Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Algèbre élémentaire, article 3

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 25-28).

ANALISE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstrations du principe qui sert de fondement au
calcul des fonctions symétriques, et de la formule
du Binôme de Newton ;

Par M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
l’académie de Grenoble.

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I. Soit représenté le produit des $m$ facteurs simples $x+\alpha ,x+\beta ,x+\gamma ,\ldots ,$ par

$x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}+A_{3}x^{m-3}+\ldots +A_{m}\,;\qquad$(1)

et celui des mêmes facteurs, excepté le premier $x+\alpha ,$ par

$B_{1}x^{m-1}+B_{2}x^{m-2}+B_{3}x^{m-3}+\ldots +B_{m-1}\qquad$(2)

Il est évident qu’en divisant le polynôme (1) par $x+\alpha ,$ on produira le polynôme (2), et que, réciproquement, en multipliant le polynôme (2) par $x+\alpha ,$ on aura le polynôme (1). De là résultent les équations

$B_{n-1}=A_{n-1}-\alpha A_{n-2}+\alpha ^{2}A_{n-3}-\ldots ,$ (3)

$An=B_{n}+\alpha B_{n-1}.\qquad$(4)

L’équation (4) démontre que tout ce qui multiplie $\alpha$ dans $A_{n}$ est $B_{n-1}$ ; or, d’après la composition des coefficiens $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ en $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ si dans $A_{n}$ on prend tous les termes multipliés par $\alpha ,$ puis successivement ceux multipliés par $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots ,$ et qu’on les ajoute ; on aura $nA_{n}$ ; donc

$nA_{n}=\mathrm {S} (\alpha B_{n-1}),\qquad$(5)

le signe $\mathrm {S}$ indiquant la somme des produits $\alpha B_{n-1}$ que l’on obtient en permutant successivement $\alpha$ avec chacune des autres lettres.

Cela posé, dans l’équation (5) substituons à $B_{n-1}$ sa valeur (3), il viendra

$nA_{n}=\mathrm {S} \left(\alpha A_{n-1}-\alpha ^{2}A_{n-2}+\ldots \pm \alpha ^{n}\right),$

ou

$nA_{n}+A_{n-1}\mathrm {S} (-\alpha )+A_{n-2}\mathrm {S} (-\alpha )^{2}+\ldots +\mathrm {S} (-\alpha )^{n}=0\,;\qquad$(6)

et, comme $-\alpha ,-\beta ,-\gamma ,\ldots$ sont les racines de l’équation (1), il s’ensuit que la formule (6) détermine les sommes des puissances semblables de ces racines, savoir : $S(-\alpha ),S(-\alpha )^{2},S(-\alpha )^{3},\ldots$ jusqu’à $S(-\alpha )^{m}.$ On peut même pousser plus loin le calcul de ces sommes, en multipliant l’équation (1) par $x^{n},$ et en appliquant ensuite la formule (6) à l’équation résultante.^[1]

II. L’équation

$nA_{n}-A_{n-1}\mathrm {S} \alpha +A_{n-2}\mathrm {S} \alpha ^{2}-\ldots =0,$

devient, en supposant $\alpha =\beta =\gamma =\delta =\ldots$

$nA_{n}-mA_{n-1}\alpha +mA_{n-2}\alpha ^{2}-mA_{n-3}\alpha ^{3}+\ldots =0.$

Changeant $n,$ en $n-1,$ on aura

$(n-1)A_{n-1}-mA_{n-2}\alpha +mA_{n-3}\alpha ^{2}-\ldots =0.$

Multipliant cette dernière équation par $\alpha$ et, et l’ajoutant à la précédente ; il viendra

$nA_{n}-(m-n+1)A_{n-1}\alpha =0\,;$

ce qui établit une relation entre deux coefficiens consécutifs du polynôme

$x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}+\ldots A_{m}=(x+\alpha )^{m}\,;$

d’où l’on déduit la formule du binôme.

On peut encore démontrer cette formule d’une manière plus directe ; il suffit pour cela d’observer que, dans l’équation

$nA_{n}=\mathrm {S} \left(\alpha B_{n-1}\right),$

le nombre des produits de $n$ lettres du premier membre est égal au nombre des produits de $n$ lettres du second membre ; désignant donc par $N_{n}^{m}$ le nombre des produits différens de $n$ lettre qui sont comptés dans $m$ lettres, nous aurons $nN_{n}^{m}=mN_{n-1}^{m-1}$, et par conséquent la suite d’équations

${\begin{aligned}nN_{n}^{m}&=mN_{n-1}^{m-1}\\(n-1)N_{n-1}^{m-1}&=(m-1)N_{n-2}^{m-2},\\(n-2)N_{n-2}^{m-2}&=(m-2)N_{n-3}^{m-3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\1.N_{1}^{m-n+1}&=(m-n+1).\\\end{aligned}}$

Effectuant le produit de ces équations, et omettant les facteurs communs, nous obtiendrons

$N_{n}^{m}={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.$

Si l’on fait maintenant $\alpha =\beta =\gamma =\delta =7\ldots$ on aura

$A_{n}=N_{n}^{m}\alpha ^{n}\,;$

donc

$(x+\alpha )^{m}=x^{m}+{\frac {m}{1}}\alpha x^{m-1}+{\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}\alpha ^{2}x^{m-2}+\ldots$

1. On trouve un article sur le même sujet à la page 238 du III.^e volume de ce recueil.
   J. D. G.