ANNALES
DE MATHÉMATIQUES
PURES ET APPLIQUÉES.
ANALISE TRANSCENDANTE.
Mémoire sur les facultés numériques ;
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des sciences
de l’académie de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1. Dans mon Analise des réfractions astronomiques (chap. III. n.os 142 et 203) j’ai enseigné à trouver la valeur numérique de toute faculté quelconque, par des séries convergentes à volonté ; mais les méthodes que j’ai indiquées, pour parvenir à ce but, peuvent être considérablement simplifiées. Je donne le nom de Facultés aux produits dont les facteurs constituent une progression arithmétique, tels que
![{\displaystyle a(a+r)(a+r)\ldots \left[a+(m-1)r\right]\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097db0751a97753951c9144ad30bf55360a1b82d)
et, pour désigner un pareil produit, j’ai proposé la notation
![{\displaystyle a^{m|r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc51a3db98927396d565e7bec0f84768077a929e)
Les facultés forment une classe de fonctions très-élémentaires, tant que leur exposant est un nombre entier, soit positif soit négatif ; mais, dans tous les autres cas, ces mêmes fonctions deviennent absolument transcendantes.[1]
2. J’observe que toute faculté numérique quelconque est constamment réductible à la forme très-simple
![{\displaystyle 1^{m|1}=1.2.3\ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61d67391fd34cf4b23f85fec401517452bf5b11)
m
ou à cette autre forme plus simple
![{\displaystyle m!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c17a76f3ecf4321ef45c139ea9d2d91f1b25087)
si l’on veut adopter la notation dont j’ai fait usage dans mes
Élémens d’arithmétique universelle, n.o 289.
On a, en effet
![{\displaystyle a^{m|r}=a(a+r)(a+2r)\ldots \left[a+(m-1)r\right]\qquad \qquad \ \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370d5c250b007b2eea476ff02fd76d6d8b270615)
![{\displaystyle =r^{m}.{\frac {a}{r}}({\frac {a}{r}}+1)({\frac {a}{r}}+2)\ldots \left[{\frac {a}{r}}+(m-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994f427e38aa6cf33bcd9a1cf0248954ed8c133c)
![{\displaystyle =r^{m}.{\frac {1.2.3\ldots \left({\frac {a}{r}}-1\right){\frac {a}{r}}\ldots \left[{\frac {a}{r}}+(m-1)\right]}{1.2.3\ldots \left({\frac {a}{r}}-1\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1004a1b8b257e2294ef292cc686af981d07c6653)
![{\displaystyle ={\frac {\left[{\frac {a}{r}}+(m-1)\right]!}{\left({\frac {a}{r}}-1\right)!}}r^{m}.\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6bf2b4626279446902c34b750fa2724e67021f)
et
![{\displaystyle a^{m|-r}=a(a-r)(a-2r)(a-3r)\ldots \left[a-(m-1)r\right]\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea5892f7751693781f1991cb0c9675cd6fc0ed5)
![{\displaystyle =r^{m}.{\frac {a}{r}}({\frac {a}{r}}-1)({\frac {a}{r}}-2)\ldots \left[{\frac {a}{r}}-(m-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfb76eb436c490bf0a3a74b8f85caa0159e60c1)
![{\displaystyle =r^{m}.{\frac {1.2.3\ldots \left({\frac {a}{r}}-m\right)\left[{\frac {a}{r}}-(m+1)\right]\ldots \left({\frac {a}{r}}-1\right){\frac {}{a}}{}r}{1.2.3\ldots \left({\frac {a}{r}}-m\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e6772ea51604de373aa52d684adae712303a70)
![{\displaystyle ={\frac {\left({\frac {a}{r}}\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-m\right)!}}r^{m}.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a189a9acd54d1c30735f2a697c7ef4555bd43c88)
ce qui donne les deux expressions littérales qui suivent
![{\displaystyle a^{m|r}={\frac {\left({\frac {a}{r}}+m-1\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-1\right)!}}r^{m},\qquad a^{m|-r}={\frac {\left({\frac {a}{r}}\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-m\right)!}}r^{m}\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3d3f441ee564c7f84202383d107bdd11e0247a)
lesquelles ont lieu quels que soient
et
[2]
3. Les facultés numériques étant ainsi réduites, dans tous les
cas, à la forme bien plus simple
qui n’est fonction que d’une
seule variable ; il suffira de connaître les valeurs numériques de ces
derniers produits, pour les
compris entre les simples limites
zéro et plus un, pour pouvoir en déduire immédiatement toutes les autres.
En effet, désignant par
une fraction comprise entre
et
,
et par
un nombre entier quelconque, on voit que tous les nombres
possibles, positifs ou négatifs, rentrent dans la forme
Or,
nous avons
![{\displaystyle (m+n)!=1^{m+n|1}=1^{m|1}.(m+1)^{n|1}=m!(m+1)^{n|1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d96c06414d445f94b2ac82f91530ce9776863f8)
[3]
d’où l’on voit que la détermination des facultés
ne dépend que de celle de
et des facultés
et
, à exposans entiers. L’application aux cas particuliers donne, en supposant toujours
moindre que l’unité,
![{\displaystyle (1+m)!=(1+m)m!,\ \ \quad \qquad \qquad \qquad (-1+m)!=+{\tfrac {m!}{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35eb2d2f9a6423bb5bdc26d3cdeeaaf8e4f9296)
![{\displaystyle (2+m)!=(1+m)(2+m)m!,\qquad \qquad \ (-2+m)!=-{\tfrac {m!}{m(1-m)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc685eea8fe7877a295280211a0989b08260b906)
![{\displaystyle (3+m)!=(1+m)(2+m)(3+m)m!,\quad (-3+m)!=+{\tfrac {m!}{m(1-m)(2-m)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe4c659fced0fee554bb86d5e49d48fdd87387a)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269f0d61bcfe0e4abca2cb83e796cdf2027534da)
4. Frappé de ces idées, M. Bessel, professeur d’astronomie à
Königsberg, a construit une table des logarithmes briggiens des fractions
![{\displaystyle {\frac {1^{x-1|1}}{\sqrt {2\varpi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a0582cdd6eef17c4b8461678340206d64989e0)
depuis
jusqu’à
à dix décimales, avec leurs premières, deuxièmes et troisièmes différences, qu’il a bien voulu me communiquer, par une lettre du 7 mars de la présente année 1812. Ajoutant aux logarithmes de la table de M. Bessel celui de
qui est
![{\displaystyle 0,39908\ 99342,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f8b7b4895b4ec68c928b87603bb4650d88b093)
on aura les logarithmes des produits
entre
et
Ces produits sont égaux à l’unité, pour
et
Ils parviennent à leur minimum vers
; on a alors à peu près
Pour calculer ces logarithmes, l’auteur a employé une méthode particulière, différente de la mienne, sur laquelle nous reviendrons plus loin.
Il est presque superflu d’avertir que tous les logarithmes de la table ont une dixaine de trop à leur caractéristique.[4]
TABLE des Logarithmes des valeurs que prend la faculté
![{\displaystyle {\begin{array}{|r|r|r|r|r|}\hline y.&{\text{valeurs de Log. y!}}&{\text{Différences I.}}&{\text{Différences II.}}&{\text{Différ. III.}}\\\hline 0{,}00&0{,}00000\;00000&-247\;12693&+7\;04106&-10030\\0{,}01&9{,}99752\;87307&-240\;08587&+6\;94076&-9770\\0{,}02&9{,}99312\;78720&-233\;14511&+6\;84306&-9517\\0{,}03&9{,}99279\;64209&-226\;30205&+6\;74789&-9275\\0{,}04&9{,}99053\;34004&-219\;55416&+6\;65514&-9042\\\hline 0{,}05&9{,}98853\;78583&-212\;89902&+6\;56472&-8813\\0{,}06&9{,}98620\;88686&-206\;35430&+6\;47659&-8597\\0{,}07&9{,}98414\;55256&-199\;85771&+6\;39062&-8389\\0{,}08&9{,}98214\;69485&-193\;46709&+6\;30673&-8183\\0{,}09&9{,}98021\;22776&-187\;16036&+6\;22490&-7987\\\hline 0{,}10&9{,}97854\;06740&-180\;93546&+6\;14503&-7799\\0{,}11&9{,}97653\;13194&-174\;79043&+6\;06704&-7616\\0{,}12&9{,}97478\;34151&-168\;72339&+5\;99088&-7438\\0{,}13&9{,}97309\;61812&-162\;73251&+5\;91650&-7267\\0{,}14&9{,}97146\;88561&-156\;81601&+5\;84383&-7102\\\hline 0{,}15&9{,}96990\;06960&-150\;97218&+5\;77281&-6940\\0{,}16&9{,}96839\;09742&-145\;19937&+5\;70341&-6789\\0{,}17&9{,}96693\;89805&-139\;49596&+5\;63552&-6635\\0{,}18&9{,}96554\;40209&-133\;86044&+5\;56917&-6489\\0{,}19&9{,}96420\;54165&-128\;29127&+5\;50428&-6352\\\hline 0{,}20&9{,}96292\;23038&-122\;78699&+5\;44076&-6212\\0{,}21&9{,}96169\;46339&-117\;34623&+5\;37864&-6080\\0{,}22&9{,}96052\;11716&-111\;96759&+5\;31784&-5954\\0{,}23&9{,}95940\;14957&-106\;64975&+5\;25830&-5825\\0{,}24&9{,}95833\;49982&-101\;39145&+5\;20005&-5709\\\hline 0{,}25&9{,}95732\;10837&-\;96\;19140&+5\;14296&-5589\\0{,}26&9{,}95635\;91697&-\;91\;04744&+5\;08707&-5476\\0{,}27&9{,}95544\;86953&-\;85\;96237&+5\;03231&-5363\\0{,}28&9{,}95458\;90716&-\;80\;92906&+4\;97868&-5260\\0{,}29&9{,}95377\;97810&-\;75\;95038&+4\;92608&-5153\\\hline 0{,}30&9{,}95302\;02772&-\;71\;02430&+4\;87455&-5052\\0{,}31&9{,}95231\;00342&-\;66\;14975&+4\;82403&-4953\\0{,}32&9{,}95164\;85367&-\;61\;32572&+4\;77450&-4859\\0{,}33&9{,}95103\;52793&-\;56\;55122&+4\;72591&-4764\\0{,}34&9{,}95046\;97673&-\;51\;82532&+4\;67827&-4674\\\hline 0{,}35&9{,}94995\;15142&-\;47\;14704&+4\;63153&-4587\\0{,}36&9{,}94948\;00438&-\;42\;51551&+4\;58566&-4499\\0{,}37&9{,}94905\;48887&-\;37\;92985&+4\;54067&-4419\\0{,}38&9{,}94867\;55902&-\;33\;38918&+4\;49648&-4334\\0{,}39&9{,}94834\;16984&-\;28\;89270&+4\;45314&-4258\\\hline 0{,}40&9{,}94805\;27714&-\;24\;43956&+4\;41056&-4179\\0{,}41&9{,}94780\;88758&-\;20\;02900&+4\;36877&-4104\\0{,}42&9{,}94760\;80858&-\;15\;66023&+4\;32773&-4033\\0{,}43&9{,}94745\;14835&-\;11\;33250&+4\;28740&-3961\\0{,}44&9{,}94733\;81588&-\ \ 7\;04510&+4\;24779&-3889\\\hline 0{,}45&9{,}94726\;77075&-\ \ 2\;79731&+4\;20890&-3824\\0{,}46&9{,}94723\;97344&+\ \ 1\;41159&+4\;17066&-3759\\0{,}47&9{,}94725\;38503&+\ \ 5\;58225&+4\;13307&-3692\\0{,}48&9{,}94730\;96728&+\ \ 9\;71532&+4\;09615&-3630\\0{,}49&9{,}94740\;68260&+\;13\;81147&+4\;05985&-3570\\\hline 0{,}50&9{,}94754\;49407&+\;17\;87132&+4\;02415&-3509\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f63c3718389091f867885ec27db835cd4668970)
pour toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
= 1.
![{\displaystyle {\begin{array}{|r|r|r|r|r|}\hline y.&{\text{valeurs de Log. y!}}&{\text{Différences I.}}&{\text{Différences II.}}&{\text{Différ. III.}}\\\hline 0{,}50&9{,}94754\;49407&+\ 17\;87132&+4\;02415&-3509\\0{,}51&9{,}94772\;36539&+\ 21\;89547&+3\;98906&-3451\\0{,}52&9{,}94794\;26086&+\ 25\;88453&+3\;95455&-3396\\0{,}53&9{,}94820\;14539&+\ 29\;83908&+3\;92059&-3336\\0{,}54&9.94849\;98447&+\ 33\;75967&+3\;88723&-3286\\\hline 0{,}55&9{,}94883\;74414&+\ 37\;64690&+3\;85437&-3232\\0{,}56&9{,}94921\;39104&+\ 41\;50127&+3\;82205&-3179\\0{,}57&9{,}94962\;89231&+\ 45\;32332&+3\;79026&-3130\\0{,}58&9{,}95008\;21563&+\ 49\;11358&+3\;75896&-3080\\0{,}59&9{,}95057\;32921&+\ 52\;87254&+3\;72816&-3031\\\hline 0{,}60&9{,}95110\;20175&+\ 56\;60070&+3\;69785&-2986\\0{,}61&9{,}95166\;80245&+\ 60\;29855&+3\;66799&-2937\\0{,}62&9{,}95227\;10100&+\ 63\;96654&+3\;63862&-2894\\0{,}63&9{,}95291\;06754&+\ 67\;60516&+3\;60968&-2849\\0{,}64&9.95358\;67270&+\ 71\;21484&+3\;58119&-2806\\\hline 0{,}65&9{,}95429\;88754&+\ 74\;79603&+3\;55313&-2766\\0{,}66&9{,}95504\;68357&+\ 78\;34916&+3\;52547&-2721\\0{,}67&9{,}95583\;03273&+\ 81\;87463&+3\;49826&-2683\\0{,}68&9{,}95664\;90736&+\ 85\;37289&+3\;47143&-2643\\0{,}69&9{,}95750\;28025&+\ 88\;84432&+3\;44500&-2605\\\hline 0{,}70&9{,}95839\;12457&+\ 92\;28932&+3\;41695&-2566\\0{,}71&9{,}95931\;41389&+\ 95\;70827&+3\;39329&-2529\\0{,}72&9{,}96027\;12216&+\ 99\;10156&+3\;36800&-2495\\0{,}73&9{,}96126\;22372&+102\;46956&+3\;34305&-2457\\0{,}74&9{,}96228\;69328&+105\;81261&+3\;31848&-2421\\\hline 0{,}75&9{,}96334\;50589&+109\;13109&+3\;29427&-2393\\0{,}76&9{,}96443\;63698&+112\;42536&+3\;27034&-2354\\0{,}77&9{,}96556\;06234&+115\;69570&+3\;24680&-2321\\0{,}78&9{,}96671\;75804&+118\;94250&+3\;22359&-2294\\0{,}79&9{,}96790\;70054&+122\;16609&+3\;20065&-2257\\\hline 0{,}80&9{,}96912\;86663&+125\;36674&+3\;17808&-2231\\0{,}81&9{,}97038\;23337&+128\;54482&+3\;15577&-2197\\0{,}82&9{,}97166\;77819&+13I\;70059&+3\;13380&-2170\\0{,}83&9{,}97298\;47878&+134\;83439&+3\;11210&-2l40\\0{,}84&9.97433\;31317&+137\;94649&+3\;09070&-2112\\\hline 0{,}85&9{,}97571\;25966&+141\;03719&+3\;06958&-2083\\0{,}86&9{,}97712\;29685&+144\;10677&+3\;04875&-2058\\0{,}87&9{,}97856\;40362&+147\;15552&+3\;02817&-2028\\0{,}88&9{,}98003\;55914&+150\;18369&+3\;00789&-2005\\0{,}89&9{,}98153\;74283&+153\;19158&+2\;98784&-1977\\\hline 0{,}90&9{,}98306\;93441&+156\;17942&+2\;96807&-1952\\0{,}91&9{,}98463\;11383&+189\;14749&+2\;94855&-1928\\0{,}92&9{,}98622\;26132&+162\;09604&+2\;92927&-1903\\0{,}93&9{,}98784\;35736&+165\;02531&+2\;91024&-1879\\0{,}94&9{,}98949\;38267&+167\;93555&+2\;89145&-1856\\\hline 0{,}93&9{,}99117\;31822&+170\;82700&+2\;87289&-1832\\0{,}96&9.99288\;14522&+173\;63989&+2\;85457&-1811\\0{,}97&9{,}99461\;84511&+176\;55446&+2\;83646&-1787\\0{,}98&9{,}99638\;39957&+179\;39092&+2\;81859&-1765\\0{,}99&9{,}99817\;79049&+182\;20951&+2\;80094&-1746\\\hline 1{,}00&0{,}00000\;00000&+185\;01045&+2\;78348&-1723\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb41418d32956517ac6fd3e2cb30fcc9b896939c)
5. Dans l’ouvrage déjà cité (chapitre III, 39) j’ai prouvé que,
étant une fraction positive plus petite que
on a
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .h={\frac {(+h)^{{\tfrac {1}{2}}|+1}}{(-h)^{{\tfrac {1}{2}}|-1}}}\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a9772b3e3e54bb0f29fad58142549e05175925)
mais, suivant les réductions enseignées ci-dessus, on a
![{\displaystyle (+h)^{{\tfrac {1}{2}}|+1}={\frac {\left(h-{\tfrac {1}{2}}\right)!}{\left(h-1\right)!}}={\frac {2h}{1+2h}}\cdot {\frac {\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)!}{h!}}\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd80bcf30db23c9f2a02efb475a683abf95bf88b)
![{\displaystyle (-h)^{{\tfrac {1}{2}}|-1}={\frac {(-h)!}{\left(-h-{\tfrac {1}{2}}\right)!}}={\frac {1-2h}{2-2h}}\cdot {\frac {(1-h)!}{\left({\tfrac {1}{2}}-h\right)!}}\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1370f4ac6da2ab35851846a8a4f8c0c321cd017f)
d’où résulte
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .h\varpi ={\frac {h(1-h)}{\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)\left({\tfrac {1}{2}}-h\right)}}\cdot {\frac {\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)!\left({\tfrac {1}{2}}-h\right)!}{h!(1-h)!}}\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c21756ebeeaa8759e75bcaf0cff084f5d1c33a)
Ainsi, si l’on demandait la tangente de
on aurait
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .66^{\circ }.36'={\frac {0{,}37\times 0{,}63}{0{,}87\times 0{,}13}}\cdot {\frac {0{,}87!0{,}13!}{0{,}37!0{,}63!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2972d5962517263e63b3ccd269283a5b902fdc)
Voici le calcul :
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\operatorname {Log} .37&=1{,}56820\;17241,\\\operatorname {Log} .63&=1{,}79934\;05495,\\{\text{Comp. arith. }}\operatorname {Log} .87&=8{,}06048\;07474,\\{\text{Comp. arith. }}\operatorname {Log} .13&=8{,}88605\;66477,\\\operatorname {Log} .0{,}87!&=9{,}97856\;40362,\\\operatorname {Log} .0{,}13!&=9{,}97309\;61812,\\{\text{Comp. arith. }}\operatorname {Log} .0{,}37!&=0{,}05094\;51119,\\{\text{Comp. arith. }}\operatorname {Log} .0{,}62!&=0{,}04708\;93246,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a3c50faadb25526d2596c7a8b3ed77999f0bed)
![{\displaystyle \qquad \qquad \operatorname {Log} .\operatorname {tang} .66^{\circ }.36'=0{,}36377\;43220.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed40aee7c06fbc68d2aeba7e426497157647622)
6. Il a été prouvé, dans le même ouvrage que
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .m\varpi }{\operatorname {Sin} .n\varpi }}={\frac {(+m)^{n-m|+1}}{(-m)^{n-m|-1}}}={\frac {(-n)^{m-n|-1}}{(+n)^{m-n|+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85829a10e1b6a32e386544646b6f04653292cefb)
faisant
et faisant ensuite successivement
et
il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .h\varpi ={\frac {(+h)^{{\tfrac {1}{2}}-h|+1}}{(-h)^{{\tfrac {1}{2}}-h|-1}}}={\frac {4h(1-h)(0,5)!(0,5)!}{h!(1-h)!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7b8970e282b871768eebcabbb2247aba0973f3)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .h\varpi ={\frac {({\tfrac {1}{2}}-h)^{h|+1}}{(-{\tfrac {1}{2}}+h)^{h|-1}}}={\frac {4h({\tfrac {1}{2}}-h)({\tfrac {1}{2}}+h)(0,5)!(0,5)!}{({\tfrac {1}{2}}-h)!({\tfrac {1}{2}}+h)!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5937cdab868229c7af3324c7949643f368e961)
et, comme il est prouvé que
![{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}})!=(0,5)!=({\tfrac {1}{2}}){\sqrt {\varpi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9802f6700896575431a588493c1ed534a726c4e8)
ces formules pourront être écrites comme il suit :
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .h\varpi ={\frac {h(1-h)}{h!(1-h)!}}\varpi ,\qquad \operatorname {Cos} .h\varpi ={\frac {({\tfrac {1}{2}}-h)({\tfrac {1}{2}}+h)}{({\tfrac {1}{2}}-h)!({\tfrac {1}{2}}+h)!}}\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191543d9288b4f018549222bffb1139598879c90)
Ainsi, moyennant la table que nous venons de donner, on trouvera facilement, et jusqu’à dix décimales, le sinus, le cosinus et la tangente de tout angle proposé.
7. L’intégrale
![{\displaystyle \int t^{m-1}e^{-t^{n}}\mathrm {d} t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e36e87c301527c50ca8eda8af54c2a017483f97)
prise depuis
jusqu’à
étant égale à
![{\displaystyle {\frac {1^{{\frac {m}{n}}|1}}{m}}={\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)!}{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8969b2a344fc7a6b03a66da0e92c44d8495be2)
le logarithme de cette intégrale, pour toutes les valeurs de
et de
se trouvera facilement par le moyen de la table.
8. L’intégrale
![{\displaystyle \int y^{m-1}\left(1-y^{r}\right)^{n}\mathrm {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc638ed00eb8ce9fcc1e7d1497ce5a12b9ca4f7)
prise depuis
jusqu’à
étant égale à
![{\displaystyle {\frac {r^{n|r}}{m^{n+1|r}}}={\frac {n!}{m^{n+1|r}}}r^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4079f4faf7f170fcfc1eff845f11f876639004e3)
en employant les réductions qui ont été enseignées, on trouvera pour
l’expression de cette intégrale
![{\displaystyle {\frac {n!\left({\frac {m}{r}}-1\right)!}{r.\left({\frac {m}{r}}+n\right)!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169b4a5454ccc42c9d52cc30d5a487a5a537f0cf)
formule facile à calculer au moyen de notre table.
9. Venons présentement au calcul de cette table ; soient
les nombres de Bernoulli, à partir du second, en sorte qu’on ait
[5]. Dans l’ouvrage cité, j’ai employé la notation
pour désigner la série
![{\displaystyle B_{2}y+{\tfrac {1}{3}}B_{4}y^{3}+{\tfrac {1}{5}}B_{6}y^{5}+{\tfrac {1}{7}}B_{8}y^{7}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86af212d34b2e5106f13bb09151be58950f5ae2)
Cette série, lorsque
est une petite fraction, est tellement convergente que les trois et même les deux premiers termes suffisent pour
en trouver la valeur numérique jusqu’à neuf décimales. Souvent
même on pourra faire simplement
On trouve le
d’un nombre quelconque, par la formule qui suit :
![{\displaystyle \Gamma r=\Gamma {\frac {r}{1+mr}}-m-Log.1^{m|r}+\left(m-{\tfrac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\right)Log.(1+mr),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f663951c726d86c22b16d438552a9d240ea5fe)
dans laquelle
désigne un nombre quelconque, pris à volonté ; on
peut le prendre égal à
ou
tout au plus. J’ai prouvé de
plus que
et qu’on a ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma {\frac {1}{m+1}}&=\Gamma _{1}+m+Log.1^{m|1}-\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)Log.(m+1),\\\Gamma {\frac {2}{2m+1}}&=\Gamma _{2}+m+Log.1^{m|2}-mLog.(2m+1).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f23917c3a761f9365ff359b3ac80e446f823d8f)
Ainsi les
de toutes les fractions de l’une ou de l’autre des deux formes générales,
désignant un nombre entier quelconque, se réduisent, dans tous les cas, à une simple addition de
logarithmes hyperboliques.
10. Si l’on applique au cas de
les formules de
l’ouvrage cité, on aura
![{\displaystyle Log.nat.(+y)!=-y+\left(y+{\tfrac {1}{2}}\right)Log.(1+y)-\Gamma _{1}+\Gamma .{\frac {1}{1+y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bd58896e99f9d04aff3eaa83a9e713ef68c78d)
![{\displaystyle Log.nat.(-y)!=+y-\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)Log.(1-y)-\Gamma _{1}+\Gamma .{\frac {1}{1-y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1b0eca6df6872047821344c4ec0597b21c06f8)
(Refr. ast. chap. III, 181). La variable
sera, dans tous les
cas, une fraction moindre que l’unité. Si toutefois la série qui donne
et
ne paraît pas converger assez tôt, on prendra, à volonté, un nombre entier
de 4 à 6, ce qui suffira pour trouver
jusqu’à 8 décimales le logarithme qu’on demande. On aura alors,
moyennant les formules des n.os 195 et 204 de l’ouvrage cité :
![{\displaystyle \operatorname {Log.nat} .(+y)!=-h-y-\operatorname {Log} .(1+y)^{h|1}+\left(h+{\tfrac {1}{2}}+y\right)\operatorname {Log} .\left(1+h+y\right)-\Gamma _{1}+\Gamma .{\frac {1}{1+h+y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac65b1e3b6ac7217c87329d2074d3bda270d3cd3)
![{\displaystyle \operatorname {Log.nat} .(-y)!=-h+y-\operatorname {Log} .(1-y)^{h|1}+\left(h+{\tfrac {1}{2}}-y\right)\operatorname {Log} .\left(1+h-y\right)-\Gamma _{1}+\Gamma .{\frac {1}{1+h-y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e7f2ebcef663ba2305a99827e380ff0ed70f29)
Moyennant ces dernières formules, le calcul des produits
et
par conséquent aussi celui de toutes les facultés numériques à exposans fractionnaires, ainsi que celui des autres fonctions qui pourront
y être ramenées, me paraît réduit à sa plus grande simplicité.[6]