ANALISE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstrations du principe qui sert de fondement au
calcul des fonctions symétriques, et de la formule
du Binôme de Newton ;
Par M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
l’académie de Grenoble.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
I. Soit représenté le produit des
facteurs simples
par
![{\displaystyle x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}+A_{3}x^{m-3}+\ldots +A_{m}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c1b907ff3d296733749b9b87deeda320061408)
(1)
et celui des mêmes facteurs, excepté le premier
par
![{\displaystyle B_{1}x^{m-1}+B_{2}x^{m-2}+B_{3}x^{m-3}+\ldots +B_{m-1}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105c783af3ac1d927fe4345da4f9ca2eac460e2c)
(2)
Il est évident qu’en divisant le polynôme (1) par
on produira
le polynôme (2), et que, réciproquement, en multipliant le polynôme (2) par
on aura le polynôme (1). De là résultent les équations
![{\displaystyle B_{n-1}=A_{n-1}-\alpha A_{n-2}+\alpha ^{2}A_{n-3}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c491dde046b3971e4746840ed5e9a382892094)
(3)
![{\displaystyle An=B_{n}+\alpha B_{n-1}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d54cffe5eb95f4a68d6db8d04ecdf3f2e952fe)
(4)
L’équation (4) démontre que tout ce qui multiplie
dans
est
; or, d’après la composition des coefficiens
en
si dans
on prend tous les termes multipliés
par
puis successivement ceux multipliés par
et
qu’on les ajoute ; on aura
; donc
![{\displaystyle nA_{n}=\mathrm {S} (\alpha B_{n-1}),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15bc16d966743467d6e1b35f838e7d51aa0b1f4b)
(5)
le signe
indiquant la somme des produits
que l’on obtient
en permutant successivement
avec chacune des autres lettres.
Cela posé, dans l’équation (5) substituons à
sa valeur (3), il viendra
![{\displaystyle nA_{n}=\mathrm {S} \left(\alpha A_{n-1}-\alpha ^{2}A_{n-2}+\ldots \pm \alpha ^{n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68db5b269265ec261ed71f2df219ea60145796d)
ou
![{\displaystyle nA_{n}+A_{n-1}\mathrm {S} (-\alpha )+A_{n-2}\mathrm {S} (-\alpha )^{2}+\ldots +\mathrm {S} (-\alpha )^{n}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8d5cfc82fc3c546a4ae1192ad72ba2e5eb34cd)
(6)
et, comme
sont les racines de l’équation (1), il s’ensuit que la formule (6) détermine les sommes des puissances
semblables de ces racines, savoir :
jusqu’à
On peut même pousser plus loin le calcul de ces
sommes, en multipliant l’équation (1) par
et en appliquant ensuite
la formule (6) à l’équation résultante.[1]
II. L’équation
![{\displaystyle nA_{n}-A_{n-1}\mathrm {S} \alpha +A_{n-2}\mathrm {S} \alpha ^{2}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45f8eeaba369f56bf4fe20ca8ca1ff3c1b48f89)
devient, en supposant ![{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =\delta =\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b676996e7903179bf333587c716f26256883b0b)
![{\displaystyle nA_{n}-mA_{n-1}\alpha +mA_{n-2}\alpha ^{2}-mA_{n-3}\alpha ^{3}+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2eb37e64ff4f731a2b6204388a8fd601880c90)
Changeant
en
on aura
![{\displaystyle (n-1)A_{n-1}-mA_{n-2}\alpha +mA_{n-3}\alpha ^{2}-\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012947a5d73045cce3822e47af6a29f10fad5db6)
Multipliant cette dernière équation par
et, et l’ajoutant à la précédente ; il viendra
![{\displaystyle nA_{n}-(m-n+1)A_{n-1}\alpha =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfe34f4607a9a35f600bfabe8272ea1971a39bd)
ce qui établit une relation entre deux coefficiens consécutifs du polynôme
![{\displaystyle x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}+\ldots A_{m}=(x+\alpha )^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3d47f8f7f7fd9d29e8e218ade4f6769efab9aa)
d’où l’on déduit la formule du binôme.
On peut encore démontrer cette formule d’une manière plus directe ;
il suffit pour cela d’observer que, dans l’équation
![{\displaystyle nA_{n}=\mathrm {S} \left(\alpha B_{n-1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038dd77744e8c86f27d2144bc91cf7c45e1e583d)
le nombre des produits de
lettres du premier membre est égal
au nombre des produits de
lettres du second membre ; désignant
donc par
le nombre des produits différens de
lettre qui sont
comptés dans
lettres, nous aurons
, et par conséquent
la suite d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}nN_{n}^{m}&=mN_{n-1}^{m-1}\\(n-1)N_{n-1}^{m-1}&=(m-1)N_{n-2}^{m-2},\\(n-2)N_{n-2}^{m-2}&=(m-2)N_{n-3}^{m-3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\1.N_{1}^{m-n+1}&=(m-n+1).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5fccf91d42d56290c5d5e3977a2d98b04c85bef)
Effectuant le produit de ces équations, et omettant les facteurs
communs, nous obtiendrons
![{\displaystyle N_{n}^{m}={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0daec30f0d0a59b615aa8b59e33d6bb49ade60)
Si l’on fait maintenant
on aura
![{\displaystyle A_{n}=N_{n}^{m}\alpha ^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cbfaf3aebbab4f87faaac6e330b0b67a8b875a)
donc
![{\displaystyle (x+\alpha )^{m}=x^{m}+{\frac {m}{1}}\alpha x^{m-1}+{\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}\alpha ^{2}x^{m-2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c317deeef2a7f7acd1d79ed35c228c95028199c4)