GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Construction des formules qui servent à déterminer
directement la grandeur et la situation des diamètres
principaux, dans les courbes du second degré rapportées
à deux axes rectangulaires quelconques.
Par M. Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.
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On donne, dans plusieurs ouvrages élémentaires, des méthodes propres à la recherche des diamètres principaux des courbes du second degré, rapportées à deux axes rectangulaires quelconques ; mais, les calculs relatifs à cette recherche n’y étant point terminés, j’ai pensé qu’il pouvait être utile de remplir cette lacune ; en donnant des formules propres à ramener directement l’équation
![{\displaystyle ay^{2}+bxy+cx^{2}+dy+ex+f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6161856c302159bf13f74e2ce95023d767476d8f)
(1)
à la forme
![{\displaystyle \pm A^{2}y^{2}+B^{2}x^{2}=A^{2}B^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58dd3a1a1c87ce6f4a4e8ceb3bba37a8b7f3bdc7)
si
n’est pas zéro ; et à la forme
![{\displaystyle y^{2}=Px,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bd7fd0439859a5071de8c0e5849bfe2c30afa8)
dans le cas contraire.
Pour parvenir à ce but, changeons d’abord, dans l’équation (1),
en
et
en
et ensuite
en
et
en
la transformée en
et
sera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}a&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\-b&\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \\+c&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y''^{2}+2a\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\-2c\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\+b&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\-b&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x''y''+a&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\+b\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\+c&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x''^{2}+d'&\operatorname {Cos} .\alpha \\-e'&\operatorname {Sin} .\alpha \\&\\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y''+d'&\operatorname {Sin} .\alpha \\+e'&\operatorname {Cos} .\alpha \\&\\&\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}&x''+f'=0\,;\\&\\&\\&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc2a113a897eb841666a92c897d0148054d0731)
équation dans laquelle on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}d'=&2an+bm+d,\\e'=&2cm+bn+c,\\\end{aligned}}\quad f'=an^{2}+bmn+cn^{2}+dn+em+f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e57acea779a5e0f95225229ceb0413576d712da)
Posons présentement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&b(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha )+2(\alpha -c)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha =0,\\&a\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Sin} .^{2}\alpha =M,\\&a\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Cos} .^{2}\alpha =N\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b5a8f97e64e34b061cc26944131ecb317564a7)
nous trouverons (Voyez Biot ou Garnier)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {b}{a-c}},{\begin{aligned}M=&{\tfrac {1}{2}}\left\{(a+c)+{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right\},\\N=&{\tfrac {1}{2}}\left\{(a+c)-{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right\},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e00088bf05979da69dcdfb6dd7e8efd4fbc3693)
et la transformée sera
(2)
Soit, en premier lieu
positif ou négatif, différent de zéro ; en posant
![{\displaystyle d'\operatorname {Cos} .\alpha -e'\operatorname {Sin} .\alpha =0,\quad d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf935d2d059ab5b81f4955464c2f15ce08653ef)
il viendra (Voyez les Auteurs cités)
![{\displaystyle a={\frac {2ae-bd}{b^{2}-4ac}},\quad b={\frac {2cd-be}{b^{2}-4ac}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e2080f3bc4b80cfd54003503e311deea8c7eac)
et la transformée sera simplement
![{\displaystyle My''^{2}+Nx''^{2}+f'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b6cba9e3fb2ae09d9578279ca9ef296ef845af)
Si nous désignons respectivement par
et
dans cette équation, les valeurs de
et
qui répondent à
et
nous aurons
![{\displaystyle M=-{\frac {f'}{B^{2}}},\quad N=-{\frac {f'}{A^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc39c3dfd0887aefc4d719982fbb4661c36c829)
ce qui donnera, en substituant et chassant les dénominateurs,
Si présentement nous portons les valeurs déterminées ci-dessus pour
et
dans celle de
elle deviendra, toutes réductions faites,
et de là nous conclurons
Ainsi le centre sera donné par les valeurs de
et
les grandeurs des axes par celles de
et
et leurs directions par celle de ![{\displaystyle \operatorname {Tang} .2\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7b80bcf63d643c4be213b549ce782de09e6457)
Soit, en deuxième lieu,
d’où
nous supposerons alors, dans l’équation (2)
![{\displaystyle f'=an^{2}+bmn+cm^{2}+dn+em+f=0,\quad d'\operatorname {Cos} .\alpha -c'\operatorname {Sin} .\alpha =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffdf9eed09601a6dbd8258fae03a28a3a5aa448)
et la transformée sera
![{\displaystyle My''^{2}+(d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha )x''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733da1423410b5b69230b9862e5af7196a24fc6f)
Présentement comme nous avons trouvé ci-dessus
puisqu’on a d’ailleurs
il viendra, en égalant ces deux valeurs
![{\displaystyle b\operatorname {Tang} .^{2}\alpha -2(a-c)\operatorname {Tang} .\alpha -b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d677ff57811f1291b771ef53427af3f9fc20223)
d’où
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {2a}{b}},\quad \operatorname {Tang} .\alpha =-{\frac {2c}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff56c1a2f7208c0fd8dc878af9223fa48c3b118d)
d’un autre côté l’équation
donne
valeurs qui ne saurait s’accorder avec
parce qu’elles conduiraient à la condition
qui, jointe à
exprime, comme l’on sait, que la courbe dégénère dans le système de deux droites. Il faudra donc prendre
en égalant cette valeur à la précédente, et résolvant l’équation résultante par rapport à
il viendra
![{\displaystyle m=-{\frac {2b(a+c)n-(bd+2ce)}{b^{2}+4c^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c641733144ab0fae1ad94a27cb6027bad92a9c1d)
En mettant cette valeur dans l’équation
et se rappelant la relation
, le coefficient de
disparaîtra, et il viendra
![{\displaystyle n={\frac {c^{2}e^{2}+abde+2ace^{2}-acd^{2}-4af(a+c)^{2}}{2(a+c)^{2}(2cd-be)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd5a93c8073a0dcad4555607744d6851fe15c02)
et par suite
![{\displaystyle m={\frac {a^{2}d^{2}+bcde+2acd^{2}-ace^{2}-4af(a+c)^{2}}{2(a+c)^{2}(2ae-bd)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b500c6a576143998634f72cc25b39f96b8d54edb)
On a en outre
![{\displaystyle d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =(d'\operatorname {Tang} .\alpha +e')\operatorname {Cos} .\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad91151920b1f90bdc5244288f442e99b9ee5e92)
or,
d’où
; donc
![{\displaystyle d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =-{\frac {2cd-be}{\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c0a1d99c717cad855f01a1d4ec3a95e3c4adea)
posant donc
![{\displaystyle P={\frac {2cd-be}{(a+c){\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7805d4aa8fbd1d91bd68c12cbdfcdd8f38b67224)
la transformée sera
![{\displaystyle y''^{2}=Px''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a109a768faa16b993772699cae2021553b337db0)
Ainsi les coordonnées du sommet seront données par les valeurs de
et
la direction de l’axe par celle de
et le paramètre par celle de ![{\displaystyle P.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f4f085fcd14302f4f7a9bbdf77e816cccb3bc9)
Au surplus, comme, dans certains cas particuliers, ces formules pourraient devenir illusoires, il sera convenable d’y remplacer
par
; on aura ainsi
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\alpha =-{\sqrt {\frac {c}{a}}},\quad P={\frac {d{\sqrt {c}}-e{\sqrt {a}}}{(a+c){\sqrt {a+c}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78ddb6ca39551c7cdc86ee894851a62d5427dcc)
![{\displaystyle m={\frac {ad^{2}{\sqrt {a}}+2cde{\sqrt {c}}+2cd^{2}{\sqrt {a}}-ce^{2}{\sqrt {a}}-4f(a+c)^{2}{\sqrt {a}}}{4(a+c)^{2}(e{\sqrt {a}}-d{\sqrt {c}})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e069b1777c3ac49decec8f90d6c925b38d8e256e)
![{\displaystyle n={\frac {ce^{2}{\sqrt {c}}+2ade{\sqrt {a}}+2ae^{2}{\sqrt {c}}-ad^{2}{\sqrt {c}}-4f(a+c)^{2}{\sqrt {c}}}{4(a+c)^{2}(d{\sqrt {c}}-e{\sqrt {a}})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d278d6230d50096002c0115832de9398033941d)
sous cette forme leur application n’entraînera plus aucune difficulté.