ANALISE.
Méthode nouvelle et fort simple pour la résolution de
l’équation générale du quatrième degré ;
Par M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers.
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Soit l’équation du quatrième degré, sans second terme,
![{\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0.\qquad \mathrm {(A)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c442039c7c74e1af1540b538a2342ef7de4ebb)
Soit fait
il viendra, en substituant et ordonnant par rapport à y,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}y^{4}+4ty^{3}&+6t^{2}\\&+2p\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y^{2}&+4t^{3}\\&+2pt^{2}\\&+q\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y&+t^{4}\\&+pt^{2}\\&+qt\\&+r\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}&=0.\qquad \mathrm {(B)} \\&\\&\\&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8be713e1fed151f7f3497e62d57eead9257e0c)
Soit fait
![{\displaystyle 4ty^{3}+(4t^{3}+2pt^{2}+q)y=0~;\;\qquad \mathrm {(C)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3476548d8f9b21543f08e43a39df44992132d076)
l’équation
deviendra
![{\displaystyle y^{4}+(6t^{2}+2p)y^{2}+(t^{4}+pt^{2}+qt+r)=0.\qquad \mathrm {(D)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef4aa1ed231fe7c1c96c0bb03ab59fa6353aa18)
Mais l’équation
, délivrée du facteur
donne
![{\displaystyle y^{2}=-t^{2}-{\frac {p}{2}}t-{\frac {q}{4t}}.\;\qquad \mathrm {(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12d28969d5c5e5626d7aa9ec1a68d032a345957)
En substituant cette valeur et son quarré dans l’équation
, on obtient la réduite
![{\displaystyle t^{6}+{\frac {p}{2}}t^{4}+\left({\frac {p^{2}}{16}}-{\frac {r}{4}}\right)t^{2}-{\frac {q^{2}}{64}}=0.\;\qquad \mathrm {(F)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07974278097cfb3327fcf1146405c2ac79cc96ce)
Soient
les six racines de cette équation, on aura, par la théorie connue,
![{\displaystyle {\frac {p}{2}}=-t'^{2}-t''^{2}-t'''^{2}~;~{\frac {q^{2}}{64}}=t'^{2}t''^{2}t'''^{2}{\text{ ou }}{\frac {q}{4}}=\pm 2t't''t'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7f631b238c3eaef7615f6c637b9da94497fdbd)
Le signe supérieur répondant à la valeur
et l’inférieur à la valeur ![{\displaystyle -t'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c253c300c727365bd79177849098dc018def31f)
Substituant dans la valeur
de
en y mettant pour
l’une des trois valeurs
la première par exemple, on trouvera, à cause du double signe de la valeur de
![{\displaystyle y=\pm (t''-t'''),\quad y=\pm (t''+t''')~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572edb9cb3bb448195c8f2411e85ef8baed2bce3)
mais on a, dans le premier cas,
et dans le second
il viendra donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=+t'+t''-t'''~;\\x&=+t'-t''+t'''~;\\x&=-t'+t''+t'''~;\\x&=-t'-t''-t'''.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a2ae2a4ff1f428e86dd9a20e3cf54b01a0394e)