Addition au précédent mémoire ;
Par M.Gergonne.
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On peut atteindre au but que vient de remplir M. Rochat par une autre méthode, moins élémentaire il est vrai, mais qui a l’avantage de n’exiger aucune transformation de coordonnées, et qui peut fournir une agréable et utile application de la doctrine des Maximis et Minimis à ceux qui étudient le calcul différentiel ; je vais l’exposer brièvement.
Soit reprise l’équation
![{\displaystyle ay^{2}+bxy+cx^{2}+dy+ex+f=0\,;\qquad \mathrm {(M)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae32ccc38c62f256f91cfadb87f9f29b5962cdee)
et, outre le point de la courbe dont les coordonnées sont
et
considérons-en un autre dont les coordonnées soient
et
; nous aurons pour ce nouveau point.
![{\displaystyle ay'^{2}+bx'y'+cx'^{2}+dy'+ex'+f=0\,;\qquad \mathrm {(M')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405bf3342bf4be29d393a89ba06f2d18307e952e)
posons
maximum ;
nos deux points seront alors les extrémités de la plus grande corde de la courbe.
L’équation
revient à
![{\displaystyle (x-x')(\delta x-\delta x')+(y-y')(\delta y-\delta y')=0\,;\quad (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141f4037af0e578bcb1925fa5538e568887146f8)
d’un autre côté, on tire des équations
et ![{\displaystyle \mathrm {(M')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0689d2c4f3a7c8cdb84f76a816212b086fe17711)
![{\displaystyle (2ay+bx+d)\delta y+(2cx+by+e)\delta x=0,\qquad (m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972cb8bea31421f967b9f46c70095a8b9b357466)
![{\displaystyle (2ay'+bx'+d)\delta y'+(2cx'+by'+e)\delta x'=0,\quad (m')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350907fd35fae11e01a04bec4b9dfedbccfa014d)
ajoutant les produits de ces deux dernières par les multiplicateurs indéterminés
et
à l’équation (n) il viendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\left[(x-x')+\lambda (2cx+by+e)\right]\lambda x-\left[(x-x')+\lambda '(2cx'+by'+e)\right]\lambda x'\\+&\left[(y-y')+\lambda (2ay+bx+d)\right]\lambda y-\left[(y-y')+\lambda '(2ay'+bx'+d)\right]\lambda y'\\\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e9fe316f7ff3a038dc0d99d4134f7a9787f3fd)
donc
![{\displaystyle (x-x')+\lambda (2cx+by+e)=0,\quad (x-x')+\lambda '(2cx'+by'+e)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82042fdafd28ac948bacb810045bbc62bc7b2fb4)
![{\displaystyle (y-y')+\lambda (2ay+bx+d)=0,\quad (y-y')+\lambda '(2ay'+bx'+d)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50a215c7ab4f61aed186ab0b8f5091b2b813b04)
éliminant
et
entre ces équations, elles deviendront
![{\displaystyle (2ay+bx+d)(x-x')=(2cx+by+e)(y-y'),\qquad \mathrm {(P)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009aa958b0a19f3951b3454be0ad3a1a6669db28)
![{\displaystyle (2ay'+bx'+d)(x-x')=(2cx'+by'+e)(y-y').\qquad \mathrm {(P')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f59abfc0940638b6a7d5933e18c36202ac12292)
On satisfait à ces équations, quel que soit le premier des points pris sur la courbe, en supposant que le second se confond avec lui, ce qui donne sur-le-champ la direction de la tangente en ce point, ainsi que cela doit être.
Rejetant cette hypothèse et retranchant l’équation
de l’équation
il vient
![{\displaystyle \left\{2a(y-y')+b(x-x')\right\}(x-x')=\left\{2c(x-x')+b(y-y')\right\}(y-y')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6b469c8ed3cf601f3573990a9e8988f28afb1a)
mais, en désignant par
l’angle que fait la corde que nous considérons ici avec l’axe des
, on a
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {y-y'}{x-x'}},{\text{ d’où }}y-y'=(x-x')\operatorname {Tang} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81c74458a3f432c4c5ecd206025f41e6651b901)
substituant donc, il viendra, en réduisant, transposant et divisant par ![{\displaystyle x-x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273083d6dc2067936bfd0dd5d911d0640762f734)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .^{2}\alpha -2.{\frac {a-c}{b}}\operatorname {Tang} .\alpha -1=0.\qquad \mathrm {(K)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959527776de4bdafd99daf3f72df62fa77213d79)
Ainsi, dans les lignes du deuxième ordre, les cordes dont la variation est nulle, n’affectent que deux directions, et les tangentes des angles qu’elles forment avec l’axe des
se trouvent déterminées par l’équation précédente. On voit de plus que ces directions sont perpendiculaires l’une à l’autre, puisque le produit des deux tangentes est égal à ![{\displaystyle -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1ae9e73ea72a95921a7fbeba221311687f1367)
En ajoutant, au contraire, l’une à l’autre les équations
,
, substituant pour
dans l’équation résultante, sa valeur
et divisant par
, il vient
![{\displaystyle (2a-b\operatorname {Tang} .\alpha )(y+y')-(2c\operatorname {Tang} .\alpha -b)(x+x')+2(d-e\operatorname {Tang} .\alpha )=0.\quad \mathrm {(G)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c78a61d737c9a7157f90985ee1c5b32e2d9e5c5)
D’un autre côté, en retranchant l’équation
de l’équation
, le double de l’équation résultante peut être mis sous cette forme
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\left[2a(y+y')+b(x+x')+2d\right](y-y')\\+&\left[2c(x+x')+b(y+y')+2e\right](x-x')\\\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9732f0ad404f841a8acca0a5eedc87caa2f104d4)
ou, en chassant encore
et divisant par
,
![{\displaystyle (2a\operatorname {Tang} .\alpha +b)(y+y')+(2c+b\operatorname {Tang} .\alpha )(x+x')+2(d\operatorname {Tang} .\alpha +e)=0.\quad \mathrm {(H)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a83b706685294af0db44f11f78d540547c3154)
Les équations
et
donnent
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+x')={\frac {2ae-bd}{b^{2}-4ac}},\quad {\tfrac {1}{2}}(y+y')={\frac {2cd-ae}{b^{2}-4ac}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b4f3881c1efcd721bbae0b9fbce53ef120258b)
ainsi, les cordes des lignes du second ordre dont la variation est nulle, ont leurs milieux au même point qu’on appelle leur centre ; et, puisque ces cordes doivent d’ailleurs se couper perpendiculairement, elles sont au nombre de deux seulement. On les appelle les axes de la courbe.
Ces axes ont donc pour équation commune
![{\displaystyle y-{\frac {2cd-ae}{b^{2}-4ac}}=\left\{x-{\frac {2ae-bd}{b^{2}-4ac}}\right\}\operatorname {Tang} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6929e19f443617c6c3971a3ed30ad5da6f97ef7)
équation double, à cause des deux valeurs de
; cette équation combinée avec celle de la courbe fera connaître les longueurs de ces mêmes axes.