Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise transcendante, article 1

Méthode de différentiation, indépendante du développement des fonctions en séries ; par feu Français.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 325-331).

ANALISE TRANSCENDANTE.

Méthode de différenciation, indépendante du développement
des fonctions en séries.

Par feu Français, professeur aux écoles d’artillerie.^[1]

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Toutes les méthodes de différentiation, connues jusqu’à présent, supposent le développement des fonctions en séries ; et la chose parait même, en quelque sorte, inévitable, puisque les différentielles d’une fonction ne sont autre chose que les coefficiens des termes successifs du développement de ce que devient cette fonction, lorsque la variable reçoit un accroissement arbitraire. Il peut donc paraître assez intéressant de déterminer les différentielles d’une fonction, sans recourir à ce développement ; c’est l’objet de la méthode que je vais exposer. Elle ne suppose connues que la différentielle de la somme $x+y,$ et celle du produit $xy,$ et repose sur les deux lemmes suivans :

LEMME I. $x$ et $y$ étant deux variables entièrement indépendantes, et $P,Q,R,S$ étant des fonctions quelconques de $x$ et $y$ ; si l’on a l’équation

$P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y=R\operatorname {d} x+S\operatorname {d} y,$

on en pourra conclure ces deux-ci

$P=R,\quad Q=S.$

Démonstration. Si l’équation $(P-R)\operatorname {d} x+(Q-S)\operatorname {d} y=0$ n’était point identique, ce serait une équation différentielle en vertu de laquelle $y$ se trouverait, contrairement à l’hypothèse, une certaine fonction de $x$ ; on a donc nécessairement $P-R=0$ et $Q-S=0$ ; donc, etc.

LEMME II. $X$ et $Y$ étant deux fonctions composées de la même manière, la première en $x$ et la seconde en $y,$ variables indépendantes : si l’on a $X=Y,$ on en pourra conclure $X=$constante.

Démonstration. D’après l’hypothèse, la fonction $X$ doit devenir la fonction $Y,$ si l’on y met $y$ au lieu de $x$ ; mais, à cause de $X=Y$, la fonction $X$ ne doit pas changer de valeur, par l’effet de cette substitution ; donc, puisque $y,$ indépendant de $x$, peut représenter des valeurs quelconques de $x$, la fonction $X$ est tellement constituée, qu’elle conserve la même valeur, quelle que soit d’ailleurs la variation de $x$ ; propriété qui caractérise les constantes ; donc, etc.

Cela posé, soit 1.^o à différentier $x^{m}$ ?

Soient $x$ et $y$ deux variables absolument indépendantes ; on aura

$(xy)^{m}=x^{m}y^{m}.$ (1)

Désignons la différentielle inconnue de $x^{m}$ par $\varphi (x)\operatorname {d} x$ ; nous aurons, en différentiant l’équation, (1)

$\varphi (xy)(y\operatorname {d} x+x\operatorname {d} y)=y^{m}\varphi (x)\operatorname {d} x+x^{m}\varphi (y)\operatorname {d} y\,;$

d’où nous tirerons, par le Lemme 1,

$y\varphi (xy)=y^{m}\varphi (x),\quad x\varphi (xy)=x^{m}\varphi (y)\,;$

ce qui donne, par l’élimination de \varphi(xy) et la suppression des facteurs communs,

$y^{m-1}\varphi (x)=x^{m-1}\varphi (y),\quad$ou$\quad {\frac {\varphi (x)}{x^{m-1}}}={\frac {\varphi (y)}{y^{m-1}}}\,;$

on a donc, par le Lemme II, $+{\frac {\varphi (x)}{x^{m-1}}}=C;$ donc $\varphi (x)=Cx^{m-1}$ par conséquent,

$\operatorname {d} x^{m}=Cx^{m-1}\cdot \operatorname {d} x$

2.^o Soit à différentier $a^{x}$ ?

En supposant encore $y$ quelconque et indépendante de $x,$ on aura

$a^{x+y}=a^{x}.a^{y}.$ (2)

Soit $\varphi (x)\operatorname {d} x$ la différentielle de $a^{x}$ ; il viendra, en différentiant l’équation (2),

$\varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)=a^{y}\varphi (x)\operatorname {d} x+a^{x}\varphi (y)\operatorname {d} y\,$

d’où nous tirerons, par le Lemme I,

$\varphi (x+y)=a^{y}\varphi (x),\quad \varphi (x+y)=a^{x}\varphi (y)$

donc

$a\varphi (x)=a^{x}\varphi (y),{\text{ ou }}{\frac {\varphi (x)}{a^{x}}}={\frac {\varphi (y)}{a^{y}}}\,;$

et, par le Lemme II, ${\frac {\varphi (x)}{a^{x}}}=C$ ; donc $\varphi [x)=Ca^{x},$ et par conséquent

$\operatorname {d} .a^{x}=Ca^{x}\operatorname {d} x.$

3.^o Soit à différentier $\operatorname {Log} .x,$ pour un système quelconque ?

On aura par la définition de la fonction proposée,

$\operatorname {Log} .(xy)=\operatorname {Log} .x+\operatorname {Log} .y.$ (3)

Soit $\varphi (x)\operatorname {d} x$ la différentielle de $\operatorname {Log} .x$ ; il viendra en différentiant l’équation (3)

$\varphi (xy)(y\operatorname {d} x+x\operatorname {d} y)=\varphi (x)\operatorname {d} x+\varphi (y)\operatorname {d} y\,$

donc (Lemme I)

$y\varphi (xy)=\varphi (x),\quad x\varphi (xy)=\varphi (y)\,;$

d’où

$x\varphi (x)=y\varphi (y)\,;$

donc (Lemme II) $x\varphi (x)=C,{\text{ ou }}\varphi (x)={\frac {C}{x}}$ et par conséquent

$\operatorname {d.Log} .x={\frac {C\operatorname {d} x}{x}}$

4.^o Soit à différentier $\operatorname {Sin} .x$ ?

Soit $\operatorname {d.Sin} .x=\varphi (x)\operatorname {d} x$ ; en différentiant l’équation $\operatorname {Sin} .^{2}x+\operatorname {Cos} .^{2}x=1\,;$ il vient $\operatorname {Sin} .x.\varphi (x).\operatorname {d} x+\operatorname {Cos} .x.\operatorname {d.Cos} .x=0\,;$ d’où $\operatorname {d.Cos} .x=-{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x.$

D’un autre côté on a, par la définition de la fonction proposée,

$\operatorname {Sin} .(x+y)=\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y\,;$ (4)

d’où on conclura, par la différentiation,

$\varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .y.\varphi (x)\operatorname {d} x-\operatorname {Sin} .x\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y)\operatorname {d} y\\+&\operatorname {Cos} .x.\varphi (y)\operatorname {d} y-\operatorname {Sin} .y\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x\\\end{aligned}}\right.$

ou

$\varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y)\operatorname {d} y\,;$

donc (Lemme I)

$\varphi (x+y)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y),$

ou

${\frac {\varphi (x)}{\operatorname {Cos} .x}}={\frac {\varphi (y)}{\operatorname {Cos} .y}},$

donc (Lemme II) ${\frac {\varphi (x)}{\operatorname {Cos} .x}}=C\,;$ donc $\varphi (x)=C\operatorname {d} x\cdot \operatorname {Cos} .x\,;$ donc enfin

$\operatorname {d.Sin} .x=C\operatorname {d} x\cdot \operatorname {Cos} .x\,;$

et, puisqu’on a

$\operatorname {d.Cos} .x=-{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x,$

il viendra en outre

$\operatorname {d.Cos} .x=-C\operatorname {d.Sin} .x.$

Il reste maintenant à déterminer les constantes qui entrent dans ces différentielles.

1.^o Dans l’équation $\operatorname {d} .x^{m}=Cx^{m-1}\operatorname {d} x,$ la constante $C$ ne peut être qu’une fonction de $m$ ; en la désignant par $f(m),$ elle se changera en $f(n),$ pour la différentielle de $x^{n},$ et en $f(m+n)$ pour celle de $x^{m+n}$ ; or on a

$x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n},$

d’où on conclura, par la différentiation,

$f(m+n)x^{m+n-1}\operatorname {d} x=f(m)x^{m+n-1}\operatorname {d} x+f(n)x^{m+n-1}\operatorname {d} x\,;$

c’est-à-dire,

$f(m+n)=f(m)+f(n).$ (5)

Soit $\operatorname {d} .f(m)=\psi (m)\,;$ en différentiant l’équation (5), il viendra

$\psi (m+n)(\operatorname {d} m+\operatorname {d} n)=\psi (m)\operatorname {d} m+\psi (n)\operatorname {d} n\,;$

donc (Lemme I)

$\psi (m+n)=\psi (m)=\psi (n)$ :

donc (Lemme II) $\psi (m)=a,$ $a$ étant une nouvelle constante ; on a donc $\operatorname {d} .f(m)=a\operatorname {d} m,$ d’où $f(m)=am\,;$ nous n’ajoutons pas de nouvelle constante parce que $f(m)$ doit être nulle en même temps que $m.$

On a donc

$\operatorname {d} .x^{m}=amx^{m-1}\operatorname {d} x\,;$

et, si l’on fait $m=1,$ on en conclura $\operatorname {d} x=a\operatorname {d} x\,;$ donc $a=1$ ; donc $C=m$ ; donc enfin

$\operatorname {d} .x^{m}=max^{m-1}\operatorname {d} x.$

2.^o Dans la différentielle $\operatorname {d} .a^{x}=Ca^{x}\operatorname {d} x,$ la constante $C$ ne peut être qu’une fonction de $a$ qu’on appelle la base, et doit changer avec cette base. Appelons $e$ la valeur de $a$ pour laquelle $C$ devient l’unité, nous aurons

$\operatorname {d} .e^{x}=a^{x}\operatorname {d} x.$

Faisons ensuite $a^{x}=e^{y}\,;$ nous en conclurons, par la différentiation

$Ca^{x}\operatorname {d} x=e^{y}\operatorname {d} y,{\text{ d’où }}C={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;$

or, si nous désignons par la caractéristique $l$ les logarithmes qui répondent à la base $e$ et qu’on appelle Logarithmes naturels, et par L ceux qui répondent à la base $a,$ l’équation $a^{x}=e^{y}$ donnera $x\operatorname {l} a=y$ et $x=yLe\,;$ donc

$\operatorname {d} x=\operatorname {d} x\operatorname {l} a,\quad \operatorname {d} x=\operatorname {d} yLe\,;$

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\operatorname {l} a={\frac {1}{Le}},{\text{ d’où }}C=\operatorname {l} a={\frac {1}{Le}}.$

3.^o La constante $C,$ dans l’équation $\operatorname {d} .Lx={\frac {C\operatorname {d} x}{x}},$ se détermine bien facilement par ce qui précède. En posant $Lx=y,$ il vient ${\frac {C\operatorname {d} x}{x}}=\operatorname {d} y,$ d’où $C={\frac {x\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;$ or de $Lx=y$ résulte $x=a^{y}$ et conséquemment $\operatorname {d} x\operatorname {l} a.a^{y}\operatorname {d} y=\operatorname {l} a.x\operatorname {d} y,$ ou bien $\operatorname {d} x={\frac {a^{y}\operatorname {d} y}{Le}}={\frac {x\operatorname {d} y}{Le}}$ donc $C={\frac {1}{la}}$$=Le,$ et par conséquent

$\operatorname {d} .Lx={\frac {\operatorname {d} x}{xla}}={\frac {\operatorname {d} xLe}{x}}.$

4.^o Si, dans l’équation $\operatorname {d.Sin} .x=C\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x,$ on suppose que l’arc $x$ décroisse continuellement, jusqu’à devenir nul, on aura $\operatorname {Sin} .x=x$ et $\operatorname {Cos} .x=1,$ d’où $\operatorname {d.Sin} .x=C\operatorname {d} x$ ou $\operatorname {Sin} .x=Cx,$ ce qui donne $C={\frac {\operatorname {Sin} .x}{x}}\,;$ mais, on démontre rigoureusement^[2] qu’à la limite ${\frac {\operatorname {Sin} .x}{x}}=1\,;$ donc $C=1,$ et conséquemment

$\operatorname {d.Sin} .x=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x,\quad \operatorname {d.Cos} .x=-\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x.$

D’après cette détermination des constantes, les différentielles des fonctions $x^{m},a^{x},\operatorname {Log} .x,\operatorname {Sin} .x,\operatorname {Cos} .x$ se trouvent ramenées à la forme connue. Et, comme ces fonctions sont les elemens de toutes les autres fonctions connues, on parviendra sans difficulté, par ce qui précède, aux différentielles de ces dernières.

On voit, par la manière dont nous avons déterminé la constante dans $\operatorname {d} .x^{m},$ que notre méthode peut être employée à déterminer la forme d’une fonction inconnue qui doit satisfaire à une relation donnée.

1. Ce mémoire a été communiqué aux Rédacteurs des Annales par M. J. Français, professeur à l’école de l’artillerie et du génie, frère de l’Auteur.

   Le même géomètre a aussi adressé aux Rédacteurs des Annales une démonstration du théorème énoncé à la page 96 de ce volume, qui leur est malheureusement parvenue trop tard pour qu’il ait pu en être fait mention à temps. Elle est, au surplus, semblable en tout à celle qui a été donnée par M. Tédenat à la page 182.

   (Note des éditeurs.)
2. Voyez le Calcul des fonctions, leçon v^e.