Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Algèbre élémentaire, article 4
ANALISE.
complète d’un degré quelconque, entre un nombre
quelconque d’inconnues.
nombres figurés.
la méthode publiée par M. Budan, pour la résolution
des équations numériques ;
Je réunis ici, dans un même article, diverses théories qui, à raison de la liaison étroite qui existe entre elles, ne peuvent que se simplifier beaucoup par leur rapprochement.
Soit le degré d’une équation complète entre inconnues ; le nombre des termes de cette équation sera une fonction de et de qu’il s’agit de déterminer, et que nous représenterons par
Pour plus de simplicité, concevons que les coefficiens de tous les termes de cette équation soient positifs et égaux à l’unité : ce qui ne changera rien à la nature du problème. L’équation proposée devant renfermer tous les termes de l’équation complète du degré, entre inconnues, plus la totalité des termes du ordre, entre les mêmes inconnues ; en désignant par le nombre de ces derniers, on devra avoir l’équation
Il s’agit présentement de déterminer
Pour cela, concevons que l’on multiplie chacun des termes d’ordres inférieurs à par une somme de puissances semblables des inconnues, dont les exposans soient tels que ces multiplications donnent toutes des produits de l’ordre : ce qui exigera que l’on multiplie le terme tout connu par l’ensemble des termes du premier ordre par , et ainsi de suite ; il est clair que le nombre total des termes de ces produits, abstraction faite de toute réduction, sera .
Or, je dis que ces mêmes termes ne seront autre chose que les termes du ordre de la proposée, écrits chacun fois. En effet, en représentant généralement l’un de ces derniers par avec la condition on voit qu’il aura été formé autant de fois qu’il y a de manières de diminuer successivement chacun de ses exposans de toutes les unités qu’il renferme ; c’est-à-dire, de manières différentes.
On a donc, d’après cela
et par conséquent (1)
ou enfin
En changeant successivement, dans cette équation, en 2,1, et remarquant que il viendra
ce qui donnera, en multipliant, supprimant les facteurs communs aux deux membres de l’équation produit, et tirant la valeur de [1],
formule qui résout le problème.
Cette solution, la plus simple que je connaisse, m’a été communiquée par M. G. Fornier, élève très-distingué du lycée de Nismes.
Si l’on multiplie, haut et bas, la valeur de par elle devient
ou, en adoptant les notations de M. Kramp[2]
On voit alors que est une fonction symétrique de et , et qu’ainsi on doit avoir
ce qui revient à dire qu’il y a autant de termes dans une équation complète du n.me degré entre inconnues qu’il y en a dans une équation complète du m.me degré entre inconnues.