Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 5

Recherche de la grandeur et de la situation des diamètres principaux, dans les lignes du second ordre ; par M. Rochat.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 331-335).

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Construction des formules qui servent à déterminer
directement la grandeur et la situation des diamètres
principaux, dans les courbes du second degré rapportées
à deux axes rectangulaires quelconques.

Par M. Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.

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On donne, dans plusieurs ouvrages élémentaires, des méthodes propres à la recherche des diamètres principaux des courbes du second degré, rapportées à deux axes rectangulaires quelconques ; mais, les calculs relatifs à cette recherche n’y étant point terminés, j’ai pensé qu’il pouvait être utile de remplir cette lacune ; en donnant des formules propres à ramener directement l’équation

$ay^{2}+bxy+cx^{2}+dy+ex+f=0$ (1)

à la forme

$\pm A^{2}y^{2}+B^{2}x^{2}=A^{2}B^{2},$

si $b^{2}-4ac$ n’est pas zéro ; et à la forme

$y^{2}=Px,$

dans le cas contraire.

Pour parvenir à ce but, changeons d’abord, dans l’équation (1), $x$ en $x'+m,$ et $y$ en $y'+n,$ et ensuite $x'$ en $x''\operatorname {Cos} .\alpha -y''\operatorname {Sin} .\alpha ,$ et $y'$ en $x''\operatorname {Sin} .\alpha +y''\operatorname {Cos} .\alpha \,;$ la transformée en $x''$ et $y''$ sera

$\left.{\begin{aligned}a&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\-b&\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \\+c&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y''^{2}+2a\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\-2c\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\+b&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\-b&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x''y''+a&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\+b\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\+c&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x''^{2}+d'&\operatorname {Cos} .\alpha \\-e'&\operatorname {Sin} .\alpha \\&\\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y''+d'&\operatorname {Sin} .\alpha \\+e'&\operatorname {Cos} .\alpha \\&\\&\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}&x''+f'=0\,;\\&\\&\\&\\\end{aligned}}$

équation dans laquelle on a

${\begin{aligned}d'=&2an+bm+d,\\e'=&2cm+bn+c,\\\end{aligned}}\quad f'=an^{2}+bmn+cn^{2}+dn+em+f.$

Posons présentement

${\begin{aligned}&b(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha )+2(\alpha -c)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha =0,\\&a\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Sin} .^{2}\alpha =M,\\&a\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Cos} .^{2}\alpha =N\,;\\\end{aligned}}$

nous trouverons (Voyez Biot ou Garnier)

$\operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {b}{a-c}},{\begin{aligned}M=&{\tfrac {1}{2}}\left\{(a+c)+{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right\},\\N=&{\tfrac {1}{2}}\left\{(a+c)-{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right\},\\\end{aligned}}$

et la transformée sera

$My''^{2}+Nx''^{2}+(d'\operatorname {Cos} .\alpha -e'\operatorname {Sin} .\alpha )y''+(d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha )x''+f'=0.$(2)

Soit, en premier lieu $b^{2}-4ac$ positif ou négatif, différent de zéro ; en posant

$d'\operatorname {Cos} .\alpha -e'\operatorname {Sin} .\alpha =0,\quad d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =0,$

il viendra (Voyez les Auteurs cités)

$a={\frac {2ae-bd}{b^{2}-4ac}},\quad b={\frac {2cd-be}{b^{2}-4ac}}\,;$

et la transformée sera simplement

$My''^{2}+Nx''^{2}+f'=0.$

Si nous désignons respectivement par $A$ et $B,$ dans cette équation, les valeurs de $x''$ et $y''$ qui répondent à $y''=0$ et $x''=0,$ nous aurons

$M=-{\frac {f'}{B^{2}}},\quad N=-{\frac {f'}{A^{2}}}\,;$

ce qui donnera, en substituant et chassant les dénominateurs,

$A^{2}y''^{2}+B^{2}x''^{2}=A^{2}B^{2}.$

Si présentement nous portons les valeurs déterminées ci-dessus pour $a$ et $b$ dans celle de $f',$ elle deviendra, toutes réductions faites,

$f'={\frac {ae^{2}+cd^{2}-bde}{b^{2}-4ac}}+f,$

et de là nous conclurons

$A={\sqrt {\frac {2\left[bde-ae^{2}-cd^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)f\right]}{\left(b^{2}-4ac\right)\left[(a+c)-{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right]}}},$

$B={\sqrt {\frac {2\left[bde-ae^{2}-cd^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)f\right]}{\left(b^{2}-4ac\right)\left[(a+c)+{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right]}}},$

Ainsi le centre sera donné par les valeurs de $a$ et $b,$ les grandeurs des axes par celles de $A$ et $B,$ et leurs directions par celle de $\operatorname {Tang} .2\alpha$

Soit, en deuxième lieu, $b^{2}-4ac=0,$ d’où $M=a+c,N=0\,;$ nous supposerons alors, dans l’équation (2)

$f'=an^{2}+bmn+cm^{2}+dn+em+f=0,\quad d'\operatorname {Cos} .\alpha -c'\operatorname {Sin} .\alpha =0\,;$

et la transformée sera

$My''^{2}+(d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha )x''=0.$

Présentement comme nous avons trouvé ci-dessus

$\operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {b}{a-c}},$

puisqu’on a d’ailleurs

$\operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {2\operatorname {Tang} .\alpha }{1-\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }},$

il viendra, en égalant ces deux valeurs

$b\operatorname {Tang} .^{2}\alpha -2(a-c)\operatorname {Tang} .\alpha -b=0,$

d’où

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {(a-c)\pm {\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}}{b}}={\frac {(a-c)\pm (a+c)}{b}},$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {2a}{b}},\quad \operatorname {Tang} .\alpha =-{\frac {2c}{b}},$

d’un autre côté l’équation $d'\operatorname {Cos} .\alpha -e'\operatorname {Sin} .\alpha =0$ donne

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {d'}{e'}}={\frac {2an+bm+d}{2cm+bn+e}}\,;$

valeurs qui ne saurait s’accorder avec $\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {2a}{b}},$ parce qu’elles conduiraient à la condition $bd-2ac=0$ qui, jointe à $b^{2}-4ac=0,$ exprime, comme l’on sait, que la courbe dégénère dans le système de deux droites. Il faudra donc prendre $\operatorname {Tang} .\alpha =-{\frac {2c}{b}}\,;$ en égalant cette valeur à la précédente, et résolvant l’équation résultante par rapport à $m,$ il viendra

$m=-{\frac {2b(a+c)n-(bd+2ce)}{b^{2}+4c^{2}}}.$

En mettant cette valeur dans l’équation $f'=0,$ et se rappelant la relation $b^{2}-4ac=0$, le coefficient de $n^{2}$ disparaîtra, et il viendra

$n={\frac {c^{2}e^{2}+abde+2ace^{2}-acd^{2}-4af(a+c)^{2}}{2(a+c)^{2}(2cd-be)}},$

et par suite

$m={\frac {a^{2}d^{2}+bcde+2acd^{2}-ace^{2}-4af(a+c)^{2}}{2(a+c)^{2}(2ae-bd)}},$

On a en outre

$d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =(d'\operatorname {Tang} .\alpha +e')\operatorname {Cos} .\alpha$

or,$\qquad \operatorname {Tang} .\alpha =-{\frac {2c}{b}},$ d’où $\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {b}{\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}}$ ; donc

$d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =-{\frac {2cd-be}{\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}}\,;$

posant donc

$P={\frac {2cd-be}{(a+c){\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}}}\,;$

la transformée sera

$y''^{2}=Px''.$

Ainsi les coordonnées du sommet seront données par les valeurs de $m$ et $n,$ la direction de l’axe par celle de $\operatorname {Tang} .\alpha ,$ et le paramètre par celle de $P.$

Au surplus, comme, dans certains cas particuliers, ces formules pourraient devenir illusoires, il sera convenable d’y remplacer $b$ par $2{\sqrt {ac}}$ ; on aura ainsi

$\operatorname {Tang} .\alpha =-{\sqrt {\frac {c}{a}}},\quad P={\frac {d{\sqrt {c}}-e{\sqrt {a}}}{(a+c){\sqrt {a+c}}}},$

$m={\frac {ad^{2}{\sqrt {a}}+2cde{\sqrt {c}}+2cd^{2}{\sqrt {a}}-ce^{2}{\sqrt {a}}-4f(a+c)^{2}{\sqrt {a}}}{4(a+c)^{2}(e{\sqrt {a}}-d{\sqrt {c}})}},$

$n={\frac {ce^{2}{\sqrt {c}}+2ade{\sqrt {a}}+2ae^{2}{\sqrt {c}}-ad^{2}{\sqrt {c}}-4f(a+c)^{2}{\sqrt {c}}}{4(a+c)^{2}(d{\sqrt {c}}-e{\sqrt {a}})}},$

sous cette forme leur application n’entraînera plus aucune difficulté.