Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 1

Solution de ce problème : Mener dans un angle, par un point donné, une droite dont la longueur soit la moindre possible ? par M. Lhuilier.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 17-22).

GÉOMÉTRIE.

Solution d’un problème de géométrie, dépendant de la
théorie des maximis et minimis ;

Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.

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Problème. Par un point donné de position, dans un angle connu, faire passer une droite de manière que sa partie interceptée entre les côtés de l’angle soit la moindre possible ?^[1]

Soit $\mathrm {ACA}$, (fig. 1) un angle donné, et soit, un point donné entre les côtés de cet angle ; il s’agit de mener, par ce point $\mathrm {P}$, une droite dont la partie interceptée dans l’angle $\mathrm {ACA}$, soit la moindre possible.

Solution. Soient $\mathrm {XX'}$ et $\mathrm {ZZ'}$ deux droites égales inscrites dans l’angle $\mathrm {ACA'}$, et passant par $\mathrm {P}$. De ce point comme centre, avec les rayons $\mathrm {PZ}$ et $\mathrm {PX'}$ soient décrits deux arcs de cercle $\mathrm {Z} z$ et $\mathrm {X'} x',$ compris dans les angles $\mathrm {XPZ}$ et $\mathrm {X'PZ'.}$

Puisque $\qquad \qquad \qquad \mathrm {XX'=ZZ'}$,

on doit avoir $\qquad \qquad \qquad \mathrm {X} z=\mathrm {Z'} x'.$

Or,$\qquad \qquad \operatorname {Lim} .\mathrm {X} z:\mathrm {Z} z=1:\operatorname {Tang} .\mathrm {X}$,

$\qquad \qquad \operatorname {Lim} .\mathrm {Z} z:\mathrm {X'} x'=\mathrm {PX:PX'}$,

$\operatorname {Lim} .\mathrm {X} 'x':\mathrm {Z} 'x'=\operatorname {Tang} .\mathrm {X} ':1~;$

donc $\qquad \qquad \operatorname {Lim} .\mathrm {X} z:\mathrm {Z} 'x'=\mathrm {PX} \cdot \operatorname {Tang} .\mathrm {X} ':\mathrm {PX} '\cdot \operatorname {Tang} .\mathrm {X} .$

Donc, lorsque $\mathrm {XX} '$ est la plus petite, on doit avoir

$\mathrm {PX} .\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '=\mathrm {PX} '.\operatorname {Tang} .\mathrm {X} ,$

d’où$\qquad \qquad \mathrm {PX} :\mathrm {PX} '=\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '.$

Par $\mathrm {P}$ soient menées à $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CA} '$ des parallèles rencontrant ces droites en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ ; et, par le même point soient menées aux mêmes droites des perpendiculaires les rencontrant en $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} '$ ; on aura

$\mathrm {PX} :\mathrm {PX} '::\mathrm {BX} :\mathrm {PB} '::\mathrm {BX} :\mathrm {CB} ~;$

donc $\qquad \qquad \mathrm {BX} :\mathrm {CB} ::\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '.$

Premier cas. Que l’angle $\mathrm {C}$ soit droit, on aura

$\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '=\operatorname {Cot} .\mathrm {X} \qquad et\qquad \mathrm {BX} =\mathrm {BP} \operatorname {Cot} .\mathrm {X} ~;$

donc$\qquad \qquad \mathrm {BP} \operatorname {Cot} .\mathrm {X} :\mathrm {CB} =\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Cot} .\mathrm {X} ,$

et par conséquent

${\frac {\mathrm {CB} }{\mathrm {BP} }}={\frac {\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {X} }{\operatorname {Tang} .\mathrm {X} }}=\operatorname {Cot} .^{3}\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {BX} ^{3}}{\mathrm {BP} ^{3}}}~;$

donc

$\mathrm {BX} ^{3}=\mathrm {CB} \cdot \mathrm {BP} ^{2}~;$

on aura de même

$\mathrm {B} '\mathrm {X} '^{3}=\mathrm {CB} '\cdot \mathrm {B} '\mathrm {P} ^{2}=\mathrm {BP} \cdot \mathrm {CB} ^{2}.$

Le problème sera donc résolu puisque $\mathrm {BX}$ et $\mathrm {B'X} '$ seront donnés en fonctions de quantités connues, et on voit qu’il n’aura alors qu’une solution.

Deuxième cas. Que l’angle $\mathrm {C}$ ne soit pas droit. On parvient à une équation du troisième degré^[2], soit qu’on prenne pour inconnue la distance du point $\mathrm {X}$ à quelque point donné sur $\mathrm {CB}$, soit qu’on prenne pour inconnues les tangentes des angles $\mathrm {X}$ ou $\mathrm {X} '$.

Je vais, par exemple, chercher la position du point $\mathrm {X}$, par sa distance à quelque point donné sur $\mathrm {CB}$, et construire l’équation correspondante.

On a, comme il vient d’être prouvé ci-dessus,

$\mathrm {BX:CB=\operatorname {Cot} .X':\operatorname {Cot} .X~;}$

or,$\qquad \qquad \qquad \mathrm {\operatorname {Cot} .X={\frac {DX}{PD}},\qquad \operatorname {Cot} .X'={\frac {D'X'}{PD'}}~;}$

donc

$\mathrm {BX:CB={\frac {D'X'}{PD'}}:{\frac {DX}{PD}}={\frac {D'X'}{CB}}:{\frac {DX}{PrBD}},}$^[3]

et conséquemment

$\mathrm {BX:PB=D'X':DX=B'X'-B'D':DX,}$ $\mathrm {\qquad \qquad =B'X'\times BX-B'D'\times BX:DX\times BX,}$ $\mathrm {\qquad \qquad =B'D'\times BE-B'D'\times BX:BX\times DX}$^[4] $\mathrm {\qquad \qquad =B'D'\times EX:BX\times DX~;}$ donc

$\mathrm {BX:PB=B'D'\times EX:BX\times DX,}$

ou$\qquad \qquad \qquad \mathrm {BX^{2}:PB\times B'D'=EX:DX=EX\times DX:DX^{2},}$

ou enfin$\qquad \qquad \mathrm {BX^{2}:CB\times BD=EX\times DX:DX^{2}}$^[5].

Sur $\mathrm {ED,}$ comme diamètre, soit décrit un cercle, et du point $\mathrm {X}$ soit élevée à $\mathrm {DE}$ une perpendiculaire rencontrant en $\mathrm {V}$ la circonférence de ce cercle ; on aura $\mathrm {EX\times DX=XV^{2}~;}$ substituant donc dans la proportion ci-dessus, elle deviendra

$\qquad \qquad \qquad \mathrm {BX^{2}:\ CB\times BD=XV^{2}:DX^{2},}$

ou$\quad \qquad \qquad \mathrm {BX:\ {\sqrt {CB\times BD}}=XV:DX,}$

d’où$\qquad \qquad \ \ \mathrm {BX\times DX=XV{\sqrt {CB\times BD}}.}$

De là découle la construction suivante pour déterminer le point $\mathrm {X}$.

Soit $\mathrm {PB}$ parallèle à $\mathrm {CA'}$ rencontrant $\mathrm {CA}$ en $\mathrm {B}$ ; soit $\mathrm {PD}$ perpendiculaire à $\mathrm {CA}$ ; soit aussi $\mathrm {PD'}$ perpendiculaire à $\mathrm {CA'}$ et rencontrant $\mathrm {CA}$ en $\mathrm {E}$. Sur $\mathrm {DE}$ comme diamètre, soit décrit un cercle ; soit ensuite décrite la parabole qui est le lien géométrique de l’équation $\mathrm {BXD\times X=XV{\sqrt {CB\times BD}}~;}$ par le point $\mathrm {V}$ où cette parabole rencontre la circonférence du cercle soit abaissée une perpendiculaire $\mathrm {VX}$ sur $\mathrm {CA}$ ; alors le pied $\mathrm {X}$ de cette perpendiculaire sera le point cherché ; de manière qu’en menant par $\mathrm {X}$ et $\mathrm {P}$ une droite terminée en $\mathrm {X'}$ a $\mathrm {CA'}$, cette droite sera la plus petite de toutes celles qui, passant par $\mathrm {P}$ $\mathrm {P}$ se termineront à $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CA'}$.

Remarque I.^re L’équation $\mathrm {PX} \operatorname {Tang} .\mathrm {X'} =\mathrm {PX'} \operatorname {Tang} .\mathrm {X}$ devient indépendante de la nature des lignes entre lesquelles il faut inscrire la plus petite des droites qui passent par le point donné ; en substituant aux angles $\mathrm {X,X'}$ les angles que fait $\mathrm {XX'}$ avec les tangentes menées par les points $\mathrm {X,X'}$ aux courbes sur lesquelles ces points se trouvent situés.

Remarque II.^me Lorsque le point P est sur la droite qui coupe l’angle $\mathrm {ACA'}$ en deux parties égales, la plus petite des droites à inscrire est (comme il est connu) perpendiculaire à la droite $\mathrm {CP}$.

Remarque III.^me On pourrait obtenir le minimum proposé, en résolvant ce problème déterminé : Inscrire à un angle donné une droite d’une longueur donnée passant par un point donné ? et en cherchant les limites résultant de la construction. Or, ce problème déterminé est susceptible d’une construction élégante par le cercle et par l’hyperbole rapportés à ses asymptotes.

Remarque IV.^me On ramène à peu près de la même manière à un problème déterminé les problèmes suivans : Par un point donné, sur une surface, sphérique, et dans un angle sphérique formé sur cette surface ; mener un arc de grand cercle dont la partie inscrite dans l’angle sphérique soit la plus petite, ou tel que l’aire ou le contour du triangle retranché soit un minimum ?

1. Ce problème a été traité par M. Puissant, (Recueil de diverses propositions, etc., deuxième édition, pag. 423) ; mais son analise est toute différente de celle de M. Lhuilier.
   (Note des éditeurs.)
2. On parvient à une équation fort simple en procédant comme il suit :

   Soit $\mathrm {ACB}$, (fig. 2.) l’angle donné, soit $\mathrm {P}$ le point donné et soit enfin $\mathrm {XY}$ la droite cherchée. Soit mené $\mathrm {CP} =\mathrm {K} ~;$ soient faits $\operatorname {Ang} .\mathrm {PCA} =\alpha ,\ \operatorname {Ang} .\mathrm {PCB} =\beta ,$$\operatorname {Ang} .\mathrm {CPX} =\theta ~;$ on aura $\operatorname {Ang} .\mathrm {CPY} =\varpi -\theta ~;$ donc

   $\left.{\begin{aligned}\operatorname {Ang} .\mathrm {CXP} &=\varpi -(\theta +\alpha ),\\\operatorname {Ang} .\mathrm {CYP} &=(\theta -\beta ),\\\end{aligned}}\right\}{\text{d'où}}\left\{{\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\mathrm {CXP} &=\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha ),\\\operatorname {Sin} .\mathrm {CYP} &=\operatorname {Sin} .(\theta -\beta ),\\\end{aligned}}\right.$

   donc

   $\mathrm {PY} =\mathrm {K} \cdot {\frac {\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )}},\quad \mathrm {PX} =\mathrm {K} \cdot {\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )}}.$

   et par conséquent

   $\mathrm {XY=PY+PX=K} \left\{{\frac {\operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )}}+{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )}}\right\}$
   $=\mathrm {K} \operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .\theta }{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )}}.$

   Il faudra donc, pour avoir la valeur de $\theta$ qui convient au minimum, égaler à zéro la différentielle de

   ${\frac {\operatorname {Sin} .\theta }{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )}}~;$

   ce qui donnera

   $\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )\operatorname {Cos} .\theta$
   $-\left\{\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Cos} .(\theta -\beta )+\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )\operatorname {Cos} .(\theta +\alpha )\right\}\operatorname {Sin} .\theta =0.$

   En divisant cette équation par $\operatorname {Sin} .(\theta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\theta -\beta )\operatorname {Sin} .\theta$ elle devient

   $\operatorname {Cot} .\theta =\operatorname {Cot} .(\theta +\alpha )\operatorname {Cot} .(\theta -\beta )~;$

   équation équivalente à celle-ci

   $\operatorname {Cot} .\theta ={\frac {\operatorname {Cot} .\alpha \operatorname {Cot} .\theta -1}{\operatorname {Cot} .\alpha +\operatorname {Cot} .\theta }}+{\frac {\operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Cot} .\theta +1}{\operatorname {Cot} .\beta -\operatorname {Cot} .\theta }},$

   laquelle devient, en chassant les dénominateurs et réduisant,

   $\operatorname {Cot} .^{3}\theta +(2+\operatorname {Cot} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta )\operatorname {Cot} .\theta +(\operatorname {Cot} .\alpha -\operatorname {Cot} .\beta )=0~;$

   équation du troisième degré, sans second terme.

   (Note des éditeurs.)
3. À cause des triangles semblables $\mathrm {PDB}$ et $\mathrm {PD'B'.}$.
4. Par les triangles semblables, on a les deux proportions
   $\left.{\begin{aligned}\mathrm {B'X':B'P} &=\mathrm {BP:BX} ,\\\mathrm {B'P:B'D'} &=\mathrm {BE:BP} ~;\\\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}{\text{d’où }}\mathrm {B'X':B'D'} &=\mathrm {BE:BX} \\{\text{ ou }}\mathrm {B'X'\times BX} &=\mathrm {B'D'\times BE} .\\\end{aligned}}$
5. À cause de $\mathrm {BD:B'D'=PB:PB'}$ ou $\mathrm {CB}$, qui donne
   $\mathrm {PB\times B'D'=PB\times BD.}$
   (Note des éditeurs.)