ANALISE.
Formule nouvelle pour calculer les logarithmes ;
Par M. du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.
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On sait qu’en représentant par la caractéristique des logarithmes
naturels, on a généralement
.
Cette série, qui ne peut converger lorsque , a cependant été
mise par Lagrange sous une forme très-convergente, en substituant à
la quantité ; ce qui a donné à ce grand géomètre l’équation
.
dont le second membre converge rapidement lorsqu’on prend assez
grand pour que n’excède l’unité que d’une très-petite fraction ; mais
la longueur du calcul qu’exige l’extraction de la racine de , lors
même qu’on prend égale à une puissance exacte de 2, afin de n’avoir que des extractions de racines quarrées à effectuer, a fait rejeter
cette formule, lorsqu’on a voulu calculer des tables de logarithmes.
Si l’on substitue successivement et à la place de dans
l’équation , qu’ensuite on retranche la seconde équation trouvée
de la première ; en posant, d’où on obtiendra la formule déjà connue
qui est convergente et assez simple.
Voilà les seules formules de ce genre, du moins à ma connaissance, qui ont été trouvées jusqu’à présent. Mais mes recherches sur cet objet m’ont conduit à la formule suivante
qui est beaucoup plus convergente que la formule , et qui se démontre comme je vais l’expliquer[1].
On sait qu’en prenant l’intégrale de la formule de manière que cette intégrale s’évanouisse lorsque z=0, on a complètement
d’où l’on tire
Mais, en se servant de la méthode d’intégration par approximation que j’ai donnée au chapitre IV de la première section de mon calcul intégral (art. 257 et 258)[2], et que je crois nouvelle, on a
en prenant, comme précédemment, l’intégrale de manière qu’elle s’évanouisse lorsque .
Substituant cette valeur de dans l’équation , on a
Soit fait
substituant ces valeurs dans l’équation , en observant que , et multipliant toute l’équation par 2, on obtiendra la formule qu’il s’agissait de démontrer.
Si, après avoir divisé les deux membres de l’équation
par
on y suppose
elle deviendra en transposant
résultat assez remarquable[3].