Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie analitique, article 1

Solution de ce problème : Trouver une courbe telle que toutes celles de ses cordes qui passeront par un point donné de son plan soient d’une même longueur donnée ? par M. Jouvin.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 1, 1811 (p. 124-126).

Solution du problème II de la page 17 de ce volume ;

Par M. J. Jouvin, ancien élève de l’école impériale
polytechnique.

Énoncé. Déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui jouissent de cette propriété, savoir : que toutes celles de leurs cordes dont la direction passe par un certain point de leur plan sont d’une longueur donnée et constante ?

Construction. Soit, le point donné, et $2r$ la longueur constante de toutes les cordes dont la direction passe par ce point. Soit tracé à volonté une courbe continue ou discontinue que nous désignerons par $\mathrm {A}$ ; soit mené par le point, une suite de droites $\mathrm {D}$ coupant $\mathrm {A}$ en une suite de points $\mathrm {C}$ ; enfin, de chacun de ces points $\mathrm {C}$ comme centre, et avec le rayon constant $r$, soit décrit une suite de cercles ; chacun de ces cercles coupera celle des droites $\mathrm {D}$ sur laquelle son centre $\mathrm {C}$ se trouvera situé, en deux points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ; alors tous les points $\mathrm {M}$ et tous les points $\mathrm {N}$ se trouveront sur deux branches d’une courbe unique qui satisfera, dans toute son étendue, aux conditions du problème ; et cette courbe sera continue ou discontinue, suivant la nature de la courbe arbitraire $\mathrm {A}$.

Analise. Soit rapporté la courbe arbitraire $\mathrm {A}$ à deux axes rectangulaires passant par $\mathrm {P}$, et supposons qu’alors son équation soit :

$y=f(x)$ ;

l’équation générale des droites $\mathrm {D}$ sera :

$y=\alpha x$,

$\alpha$ étant une indéterminée.

On obtiendra ensuite les équations de tous les points $\mathrm {C}$, en combinant entre elles les deux équations

$y=f(x),\ y=\alpha x$ ;

d’où on conclura d’abord : $f(x)=\alpha x$. Si l’on suppose que cette équation, résolue par rapport à x, donne $x=\varphi (\alpha )$, les points $\mathrm {C}$ auront pour leurs équations : $x=\varphi (\alpha ){\text{ ; }}y=\alpha \varphi (\alpha )$.

Les cercles qui auront ces points pour centres et r pour rayon auront donc pour équation générale :

$\left[x-\varphi (\alpha )\right]^{2}+\left[y-\alpha \varphi (\alpha )\right]^{2}=r^{2}$ ;

en sorte que la combinaison de cette équation avec l’équation $y=\alpha x$ de $\mathrm {D}$ fera connaître les points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ qui répondent à chaque valeur particulière de l’indéterminée $\alpha .$

Éliminant donc cette indéterminée entre ces deux équations, l’équation résultante en x et y sera celle du lieu géométrique de tous les points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ; elle sera donc l’équation de la courbe cherchée. L’équation la plus générale des courbes qui satisfont aux conditions du problème proposé est donc :

$\left\{x-\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {y}{x}}\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)\right\}^{2}=r^{2}$

dans laquelle $\varphi$ désigne une fonction absolument arbitraire.

Remarque. Nous avons supposé qu’on s’était donné la fonction $f$, et nous avons vu que, dans ce cas, la fonction $\varphi$ n’était autre chose que la fonction de $\alpha$ qu’on obtenait pour valeur de $x,$ en résolvant l’équation :

$f(x)=ax$.

Si, au contraire, c’était la fonction $\varphi$ qui fût donnée, et qu’on voulût en déduire la fonction $f$, cette dernière fonction ne serait autre chose que la fonction de $x$ qu’on obtiendrait, en éliminant $\alpha$ entre les deux équations :

$x=\varphi (\alpha ){\text{ ; }}y=\alpha \varphi (\alpha )$.

et en résolvant ensuite l’équation résultante par rapport à $y.$

Nous ne nous arrêterons pas aux applications qu’on peut faire des résultats auxquels nous sommes parvenus, attendu que ces applications ne peuvent présenter de difficultés.