Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 18

Démonstrations d’une propriété de l’hyperbole ; par MM. Pilatte, Legrand et Rochat.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 266-270).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration du théorème énoncé à la page 164 de
ce volume ;

Par MM. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers, Legrand, professeur de Mathématiques,
et Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.

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Énoncé. Si, par l’un quelconque $\mathrm {P}$ des points du périmètre d’une hyperbole, on mène deux droites $\mathrm {PA,PB}$, respectivement parallèles à ses asymptotes, et que, par un autre point quelconque $m$, pris sur ce périmètre, on mène une suite de droites coupant $\mathrm {PA}$ en $a,a',a'',\ldots ,$ $\mathrm {PB}$ en $b,b',b'',\ldots ,$ et la courbe en $n,n',n'',\ldots ,$ on aura ${\frac {na}{nb}}={\frac {n'a'}{n'b'}}={\frac {n''a''}{n''b''}}=\ldots =$Constante.

Démonstration. MM. Pilatte, Legrand et Rochat ont donné de ce théorème des démonstrations analitiques qui reviennent à peu près à ce qui suit.

Soient pris (fig. 5) le point $\mathrm {P}$ pour origine, la droite $\mathrm {PA}$ pour axe des $x$, et la droite $\mathrm {PB}$ pour axe des $y$ ; l’équation de l’hyperbole sera de la forme

$xy=hx+gy,\qquad \mathrm {(I)}$

et donnera

$y={\frac {hx}{g-x}}\,;$

si donc on désigne par $\alpha$ l’abscisse du point m$,$ son ordonnée sera

${\frac {h\alpha }{g-\alpha }}.$

En conséquence l’équation de $Mn$ sera de la forme

$y-{\frac {h\alpha }{g-\alpha }}=k(x-\alpha )\,;\qquad \mathrm {(II)}$

$k$ déterminant la direction de cette droite.

Si, dans l’équation $\mathrm {(II)}$ on fait $y=0,$ la valeur qui en résultera pour x $sera$ celle de $Pa$ ; on aura donc

$Pa=\alpha -{\frac {h\alpha }{k(g-\alpha )}}.$

Si ensuite on élimine $y$ entre les équations $\mathrm {(I)}$ et $\mathrm {(II)}$, en divisant l’équation résultante par $x-a,$ la valeur qui en résultera pour $x$ sera alors l’abscisse du point $n$, laquelle aura pour expression

$g-{\frac {gh}{k(g-\alpha )}}\,;$

ce sera donc là aussi la projection de $nb$ sur l’axe des $x$. Quant à la projection de $na$ sur le même axe, elle est la différence des abscisses des points $n$ et $a$ prises avec leurs signes ; ce sera donc

$\left\{\alpha -{\frac {h\alpha }{k(g-\alpha )}}\right\}-\left\{g-{\frac {gh}{k(g-\alpha )}}\right\}{\text{ ou }}{\frac {h}{k}}-(g-\alpha ).$

Ainsi, les projections de $na$ et $n$ sur l’axe des $x$ seront respectivement

${\frac {h}{k}}-(g-\alpha )={\frac {h-k(g-\alpha )}{k}},$

$g-{\frac {gh}{k(g-\alpha )}}=-g\cdot {\frac {h-k(g-\alpha )}{k(g-\alpha )}}\,;$

et comme $na$ et $nb$ sont proportionnelles à leurs projections sur une même droite, on doit avoir

${\frac {na}{nb}}=-{\frac {h-k(g-\alpha )}{k}}\cdot {\frac {k(g-\alpha )}{h-k(g-\alpha )}}\cdot {\frac {1}{g}}={\frac {\alpha -g}{g}}$

quantité indépendante de $k$, qui détermine la direction de $mn$, et qui sera conséquemment la même lorsque cette direction changera, pourvu que le point $m$ reste le même.

Outre cette démonstration analitique, M. Legrand a donné du théorème la démonstration purement géométrique que voici :

Soient $C$ le centre de la courbe ; $Cg,Ch$ ses asymptotes ; $M,N$ les points où elles sont rencontrées par la droite $mn$ ; $G,H$ ceux où elles sont rencontrées par les prolongemens de $PB$ et $PA$ ; et soit menée par le point $m$ une parallèle à $Cg$, se terminant en $d$ à $Ch$ et coupant $PG$ en $e$.

Par la propriété fondamentale de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes et par les parallèles, on a

$dm:PG::de:Ge,$

$PG:Ma::Ge:mM,$

$mN:dm::Nb:de\,;$

proportions qui, étant multipliées par ordre, donneront, en réduisant,

$mN:Ma::Nb:mM,$

d’où

$Ma\times Nb=mM\times mN.$

On aurait semblablement

$Ma\times Nb=nM\times nN\,;$

ce qui fournit déjà un théorème assez remarquable.

Maintenant la proportion

$mN:Ma::Nb:mM$

donne

$mN-Ma:Nb-mM::Ma:mM\,;$

ou, en faisant attention que $mM=nN,$

$mn-ma:nb::Ma:mM::PG:eG$

ou

$na:nbr::PG:eG,$

d’où

${\frac {na}{nb}}={\frac {PG}{eG}}$

quantité constante, quelle que soit la direction de $mn$, tant que le point $m$ restera le même.

M. Pilatte indique, comme application de ce théorème, la résolution du problème suivant :

Décrire une hyperbole qui passe par trois points donnés, et dont les asymptotes soient parallèles à deux droites données ?

On tire, en effet, de la proportion ci-dessus

$na-nb:na::PG-eG:PG,$

ou

$ab:na::Pe:PG\,;$

et, si l’on mène par $n$ une parallèle à $Ch$, coupant $PH$ en $f$, on aura pareillement

$ab:mb::Pf:PH.$

Cela posé, soient $m,P,n$ les trois points donnés ; par $P$ soient menées des parallèles aux droites données, et conséquemment aux asymptotes ; soit menée $mn$, coupant $PA$ et $PB$ en $a$ et $b$ ; et soient enfin menées, parallèlement aux mêmes droites, les droites $me$ et $nf$, rencontrant en $e$ et $f$ les prolongemens de $PB$ et $PA$. Alors les trois premiers termes de chacune des deux proportions cî-dessus se trouvant connus, on pourra déterminer $PG$ et $PH$, et conséquemment les points $G,H$ par lesquels menant des parallèles $Cg$ et $Ch$ aux droites données, ces parallèles seront les asymptotes de la courbe, dont la construction, par points, ne présentera plus alors aucune difficulté.