Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie, article 12

Autres solutions des deux mêmes problèmes, aussi avec la règle ; par M. Rochat.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 1, 1811 (p. 342).

◄ Solution, avec la règle, de ces deux problèmes : 1.^o Inscrire à une courbe du second degré, un triangle dont les côtés passent respectivement par trois points donnés ? 2.^o circonscrire à une courbe du second degré un triangle dont les sommets soient respectivement sur trois droites données ? par M. Servois.

Solution de ce problème : À un triangle donné quelconque inscrire trois cercles de manière que chacun d’eux touche les deux autres et deux côtés du triangle ? par les Rédacteurs des Annales. ►

Autres solutions des deux mêmes problèmes, aussi avec la règle ; par M. Rochat.

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Autre solution du même problème ;

Par M. Rochat, professeur de mathématiques et de
navigation à St-Brieux.

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Énoncé. $A B, B C, C A$ (fig. 6.) étant trois droites indéfinies, données de position, sur le plan d’une courbe du second degré $S X Y V$ ; on propose de circonscrire à la courbe, en n’employant que la règle seulement, un triangle dont les sommets soient sur les côtés du triangle $A B C$ .

Construction. Par l’un quelconque $d$ des points de l’un quelconque $A B$ des côtés du triangle $A B C$ , soient menées à la courbe les trois sécantes arbitraires : $d e f, d g h, d k l;$ soit $m$ le point de concours de $f g$ et $h e$ ; soit $n$ le point de concours de $k h$ et $g l$ , et soit menée $m n$ ; en variant la situation du point $d$ sur $A B$ , on obtiendra une nouvelle droite $m n$ coupant la première en quelque point ; soit $O$ ce point. Soit ensuite déterminé, par une semblable opération, un point $P$ qui soit par rapport à $A C$ ce qu’est le point $O$ par rapport à $A B$ ^[1].

Par $C$ et $O$ soit menée une droite se terminant à $A B$ en $Q$ ; soit de même menée par $B$ et $P$ une droite se terminant à $A C$ en $R$ ; soit ensuite menée $Q R$ coupant la courbe aux points $S$ et $T$ .

Par $S$ et $P$ soit menée une droite se terminant d’une part à la courbe en $V$ et de l’autre à $A C$ en $U$ ; par $U$ soit menée à la courbe une sécante arbitraire $U X Y$ ; soient menées $S Y$ et $V X$ se coupant en $Z$ ; par $Z$ et $P$ soit menée une droite se terminant à $A C$ en $B^{'}$ .

Enfin par $B^{'}$ soient menées à $S$ et $V$ des droites se terminant en $C^{'}$ et $A^{'}$ à $A B$ et $C B$ ; menant alors $A^{'} C^{'}$ , le triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ sera une des solutions du problème ; on obtiendra l’autre en opérant sur le point $T$ comme il vient d’être dit pour le point $S$ .

Toutes les constructions qui viennent d’être indiquées peuvent se démontrer par l’analise géométrique.

↑ Il est aisé de voir que $O$ et $P$ ne sont autre chose que les pôles de $A B$ et $A C$ .
(Note des éditeurs.)

[1] Il est aisé de voir que $O$ et $P$ ne sont autre chose que les pôles de $A B$ et $A C$ .
(Note des éditeurs.)

[1]