QUESTIONS RÉSOLUES.
Démonstration du théorème énoncé à la page 164 de
ce volume ;
Par MM. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers, Legrand, professeur de Mathématiques,
et Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.
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Énoncé. Si, par l’un quelconque des points du périmètre d’une hyperbole, on mène deux droites , respectivement parallèles à ses asymptotes, et que, par un autre point quelconque , pris sur ce périmètre, on mène une suite de droites coupant en en et la courbe en on aura Constante.
Démonstration. MM. Pilatte, Legrand et Rochat ont donné de ce théorème des démonstrations analitiques qui reviennent à peu près à ce qui suit.
Soient pris (fig. 5) le point pour origine, la droite pour axe des , et la droite pour axe des ; l’équation de l’hyperbole sera de la forme
et donnera
si donc on désigne par l’abscisse du point m son ordonnée sera
En conséquence l’équation de sera de la forme
déterminant la direction de cette droite.
Si, dans l’équation on fait la valeur qui en résultera pour x celle de ; on aura donc
Si ensuite on élimine entre les équations et , en divisant l’équation résultante par la valeur qui en résultera pour sera alors l’abscisse du point , laquelle aura pour expression
ce sera donc là aussi la projection de sur l’axe des . Quant à la projection de sur le même axe, elle est la différence des abscisses des points et prises avec leurs signes ; ce sera donc
Ainsi, les projections de et sur l’axe des seront respectivement
et comme et sont proportionnelles à leurs projections sur une même droite, on doit avoir
quantité indépendante de , qui détermine la direction de , et qui sera conséquemment la même lorsque cette direction changera, pourvu que le point reste le même.
Outre cette démonstration analitique, M. Legrand a donné du théorème la démonstration purement géométrique que voici :
Soient le centre de la courbe ; ses asymptotes ; les points où elles sont rencontrées par la droite ; ceux où elles sont rencontrées par les prolongemens de et ; et soit menée par le point une parallèle à , se terminant en à
et coupant en .
Par la propriété fondamentale de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes et par les parallèles, on a
proportions qui, étant multipliées par ordre, donneront, en réduisant,
d’où
On aurait semblablement
ce qui fournit déjà un théorème assez remarquable.
Maintenant la proportion
donne
ou, en faisant attention que
ou
d’où
quantité constante, quelle que soit la direction de , tant que le point restera le même.
M. Pilatte indique, comme application de ce théorème, la résolution du problème suivant :
Décrire une hyperbole qui passe par trois points donnés, et dont les asymptotes soient parallèles à deux droites données ?
On tire, en effet, de la proportion ci-dessus
ou
et, si l’on mène par une parallèle à , coupant en , on aura pareillement
Cela posé, soient les trois points donnés ; par soient menées des parallèles aux droites données, et conséquemment aux asymptotes ; soit menée , coupant et en et ; et soient enfin menées, parallèlement aux mêmes droites, les droites et
, rencontrant en et les prolongemens de et . Alors les trois premiers termes de chacune des deux proportions cî-dessus se
trouvant connus, on pourra déterminer et , et conséquemment les points par lesquels menant des parallèles et
aux droites données, ces parallèles seront les asymptotes de la courbe,
dont la construction, par points, ne présentera plus alors aucune
difficulté.