§. II
Recherche des principales formules de la théorie des nombres
figurés.
Parce que est une fonction symétrique des nombres et nous emploirons, à l’avenir, pour représenter cette fonction, la notation plus simple
En conséquence, nous aurons
(6)
et, quels que soient et
(7)
Cette notation admise, l’équation (3), dans laquelle on peut
permuter entre eux les nombres et donnera
la somme de ces deux équations, divisée par sera
(8)
or, en se rappelant les équations (7), on voit que cette dernière
exprime la construction du triangle arithmétique ; et qu’ainsi est la formule générale des nombres figurés.
L’équation (6) exprime donc que le nombre figuré du ordre est égal au nombre figuré du ordre ; et l’équation (8) exprime que le nombre figuré du ordre, ou le nombre figuré du ordre, est la somme du nombre figuré du ordre et du nombre figuré du ordre.
De cette dernière on tire
substituant successivement pour dans celle-ci, les nombres
il viendra
ajoutant ces dernières et réduisant, on aura
(9)
et l’on aurait pareillement
c’est-à-dire, que le nombre figuré du ordre, ou le nombre figuré du ordre, est égal à la somme des nombres figurés de tous les ordres jusqu’au ordre inclusivement ; ou encore à la somme des premiers nombres figurés du ordre.
Je terminerai par donner, d’après M. Lhuilier[1], la sommation des inverses des nombres figurés. Il est aisé de se convaincre, par le développement et les réductions, que l’équation suivante est identique
(10)
Si l’on y substitue successivement pour les nombres il viendra
d’où, en ajoutant et réduisant,
ou encore
(11)
Si, dans cette dernière formule, ou suppose elle deviendra
simplement,
(12)
c’est-à-dire,