Delta }{dz}}+{\frac {d\log \Delta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651ff2ec74c5b1fc3b06dfdb3e06de3d64cd7e51)
Donc, substituant pour
sa valeur donnée par la première, on aura après avoir ordonné les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}\right.&\left.+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}\\&-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dx\,dt}}-2{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dy\,dt}}-2{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dz\,dt}}\\&-\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}-\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}-\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\\&-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}}-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dz}}-2{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d^{2}\varphi }{dy\,dz}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc58e3d127a9f8e77e9a8a3aa1efbdb396dc21b0)
équation qui contient seule la Théorie du mouvement des fluides élastiques dans l’hypothèse dont il s’agit.
Si le fluide est incompressible et la densité
constante, alors la pression sera donnée par l’équation
![{\displaystyle {\frac {\Pi }{\Delta }}=\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e56236f87081c91f94f486a8fb0491408ede92)
et l’équation de l’incompressibilité (5) deviendra
par la substitution de ![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03326b76143298fee50277a83d88b6e23938a7be)
au lieu de ![{\displaystyle p,q,r{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd37890e3b638a4e1c5147a81ddd04ddce9e7d2)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d16d96f46333cd11be9ae5139a595667628a256)
laquelle servira à déterminer la quantité ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
17. On voit donc que la supposition que
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
soit une différentielle exacte d’une fonction de
simplifie beaucoup
la Théorie du mouvement des fluides élastiques ou non ; ainsi il est important d’examiner dans quels cas cette supposition peut et doit avoir lieu.
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}},\quad \beta ={\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}},\quad \gamma ={\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198d8429100a37eea0c0fa912730c4feb3d852c3)
le premier membre de l’équation du no 14 deviendra de cette forme
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f4507aad912e69d760720a9ec4f82142edf761)
et la question se réduit à faire en sorte que cette quantité soit une différenitielle exacte,
étant des fonctions de
![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Supposons que
soit une quantité fort petite, il est visible qu’on pourra donner à
les formes suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=p'+p''t+p'''t^{2}+p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\q&=q'+q''t+q'''t^{2}\,+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\r&=r'+r''t\,+r'''t^{2}+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7fd52e4e869860bea59a8f0cbda227f9267232)
dans lesquelles
seront des fonctions de
sans ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Ces valeurs étant substituées dans les trois quantités
elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\alpha '+\alpha ''t+\alpha '''t^{2}+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\beta &=\beta '+\beta ''t\,+\beta '''t^{2}+\beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\gamma &=\gamma '\,+\gamma ''t\,+\gamma '''t^{2}+\gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a3663ef6d51a24d2eda965d8e250793ac0dc8b)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\alpha '&={\frac {dp'}{dy}}-{\frac {dq'}{dx}},\quad &\alpha ''&={\frac {dp''}{dy}}-{\frac {dq''}{dx}},\quad &\alpha '''&={\frac {dp'''}{dy}}-{\frac {dq'''}{dx}},\ldots ,\\\beta '&={\frac {dp'}{dz}}-{\frac {dr'}{dx}},&\beta ''&={\frac {dp''}{dz}}-{\frac {dr''}{dx}},&\beta '''&={\frac {dp'''}{dz}}-{\frac {dr'''}{dx}},\ldots ,\\\gamma '&={\frac {dq'}{dz}}-{\frac {dr'}{dy}},&\gamma ''&={\frac {dq''}{dz}}-{\frac {dr''}{dy}},&\gamma '''&={\frac {dq'''}{dz}}-{\frac {dr'''}{dy}},\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12de7694372474b2ff2030cb1ef5c25557111c27)
Ainsi la quantité
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5949a5b49a9756d6363acefd841a29503c1ef8b3)
deviendra après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport aux puissances de ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p''&dx+q''dy+r''dz+\alpha '\left(q'dx-p'dy\right)+\beta '\left(r'dx-p'dz\right)+\gamma '\left(r'dy-q'dz\right)\\+&t\ \ \left[2\left(p'''dx+q'''dy+r'''dz\right)\right.\\&\qquad +\alpha '\ \left(q''dx-p''dy\right)+\beta '\ \left(r''dx-p''dz\right)+\gamma '\ \left(r''dy-q''dz\right)\\&\qquad +\left.\alpha ''\left(q'\ dx-p'\ dy\right)+\beta ''\left(r'\ dx-p'\ dz\right)+\gamma ''\left(r'\ dy-q'\ dz\right)\right]\\+&t^{2}\left[3\left(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz\right)\right.\\&\qquad +\alpha '\ \ \left(q'''dx-p'''dy\right)+\beta '\ \ \left(r'''dx-p'''dz\right)+\gamma '\ \ \left(r'''dy-q'''dz\right)\\&\qquad +\alpha ''\ \left(q''\ dx-p''\ dy\right)+\beta ''\ \left(r''\ dx-p''\ dz\right)+\gamma ''\ \left(r''\ dy-q''\ dz\right)\\&\qquad +\left.\alpha '''\left(q'\ \ dx-p'\ \ dy\right)+\beta '''\left(r'\ \ dx-p'\ \ dz\right)+\gamma '''\left(r'\ \ dy-q'\ \ dz\right)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3af0c0b32fed599a1bd8d4bd194816752b3e66)
et, comme cette quantité doit être une différentielle exacte indépendamment de la valeur de
il faudra que les quantités qui multiplient chaque puissance de
soient chacune en particulier une différentielle exacte.
18. Cela posé, supposons que
![{\displaystyle p'dx+q'dy+r'dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0320285bbec03d9feff15b7978866b9e4b214ef1)
soit une différentielle exacte, on aura par les Théorèmes connus
![{\displaystyle {\frac {dp'}{dy}}={\frac {dq'}{dx}},\quad {\frac {dp'}{dz}}={\frac {dr'}{dx}},\quad {\frac {dq'}{dz}}={\frac {dr'}{dy}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79d93618ec06a979b05f0eba6578197d7f7d9c7)
donc
![{\displaystyle \alpha '=0,\quad \beta '=0,\quad \gamma '=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5546af23762d952a0603fa7d8dd39db08826d72a)
donc la première quantité qui doit être une différentielle exacte sera
![{\displaystyle p''dx+q''dy+r''dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20d4d2ddbc5fb59a0fce74afcf24621c8ea4818)
Il faudra donc que cette quantité soit aussi une différentielle exacte, ce qui donnera les conditions
![{\displaystyle \alpha ''=0,\quad \beta ''=0,\quad \gamma ''=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1932fb9a38ee00b9039c7f808059a630062188)
et alors la seconde quantité qui doit être une différentielle exacte se réduira à
![{\displaystyle 2\left(p'''dx+q'''dy+r'''dz\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa0ebd84e78747ae9d1271ee874e1a1d8f4685e)
Ainsi il faudra que l’on ait aussi
![{\displaystyle \alpha '''=0,\quad \beta '''=0,\quad \gamma '''=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e0979a25454974821840eefe2299450279d0bb)
de sorte que la troisième quantité qui doit être une diflérentielle exacte sera
![{\displaystyle 3\left(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9879b7a408b39aa25a9e49217cb26ea391f0c39c)
On aura donc de même
![{\displaystyle \alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\quad \beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\quad \gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86868b1f104c3e499a91d900b3881c378e6e6aea)
et ainsi de suite.
Donc, si
![{\displaystyle p'dx+q'dy+r'dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0320285bbec03d9feff15b7978866b9e4b214ef1)
est une différentielle exacte, il faudra que
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}&p''\ dx+q''\,dy+r''\ dz,\\&p'''dx+q'''dy+r'''dz,\\&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bad105a3b5e6963c4c42c193fb296b22fe1786)
soient aussi chacune en particulier des différentielles complètes. Par conséquent la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
sera elle-même une différentielle complète, le temps
étant supposé fort petit.
19. Il s’ensuit de là que, si la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
est une différentielle exacte lorsque
![{\displaystyle t=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ff4c2b109c38fe7038da6238ae875f4d37e643)
elle devra l’être aussi lorsque
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
aura une valeur quelconque très-petite ; d’où l’on peut conclure, en général, que cette quantité devra être toujours une différentielle exacte, quelle que soit la valeur de
![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Car puisqu’elle doit l’être depuis
![{\displaystyle t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c)
jusqu’à
![{\displaystyle t=\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d5b5c1ad1cfe21654164063dfd2772dcb3704e)
(
![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
étant une quantité quelconque donnée très-petite), si l’on y substitue partout
![{\displaystyle \theta +t'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96593777bff3093832226ef48b590138b3291cc6)
à la place de
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
on prouvera de même qu’elle devra être une différentielle exacte depuis
![{\displaystyle t'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485223d4a356b062533d406614af224efa771628)
jusqu’à
![{\displaystyle t'=\theta \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5ed92ca65e27943c3e133c359b6e1215a02c8c)
par conséquent elle le sera depuis
![{\displaystyle t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c)
jusqu’à
![{\displaystyle t=2\theta \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30a1550dfba2a63be8bc8e617477ef44fa36827)
et ainsi de suite.
Donc, en général, comme l’origine des
est arbitraire, et qu’on peut prendre également
positif ou négatif, il s’ensuit que si la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra l’être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement ; car si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier.
20. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors
![{\displaystyle p=0,\quad q=0,\quad r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76de46f9cf59339da6bfa66d935db20755adf490)
lorsque
donc
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
sera intégrale pour ce moment, et par conséquent devra l’être toujours pendant toute la durée du mouvement.
Mais, s’il y a des vitesses imprimées au fluide au commencement du
mouvement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront
telles, que
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
soit une quantité intégrable ou non ; dans le premier cas la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
sera toujours intégrable, et dans le second elle ne le sera jamais.
Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, on peut démontrer que
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
doit être intégrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses
que chaque point du fluide reçoit en vertu de l’impulsion donnée à la surface, soient telles, que si l’on détruisait ces vitesses en imprimant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos ou en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse en vertu de l’impulsion appliquée à la surface, et des vitesses ou forces
appliquées à chacun des points de son intérieur ; par conséquent, suivant la loi connue de l’équilibre des fluides, les quantités
devront être telles, que
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
soit une différentielle exacte. Ainsi dans ce cas la même quantité devra toujours être une différentielle exacte dans chaque instant du mouvement.
21. On pourrait peut-être douter s’il y a des mouvements possibles dans un fluide, pour lesquels
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
ne soit pas une différentielle exacte.
Pour lever ce doute par un exemple très-simple, il n’y a qu’à considérer le cas où l’on aurait
![{\displaystyle p=gy,\quad q=-gx,\quad r=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909e0ec5c0f9539caf2bab5aab938a25c58184b3)
étant une constante quelconque. On voit d’abord que dans ce cas
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
ne sera pas complète, puisqu’elle devient
![{\displaystyle g(ydx-xdy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8267aac9a52015eec70f9f3a4a409300c143f93e)
qui n’est pas intégrable ; cependant la quantité
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5949a5b49a9756d6363acefd841a29503c1ef8b3)
du no 16 est intégrable ; car on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}=0,&\quad {\frac {dq}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=0,\\\alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}=2g,&\quad \beta ={\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}}=0,\quad \gamma ={\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}=0\ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f0e018a614740888577b6d078aede0ed0d06a9)
de sorte que la quantité dont il s’agit sera
![{\displaystyle -2g^{2}\left(xdx+ydy\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de3fefdbe1bab7ac0d065aa728eda262b2418dd)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle -g^{2}(x^{2}+y^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d967f26f8c1be51f8598485f37c3aa5fc15dae2)
À l’égard de l’équation dépendante de l’incompressibilité du fluide, savoir (5)
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24d375a615cb625d205c8bb26fe78772af4422a)
elle est aussi satisfaite, puisque
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0,\quad {\frac {dq}{dy}}=0,\quad {\frac {dr}{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5696e7bae74354e728d625c9b4225db8e8bec7c)
Au reste il est visible que la supposition précédente de
![{\displaystyle p=gy,\quad q=-gx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877e01556eda3de83ab992d2d2c0c5c7a2ad8d45)
représente le mouvement d’un fluide qui tourne autour de l’axe fixe des coordonnées
avec une vitesse angulaire constante et égale à
et l’on sait qu’un pareil mouvement peut toujours avoir lieu dans un fluide.
Il s’ensuit de là que dans le calcul des oscillations de la mer en vertu
de l’attraction du Soleil et de la Lune, on ne peut pas supposer que la
quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
soit intégrable, puisqu’elle ne l’est pas lorsque le fluide est en repos par
rapport à la Terre, et qu’il n’a que le mouvement de rotation qui lui est commun avec elle.
En général, si l’on suppose
et
fonctions de
et
sans
ni
et
constante, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dp}{dt}}=0,\quad {\frac {dq}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=0,\\&\alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}},\quad \beta =0,\quad \gamma =0\ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e997193560a56a09228953e692ee51220b8d017)
et la quantité qui doit être intégrable (17) sera
Or par l’incompressibilité du fluide on aura
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eda6ea9b9afbc8a0ad74e03186964cf01a7e5f7)
étant nul ; donc
devra être intégrable. Soit donc
![{\displaystyle pdy-qdx=d\omega \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3abe55af2ecebc42197c8231b0f1dd2d58a1099)
on aura
![{\displaystyle p={\frac {d\omega }{dy}},\quad q=-{\frac {d\omega }{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da072e5685dfefe9658848d01209f8a7e46846e6)
et la quantité
![{\displaystyle \left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)\left(qdx-pdy\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e4eeda0231ae2ac77e5a9da9bc7642e955a2a4)
deviendra
![{\displaystyle -\left({\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\omega }{dy^{2}}}\right)d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55032824658d1c6ac0a6af903cebfba4e28a25a6)
laquelle devant être elle-même intégrable, il faudra que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\omega }{dy^{2}}}={\text{fonct.}}\ \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7958addfc2f3ee93b8632facfedf4536292b8b53)
Ainsi, pourvu que
soit une fonction de
sans
ni
laquelle
satisfasse à cette équation, on aura un mouvement possible dans le fluide en prenant
![{\displaystyle p={\frac {d\omega }{dy}},\quad q=-{\frac {d\omega }{dx}},\quad r={\text{const.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c712498e69583150e22e94cd400af8b160542d)
sans qu’il soit nécessaire que
soit intégrable.
Si l’on fait
![{\displaystyle \omega ={\frac {g\left(x^{2}+x^{2}\right)}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8fdae472a863fc1fc73654f7e2233e986bfe449)
on aura
![{\displaystyle {\text{fonct.}}=g,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9e886bcac2e29de255c9ff321fe7496988c1e0)
et
![{\displaystyle \quad p=gy,\quad q=-gx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfd725dc5cae499d71862c078b1a56a01d1ce12)
comme dans l’Exemple précédent.
22. Il y a encore un cas très-étendu dans lequel la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
doit être une différentielle exacte. C’est celui où l’on suppose que les vitesses
soient très-petites et qu’on néglige les quantités très-petites du second ordre et des ordres suivants. Car alors l’équation du no 14 se réduit à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e289f3bcbdd819f19f2193faa7bdb88500c11812)
de sorte que
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd3c5de350928cfb2444afa822d94e9f7c792df)
doit être intégrable par rapport à
et par conséquent aussi la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86a5454156a0dac604001a75ea08f4d4e5c9eb5)
laquelle étant représentée par
en supposant une fonction très-petite de
on aura les mêmes formules que dans les nos 15 et 16, en y négligeant seulement les secondes et les ultérieures dimensions de ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
On pourra de plus dans ce cas déterminer les valeurs mêmes des coordonnées
pour un temps quelconque. Car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations (1)
![{\displaystyle dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1d6a64273e841cc628b9a65b7dff523c94e8b6)
dans lesquelles, à cause que
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
sont supposées très-petites et que par conséquent
![{\displaystyle dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfd26a4c7fe1595bf4629b5be9026dffd166956)
sont très-petites vis-à-vis de
![{\displaystyle dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993271528b71660c0c4282c0d0b0f4cbf88e5e74)
on pourra regarder
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
comme constantes vis-à-vis de
![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
De sorte qu’en traitant
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
seule comme variable dans
![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
et ajoutant les constantes arbitraires
![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle x=a+\int pdt,\quad y=b+\int qdt,\quad z=c+\int rdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75ecbd510048a2cecd1ad16f6e1e9743fa5e16e)
Donc si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \Phi =\int \varphi dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0c73b0119c496a65e4d839ff4d60a68a2dd55e)
et qu’on y change
en
on aura
![{\displaystyle x=a+{\frac {d\Phi }{da}},\quad y=b+{\frac {d\Phi }{db}},\quad z=c+{\frac {d\Phi }{dc}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93cfe7b35ef02a4c1ea31207ee0f6832dd168e0)
et les quantités
seront les valeurs initiales de
pour chaque particule du fluide, si l’on prend la fonction
de manière qu’elle soit nulle lorsque ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
23. Le cas dont nous venons de traiter a lieu surtout dans la Théorie de la propagation du son. En supposant, comme dans le no 16,
et ne conservant que les premières dimensions de la quantité
supposée très-petite, on aura
![{\displaystyle k\log \Delta =\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1768be58d9a53f3038412653c37f5108ae5c1455)
et l’équation en
sera
![{\displaystyle k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {\mathrm {V} }{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda9f5919b9fbb59681419e76af512a6240a3b0b)
Or dans l’état de repos ou d’équilibre on a
donc
![{\displaystyle k\log \Delta =\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aa5a5f2666b77be9e0d2663fc527be6dcdbe3c)
et par conséquent
![{\displaystyle \Delta =e^{\tfrac {\mathrm {V} }{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4278ccc6e2ed83844ed10ad3577c59c2ac75a61)
Supposons donc que la densité naturelle de l’air soit augmentée, lorsque l’air est en vibration, en raison de
à
étant une quantité fort petite, on aura
![{\displaystyle \Delta =e^{\frac {\mathrm {V} }{k}}\left(1+s\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638918e5ff6e786dc6030a4d927616bdadbd05e5)
et de là, en négligeant les carrés de ![{\displaystyle s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5748cdb81bf00075de8e7e6828c343687513830)
![{\displaystyle \log \Delta ={\frac {\mathrm {V} }{k}}+s\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6070e60f60b080d61fdf65858e422333293afa3e)
donc
![{\displaystyle s=-{\frac {1}{k}}{\frac {d\varphi }{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa6237c12a7c8c8aedecde67c45bf555fc1b9e5)
Comme (14)
![{\displaystyle d\mathrm {V} =\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b250429357ba5156b553bdd9ef73107b8d1938)
il est clair qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=\mathrm {P} ,\quad {\frac {d\mathrm {V} }{dy}}=\mathrm {Q} ,\quad {\frac {d\mathrm {V} }{dz}}=\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef1a8722315cd032ebd6e91b58212f65b6732d5)
étant les forces accélératrices de chaque particule suivant les lignes
(6). Donc si l’on prend les ordonnées
verticales et dirigées de haut en bas, et qu’on nomme, comme dans le no 16,
la force accélératrice de la gravité, on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} =0,\quad \mathrm {Q} =0,\quad \mathrm {R} =g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55508fb2c06b819571b170c90f976bf317d35d)
et la Théorie de la propagation du son sera renfermée dans l’équation
![{\displaystyle k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)+g{\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8768d79be7a06e9386dc9da846bf24b31a950689)
Ayant déterminé
par cette équation, on aura les vitesses
et la condensation
de l’air par les formules
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}},\quad s=-{\frac {1}{k}}{\frac {d\varphi }{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976bd6f988970231af6545acb74e69a17f549558)
Le coefficient
est égal à
en nommant
la hauteur du baromètre et
le rapport de la gravité spécifique du mercure à celle de l’air (16).
24. Au reste, si la masse du fluide était telle, que l’une de ses dimensions fût considérablement plus petite que chacune des deux autres, en sorte que les coordonnées
par exemple, fussent très-petites vis-à-vis de
et
cette circonstance pourrait servir aussi à faciliter et simplifier l’intégration des équations principales.
Car il est clair qu’on pourrait alors donner aux inconnues
la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=p'\ +p''z\ \,+p'''z^{2}\ +\ldots ,\\q&=q'\ +q''z\ \ +q'''z^{2}\,\ +\ldots ,\\r&=r'\ +r''z\ \ +r'''z^{2}\,\ +\ldots ,\\\Delta &=\Delta '+\Delta ''z+\Delta '''z^{2}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d085d0a8a16d6790d602c8652ee644354e7d3045)
dans laquelle
![{\displaystyle p,\,p'',\,\ldots ,\,q',\,q'',\,\ldots ,\,r',\,r'',\,\ldots ,\,\Delta ',\,\Delta '',\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47468e6c8c66eefef2241950cc557030b12f3b31)
seraient des fonctions de
sans
De sorte qu’en faisant ces substitutions on aurait des équations en séries, lesquelles ne contiendraient que des différences partielles relatives à
![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Pour donner là-dessus un essai de calcul, nous supposerons, pour plus de simplicité, qu’il ne s’agisse que d’un fluide incompressible et homogène dont la densité
soit égale à 1.
Substituant premièrement les valeurs précédentes dans l’équation de l’incompressibilité
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09870524d8ce0e6af8fef4abc26a4750f5f25c7)
et ordonnant les termes par rapport à
on aura
![{\displaystyle {\frac {dp'}{dx}}+{\frac {dq'}{dy}}+r''+z\left({\frac {dp''}{dx}}+{\frac {dq''}{dy}}+2r'''\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11810d38aa96cf22e2415a7b4074e3ed58bde436)
![{\displaystyle +z^{2}\left({\frac {dp'''}{dx}}+{\frac {dq'''}{dy}}+3r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c79aada82de20fb9af97dc37c73d33b6bec3259)
De sorte que, comme
ne doivent point contenir
on aura ces équations particulières
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dp'\ \ }{dx}}+{\frac {dq'\ \ }{dy}}+r''\ =0,\\&{\frac {dp''\ }{dx}}+{\frac {dq''\ }{dy}}+2r'''=0,\\&{\frac {dp'''}{dx}}+{\frac {dq'''}{dy}}+3r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958f5289c23032936a3f41d67c9dc0d29f6c5717)
par lesquelles on déterminera d’abord les quantités
![{\displaystyle r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\,\ldots \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc9f883f546b44e62372324b2141a246461d28c)
et les quantités
![{\displaystyle r',p',p'',p''',\,\ldots ,q',q'',q''',\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f17b4181de6a6885d3f03ede1ad687c3c5f5f0b)
demeureront encore indéterminées.
On fera ensuite les mêmes substitutions dans l’équation de la pression (14), et il est visible qu’elle se réduira à cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha dx+\beta dy+\gamma dz&+z\left(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz\right)\\&+z^{2}\left(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz\right)+\ldots =d\mathrm {V} -d\Pi \ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ddd9ad02d2f7c09678282caca3bef52e5ac0cd)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ &={\frac {dp'\ }{dt}}+p'{\frac {dp'\ }{dx}}+q'{\frac {dp'}{dy}}\,+r'p'',\\\beta \ &={\frac {dq'\ }{dt}}+p'{\frac {dq'\ }{dx}}+q'{\frac {dq'}{dy}}\,+r'q'',\\\gamma \ &={\frac {dr'\ }{dt}}+p'{\frac {dr'\ }{dx}}+q'{\frac {dr'}{dy}}\,+r'r'',\\\alpha '&={\frac {dp''}{dt}}+p'{\frac {dp''}{dx}}+p''{\frac {dp'}{dx}}+q'{\frac {dp''}{dy}}+q''{\frac {dp'}{dy}}+2r'p'''+r''p'',\\\beta '&={\frac {dq''}{dt}}+p'{\frac {dq''}{dx}}+p''{\frac {dq'}{dy}}+q'{\frac {dq''}{dy}}\,+q''{\frac {dq'}{dy}}+2r'q'''+r''q'',\\\gamma '&={\frac {dr''}{dt}}+p'{\frac {dr''}{dx}}+p''{\frac {dr'}{dx}}+q'{\frac {dr''}{dy}}\,+q''{\frac {dr'}{dy}}+2r'r'''\,+r''r'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3139d1310a0d4da3cd3c12998a3d041be14086)
et ainsi de suite.
Donc, pour que le premier membre de cette équation soit intégrable, il faudra que les quantités
![{\displaystyle \alpha dx+\beta dy,\quad \gamma dz+z\left(\alpha 'dx+\beta 'dy\right),\quad \gamma 'zdz+z^{2}\left(\alpha ''dx+\beta ''dy\right),\,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c5b6323c22eb89cf784511c818d2ec93e9d97c)
soient chacune intégrable en particulier.
Si donc on dénote par
une fonction de
sans
on aura ces conditions
![{\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dx}},\ \ \beta ={\frac {d\omega }{dy}},\ \ \alpha '={\frac {d\gamma }{dx}},\ \ \beta '={\frac {d\gamma }{dy}},\ \ \alpha ''={\frac {1}{2}}{\frac {d\gamma '}{dx}},\ \ \beta ''={\frac {1}{2}}{\frac {d\gamma '}{dy}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e75c0df1e8fb51f16bf5da0b62499cfe17c1de7)
Alors l’équation intégrée sera
![{\displaystyle \omega +\gamma z+{\frac {1}{2}}\gamma 'z^{2}+\ldots =\mathrm {V} -\Pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a390dd311bf80385e8734723209ebe60aff98f)
et il ne s’agira plus que de satisfaire aux conditions précédentes par le moyen des fonctions indéterminées ![{\displaystyle \omega ,r',p',p'',\ldots q',q'',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db33012c2b5c943d6511de0c2fd9113b523659f)
25. Le calcul deviendrait encore plus facile si les deux variables
et
étaient très-petites vis-à-vis de
car alors on pourrait supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=p'+p''y+p'''z+p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}+p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\\q&=q'+q''y+q'''z\,+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}+q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\\r&=r'+r''y+r'''z\,+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}\,+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83cbed1c095f18b242999b5eb805d212542dbedb)
et les quantités
seraient simplement des fonctions de
et ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Ainsi l’équation de l’incompressibilité donnerait d’abord
![{\displaystyle {\frac {dp'}{dx}}+q''+r'''=0,\quad {\frac {dp''}{dx}}+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90ce9a2bb6c26b79dd832f36798bae1e3ff7e93)
Ensuite l’équation de la pression deviendrait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha dx+\beta dy+\gamma dz&+y\left(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz\right)\\&+z\left(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz\right)+\ldots =d\mathrm {V} -d\Pi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d1c3241d85cfb67372b3abaac5dacf7f67a72b)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ =&{\frac {dp'\ }{dt}}+p'{\frac {dp'\,}{dx}}+q'p''+r'p''',\\\beta \ =&{\frac {dq'\ }{dt}}+p'{\frac {dq'\ }{dx}}+q'q''+r'q''',\\\gamma \ =&{\frac {dr'\ }{dt}}+p'{\frac {dr'\ }{dx}}+q'r''+r'r''',\\\alpha '=&{\frac {dp''}{dt}}+p'{\frac {dp''}{dx}}+p''{\frac {dp'}{dx}}+2q'p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+q''p''+r'p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+r''p''',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32139aa79f30891242c5ff7f9bede1efcc44fe7d)
Et il faudra, pour que l’équation soit intégrable, que l’on ait ces conditions
![{\displaystyle \alpha '={\frac {d\beta }{dx}},\quad \alpha ''={\frac {d\gamma }{dx}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c383172a624df220a4ddadfacf6ab5590f533490)
moyennant quoi l’équation intégrée sera
![{\displaystyle \int \left(\alpha dx+\beta y+\gamma z+\ldots \right)=\mathrm {V} -\Pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeffa3bd9a082704bfc726c93831ddb2a3aac53b)
26. Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordonnées
d’autres variables
lesquelles soient des fonctions données de
Supposons qu’on ait différentié ces fonctions et qu’on en ait tiré les valeurs
lesquelles seront de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\xi &=\lambda \ \ dx+\mu \ \ dy+\nu \ \ dz,\\d\eta &=\lambda '\ dx+\mu '\ dy+\nu '\ dz,\\d\zeta &=\lambda ''dx+\mu ''dy+\nu ''dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fad26f5d2e9d0ee14130226f9979a591c86d5d0)
étant des fonctions données de <math\xi,\eta,\zeta.</math>
En regardant la quantité
d’abord comme fonction de
et ensuite comme fonction de
on aura
![{\displaystyle dp={\frac {dp}{dx}}dx+{\frac {dp}{dy}}{dy}+{\frac {dp}{dz}}dz={\frac {dp}{d\xi }}{d\xi }+{\frac {dp}{d\eta }}d\eta +{\frac {dp}{d\zeta }}d\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d8d72b06dd54a1cec608cdf7cb2bd1c86e6944)
Donc, substituant à la place de
les valeurs précédentes, et comparant les termes affectés de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}&=\lambda {\frac {dp}{d\xi }}+\lambda '{\frac {dp}{d\eta }}+\lambda ''{\frac {dp}{d\zeta }},\\{\frac {dp}{dy}}&=\mu {\frac {dp}{d\xi }}+\mu '{\frac {dp}{d\eta }}+\mu ''{\frac {dp}{d\zeta }},\\{\frac {dp}{dz}}&=\nu {\frac {dp}{d\xi }}\ +\nu '{\frac {dp}{d\eta }}+\nu ''{\frac {dp}{d\zeta }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c326056d84d2b9c00682dfdef6a7990afcf3e9bc)
et l’on aura de pareilles formules pour les valeurs de
![{\displaystyle {\frac {dq}{dy}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae85af6c1655a80f97f79678ea1ef019580de269)
Faisant ces substitutions dans les équations fondamentales, elles ne contiendront plus que des différences partielles relatives à
et
et si par la nature de la question proposée la variable
par exemple, ou les deux variables
et
sont très-petites vis-à-vis de
on pourra employer des réductions analogues à celles que nous avons développées dans le numéro précédent.
27. Telles sont les méthodes et les formules principales par lesquelles on peut déterminer rigoureusement les lois du mouvement des fluides. Nous allons maintenant en montrer l’application à quelques cas particuliers.
28. Nous supposerons d’abord que le fluide parte du repos, ou qu’il soit mis en mouvement par l’impulsion d’un piston appliqué à la surface, moyennant quoi les vitesses
de chaque particule devront être telles, que
![{\displaystyle pdx+qdy+zdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e066f121cedcb79a40d088b44ecef99cb035be99)
soit une différentielle exacte (20) ; de sorte qu’on pourra employer les formules données dans le no 16.
29. Soit donc une fonction de
dépendante de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f1ee71ce43fda4eb88fcd04093921d919f2a2d)
on aura d’abord pour les vitesses
de chaque particule, suivant les directions des coordonnées
ces expressions
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc7caf9ea056d19821acc2d25c169c98bc40eb5)
Ensuite la pression
dans chaque point du fluide sera (en supposant la densité
)
![{\displaystyle \Pi =\mathrm {V} ={\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e61cff8ca51d4d9197e9a8d1f42b37697d3c7e)
La quantité
est égale à
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbae0a8ccf85c634079bb8c1861392d63b258da)
en nommant
les forces accélératrices tendantes à augmenter les coordonnées
Or nous supposons ici que le fluide n’est animé que par sa gravité naturelle. Donc, prenant
pour exprimer la force accélératrice de la gravité, ainsi que nous l’avons déjà fait plus haut (16), et nommant
les angles que la verticale fait avec les axes des coordonnées
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} =g\cos \xi ,\quad \mathrm {Q} =g\cos \eta ,\quad \mathrm {R} =g\cos \zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a3e1915a9b2fea5a5126da665556ff3f1ff680)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {V} =gx\cos \xi +gy\cos \eta +gz\cos \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b466684014679eb134fdd23e519851f5c61de)
30. Maintenant soit
l’équation d’une des parois du vase ou du canal,
étant une fonction donnée de
sans
ni
On aura donc, suivant les formules du no 10,
![{\displaystyle \mathrm {A} =z-\alpha \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa9253c8e74352be3853e6d927baacd4dfa8d34)
et les deux équations
![{\displaystyle \mathrm {A} =0,\quad {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {\mathrm {A} }{dz}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca62092629a34234d91c64141c40ebad7f0d9f84)
se réduiront à
![{\displaystyle z-\alpha =0,\quad -{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a3361a75b0c4fd27946dee26ffe26f10641c71)
Ces deux équations devant avoir lieu à la fois, il faudra qu’elles donnent l’une et l’autre la même valeur de
donc, en substituant dans la seconde à la place de
sa valeur
donnée par la première, il faudra que l’équation résultante ait lieu d’elle-même.
Ainsi l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dz}}-{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf765bd96bc682ddab75be78f0fcc6211d59bd4)
devra être satisfaite en faisant
Et chaque paroi fournira une condition semblable à remplir.
31. À la surface extérieure du fluide la pression
doit être nulle, lorsque le fluide est libre ; mais si le fluide est pressé par une force donnée, alors la valeur de
doit être égale à cette force.
Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le fluide se meuve
uniquement en vertu de sa gravité ; ainsi la quantité
devra être nulle à sa surface extérieure ; par conséquent
sera l’équation de cette surface.
On fera donc dans les formules du no 10
et l’on aura ces deux équations
![{\displaystyle \Pi =0,\quad {\frac {d\Pi }{dt}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\Pi }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\Pi }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\Pi }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2b27544fcbb6b199d5545a9817f6483e05a4c9)
lesquelles devant avoir lieu en même temps, il s’ensuit que, si l’on élimine une des variables comme
l’équation résultante devra subsister d’elle-même.
Au reste, comme la seconde de ces équations résulte de la condition, que les particules du fluide qui sont une fois à la surface y demeurent toujours, elle ne sera pas nécessaire lorsque cette condition cessera d’avoir lieu (numéro cité).
32. Cela posé, il faut commencer par déterminer la fonction
au moyen de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55274cdd344e434760f32952d786d53fcaf8221)
Mais cette équation n’étant intégrable, en général, par aucune des méthodes connues, nous supposerons que l’une des dimensions de la masse fluide soit fort petite à l’égard des deux autres, en sorte que les coordonnées
par exemple, soient très-petites vis-à-vis des coordonnées
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Par le moyen de cette supposition, il est visible qu’on pourra représenter la fonction
par une série de cette forme
![{\displaystyle \varphi =\varphi '+z\varphi ''+z^{2}\varphi '''+z^{3}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746e791a2dcf5da9e174c9e016054a7d092c2d45)
dans laquelle
seront des fonctions de
sans ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Faisant cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+2\varphi ''\right)&+z\ \ \left({\frac {d^{2}\varphi ''\ }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''\ }{dy^{2}}}+2.3.\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\&+z^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi '''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '''}{dy^{2}}}+3.4.\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc246493ea81bf3b0d1df0c5e7f19c08cdf61a2)
De sorte qu’en égalant séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi '''=-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}},\\&\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}},\\&\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '''}{dx^{2}}}-{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '''}{dy^{2}}}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{4}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52e8d3941bf14ab379227a8fe9fa91e27d51020)
Ainsi l’expression de
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\varphi '+z\varphi ''-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2.3}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{4}}{2.3.4}}\left({\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi }{dy^{4}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0aad1208dbc01129b51f7716d6fed5eb3f2e0c)
dans laquelle les fonctions
et
sont indéterminées, ce qui fait voir que cette expression est intégrale complète de l’équation proposée.
33. Ayant ainsi l’expression de
nous aurons en différentiant
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {d\varphi '}{dx}}+z{\frac {d\varphi ''}{dx}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e99553b453fdf1411379b63275390df5da9bf3)
![{\displaystyle -{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{3}\varphi ''}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi ''}{dxdy^{2}}}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54df46b57040699a66a1f305255b32d26d93fd10)
![{\displaystyle q={\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\varphi '}{dy}}+z{\frac {d\varphi ''}{dy}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0982da358fb382fd5e2823edf8db50aab13bbb2d)
![{\displaystyle -{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{3}\varphi ''}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi ''}{dy^{3}}}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615c6cd413fe411a8ea1b1e4a4bc51fee66a7a05)
![{\displaystyle r={\frac {d\varphi }{dz}}=\varphi ''-z\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fd3916aa5c9cbee8601341421461c80e429d5b)
![{\displaystyle +{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi '}{dy^{4}}}\right)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54894aa43be98637118e0570ec7a8930a9947072)
Et, substituant ces valeurs dans l’expression de
![{\displaystyle \Pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed3e3db6cc2028a183af948212ed2551d25c954)
du
no 29, elle deviendra de cette forme
![{\displaystyle \Pi =\Pi '+z\Pi ''+z^{2}\Pi '''+z^{3}\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c39d8732d10e21d88c44a8ed9dc3b1b691d9600)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Pi '\ \ &=g\left(x\cos \xi +y\cos \eta \right)-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\varphi ''^{2},\\\Pi ''\ &=g\cos \zeta -{\frac {d\varphi ''}{dt}}-{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\varphi ''}{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\varphi ''}{dy}}+\varphi ''\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right),\\\Pi '''&={\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dtdx^{2}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dtdy^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ''}{dx}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi '}{dx}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ''}{dy}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi '}{dy}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)^{2}\\&+{\frac {1}{2}}\varphi ''\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e453f7bd4b5ad38bad29685e5453a740bd57dec8)
et ainsi de suite.
34. Maintenant, si
est l’équation des parois,
étant une fonction fort petite de
sans
l’équation de condition pour que les mêmes particules du fluide soient toujours contiguës aux parois sera (30)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi ''-{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}-z\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}\right)\\&-{\frac {z^{2}}{2}}\left[{\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}-\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right){\frac {d\alpha }{dx}}-\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right){\frac {d\alpha }{dy}}\right]\\&+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2481dfefe51e06c051356bc1c1bf1504db7bfd9c)
laquelle devant avoir lieu en même temps que l’équation
il faudra qu’elle soit vraie en y mettant
à la place de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Ainsi l’équation de condition dont il s’agit se réduira à cette forme plus simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ''&-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\cfrac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dy}}\right)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d\left[\alpha ^{3}\left({\cfrac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\cfrac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)\right]}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d\left[\alpha ^{3}\left({\cfrac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\cfrac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)\right]}{dy}}\\&+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24fc8a4a40155d39545c952a57592c7eb854a89)
laquelle devra avoir lieu pour tous les points de la paroi donnée.
35. Enfin l’équation de la surface extérieure du fluide sera
savoir
![{\displaystyle \Pi '+z\Pi ''+z^{2}\Pi '''+z^{3}\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3245c78adfa0c5860d72eb52bcb54540191ae9e6)
Et l’équation de condition pour que les mêmes particules demeurent toujours à la surface sera après les substitutions et les réductions (31 et 33)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Pi '}{dt}}&+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+\varphi ''\Pi ''\\&+z\left[{\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi ''}{dx}}\right.\\&\left.\quad \quad +{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi ''}{dy}}+2\varphi ''\Pi '''-\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)\Pi ''\right]\\&+z^{2}\left[{\frac {d\Pi '''}{dt}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\Pi ''}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '''}{dx}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right){\frac {d\Pi '}{dx}}\right.\\&\quad \quad +{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\Pi ''}{dy}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '''}{dy}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right){\frac {d\Pi '}{dy}}\\&\left.\quad \quad -\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)\Pi '''+3\varphi ''\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)\Pi ''\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dbb5d66b2b862fb6ed588dfbaa701aadd2d414)
Ainsi, chassant
de ces deux équations, on aura une équation sans
qui devra subsister d’elle-même pour tous les points de la surface dont il s’agit.
Du mouvement d’un fluide qui coule dans un vase étroit et presque vertical.
36. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase étroit et à peu près vertical, et supposons que les abscisses
soient verticales et dirigées de haut en bas ; on aura (29)
![{\displaystyle \xi =0,\quad \eta =90^{\circ },\quad \zeta =90^{\circ }\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161e3e9f38f7b647db9e6208e89a1850b10b9ae1)
donc
![{\displaystyle \cos \xi =1,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5f1feffd3929c38fd0deaa23c8c53b25ca7c11)
Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, en sorte que, des deux ordonnées
et
les premières
soient nulles et les secondes
soient fort petites.
Enfin soient
![{\displaystyle z=\alpha ,\quad z=\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e1cdcd22284992d0994941afc67db19c0dbf4b)
les équations des deux parois du vase,
et
étant des fonctions de
connues et très-petites. On aura relativement à ces parois les deux équations (34)
lesquelles serviront à déterminer les fonctions
et ![{\displaystyle \varphi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d523aa041bd02bca9a270815a81017d8e7d1345)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi ''-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}+\ldots =0,\\&\varphi ''-{\frac {d\left(\beta {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\beta ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b4ff82fe33ffc41e1d41bc366bfd66c0894e17)
37. Nous regarderons les quantités
comme très-petites du premier ordre, et nous négligerons, du moins dans la première approximation, les quantités du second ordre et des ordres suivants. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci
![{\displaystyle \varphi ''-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}=0,\quad \varphi ''-{\frac {d\left(\beta {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d98fb90fd10a62879a86540d53b9ceb54b3501f)
lesquelles étant, retranchées l’une de l’autre donnent celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d\left[\left(\alpha -\beta \right){\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right]}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9054521facb762605b8ec4d6f76a3e76c7cfdc51)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \left(\alpha -\beta \right){\frac {d\varphi '}{dx}}=\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a857f6b46d062aa1d0b4e93262e0cb7266da6bdf)
étant une fonction arbitraire de
laquelle doit être très-petite du premier ordre.
Or il est visible que
est la largeur horizontale du vase, que nous représenterons par
Ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\frac {d\varphi '}{dx}}={\frac {\theta }{\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdff0678a2b37c3ab9b9446b39e18f0c03f729bc)
et, intégrant de nouveau par rapport à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \varphi '=\theta \int {\frac {dx}{\lambda }}+\vartheta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb56a192f9e730ebf4ec4a8a954ca7dddd9d3f4)
en désignant par
une nouvelle fonction arbitraire de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si l’on ajoute ensemble les mêmes équations et qu’on fasse
![{\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}=\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4d0d4a31e949184d519fafbf02be6e8a6d9be0)
on en tirera
![{\displaystyle \varphi ''={\frac {d\left(\mu {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f2da06a04f8a0c64ca1f84af4d855e33efff26)
où, en substituant la valeur de ![{\displaystyle {\frac {d\varphi '}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1040c142c5e38f8d95eba756634fda35f25b58)
![{\displaystyle \varphi ''=\theta {\frac {d{\cfrac {\mu }{\lambda }}}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4956c023da7443af06ff357715a708c21d1804b4)
D’où l’on voit que, puisque
sont des quantités très-petites du premier ordre,
sera aussi très-petite du même ordre.
38. Donc, en négligeant toujours les quantités du second ordre, on aura, par les formules du no 33, la vitesse verticale
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi '}{dx}}={\frac {\theta }{\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc9636f0e7e168a7abc2d673413320e57596788)
la vitesse horizontale
![{\displaystyle r=\varphi ''-z{\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}=\theta \left({\frac {d{\cfrac {\mu }{\lambda }}}{dx}}-z{\dfrac {d{\cfrac {1}{\lambda }}}{dx}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab75d0ca5782e66689f76259c0a0c9a7a4f612e)
ou bien
![{\displaystyle r={\frac {\theta }{\lambda }}\left[{\frac {d\mu }{dx}}+\left(z-\mu \right){\frac {1}{\lambda }}{\frac {d\lambda }{dx}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de3cb2b4c600a5a6ac935fa24c8f1b213c86add)
Ensuite, à cause de
la quantité
sera aussi très-petite du premier ordre. Par conséquent la valeur de la pression
se réduira à
![{\displaystyle \Pi '=gx-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx}{\lambda }}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99beaff9b1cc03895d16344697b66ad7ed1d9d04)
Et cette quantité étant égalée à zéro donnera la figure de la surface du fuide. De sorte que, comme la même quantité ne renferme point l’ordonnée
mais seulement l’abscisse
et le temps
il s’ensuit que la surface du fluide devra être à chaque instant plane et horizontale.
Enfin l’équation de condition pour que les mêmes particules du fluide soient toujours à la surface se réduira pareillement à celle-ci (35)
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02638008f8855d0075bc54ef7a90cc6c68cf6ece)
savoir
![{\displaystyle {\frac {d\Pi }{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda }}{\frac {d\Pi }{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ebb2e512e1375833aeb53ca5877d46c018b933)
laquelle ne contient pas non plus
mais seulement
et ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
39. Pour distinguer les quantités qui se rapportent à la surface supérieure du fluide de celles qui se rapportent à sa surface inférieure, nous marquerons les premières par un trait et les autres par deux traits. Ainsi
seront l’abscisse, la largeur du vase, etc., pour la surface supérieure, et
seront de même l’abscisse, la largeur du vase, etc., à la surface inférieure. De même
dénoteront dans la suite les valeurs de
pour les deux surfaces ; de sorte qu’on aura pour la surface supérieure l’équation
![{\displaystyle \Pi '=gx'-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx'}{\lambda '}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda '^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d5287ae1ab4c5c98fef74985dc241a244ad835)
et, pour la surface inférieure, l’équation semblable
![{\displaystyle \Pi ''=gx''-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ''^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c35a3afea2181280339c17401468987ca53e21)
Enfin
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336a0bfa24f50cce27abcbd460c4baa484b0bcaa)
sera l’équation de condition pour que les mêmes particules qui sont une fois à la surface supérieure y restent toujours ; et
![{\displaystyle {\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3936a2d47600a52df5c04339ec117eaa4dc5225)
sera l’équation de condition pour que la surface inférieure contienne toujours les mêmes particules du fluide.
Cela posé, il faut distinguer quatre cas dans la manière dont un fluide peut couler dans un vase, et chacun de ces cas demande une solution particulière.
40. Le premier cas est celui où une quantité donnée de fluide coule dans un vase indéfini. Dans ce cas il est visible que l’une et l’autre surface doit toujours contenir les mêmes particules, et qu’ainsi l’on aura pour ces deux surfaces les équations
![{\displaystyle \Pi '=0,\quad \Pi ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84378b449b89950add9b3c2a9b4816b32fa1e3fb)
et de plus les deux équations de condition
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0,\quad {\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be243e8673c058c0fcda6df766e7e0ca95340aa8)
et ces quatre équations serviront à déterminer
et
en
moyennant quoi le mouvement du fluide sera connu.
L’équation
étant différentiée donne
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dx'}}dx'+{\frac {d\Pi '}{dt}}dt=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a397e934eeb5010b178d637733b04caee262ab0)
donc
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}=-{\frac {d\Pi '}{dx'}}{\frac {dx'}{dt}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e795c23b4df387af683d391f2ef21b1e6c7f64b8)
substituant cette valeur dans la première équation de condition et divisant par
on aura
![{\displaystyle {\frac {dx'}{dt}}={\frac {\theta }{\lambda '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da93ae5dc99fdb4999eafa0a8c48b78c420b3ce0)
On trouvera de même, en combinant l’autre équation
![{\displaystyle \Pi ''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58428e103151371cc114c364219ab58242abcd5)
avec la seconde équation de condition, celle-ci
![{\displaystyle {\frac {dx''}{dt}}={\frac {\theta }{\lambda ''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767d5bafdc0f66b05791d1fd85fc17ecb0e3d574)
De sorte qu’on aura
![{\displaystyle \theta dt=\lambda 'dx'=\lambda ''dx'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1aa9fa9b477884dcfd2b9a85eef879d768f8c2)
équations séparées.
On aura donc en intégrant
![{\displaystyle \int \lambda ''dx''-\int \lambda 'dx'=m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31cabb5af21b884bd6db86da11ef4a7d53f7df3)
étant une constante, laquelle exprime évidemment la quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Ainsi cette équation donnera d’abord
en ![{\displaystyle x'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0965efc45e4f3efbc0e1f88108328343a7331c4d)
Maintenant si l’on substitue, dans la première équation
pour
sa valeur
elle devient
![{\displaystyle gx'-{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\theta }{dx'}}\int {\frac {dx'}{\lambda '}}-{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\vartheta }{dx'}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda '^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa74da26eaf3d4af2dda2c88eb32fad8699e309)
laquelle étant multipliée par
donne celle-ci
![{\displaystyle g\lambda 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\lambda '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\lambda '}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b67bdf1a8a769120e1b7e43fdc860bea22db44)
qu’on voit bien être intégrable, et dont l’intégrale sera
![{\displaystyle g\int \lambda 'x'dx'-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx^{2}}{\lambda '}}-\int \theta d\vartheta ={\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9725bbb5390318bd007681038f5e2fbe4cf7d6fa)
On trouvera de même, en substituant
à la place de
dans l’équation
et multipliant par
une nouvelle équation intégrahle, et dont l’intégrale sera
![{\displaystyle g\int \lambda ''x''dx''-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int \theta d\vartheta ={\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c8e942ca4e8a06c258de83877b8b05806f520d)
Donc, retranchant ces deux équations l’une de l’autre pour en éliminer le terme
on aura celle-ci
![{\displaystyle g\left(\int \lambda ''x''dx''-\int \lambda 'x'dx'\right)-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left(\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}\right)=\mathrm {L} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8caa39ceffa137769eeb6b80fd3bb0faca602f39)
dans laquelle les quantités
![{\displaystyle \int \lambda ''x''dx''-\int \lambda 'x'dx'\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76488b8b21c7961e94bb14a4a7690c10bf0bc479)
et
![{\displaystyle \quad \int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0646b71aff1e15737dfbfe3c7601219fc15039)
expriment les intégrales de
et de
prises depuis
jusqu’à
et où
est une constante arbitraire.
Cette équation donnera
en
puisque
est déjà connue en
par l’équation trouvée plus haut. Ayant ainsi
en
on trouvera aussi
en
par l’équation
![{\displaystyle dt={\frac {\lambda '}{dx'}}{\theta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cee3c7e6396ca0656916f01cc50efa9735a7311)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle t=\int {\frac {\lambda 'dx'}{\theta }}+\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bd10170ab03c91fd15fa563efd271e61aaca82)
étant une constante arbitraire.
À l’égard des deux constantes
et
on les déterminera par l’état initial du fluide. Car, lorsque
la valeur de
sera donnée par la position initiale du fluide dans le vase ; et, si l’on suppose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra qu’on ait
lorsque
(38). Mais si le fluide avait été mis d’abord en mouvement par des impulsions quelconques, alors les valeurs des pressions
et
seraient données lorsque
Or on a (39)
![{\displaystyle \Pi ''-\Pi '=g\left(x''-x'\right)-{\frac {d\theta }{dt}}\left(\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}\right)-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\lambda ''^{2}}}-{\frac {1}{\lambda '^{2}}}\right)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f718152132046fde1d0158635b3461717a06ea)
donc on aura (en faisant
) une équation qui servira à déterminer la valeur initiale de ![{\displaystyle \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e8402f1cbddec479b88e2ff0d1be5e9b95bd7)
Ainsi le Problème est résolu et le mouvement du fluide est entièrement déterminé.
41. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée
et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas on aura, comme
dans le précédent, pour la surface supérieure les deux équations
![{\displaystyle \Pi '=0,\quad {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d12fe7cf756d8a8ce7f1fb5f6976977a465b3f)
mais pour la surface inférieure on aura simplement l’équation
puisqu’à cause de l’écoulement du fluide il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais d’un autre côté l’abscisse
pour cette même surface sera donnée et constante ; de sorte qu’il n’y aura plus que trois inconnues à déterminer,
et ![{\displaystyle \vartheta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc50a330e6d40f6e3e8e10945d479001da007d96)
Les deux premières équations donneront d’abord, comme dans le Problème
précédent, celles-ci
![{\displaystyle dt={\frac {\lambda 'dx'}{\theta }},\quad g\lambda 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\lambda '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{\alpha \lambda '}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba0f3b5a81826907e979368ce72b253915d7898)
Ensuite l’équation
donnera (39)
![{\displaystyle gx''-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ''^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb59c4e017a39fca16e0b20d77dcfe5bbf90c3ff)
où l’on remarquera que
et
sont des constantes que nous dénoterons pour plus de simplicité par
Ainsi, en substituant à
sa valeur
multipliant ensuite par
on aura l’équation
[2] Donc, retranchant de celle-ci l’équation précédente pour en éliminer le terme
![{\displaystyle \theta d\vartheta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa70670267e0e9e3aca1152964ddcef1747c1f6c)
on aura
![{\displaystyle g\left(f-x'\right)\lambda 'dx'-\left(n-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}\right)\theta d\theta -\left({\frac {\lambda '}{2h^{2}}}-{\frac {1}{2\lambda '}}\right)\theta ^{2}dx'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ccf07259aa8c49d729a692c1d329ed3ce7545e)
équation qui ne contient que les deux variables
et
et par laquelle on pourra donc déterminer une de ces variables en fonction de l’autre.
Ensuite on aura
exprimé par la même variable en intégrant l’équation
![{\displaystyle dt={\frac {\lambda 'dx'}{\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6518ad59f877aa46befb9ae16e6f88b7d3291e8a)
Et l’on déterminera les constantes par l’état initial du fluide, comme dans le Problème précédent.
42. Le troisième cas a lieu lorsqu’un fluide coule dans un vase indéfini, mais qui est entretenu toujours plein à la même hauteur par de nouveau fluide qu’on y verse continuellement. Ce cas est l’inverse du précédent car on aura ici pour la surface inférieure les deux équations
![{\displaystyle \Pi ''=0,\quad {\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504faa6415a304d91b81b482b899520b3b6ae5c4)
et pour la surface supérieure on aura la simple équation
à cause du changement continuel des particules de cette surface. Ainsi il n’y aura qu’à changer dans les équations du numéro précédent les quantités
en
et prendre pour
les valeurs données de
![{\displaystyle \textstyle \int {\dfrac {dx'}{\lambda '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc400ed8320fd28f77827cd9167b96ce06a824f)
Au reste nous supposons ici que l’addition du nouveau fluide se fait de manière que chaque couche nouvelle prend d’abord la vitesse de celle qui la suit immédiatement, et qu’ainsi l’augmentation ou la diminution de vitesse de cette couche pendant le premier instant est la même que si le vase n’était pas entretenu plein à la même hauteur durant cet instant.
43. Enfin le dernier cas est celui où le fluide sort d’un vase de longueur déterminée, et qui est entretenu toujours plein à la même hauteur. Ici les particules des surfaces supérieure et inférieure se renouvellent continuellement ; par conséquent on aura simplement pour ces deux surfaces les équations
![{\displaystyle \Pi '=0,\quad \Pi ''=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afffe26d6f39ea1cfc04acf6b3d5d51e92ea304)
mais en même temps les deux abscisses
et
seront données et constantes, en sorte qu’il n’y aura que les deux inconnues
et
à déterminer en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Soient donc
![{\displaystyle x'=f,\quad \lambda '=h,\quad \int {\frac {dx'}{\lambda '}}=n,\quad x''=\mathrm {F} ,\quad \lambda ''=\mathrm {H} ,\quad \int {\frac {dx''}{\lambda ''}}=\mathrm {N} \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f30cbb595d33f0295df9ae4515b6ffe60f5fb0)
les deux équations
deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&gf-{\frac {d\theta }{dt}}n-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2h^{2}}}=0,\\&g\mathrm {F} -{\frac {d\theta }{dt}}\mathrm {N} -{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\mathrm {H} ^{2}}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fe3df1ba66d2f43b09d97d1485f72e3740b37b)
d’où chassant
on aura
![{\displaystyle g\left(\mathrm {F} -f\right)-\left(\mathrm {N} -n\right){\frac {d\theta }{dt}}-\left({\frac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\frac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79fda854b7188cba89e4a659374a36b1daa6f22d)
d’où l’on tire
![{\displaystyle dt={\frac {\left(\mathrm {N} -n\right)d\theta }{g\left(\mathrm {F} -f\right)-\left({\dfrac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\dfrac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1005f301ce935ea7f26cf4bc94285ea75fe135d)
équation séparée et qui est intégrable par des arcs de cercle ou des logarithmes.
44. Les solutions précédentes sont conformes à celles que les premiers Auteurs, qui ont écrit sur le mouvement des fluides dans des vases, ont trouvées d’après la supposition que les différentes tranches du fluide conservent exactement leur parallélisme en descendant dans le vase. (Voyez l’Hydrodynamique de M. Daniel Bernoulli, l’Hydraulique de Jean Bernoulli, et le Traité des fluides de M. d’Alembert.) Notre Théorie fait voir que cette supposition n’est exacte et rigoureuse que lorsque la largeur du vase est infiniment petite, mais qu’elle peut être employée dans tous les cas pour une première approximation, et que les solutions qui en résultent sont exactes aux quantités du second ordre près, en regardant les largeurs du vase comme des quantités du premier ordre.
Mais le grand avantage de cette Théorie est qu’on peut par son moyen approcher de plus en plus du vrai mouvement des fluides dans des vases de figure quelconque. Car ayant trouvé, ainsi que nous venons de le faire, les premières valeurs des inconnues, en négligeant les secondes dimensions des largeurs du vase, il sera facile de pousser l’approximation plus loin en ayant égard successivement aux termes négligés. Comme ceci n’est qu’un essai, nous n’entrerons maintenant dans aucun détail sur cet objet, mais nous pourrons y revenir dans une autre occasion.
Du mouvement d’un fluide contenu dans un canal peu profond et presque horizontal, et en particulier du mouvement des ondes.
45. Puisqu’on suppose la hauteur du fluide fort petite, il faudra prendre les ordonnées
verticales et dirigées de haut en bas ; les abscisses
et les autres ordonnées
deviendront donc horizontales, et l’on aura (29)
![{\displaystyle \cos \xi =0,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32e9acdfc7fd25b4e87d140c083df40c2d9d3ba)
En prenant les axes des
et
dans le plan horizontal formé par la surface supérieure du fluide dans l’état d’équilibre, soit
![{\displaystyle z=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491986a485643c367377a46c6e074ba8646ef584)
l’équation du fond du canal,
étant une fonction donnée de
et
Nous regarderions les quantités
et
comme très-petites du premier ordre, et nous négligerons les quantités du second ordre et des ordres suivants, c’est-à-dire celles qui contiendront les carrés et les produits de
et ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
L’équation de condition relative au fond du canal donnera d’abord (34)
![{\displaystyle \varphi ''={\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fecafcf8b2d8d4c6bbf5762b924a438f9a9efde2)
d’où l’on voit que
est une quantité du premier ordre.
Ensuite la valeur de la pression
se réduira à
(33) ; et il faudra négliger dans l’expression de
les quantités du second ordre et dans celle de
les quantités du premier. Ainsi, à cause de
![{\displaystyle \cos \xi =0,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f83a2061a7baec2f2bccd9f955330d51a846fa0c)
on aura par les formules du même numéro
![{\displaystyle \Pi '=-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2},\quad \Pi ''=g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b9c7b738e7b640cbec3032a892712b0d802f53)
On aura donc (35) pour la surface supérieure du fluide l’équation
![{\displaystyle \Pi '+gz=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6776bfaba9a278d97c4c6fa1ceab41a3c5d3b926)
et ensuite cette équation de condition
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+g\varphi ''-gz\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e07319d93d73ea08452ee004cd67afda62e492)
46. L’équation
donne sur-le-champ
![{\displaystyle z=-{\frac {\Pi '}{g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900da57173de32de004c804c296007179221d548)
pour la figure de la surface supérieure du fluide à chaque instant ; et comme l’équation de condition doit avoir lieu relativement à la même surface, il faudra qu’elle soit vraie en y substituant à
cette même valeur
Cette équation deviendra donc par là de cette forme
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\left(\Pi '{\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\Pi '{\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}+g\varphi ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9dc471842abc259ff737cfda4da2885811a1534)
et substituant encore pour
sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\left[\left(\Pi '+g\alpha \right){\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right]}{dx}}+{\frac {d\left[\left(\Pi '+g\alpha \right){\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right]}{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ca0cc1320d61e7cf11c25d25d919e7b2b0697e)
dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de
sa valeur
![{\displaystyle -{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cde9798b40af9bebd9d98ea383bdf383afe374)
et l’on aura une équation aux différences partielles du second ordre, qui servira à déterminer la quantité
![{\displaystyle \varphi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41699a838e24ad24212d37ff18eabb15a7765cd4)
en fonction de
Après quoi on connaîtra la figure de la surface supérieure du fluide par l’équation
![{\displaystyle z={\frac {1}{g}}{\frac {d\varphi '}{dt}}+{\frac {1}{g}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}+{\frac {1}{g}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b4f806b8ed970e16417508225b24d93c82d817)
et si l’on voulait connaître aussi les vitesses horizontales
de chaque particule du fluide, on les aurait (33) par les formules
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi '}{dx}},\quad q={\frac {d\varphi '}{dy}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90350983c4d531207f84ff2e4d440d6d41243f3c)
47. Le Calcul intégral des équations aux différences partielles est encore bien éloigné de la perfection nécessaire pour l’intégration d’équations aussi compliquées que celle dont il s’agit ; et il ne nous reste d’autre ressource que de tâcher de simplifier cette équation par quelque limitation.
Nous supposerons pour cela que le fluide dans son mouvement ne s’élève
ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous de son niveau qu’infiniment
peu, en sorte que les ordonnées
de la surface supérieure soient toujours très-petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales
et
soient aussi infiniment petites. Il faudra donc que les quantités
soient infiniment petites, et qu’ainsi la quantité
elle-même soit infiniment petite.
Ainsi, négligeant dans l’équation proposée les quantités infiniment petites du second ordre et des ordres ultérieurs, elle se réduira à cette forme linéaire
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+g{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+g{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99e1524e9064826fab4fc8c0e712509ead73517)
et l’on aura
![{\displaystyle z={\frac {1}{g}}{\frac {d\varphi '}{dt}},\quad p={\frac {d\varphi '}{dx}},\quad q={\frac {d\varphi '}{dy}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f531d159200a75836ffa0fa875e6e85d91389b89)
Cette équation contiendra donc la Théorie générale des petites agitations d’un fluide peu profond, et par conséquent la vraie Théorie des ondes formées par les élévations et les abaissements successifs et infiniment petits d’une eau stagnante et contenue dans un canal ou bassin peu profond. La Théorie des ondes que Newton a donnée dans la Proposition 46 du second Livre étant fondée sur la supposition précaire et peu naturelle que les oscillations verticales des ondes soient analogues à celles de l’eau dans un tuyau recourbé, doit être regardée comme absolument insuffisante pour expliquer ce phénomène.
48. Si l’on suppose que le canal ou bassin ait un fond horizontal,
alors la quantité
se sera constante et égale à la profondeur de l’eau, et
l’équation pour le mouvement des ondes deviendra
![{\displaystyle g\alpha \left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)={\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e734d8d47a015402fded2e4176aaa520d323b6f)
Cette équation est entièrement semblable à celle qui détermine les petites agitations de l’air dans la formation du son, en n’ayant égard qu’aux mouvements des particules parallèlement à l’horizon. En effet, si dans les formules du no 23 on suppose les vitesses verticales
nulles, et par conséquent une fonction de
sans
on a l’équation
![{\displaystyle k\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)={\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a607164985a987244c34373758773b15c6ae7876)
qui est, comme on voit, tout à fait semblable à la précédente.
Et comme pour les ondes formées à la surface de l’eau, les élévations
au-dessus du niveau et les vitesses horizontales
de chaque particule sont données par les formules
![{\displaystyle z={\frac {1}{g}}{\frac {d\varphi '}{dt}},\quad p={\frac {d\varphi '}{dx}},\quad q={\frac {d\varphi '}{dy}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643a595475e2d1b286f7d3f13aa7f125a19f8528)
ainsi, dans les agitations de l’air ou ondes sonores, les condensations
et les vitesses horizontales
sont données par les formules semblables
![{\displaystyle -s={\frac {1}{k}}{\frac {d\varphi '}{dt}},\quad p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5fc76ae360eebb6dee6bca828f560e8f4a2d0a4)
Il y a donc une parfaite analogie entre les ondes formées à la surface
d’une eau tranquille par les élévations et les abaissements successifs de
l’eau, et les ondes formées dans l’air par les condensations et raréfactions
successives de l’air ; analogie que plusieurs Auteurs avaient déjà supposée,
mais que personne jusqu’ici n’avait encore rigoureusement démontrée.
49. On pourra donc aussi traiter l’équation des ondes par les méthodes
que l’on a déjà employées dans la Théorie de la propagation du son, et
l’on expliquera par ces mêmes méthodes les phénomènes singuliers de la
propagation uniforme des ondes, de son indépendance des ébranlements
primitifs de l’eau, du mélange et de la réflexion des ondes, etc., ainsi
que je l’ai fait autrefois à l’égard des ondes sonores dans les deux premiers
tomes des Mémoires de l’Académie des Sciences de Turin[3]. Sur quoi
voyez aussi les Mémoires de cette Académie pour les années 1759 et 1765,
ainsi que les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. xvi.
À l’égard de la vitesse des ondes, elle sera exprimée par la racine carrée
du coefficient
comme celle du son l’est par la racine carrée du
coefficient
(23). Or, par ce même numéro,
est égal au double
de l’espace qu’un corps grave parcourt librement dans le temps qui est
pris pour l’unité des temps ; ainsi, en exprimant le temps en secondes et
les espaces en pieds de Paris, on aura, comme on sait par l’expérience,
Donc, si la profondeur
de l’eau est de
pied, la vitesse
des ondes sera de
pieds par seconde. Et, si la profondeur de l’eau
est plus ou moins grande, la vitesse des ondes variera en raison sous-doublée
des profondeurs, pourvu qu’elles ne soient pas trop considérables.
50. Au reste, quelles que puissent être la profondeur de l’eau et la
figure de son fond, on pourra toujours employer la Théorie précédente,
si l’on suppose que dans la formation des ondes l’eau n’est ébranlée et remuée qu’à une profondeur très-petite, supposition qui est très-plausible en elle-même à cause de la ténacité et de l’adhérence mutuelle des particules de l’eau, et qui se trouve d’ailleurs confirmée par l’expérience, même à l’égard des grandes ondes de la mer.
De cette manière donc la vitesse des ondes déterminera elle-même la
profondeur
à laquelle l’eau est agitée dans leur formation : car, si cette vitesse est de
pieds par seconde, on aura
![{\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}}{g}}={\frac {n^{2}}{30{,}196}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c8b675e76c9cc16ac20b56b8f9ca173b03fbaa)
pieds.
On trouve dans le tome X des anciens Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris des expériences sur la vitesse des ondes, faites par M. de la Hire, et qui ont donné environ
pied et demi par seconde pour cette vitesse, ou plus exactement
pieds par seconde. Faisant donc
on aura la profondeur de
de pied, à voir de
de pouce, ou
lignes à peu près.
fin du tome quatrième.