Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Analyse élémentaire, article 4

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 120-122).

§. III.

Démonstration du principe qui sert de fondement à la méthode donnée par M. Budan, pour la résolution des équations numériques.

Soient $P_{0,0},P_{0,1},P_{0,2},P_{0,3},\ldots P_{0,n-1},P_{0,n},\ldots$les termes de la première ligne horizontale d’une table à double entrée, dont la loi soit telle qu’un terme quelconque de cette table soit égal à celui qui le précède immédiatement à gauche, augmenté de celui qui est immédiatement au-dessus de lui. En désignant par $P_{k,n}$ ce terme quelconque, on aura

$P_{k,n}=P_{k,n-1}+P_{k-1,n}.\qquad$(13)

Pour connaître ce terme $P_{k,n}$, il est clair qu’il sera nécessaire et suffisant de connaître les termes de la première ligne horizontale, jusqu’au terme $P_{0,n}$ inclusivement ; d’où on peut conclure que si l’on trouve une expression de $P_{k,n}$ qui, renfermant la totalité de ces termes, satisfasse à l’équation (13), elle en sera la valeur complète.

Or, l’expression

$P_{k,n}=(k-1,n)P_{0,0}+(k-1,n-1)P_{0,1}+\ldots +(k-1,1)P_{0,n-1}+(k-1,0)P_{0,n},$ (14)

satisfait d’abord à la première de ces deux conditions ; elle satisfait en outre à la seconde. On en tire en effet

$P_{k-n,1}=(k-2,n)P_{0,0}+(k-2,n-1)P_{0,1}+\ldots +(k-2,1)P_{0,n-1}+(k-2,0)P_{0,n},$

$P_{k,n-1}=(k-1,n-1)P_{0,0}+(k-1,n-2)P_{0,1}+\ldots +(k-1,0)P_{0,n-1}\,;$

d’où on conclut, en ajoutant, et ayant égard à l’équation (8),

$P_{k-1,n}+P_{k,n-1}=(k-1,n)P_{0,0}+(k-1,n-1)P_{0,1}+\ldots$

$+(k-1,1)P_{0,n-1}+(k-1,0)P_{0,n}=P_{k,n}\,;$

ce qui est précisément l’équation (13).

Si, dans l’équation (14), on change $k$ en $m-n+1,$ elle deviendra

$P_{m-n+1,n}=(m-n,n)P_{0,0}+(m-n,n-1)P_{0,1}+\ldots +(m-n,0)P_{0,n}\,;\qquad$(15)

équation qui va nous servir tout à l’heure.

Dans la table à double entrée dont il s’agit ici, les termes de la seconde ligne sont dits les sommes premières de ceux de la première ; ceux de la troisième en sont dits les sommes secondes, et ainsi de suite.

Soit présentement l’équation quelconque

$P_{0,0}x^{m}+P_{0,1}x^{m-1}+P_{0,2}x^{m-2}+\ldots +P_{0,n}x^{m-n}+\ldots +P_{0,m-1}x+P_{0,m}=0.\$(16)

Soit posé $x-1=y,$ d’où $x=y+1.$ En substituant, et conservant toujours les mêmes notations, il viendra

$\left.{\begin{aligned}P_{0,0}y^{m}&+(m-1,1)P_{0,0}\\&+(m-1,0)P_{0,1}\\&\\&\\&\\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y^{m-1}&+\ldots +(m-n,n)P_{0,0}\\&+\ldots +(m-n,n-1)P_{0,1}\\&+\ldots +(m-n,n-2)P_{0,2}\\&+\ldots \\&+\ldots +(m-n,0)P_{0,n}\\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y^{m-n}&+\ldots +P_{0,0}\\&+\ldots +P_{0,1}\\&+\ldots +P_{0,2}\\&+\ldots +P_{0,3}\\&+\ldots +\\&+\ldots +P_{0,m}\\\end{aligned}}\right|=0\,;$(17)

équation qui, en vertu des formules (7, 14 et 15), devient simplement

$P_{m+1,0}.y^{m}+P_{m,1}.y^{m-1}+P_{m-1,2}y^{m-2}+\ldots +P_{m-n+1,n}.y^{m-n}+\ldots +P_{1,m}=0.$ (18)

Ainsi, les coefficiens successifs, de gauche à droite, des termes de l’équation dont les racines sont celles d’une équation proposée diminuée d’une unité, sont, à partir du premier terme, la première somme $(m+1)^{me},$ la seconde somme $m^{me},$ la troisième somme $(m-1)^{me},$ et ainsi de suite, des coefficiens de la proposée.

C’est sur ce principe que repose la méthode publiée par M. Budan, pour la résolution des équations numériques ; méthode qui n’exige uniquement que l’usage de l’addition et de la soustraction.

Rien n’est plus facile, d’après cela, que de diminuer les racines d’une équation d’une unité. Que l’équation proposée soit

$5x^{4}-8x^{3}-11x^{2}+15x+24=0,$

par le procédé indiqué ci-dessus, on formera la table suivante :

${\begin{aligned}&5-8-11+15+24,\\&{\text{—————————}}\\&5-3-14+29+53,\\&5+2-12+17,\\&5+7-5,\\&5+12,\\&5,\\\end{aligned}}$

et l’équation transformée sera

$5(x-1)^{4}+12(x-1)^{3}-5(x-1)^{2}+17(x-1)+53=0,$

identique avec la proposée. Nous renvoyons, pour les applications, à l’ouvrage de M. Budan.