Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise indéterminée, article 1

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ANALISE INDÉTERMINÉE.

Résolution, en nombres entiers positifs, de l’équation
générale du premier degré à deux indéterminées.
Par M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers.
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Nous nous proposons ici de résoudre en nombres entiers positifs, lorsque cela est possible, l’équation du premier degré à deux indéterminées

En supposant que sont des nombres entiers, que et sont premiers entre eux, et qu’on a nous aurons à considérer successivement les trois équations

ce sont, en effet, les seules variétés de la proposée, compatibles avec les conditions du problème.

§. 1.
Solution de l’équation

Opérons sur et , comme si nous cherchions leur plus grand commun diviseur ; nommons les restes successifs dont le dernier sera nécessairement égal à l’unité, et les quotiens, nous aurons cette suite d’équation,

Mettant pour sa valeur dans la proposée, divisant par et transposant, on aura

mais devant être des nombres entiers, et étant lui-même un nombre entier, en désignant par un nombre entier indéterminé, on devra avoir

ainsi l’on a

d’une part
et de l’autre

Opérant sur cette dernière équation, comme sur la proposée, en continuant les mêmes raisonnemens et les hypothèses analogues, nous formerons ces deux séries d’équations

Si maintenant en substitue fa valeur de dans celle de , celle-ci dans celle de et ainsi de suite on parviendra, à la fin, à des valeurs entières des et  ; mais, en exécutant ces substitutions, on s’aperçoit bientôt qu’elles deviennent plus faciles et plus symétriques, en posant d’abord les équations suivantes :

Procédant alors aux substitutions, on aura pour 1.re équation

puis

observant alors que, par les équations , et que par les équations , il viendra

En continuant ce procédé, on formera le système d’équations

équations dans lesquelles il faudra prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs, suivant que sera impair ou pair. Cette remarque s’étendant également à tout ce qui a suivre, nous nous dispenserons de la répéter.

Pour calculer rapidement les valeurs des inconnues et , on cherchera d’abord les quotiens on écrira ensuite ou 1 sous le quotient  ; on multipliera par 1 et l’on aura qu’on écrira sous  ; on multipliera par , au produit on ajoutera ou 1, et l’on aura qu’on écrira sous  ; on multipliera par , au produit on ajoutera , et l’on aura ,: on continuera ainsi jusqu’à ce qu’on soit parvenu à et .

Nous ne répéterons pas ici les remarques connues, sur les diverses valeurs qu’on peut obtenir pour et  ; nous observerons seulement que, bien que le nombre entier puisse être pris à volonté ; il est néanmoins compris entre certaines limites, déterminées par la condition que et soient des nombres entiers positifs ; il faudra donc qu’on ait généralement.

Il y aura autant de solutions différentes qu’il se trouvera de nombres entiers compris entre et s’il ne s’en trouve aucun entre ces deux limites, la proposée n’aura aucune solution en nombres entiers positifs.

On peut, à la simple inspection de la proposée, assigner, au moins à une unité près, le nombre des solutions qu’elle peut admettre.

En effet, depuis jusqu’à il doit y avoir au moins autant de nombres entiers ou, au plus, autant de nombres entiers plus un que la différence contient d’unités entières ; mais on a

[1]

donc la proposée admet autant de solutions, au moins, en nombres positifs, qu’il y a d’unités entières dans , et elle ne peut en admettre qu’une de plus.

§. 2.
Solution de l’équation

La méthode à suivre dans ce second cas est exactement la même que pour le premier. En conséquence, les systèmes et ne subissent aucun changement, et il suffit d’indiquer les modulations qu’éprouvent les systèmes , , qui deviennent alors


On voit qu’ici ne sera susceptible que d’une seule limite. Si est impair, on pourra prendre pour un nombre entier positif quelconque ; et même un nombre négatif, pourvu qu’il ne soit pas plus grand que la plus petite des deux quantités .

Si est pair, on ne pourra prendre pour qu’un nombre positif, et ce nombre ne devra pas être moindre que la plus grande des deux quantités .

§. 3.
Solution de l’équation

En mettant cette équation sous la forme on voit qu’elle ne diffère de celle qui vient d’être discutée que par le signe de  ; il suffira donc, pour la résoudre, de changer le signe de , dans toutes les formules du §. 2. : on aura donc

Il faudra donc appliquer à pair ce qui a été dit de impair, et vice versâ.

Applications.

1.o Soit l’équation qui se rapporte au §. 1. On a d’abord il y aura donc quatre solutions au moins et cinq au plus.

Puisque est un nombre impair, on aura, en remplaçant par .

d’où on conclura

on fera donc successivement

2.o Soit encore l’équation qui se rapporte au §. 2.

On aura ici

Et, puisque est impair, il viendra, en remplaçant toujours par ,

faisant donc

Ces deux exemples sont tirés de l’algèbre d’Euler.

  1. Pour obtenir ces résultats, il faut d’abord substituer pour et , ensuite pour et , et etc., leurs valeurs urées des équations et . Il est de plus essentiel de se rappeler qu’il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs, suivant que est ou .