ANALISE TRANSCENDANTE.
Second mémoire sur les facultés numériques ;
[1]
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1. Les produits dont les facteurs procèdent suivant une progression
arithmétique, et que j’ai nommés facultés numériques, n’ont pas
été inutiles au progrès de l’analise. Ils ont servi à exprimer, par
un seul terme, et à trouver, d’une manière fort simple, les valeurs
numériques de toutes les fonctions transcendantes qui dépendent du
cercle, aussi bien que quelques classes, très-nombreuses, d’intégrales
définies, Il s’en faut de beaucoup que cette mine soit épuisée. Le
langage de l’analise transcendante a été borné, jusqu’ici, aux seules
idées de fonctions exponentielles et de fonctions circulaires ; et il est
naturel de considérer cette extrême pénurie, comme une des causes
principales de l’impossibilité où nous nous trouvions de résoudre le
plus grand nombre des problèmes qui se présentaient à nous. Les facultés numériques viennent, fort à propos, pour enrichir ce langage, et pour étendre ainsi le domaine de la science.
2. J’ai prouvé, dans un premier mémoire, que toute faculté était
réductible à la forme très-simple
ou
; mais, comme les facultés de cette dernière forme ne dispensent pas de la considération
des autres ; afin de faire correspondre une différence de dénomination
à une différence de symboles, j’appellerai, à l’avenir, factorielles
les fonctions de la forme générale
et je réserverai exclusivement
le nom de facultés numériques, ou simplement de facultés, pour
désigner les fonctions de la forme
ou
, auxquelles se réduisent les premières, dans le cas particulier où l’on a
et
3. La factorielle
ou
peut toujours être développée en une série de la forme
![{\displaystyle a^{m}+Aa^{m-1}r+Ba^{m-2}r^{2}+\ldots +Mr^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63b97a31e1246a6205c78a533b5762ad3ce5fe0)
J’ai fait voir ailleurs[2] que, dans le cas d’un exposant infiniment petit, les coefficiens
devenaient ces nombres même dont l’usage, dans le calcul sommatoire, a été remarqué par leur illustre inventeur Jacques Bernoulli. Mettant
à la place de
et désignant par ![{\displaystyle -B_{1}\mathrm {d} m,-B_{2}\mathrm {d} m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264897e4ec9b53e872e4658501f90213a4b0f986)
les valeurs que reçoivent les coefficiens
, dans le cas d’un exposant infiniment petit, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}&=B_{1},\\{\tfrac {1}{3}}&=B_{1}-2B_{2},\\{\tfrac {1}{4}}&=B_{1}-3B_{2}+3B_{3},\\{\tfrac {1}{5}}&=B_{1}-4B_{2}+6B_{3}-4B_{4},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39f1cd84be863c839810ad2c31d3dc5382b652f)
et en général
![{\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}=B_{1}-{\tfrac {n}{1}}B_{2}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}B_{3}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}B_{4}+\ldots \pm {\tfrac {n}{1}}B_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5758e7f06d271cf0675c5fdb65aeda70d861723b)
En faisant le calcul de ces nombres, on verra que tous ceux d’un indice impair, tels que
sont égaux à zéro, à l’exception du premier
qui est
et que tous ceux d’un indice pair, savoir
sont alternativement positifs et négatifs. Leurs valeurs sont
![{\displaystyle B_{2}=+{\tfrac {1}{12}},\quad B_{4}=-{\tfrac {1}{120}},\quad B_{6}=+{\tfrac {1}{252}},\quad B_{8}=-{\tfrac {1}{240}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f79f9fbe74006643dfce1bcc1880a42483778a)
4. Les nombres de Bernoulli nous mènent naturellement aux deux fonctions que j’ai désignées par
et
La première
par laquelle nous exprimons la série
![{\displaystyle B_{1}t+B_{2}t^{2}+B_{4}t^{4}+B_{6}t^{6}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee582bba696b8cf2ac6a0b34de7a67d77f19e06)
sert à trouver la première dériver de la factorielle
dans laquelle nous regardons l’exposant
comme la variable de la fonction. En faisant, pour abréger,
on a
![{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f982b5ca3af624511b2196f9f993231a1113fb)
[3]
La seconde
par laquelle nous représentons la série
![{\displaystyle B_{2}t+{\tfrac {1}{3}}B_{4}t^{3}+{\tfrac {1}{5}}B_{6}t^{5}+{\tfrac {1}{7}}B_{8}t^{7}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44529f887bc7ee228b46993d22f674fc18f932e2)
est liée avec la première, par l’équation linéaire très-simple
![{\displaystyle B_{1}t+t^{2}\scriptstyle \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad10ecc65bc32dd58fa81bff14c67fa3b4ca414e)
![{\displaystyle \Gamma t=\Lambda t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629f3274c5eee42a1851689e9abc426da7758905)
Elle est essentielle pour trouver le logarithme naturel de la factorielle
On a en effet,
5. Le logarithme naturel de la factorielle
que, pour abréger, nous représenterons simplement par
est remarquable par la forme de ses dérivées successives. On a d’abord
![{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f982b5ca3af624511b2196f9f993231a1113fb)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .Y=\operatorname {Log} .t-\Lambda {\frac {r}{t}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92666addb60fbb4b856646bc139cd85a952d8278)
sur quoi on peut remarquer que c’est l’expression de la somme de fractions
![{\displaystyle {\frac {r}{a}}+{\frac {r}{a+r}}+{\frac {r}{a+2r}}+\ldots +{\frac {r}{t-r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5343480d52985e94f7eb606a87da22485648f147)
augmentée de
Si ensuite, pour abréger, on désigne simplement par
la somme infinie de fractions
![{\displaystyle {\frac {r^{n}}{t^{n}}}+{\frac {r^{n}}{(t+r)^{n}}}+{\frac {r^{n}}{(t+2r)^{n}}}+{\frac {r^{n}}{(t+3r)^{n}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c438e4f77411ba20ed0e8738239271944c459eb9)
on aura ; en faisant toujours ![{\displaystyle a^{y|r}=Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1c4ee70d66aa23e1cf2da31926f6434c5bbcbb)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {D} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4e0807494937a2ec26785364cf10c9a3008362)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .X=+\Sigma {\frac {r^{2}}{t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc4025eb1f19703b94e66a6670c1332bdeac086)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {D} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae6598787b92fa7329fad1747e28d6646c8cc8e)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .Y=-2\Sigma {\frac {r^{3}}{t^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6580381577cc0f160d4161d2122ebcd1edc14d42)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {D} ^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cad69c368cc3de93d02a84b0f81a8afc10b06c7)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .Y=+6\Sigma {\frac {r^{4}}{t^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2fa3b64fd5c3120ffcf77c448d8ce6030ca88a)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {D} ^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cd5a20d74345b96faf6c555e67fb651a4c6951)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .Y=-24\Sigma {\frac {r^{5}}{t^{5}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46516fc9ccaa79925f30785aa1482cf6212a6ff2)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {D} ^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314427cb141e7bdbc832fcff7bc9bda9f35328d5)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .Y=+120\Sigma {\frac {r^{6}}{t^{6}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3d31fbe97fb76e5127b2898dbd1d10c25a4343)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86eb6a2cb92445b2cd527eac21725a511d46c99)
6. Ces sommes de fractions se trouvent facilement, par les formules connues. On a, en effet,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\tfrac {r^{2}}{t^{2}}}&={\tfrac {r}{t}}+{\tfrac {r^{2}}{2t^{2}}}+2B_{2}{\tfrac {r^{3}}{t^{3}}}+4B_{4}{\tfrac {r^{5}}{t^{5}}}+6B_{6}{\tfrac {r^{7}}{t^{7}}}+\ldots ,\\\Sigma {\tfrac {r^{3}}{t^{3}}}&={\tfrac {r^{2}}{2t^{2}}}+{\tfrac {r^{3}}{2t^{3}}}+3B_{2}{\tfrac {r^{4}}{t^{4}}}+10B_{4}{\tfrac {r^{6}}{t^{6}}}+21B_{6}{\tfrac {r^{8}}{t^{8}}}+\ldots ,\\\Sigma {\tfrac {r^{4}}{t^{4}}}&={\tfrac {r^{3}}{3t^{3}}}+{\tfrac {r^{4}}{2t^{4}}}+4B_{2}{\tfrac {r^{5}}{t^{5}}}+20B_{4}{\tfrac {r^{7}}{t^{7}}}+56B_{6}{\tfrac {r^{9}}{t^{9}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e33e8471e3bfc1266399b0e0b31ee45ddb8fd69)
Toutes ces séries peuvent être regardées comme convergentes à volonté, attendu qu’on n’aura qu’à calculer à part quelques-uns des premiers termes de
et employer ensuite la formule, pour trouver la somme des autres. Lorsque, dans ces formules, on suppose à
une valeur imaginaire, on est conduit à une suite de théorèmes du plus grand intérêt dans l’analise, et sur lesquels nous reviendrons en son lieu.
7. En désignant par la série
![{\displaystyle Ay+By^{2}+Cy^{3}+Dy^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a28e4e36ac3ef9f35dced1cd712bfa5d40fd977)
ordonnée suivant les puissances de l’exposant
le logarithme naturel de la factorielle
les coefficienss
seront ce que deviennent les dérivées de ce logarithme, dans le cas de
ou de
respectivement divisées par
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\operatorname {Log} .a-\Lambda {\tfrac {r}{a}},\\B&=+{\tfrac {1}{2}}\Sigma {\tfrac {r^{2}}{a^{2}}},\\C&=-{\tfrac {1}{3}}\Sigma {\tfrac {r^{3}}{a^{3}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c632744f4d0eb91ed425a9d0e4eff4cdfab9a7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D&=+{\tfrac {1}{4}}\Sigma {\tfrac {r^{4}}{a^{4}}},\\E&=-{\tfrac {1}{5}}\Sigma {\tfrac {r^{5}}{a^{5}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2136ea854cd2d3e5886dce3e20e4a5eefe5380e)
De
on passe facilement à cette factorielle elle-même ; et si l’on représente par
![{\displaystyle 1+A'y+B'y^{2}+C'y^{3}+D'y^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c507879dafaf21ecb6da495bb37c544a98804151)
la série qui l’exprime, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}A'&=A,\\2B'&=AA'+2B,\\3C'&=AB'+2BA'+3C,\\4D'&=AC'+2BB'+3CA'+4D,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5f0809c6c1ae49b2a2bd7f952de777cc8f8a5b)
8. On peut remarquer, au sujet des nombres de Bernonlli, que les séries que nous allons désigner, et dont nous ferons un usage fréquent, dans le calcul sommatoire, sont toutes parfaitement sommables. En faisant, pour abréger,
on a
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}B_{2}.{\tfrac {y^{2}}{1.2}}+B_{4}.{\tfrac {y^{4}}{1.2.3.4}}+B_{6}.{\tfrac {y^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots &=\operatorname {Log} .{\tfrac {e^{{\tfrac {1}{2}}y}-e^{-{\tfrac {1}{2}}y}}{y}},\\B_{2}.\ {\tfrac {y}{1}}\ +B_{4}.\ {\tfrac {y^{3}}{1.2.3}}\ +B_{6}.{\tfrac {y^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots &=-{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{2}}.{\tfrac {x+1}{x-1}},\\B_{2}\quad \ \ +B_{4}.\ {\tfrac {y^{2}}{1.2}}\ \ +B_{6}.{\tfrac {y^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots &=+{\tfrac {1}{y^{2}}}-{\tfrac {x}{(x-1)^{2}}},\\B_{4}.\ {\tfrac {y}{1}}\ +B_{6}.\ {\tfrac {y^{3}}{1.2.3}}\ +B_{8}.{\tfrac {y^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots &=-{\tfrac {2}{y^{3}}}+{\tfrac {x(x+1)}{(x-1)^{3}}},\\B_{4}\quad \ \ +B_{6}.\ {\tfrac {y^{2}}{1.2}}\ \ +B_{8}.{\tfrac {y^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots &=+{\tfrac {6}{y^{4}}}-{\tfrac {x\left(x^{2}+4x+1\right)}{(x-1)^{4}}},\\B_{6}.\ {\tfrac {y}{1}}\ +B_{8}.\ {\tfrac {y^{3}}{1.2.3}}\ +B_{10}.{\tfrac {y^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots &=-{\tfrac {24}{y^{5}}}+{\tfrac {x\left(x^{3}+11x^{2}+11x+1\right)}{(x-1)^{5}}},\\B_{6}\quad \ \ +B_{8}.\ {\tfrac {y^{2}}{1.2}}\ \ +B_{10}.{\tfrac {y^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots &=+{\tfrac {120}{y^{6}}}-{\tfrac {x\left(x^{4}+26x^{3}+66x^{2}+26x+1\right)}{(x-1)^{6}}},\\B_{8}.\ {\tfrac {y}{1}}\ +B_{10}.{\tfrac {y^{3}}{1.2.3}}\ +B_{12}.{\tfrac {y^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots &=-{\tfrac {720}{y^{7}}}+{\tfrac {x\left(x^{5}+57x^{4}+302x^{3}+302x^{2}+57x+1\right)}{(x-1)^{7}}},\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01c81faf9549e7104a8aeceab15a508761d49ab)
et ainsi des autres. La loi que suivent les coefficiens des polynômes fonctions de
qui entrent dans les seconds membres se présente assez naturellement ; on a, par exemple, pour le dernier
![{\displaystyle {\begin{aligned}57&=5.1+2.26,\\302&=4.26+3.66,\\302&=3.66+4.26,\\57&=2.26+5.1\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467ea8aaa03a798cb8649658dd537f91bdce297f)
et ainsi des autres. La seconde de ces séries a été donnée par Euler (Inst. calculi differentialis, part. II, chap. VI, §. 163.). De celle-ci j’ai déduit la première, par intégration, et les autres, par des différentiations successives.
9. Si, dans la première de ces séries, on suppose
on est conduit à celle qui suit :
![{\displaystyle \operatorname {Log} .{\frac {\phi }{\operatorname {Sin} .\phi }}=4B_{2}.{\frac {\phi ^{2}}{1.2}}-16B_{4}.{\frac {\phi ^{4}}{1.2.3.4}}+64B_{6}.{\frac {\phi ^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7d57050527add74fcc98835740178e50863aa7)
Cette série, peu connue, est peut-être la plus convergente de toutes celles qui font connaître le logarithme du sinus d’un angle proposé.
La supposition de
imaginaire, appliquée aux autres séries, conduit aussi à des théorèmes fort intéressans.
10. Ayant trouvé le logarithme naturel de la factorielle
égal à
![{\displaystyle -y(1-\operatorname {Log} .a)+\left({\frac {t}{r}}-{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .{\frac {t}{a}}-\Gamma {\frac {r}{a}}+\Gamma {\frac {r}{t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333695ecab1b656fe766ab1211aa78050ce2ee7f)
la lettre
désignant toujours
il importe d’examiner ce que devient cette expression, dans le cas d’un exposant imaginaire. Soit donc
la lettre
désignant la racine quarrée de moins un ; on aura
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\left(a^{p+iq|r}\right)=(p+iq)(\operatorname {Log} .a-1)+\left(p-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {a}{r}}+iq\right)\operatorname {Log} .{\tfrac {a+pr+iqr}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e328c8134babc5ee9e4d8527808f5775aa7abfb1)
![{\displaystyle -\Gamma {\frac {r}{a}}+\Gamma {\frac {r}{a+pr+iqr}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2058ec97deb2e5c2daf405530f4ac1af0f581104)
Ici, si l’on fait
![{\displaystyle k^{2}=(a+pr)^{2}+(qr)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e8f194b7ced8302e95b6d813adbc693641dea9)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\phi ={\frac {qr}{a+pr}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7074ea4e518d876a892ff0f7827ad17f045098)
on aura
![{\displaystyle a+pr+iqr=k(\operatorname {Cos} .\phi +i\operatorname {Sin} .\phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4398afe1bb503d35e14ff395f4f7ed535a512d6d)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(a+pr+iqr)=\operatorname {Log} .k+i\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8d900e0d4b074d6ca0c6a7a635814b941e445e)
le logarithme de
prendra donc la forme d’un binôme
dans lequel on aura
![{\displaystyle M=p(-1+\operatorname {Log} .a)+\left(p-{\frac {1}{2}}+{\frac {a}{r}}\right)\operatorname {Log} .{\frac {k}{a}}-q\phi -\Gamma {\frac {r}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f938befda80a2e0b8a3f5d381aa71463fdd287)
![{\displaystyle +B_{2}.{\frac {r}{k}}\operatorname {Cos} .\phi +B_{4}.{\frac {r^{3}}{3k^{3}}}\operatorname {Cos} .3\phi +B_{6}.{\frac {r^{5}}{5k^{5}}}\operatorname {Cos} .5\phi +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec44d7a749c6ea6f0dad8e2cee539dccc89d843c)
![{\displaystyle N=q(-1+\operatorname {Log} .a)+\left(p-{\frac {1}{2}}+{\frac {a}{r}}\right)\phi +q\operatorname {Log} .{\frac {k}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8d20c872f50b4dd419b0df872e36a696e682b0)
![{\displaystyle -B_{2}.{\frac {r}{k}}\operatorname {Sin} .\phi -B_{4}.{\frac {r^{3}}{3k^{3}}}\operatorname {Sin} .3\phi -B_{6}.{\frac {r^{5}}{5k^{5}}}\operatorname {Sin} .5\phi -\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810dcf75023a1c308f7a1aa5be2999a799dcb610)
les deux séries sont convergentes à volonté.
11. Ayant ainsi
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\left(a^{p+iq|r}\right)=M+iN,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f586af066857cd984d0aa836de489a2b98582cc)
il est visible qu’on aura
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\left(a^{p-iq|r}\right)=M-iN,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c74f79f5a17bba3008d12c8b621ceaf9f7eb65d)
ce qui donnera
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\left(a^{p+iq|r}\right)\left(a^{p-iq|r}\right)=2M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56afe86b8c961cf1153417f9c024fea987dc7ab5)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .{\frac {a^{p+iq|r}}{a^{p-iq|r}}}=2iN\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b74649464ebf57c427986b74eac12c327427bc)
d’où on conclura
![{\displaystyle {\frac {a^{p+iq|r}}{a^{p-iq|ra}}}=e^{2iN}=\operatorname {Cos} .2N+i\operatorname {Sin} .2N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a101c8ea97a8d7d0c7a703838d80c22354ef7408)
Dans le cas, très-fréquent, de
lequel donne
![{\displaystyle k^{2}=a^{2}+q^{2}r^{2},\qquad \operatorname {Tang} .\phi ={\frac {qr}{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ad3b671b3fd68c66cc3a4c88cb4a9a959ccee4)
on aura
![{\displaystyle M=\left({\tfrac {a}{r}}-{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .{\tfrac {k}{a}}-q\phi -\Gamma {\tfrac {r}{a}}+B_{2}.{\tfrac {r}{k}}\operatorname {Cos} .\phi +B_{4}.{\tfrac {r^{3}}{3k^{3}}}\operatorname {Cos} .3\phi +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298ec5f277f866abc456dd5c8ff6032e9175c8d5)
![{\displaystyle N=q(-1+\operatorname {Log} .a)+\left({\tfrac {a}{r}}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi +q\operatorname {Log} .{\tfrac {k}{a}}-B_{2}.{\tfrac {r}{k}}\operatorname {Sin} .\phi -B_{4}.{\tfrac {r^{3}}{3k^{3}}}\operatorname {Sin} .3\phi -\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cad799ff89693b82a0abd0e4a1cada1f9d40efb)
et par suite
![{\displaystyle \operatorname {Log} .a^{iq|r}=M+iN,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23e86abed7d6bc291f51b0a82d3b4acc452a403)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .a^{-iq|r}=M-iN,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e50dd9b3ca78183f3c36d9b36072203b12edb2c)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Log} .a^{iq|r}\times a^{-iq|r}=2M,\qquad \operatorname {Log} .{\frac {a^{iq|r}}{a^{-iq|r}}}=2iN.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4afd24cec1369cafd1a4b048e9f58b1bd864620)
12. Quelles que soient la base
et la différence
la factorielle
dans les deux cas de
positif et de
négatif, qui doivent toujours être soigneusement distingués, sera réductible à la faculté
pour laquelle nous avons proposé la notation très-simple
devenue nécessaire, par l’usage très-fréquent de ce genre particulier de fonctions, dans la plupart des opérations de haute analise. Nous avons observé, dans un premier mémoire, que le passage des factorielles aux facultés s’exécutait au moyen des deux formules
![{\displaystyle a^{y|r}={\frac {\left({\frac {a}{r}}-1+y\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-1\right)!}}r^{y},\qquad a^{y|-r}={\frac {\left({\frac {a}{r}}\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-y\right)!}}r^{y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a306380f8de22de3de7f5e9a80ab7068a50705)
La supposition de
donne aux formules précédemment calculées une très-grande simplicité. On a alors
![{\displaystyle \operatorname {Log} .y!=-y+\left(y+{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .(1+y)-\Gamma 1+\Gamma {\frac {1}{1+y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d756d0d5082d96fdf29f57b107cf8eec09976131)
formule qu’on peut rendre convergente à volonté, en y introduisant un nombre entier arbitraire
qu’il suffira de prendre de 4 à 6.
Il viendra ainsi
![{\displaystyle \operatorname {Log} .y!=-h-y-\operatorname {Log} .(1+y)^{h|1}+\left(h+{\tfrac {1}{2}}+y\right)\operatorname {Log} .(1+h+y)-\Gamma 1+\Gamma {\frac {1}{1+h+y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d57ae2cb044686e68b1034c1f02165d21a7d2c3)
Sur quoi on doit observer qu’il s’agit toujours ici de logarithmes naturels.
13. Si, dans cette supposition de
l’exposant
prenait la forme du binôme imaginaire
en posant alors
![{\displaystyle k^{2}=(1+p)^{2}+q^{2},\qquad \operatorname {Tang} .\phi ={\frac {q}{1+p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ff754f782dac0ef3ba8d578e51d6079ad94923)
![{\displaystyle M=-p+\left(p+{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .k-q\phi -\Gamma 1+B_{2}.{\frac {\operatorname {Cos} .\phi }{k}}+B_{4}{\frac {\operatorname {Cos} .3\phi }{3k^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bd030c32251e8c503ef8dc31d71736baec028c)
![{\displaystyle N=-q+\left(p+{\tfrac {1}{2}}\right)\phi +q\operatorname {Log} .k-B_{2}.{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{k}}-B_{4}.{\frac {\operatorname {Sin} .3\phi }{3k^{3}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bdd9e32529375d4175d924500830422cc65f6d4)
il viendrait
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(p+iq)!=M+iN,\qquad \operatorname {Log} .(p-iq)!=M-iN.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea39d2ad7043867fbeacf60ea56c481b90f9a579)
Posant, de plus,
ce qui donne
![{\displaystyle k^{2}=1+q^{2},\qquad \operatorname {Tang} .\phi =q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f892595d773537a7741e5506f7aea657e7161f85)
![{\displaystyle M={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} .k-q\phi -\Gamma 1+B_{2}.{\frac {\operatorname {Cos} .\phi }{k}}+B_{4}{\frac {\operatorname {Cos} .3\phi }{3k^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8acb92dc44dce5c1db9972b25bbd3181ea233bf)
![{\displaystyle N=-q+{\tfrac {1}{2}}\phi +q\operatorname {Log} .k-B_{2}.{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{k}}-B_{4}.{\frac {\operatorname {Sin} .3\phi }{3k^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f362fd80fd0afc60eb6e4ef6e245d694cabda99)
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(+iq)!=M+iN,\qquad \operatorname {Log} .(-iq)!=M-iN,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95d7b188cd8b2db34e9a6f310c9882de4be24e5)
ce qui donnera encore
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(+iq)!(-iq)!=2M,\qquad \operatorname {Log} .{\frac {(+iq)!}{(-iq)!}}=-2iN.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f6908c0fed09fcf8ce783972df31da371c4ad8)
14. Le logarithme de
pouvant toujours être développé en une série de la forme
![{\displaystyle Ay+By^{2}+Cy^{3}+Dy^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a28e4e36ac3ef9f35dced1cd712bfa5d40fd977)
on aura dans le cas actuel de ![{\displaystyle a=r=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ed9f76465780eadcbc62af83c64e707955ed5e)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}-\ \ A=\Lambda 1&=B_{1}+B_{2}+B_{4}+B_{6}+\ldots ,\\+2B=1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\ldots &={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+2B_{2}+4B_{4}+6B_{6}+\ldots ,\\-3C=1+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{27}}+{\tfrac {1}{64}}+\ldots &={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}+3B_{2}+10B_{4}+21B_{6}+\ldots ,\\+4D=1+{\tfrac {1}{16}}+{\tfrac {1}{81}}+{\tfrac {1}{256}}+\ldots &={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+4B_{2}+20B_{4}+56B_{6}+\ldots ,\\-5E=1+{\tfrac {1}{32}}+{\tfrac {1}{243}}+{\tfrac {1}{1024}}+\ldots &={\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{2}}+5B_{2}+35B_{4}+126B_{6}+\ldots ,\\+6F=1+{\tfrac {1}{64}}+{\tfrac {1}{729}}+{\tfrac {1}{4096}}+\ldots &={\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{2}}+6B_{2}+56B_{4}+252B_{6}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afdfe53fd4585fa1af96f008af7cbf6b8919c26)
Les valeurs numériques de toutes ces sommes de puissances sont connues et calculées ; quant à celle de
elle est
![{\displaystyle 0,\ 57721\ 56649\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3248b991f6f7165e96b42eb700be26c02d09c9ab)
On sait de plus que les sommes à indice pair sont réductibles aux puissances paires de
; d’où l’on obtient
![{\displaystyle {\begin{aligned}B&=+2B_{2}.{\frac {\varpi ^{2}}{1.2}},\\D&=-2^{3}B_{4}.{\frac {\varpi ^{4}}{1.2.3.4}},\\F&=+2^{5}B_{6}.{\frac {\varpi ^{6}}{1.2.3.4.5.6}},\\H&=-2^{7}B_{8}.{\frac {\varpi ^{8}}{1.2.3.4.5.6.7.8}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7afec0b380c7dd5ebfa7c887b3ad0ad2c7d9e4)
Quant aux autres coefficiens
l’analise ne nous offre pas les mêmes moyens de les obtenir ; il faudrait, pour y parvenir, interpoler la série des nombres de Bernoulli, d’après une loi probablement fort simple, mais que nous ne connaissons pas encore.
15. Ayant
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(+y)!=Ay+By^{2}+Cy^{3}+Dy^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7a920598887ec020347a4df6d9a128fe454b64)
on doit avoir
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(-y)!=-Ay+By^{2}-Cy^{3}+Dy^{4}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7b29ff1a4e4cf75ebebdbda4efca893cb60e50)
de là résulte
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(+y)!\times (-y)!=2By^{2}+2Dy^{4}+2Fy^{6}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d9956c1bdb99e71cd3c02bb8403960494ec1e5)
en changeant
en
on aura de même
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(+iy)!\times (-iy)!=-2By^{2}+2Dy^{4}-2Fy^{6}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769c0ac52638403e76a594c06dbaee7061a698c7)
16. On a vu (8) que
![{\displaystyle B_{2}.{\frac {y^{2}}{1.2}}+B_{4}.{\frac {y^{4}}{1.2.3.4}}+B_{6}.{\frac {y^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots =\operatorname {Log} .{\frac {e^{{\tfrac {1}{2}}y}-e^{-{\tfrac {1}{2}}y}}{y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e2c35ad82b36281b55f2de7c0611e45f204c1a)
En remplaçant
par
on aura, après les réductions connues,
![{\displaystyle -B_{2}.{\frac {y^{2}}{1.2}}+B_{4}.{\frac {y^{4}}{1.2.3.4}}-B_{6}.{\frac {y^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots =\operatorname {Log} .\left({\frac {2}{y}}\operatorname {Sin} .{\frac {y}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02819108fbe7afcf6af84921216d4dd0c95b2134)
Les réductions appliquées aux valeurs des logarithmes de
et de
qu’on vient de trouver, conduisent aux deux théorèmes très-importans qui suivent :
THÉORÈME I.
THÉORÈME II.
Les principes généraux étant posés, proposons-nous la solution générale des deux problèmes qui suivent :
17. PROBLÈME I. Évaluer numériquement le produit
![{\displaystyle \left\{1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{2}}{(a+r)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{2}}{(a+2r)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{2}}{(a+3r)^{2}}}\right\}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c48b69151e42a15621e0587e7b26410b531e04)
continué à l’infini ?
Solution. Ce produit se décompose dans ceux-ci
![{\displaystyle {\frac {a-x}{a}}.{\frac {a-x+r}{a+r}}.{\frac {a-x+2r}{a+2r}}.{\frac {a-x+3r}{a+3x}}\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd68f3ca2e8c24268d4498b3e25a0051d50afc9e)
![{\displaystyle {\frac {a+x}{a}}.{\frac {a+x+r}{a+r}}.{\frac {a+x+2r}{a+2r}}.{\frac {a+x+3r}{a+3x}}\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f687a71cfcb10c80c09bb2a3d5226294d851fc6a)
dans mon Analise des réfractions, je les ai réduit respectivement à
![{\displaystyle {\frac {(a-x)^{\left.{\frac {x}{r}}\right|r}}{(infin.r)^{\frac {x}{r}}}},\qquad {\frac {(a+x)^{\left.-{\frac {x}{r}}\right|r}}{(infin.r)^{-{\frac {x}{r}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32732ecbea18da93aa38a13691aa13f7ebf359d4)
ce qui rend le produit cherché égal au simple produit des deux factorielles
![{\displaystyle (a-x)^{\left.{\frac {x}{r}}\right|r},\qquad (a+x)^{\left.-{\frac {x}{r}}\right|r}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881202ea488a690eced6a611d7c933293b5d538b)
il ne reste donc plus qu’à réduire ces factorielles aux facultés, ce qui se fait à l’aide des formules ci-dessus (12). En posant, pour abréger,
on trouvera
![{\displaystyle (a-x)^{\left.{\frac {x}{r}}\right|r}={\frac {f!}{\left(f-{\frac {x}{r}}\right)!}}r^{\frac {x}{r}},\qquad (a+x)^{\left.-{\frac {x}{r}}\right|r}={\frac {f!}{\left(f+{\frac {x}{r}}\right)!}}r^{-{\frac {x}{r}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9771b5909ea5fb79613ffdbc4d0ca83431cba648)
d’où on conclura
![{\displaystyle (a-x)^{\left.{\frac {x}{r}}\right|r}\cdot (a+x)^{\left.-{\frac {x}{r}}\right|r}={\frac {f!f!}{\left(f-{\frac {x}{r}}\right)!\left(f+{\frac {x}{r}}\right)!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f715b97a019337e3f097c8d6d26ec6d56e8de8dd)
la solution du problème proposé sera donc réduite à la détermination
des trois facultés
dont on trouvera les
valeurs numériques toutes calculées, dans la table donnée à la page 6 de
ce volume.[4]
18. PROBLÈME II. Évaluer numériquement le produit
![{\displaystyle \left\{1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{2}}{(a+r)^{2}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{2}}{(a+2r)^{2}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{2}}{(a+3r)^{2}}}\right\}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b405d478cba792dda7475c7ab5ddaf21a9b5af)
continué à l’infini ?
Solution. En continuant de faire
il suffira de remplacer
par
dans la formule qu’on vient de trouver. Le produit
demandé deviendra égal à
![{\displaystyle {\frac {f!f!}{\left(f-{\frac {ix}{r}}\right)!\left(f+{\frac {ix}{r}}\right)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f443ab73fde4de1e0beec398e48c7592582a63)
Les logarithmes des deux facultés du dénominateur sont réductibles aux formes
et
ce qui rend le logarithme de leur produit égal à
Il serait fort à désirer que quelque calculateur courageux voulût calculer les binômes
pour toutes les valeurs de
depuis 0 jusqu’à 1, de même que nous devons à M. le professeur Bessel une table des logarithmes de
dans le cas d’une base réelle. En attendant, la série (13), qui a l’avantage d’être convergente à volonté, nous fournit un moyen très-expéditif de trouver la valeur numérique de
logarithme du produit,
Il faudra, pour en faire usage, déterminer l’angle
et le coefficient
de manière qu’on ait
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\phi ={\frac {x}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}+x^{2}}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8dafc3af462fa380e538a3d06d4f7cc852ed2b)
ce qui donne
![{\displaystyle k={\frac {a}{r\operatorname {Cos} .\phi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab091e22cf6863d010ec5e6b244196413e56cce)
et on aura
![{\displaystyle M=-{\tfrac {a}{r}}+1+\left({\tfrac {a}{r}}-{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .k-{\tfrac {x}{r}}\phi -\Gamma 1+B_{2}{\tfrac {\operatorname {Cos} .\phi }{k}}+B_{4}{\tfrac {\operatorname {Cos} .3\phi }{3k^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec4da3b900b854205eff93e2b3cfd8e91d2e168)
19. Appliquant la solution de ces deux problèmes au cas particulier de
qui donne
et qui rend (5) la variable
, d’où
on sera conduit aux théorèmes très-connus, démontrés par EULER (Introd. in. anali. infin., 1.re partie, n.os 156 et suivans.) ; savoir :
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\phi =\phi \left(1-{\frac {\phi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\phi ^{2}}{4\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\phi ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4f484c51543f834b103723f30dc1ce9aa3b01a)
![{\displaystyle {\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{2}}=\phi \left(1-{\frac {\phi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\phi ^{2}}{4\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\phi ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9ded6cf613f4a17599db133a8bf5c92aaa2910)
20. Si dans (17) on fait
on aura, d’un côté, le produit
![{\displaystyle \left(1-{\frac {4x^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4x^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4x^{2}}{25\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4x^{2}}{49\varpi ^{2}}}\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd0292ea2c8c1670dabe7b0df678a9ef22ada9f)
continué à l’infini, lequel, par conséquent, sera égal à ce que devient la fraction
![{\displaystyle {\frac {f!f!}{\left(f-{\frac {x}{r}}\right)!\left(f+{\frac {x}{r}}\right)!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb99426483ec7487595d1b683822453222cfbba)
par cette supposition qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}f&=-{\tfrac {1}{2}}=-1+{\tfrac {1}{2}},\\f+{\frac {x}{r}}&=-{\tfrac {1}{2}}+{\frac {x}{r}}=-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{r}}\right),\\f-{\frac {x}{r}}&=-{\tfrac {1}{2}}-{\frac {x}{r}}=-1+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{r}}\right).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c774627c5c658d9f08c1e762672eaabf5a1b5bc)
La faculté
devient ainsi
La faculté
deviendra
![{\displaystyle {\frac {\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{\varpi }}\right)!}{{\frac {1}{2}}-{\frac {x}{\varpi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc9fed2c8b2db1b3a312f77c584a01b3da629ab)
et le produit des deux facultés
sera (16)
![{\displaystyle {\frac {{\frac {\varpi }{2}}-x}{\operatorname {Sin} .\left({\frac {\varpi }{2}}-x\right)}}={\frac {{\frac {\varpi }{2}}-x}{\operatorname {Cos} .x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3322876032989ff24d214c20fcc018c938995a)
Après avoir employé toutes ces réductions, on sera conduit au théorème très-connu,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\varphi =\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{25\varpi ^{2}}}\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0daaf6efdccef32e13f5c69642c3e4c20b55e5)
21. Et si, dans cette dernière formule, on change
en
elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{2}}=\left(1+{\frac {4\varphi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{25\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\varphi ^{2}}{49\varpi ^{2}}}\right)\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ef103cf24ae62c7e95db84c6eedf741fadb7a6)
formule connue depuis l’analise d’Euler.
22. Les formules (17) et (19) nous conduisent aux deux théorèmes qui suivent
![{\displaystyle h!(1-h)!={\frac {h(1-h)}{\operatorname {Sin} .h\varpi }}.\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8c127445a2faeaeffe184dd5d0422097978b39)
![{\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}-h\right)!\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)!={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}-h\right)\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)}{\operatorname {Cos} .h\varpi }}.\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65cd5e1cda377312d2739b78c3c02a56fa241da)
Ces deux formules, qui sont identiques entre elles, procureront à ceux qui voudront s’occuper de la construction d’une table des facultés, pour les fractions décimales comprises entre 0 et 1, l’avantage précieux de diminuer leur travail de moitié, en ne les obligeant à le pousser que jusqu’à
ce qui donnera, en outre, une grande convergence à la série qu’on est obligé d’employer pour le calcul de cette table. En changeant
en
on aura pareillement
![{\displaystyle (ih)!(1-ih)!={\frac {2h(1-ih)}{e^{h\varpi }-e^{-h\varpi }}}.\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb225c0816fa07db97570491180718ab4bf49b52)
![{\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}-ih\right)!\left({\tfrac {1}{2}}+ih\right)!={\frac {2\left({\tfrac {1}{2}}-ih\right)\left({\tfrac {1}{2}}+ih\right)}{e^{h\varpi }+e^{-h\varpi }}}.\varpi ={\frac {2\left({\tfrac {1}{4}}+h^{2}\right)}{e^{h\varpi }+e^{-h\varpi }}}.\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029d881cf91bf5ef28629048a76a379e9c415111)
23. Le théorème suivant mérite d’être remarqué ; il concerne le produit
de deux facultés dans lesquelles la somme
des exposans est un nombre entier quelconque, pair ou impair.
Dans le cas d’une somme paire, soient
et par conséquent
; la lettre
pourra alors désigner un nombre entier quelconque, et
une fraction moindre que l’unité. Cela posé, on a
![{\displaystyle (a+h)!=(+h)!(1+h)^{a|1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c724a360d79e5a4faef2b42d370b384079aa433)
![{\displaystyle (a-h)!=(-h)!(1-h)^{a|1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2332a35f6f7d0c5338819c15643c04cebbc17e9d)
ou
![{\displaystyle (a+h)!=(+h)!(1+h)(2+h)(3+h)\ldots (a+h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e811121817d53fe15d8280b398ab39d1e04f9e4)
![{\displaystyle (a-h)!=(-h)!(1-h)(2-h)(3-h)\ldots (a-h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62e020f484f96c99b80c9e94f97ac90733b3807)
on aura donc (16)
![{\displaystyle x!y!={\frac {h\varpi }{\operatorname {Sin} .h\varpi }}(1-h^{2})(4-h^{2})(9-h^{2})\ldots (a^{2}-h^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150fc5171c2ec2240641d872fc80eeed5fd98cda)
Dans le cas d’une somme impaire, soient posés
![{\displaystyle x=a+{\tfrac {1}{2}}+h,\qquad y=a+{\tfrac {1}{2}}-h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899ec444666e5fb25bd94b7d5cbaf9da146e85ad)
ce qui donnera
![{\displaystyle x+y=2a+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4d2f72e63cb47e6de7f7b68780e754e46cb0e6)
pouvant désigner un nombre entier quelconque. On aura alors
![{\displaystyle x!=\left(a+{\tfrac {1}{2}}+h\right)!=\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)!\left({\tfrac {3}{2}}+h\right)^{a|1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23c8c5a1f0e9e291d45f10951b67063c639b8b4)
![{\displaystyle y!=\left(a+{\tfrac {1}{2}}-h\right)!=\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)!\left({\tfrac {3}{2}}-h\right)^{a|1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ddec76dd6d6148044e0d81df8a65607d8dd6af)
ou
![{\displaystyle x!=\left({\tfrac {1}{2}}+h\right)\left({\tfrac {3}{2}}+h\right)\left({\tfrac {5}{2}}+h\right)\left({\tfrac {7}{2}}+h\right)\ldots \left({\frac {2a+1}{2}}+h\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75becab2b1a2cf594c0302365039a65dd9c74a68)
![{\displaystyle y!=\left({\tfrac {1}{2}}-h\right)\left({\tfrac {3}{2}}-h\right)\left({\tfrac {5}{2}}-h\right)\left({\tfrac {7}{2}}-h\right)\ldots \left({\frac {2a+1}{2}}-h\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44938f86c76f7e5ed38c8b7d2d4bfe89ce5f0ead)
donc (22)
![{\displaystyle x!y!={\frac {\varpi }{\operatorname {Cos} .h\varpi }}\left({\tfrac {1}{4}}-h^{2}\right)\left({\tfrac {9}{4}}-h^{2}\right)\left({\tfrac {25}{4}}-h^{2}\right)\left({\tfrac {49}{4}}-h^{2}\right)\ldots \left\{{\frac {(2a+1)^{2}}{4}}-h^{2}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c455e664adf35784d6f5a7a66ff2f4ffe8ac8bd3)
Si, dans le cas de
pair,
se change en
ce qui donnera toujours
étant un nombre entier quelconque, il viendra
![{\displaystyle x!y!={\frac {2h\varpi }{e^{h\varpi }-e^{-h\varpi }}}(1+h^{2})(4+h^{2})(9+h^{2})\ldots (a^{2}+h^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a929cce26ff3b818647becaf3e9567dc19fe6de1)
Si le même changement arrive, dans le cas de
impair, en sorte
qu’on ait toujours
étant un nombre entier quelconque, il viendra
![{\displaystyle x!y!={\frac {2\varpi }{e^{h\varpi }+e^{-h\varpi }}}\left({\tfrac {1}{4}}+h^{2}\right)\left({\tfrac {9}{4}}+h^{2}\right)\left({\tfrac {25}{4}}+h^{2}\right)\left({\tfrac {49}{4}}+h^{2}\right)\ldots \left\{{\frac {(2a+1)^{2}}{4}}+h^{2}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a043447127f791cf4af60975336cd79467ecde70)
24. L’analise que nous venons de développer n’est nullement bornée au cas proposé ; et si l’on demandait soit la valeur du produit
![{\displaystyle \left\{1+{\frac {x^{n}}{a^{n}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{n}}{(a+r)^{n}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{n}}{(a+2r)^{n}}}\right\}\left\{1+{\frac {x^{n}}{(a+3r)^{n}}}\right\}\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7c4114ae8c3e665d1928fcc46f567a692a9ac2)
soit celle du produit
![{\displaystyle \left\{1-{\frac {x^{n}}{a^{n}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{n}}{(a+r)^{n}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{n}}{(a+2r)^{n}}}\right\}\left\{1-{\frac {x^{n}}{(a+3r)^{n}}}\right\}\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358a31dcd3b2b15ba8f4ba3923b7421b1f67a2ea)
continué à l’infini, on la trouverait encore, en suivant rigoureusement les mêmes principes.
25. Jusqu’ici nous avons supposé que les facteurs de nos factorielles constituaient toujours une progression arithmétique du premier ordre ; c’est-à-dire, une progression ayant ses premières différences constantes ; et ces sortes de fonctions peuvent être appelées Factorielles du premier ordre. On peut aussi imaginer une suite de facteurs constituant une progression arithmétique du second ordre ; c’est-à-dire, une progression ayant ses secondes différences constantes, telle que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a,\\&a+b,\\&a+2b+c,\\&a+3b+3c,\\&a+4b+6c,\\&a+5b+10c,\\&\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c98b63c3367449918c4b26a32648982d4670a0)
Le terme qui répondrait à l’indice
serait alors,
![{\displaystyle a+{\frac {n-1}{1}}b+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-3}{2}}c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781b94692fffb6c65f9131117aceab0cda42789d)
Un semblable produit pourrait être appelé Factorielles du second ordre ; et, pour peu qu’on suive le développement de la plupart
de nos séries, on verra que ces factorielles, de même que celles
des ordres supérieurs, c’est-à-dire, celles dans lesquelles ce sont
les différences d’un ordre plus élevé que le second, qui sont constantes, doivent se rencontrer très-fréquemment. Heureusement toutes
ces factorielles sont réductibles à celles du premier ordre, moyennant
une décomposition analitique fort simple. On peut toujours, en
effet, pour le second ordre, déterminer les deux premiers termes
et les deux premières différences
de manière que le terme général
![{\displaystyle a+{\frac {n-1}{1}}b+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-3}{2}}c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781b94692fffb6c65f9131117aceab0cda42789d)
devienne équivalent au produit
![{\displaystyle \left[A+(n-1)r\right]\left[A'+(n-1)r'\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f993dfb5a854691e3e8622f633fc2e38fe0532f)
indépendamment de l’indice
Il faudra, pour cela, résoudre les
trois équations
[5]
on aura alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=AA',\\a+b&=(A+r)(A'+r'),\\a+2b+c&=(A+2r)(A'+2r'),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18f0c3bb24db62af2235336d3410503887186cf)
en sorte que la factorielle proposée du second ordre deviendra le simple produit
![{\displaystyle A^{n|r}\times A'^{n|r'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe0ca6279e9cf02e0db38caeef2cbe757cf51b4)
de deux factorielles du premier ordre, et rentrera, comme telle, dans la théorie qui vient d’être développée.
[6]