Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie analitique, article 1

Solution de ce problème : Trouver une courbe telle que toutes celles de ses cordes qui passeront par un point donné de son plan soient d’une même longueur donnée ? par M. Jouvin.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 1, 1811 (p. 124-126).

◄ Solutions, purement géométriques, de ce problème : Lier des points donnés, en nombre quelconque, par un système de droites dont la longueur totale soit la moindre possible ? et de quelques autres problèmes de minimis ; par un Abonné.

Recherche de l’équation d’une courbe du second degré, donnée d’espèce sur un plan ; par M. Raymond. ►

Solution de ce problème : Trouver une courbe telle que toutes celles de ses cordes qui passeront par un point donné de son plan soient d’une même longueur donnée ? par M. Jouvin.

journalAnnales de mathématiques pures et appliquéesSolution de ce problème : Trouver une courbe telle que toutes celles de ses cordes qui passeront par un point donné de son plan soient d’une même longueur donnée ? par M. Jouvin.1811NîmesV1Solution de ce problème : Trouver une courbe telle que toutes celles de ses cordes qui passeront par un point donné de son plan soient d’une même longueur donnée ? par M. Jouvin.Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvuAnnales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/3124-126

Solution du problème II de la page 17 de ce volume ;

Par M. J. Jouvin, ancien élève de l’école impériale
polytechnique.

Énoncé. Déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui jouissent de cette propriété, savoir : que toutes celles de leurs cordes dont la direction passe par un certain point de leur plan sont d’une longueur donnée et constante ?

Construction. Soit, le point donné, et $2 r$ la longueur constante de toutes les cordes dont la direction passe par ce point. Soit tracé à volonté une courbe continue ou discontinue que nous désignerons par $A$ ; soit mené par le point, une suite de droites $D$ coupant $A$ en une suite de points $C$ ; enfin, de chacun de ces points $C$ comme centre, et avec le rayon constant $r$ , soit décrit une suite de cercles ; chacun de ces cercles coupera celle des droites $D$ sur laquelle son centre $C$ se trouvera situé, en deux points $M$ et $N$ ; alors tous les points $M$ et tous les points $N$ se trouveront sur deux branches d’une courbe unique qui satisfera, dans toute son étendue, aux conditions du problème ; et cette courbe sera continue ou discontinue, suivant la nature de la courbe arbitraire $A$ .

Analise. Soit rapporté la courbe arbitraire $A$ à deux axes rectangulaires passant par $P$ , et supposons qu’alors son équation soit :

y = f (x)

;

l’équation générale des droites $D$ sera :

y = α x

,

$α$ étant une indéterminée.

On obtiendra ensuite les équations de tous les points $C$ , en combinant entre elles les deux équations

y = f (x), y = α x

;

d’où on conclura d’abord : $f (x) = α x$ . Si l’on suppose que cette équation, résolue par rapport à x, donne $x = φ (α)$ , les points $C$ auront pour leurs équations : $x = φ (α); y = α φ (α)$ .

Les cercles qui auront ces points pour centres et r pour rayon auront donc pour équation générale :

{[x - φ (α)]}^{2} + {[y - α φ (α)]}^{2} = r^{2}

;

en sorte que la combinaison de cette équation avec l’équation $y = α x$ de $D$ fera connaître les points $M$ et $N$ qui répondent à chaque valeur particulière de l’indéterminée $α .$

Éliminant donc cette indéterminée entre ces deux équations, l’équation résultante en x et y sera celle du lieu géométrique de tous les points $M$ et $N$ ; elle sera donc l’équation de la courbe cherchée. L’équation la plus générale des courbes qui satisfont aux conditions du problème proposé est donc :

{x - φ (\frac{y}{x})}^{2} + {y - \frac{y}{x} φ (\frac{y}{x})}^{2} = r^{2}

dans laquelle $φ$ désigne une fonction absolument arbitraire.

Remarque. Nous avons supposé qu’on s’était donné la fonction $f$ , et nous avons vu que, dans ce cas, la fonction $φ$ n’était autre chose que la fonction de $α$ qu’on obtenait pour valeur de $x,$ en résolvant l’équation :

f (x) = a x

.

Si, au contraire, c’était la fonction $φ$ qui fût donnée, et qu’on voulût en déduire la fonction $f$ , cette dernière fonction ne serait autre chose que la fonction de $x$ qu’on obtiendrait, en éliminant $α$ entre les deux équations :

x = φ (α); y = α φ (α)

.

et en résolvant ensuite l’équation résultante par rapport à $y .$

Nous ne nous arrêterons pas aux applications qu’on peut faire des résultats auxquels nous sommes parvenus, attendu que ces applications ne peuvent présenter de difficultés.