ARITHMÉTIQUE.
Essai sur la transformation des fractions ;
Par M. Penjon, professeur de mathématiques au lycée
d’Angers.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Il est connu, depuis long-temps, que, par un procédé analogue
à celui qu’on emploie pour le développement d’une fraction en
parties décimales, toute fraction peut être développée en une suite,
finie ou infinie, d’autres fractions dont les dénominateurs sont les
puissances successives d’un même nombre donné quelconque[1].
Je vais essayer de compléter ici la théorie de ces sortes de développemens.
1. Soit
une fraction proprement dite que nous supposerons
essentiellement réduite à ses moindres termes ; et soit
un nombre
entier quelconque. Soient, de plus,
les quotiens et les restes que l’on obtient successivement, en divisant
par
on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rrr}bA=&Bq_{1}+r_{1},\\br_{1}=&Bq_{2}+r_{2},\\br_{2}=&Bq_{3}+r_{3},\\br_{3}=&Bq_{4}+r_{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ef929be5c5e77e2fd6458029f7fa3a92a238b7)
Dans ces équations, les restes
étant tous nécessairement moindres que
; et ne pouvant être conséquemment que
quelques-uns des nombres
; il s’ensuit qu’à moins que quelqu’un des
premiers ne soit nul, auquel
cas tous les suivans le seraient aussi ; après un nombre de divisions
tout au plus égal à
on devra retomber sur quelqu’un des restes
déjà obtenus. Or, l’inspection des équations
suffit pour faire voir que
le procédé par lequel on déduit chacun des restes
ainsi que chacun des quotiens
de celui qui le
précède immédiatement est uniforme ; d’où il suit que si, par
exemple, le reste
est égal au reste
les reste et quotient
et
seront respectivement égaux aux reste et quotient
et
; qu’il en sera de même des reste et quotient
et
comparés aux reste et quotient
et
, et ainsi de
suite ; c’est-à-dire, que, si les deux suites
![{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb91fa2e466ce0d72483cd67efaccbda942789b)
ne se terminent pas d’elles-mêmes, elles seront nécessairement périodiques, soit immédiatement, soit à partir d’un
terme dont le rang ne surpassera pas
; de manière que, dans
tous les cas, le nombre des termes qui précéderont les périodes
augmentées du nombre de ceux de l’une des périodes, sera toujours
moindre que
On peut même observer que le cas où les deux
suites se termineraient d’elles-mêmes ne fait point exception à la
règle, attendu que la suite
est elle-même périodique.
2. Si, après avoir mis les équations
sous cette forme
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rrr}{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {r_{1}}{bB}},\\{\frac {r_{1}}{bB}}=&{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {r_{2}}{b^{2}B}},\\{\frac {r_{2}}{b^{2}B}}=&{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+{\frac {r_{3}}{b^{3}B}},\\{\frac {r_{3}}{b^{3}B}}=&{\frac {q_{4}}{b^{4}}}+{\frac {r_{4}}{b^{4}B}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a541e106d224bf2e419a57f56bd8c9e5cbd21b4a)
on prend successivement la première, puis la somme des deux premières, puis la somme des trois premières, et ainsi de suite, en
supprimant les termes communs aux deux membres des équations résultantes ; il viendra
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {r_{1}}{bB}},\\{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {r_{2}}{b^{2}B}},\\{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+{\frac {r_{3}}{b^{3}B}},\\{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+{\frac {q_{4}}{b^{4}}}+{\frac {r_{4}}{b^{4}B}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eb38142657353b0876456b6158fdde4d3000f2)
En observant que les derniers termes
![{\displaystyle {\frac {r_{1}}{bB}},{\frac {r_{2}}{b^{2}B}},{\frac {r_{3}}{b^{3}B}},{\frac {r_{4}}{b^{4}B}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e21fae9480e806e5d17af6b32611702cca2e96e)
de ces suites sont continuellement décroissans, on en conclura qu’on
peut écrire, par approximation,
![{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+{\frac {q_{4}}{b^{4}}}+\ldots \,;\qquad (\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b978fa714746f869a0e6b2697c223ddcc55d58)
développement qui donnera une valeur d’autant plus approchée de
la fraction
qu’on en prendra un plus grand nombre de termes,
et qu’en même temps
sera plus grand. À l’avenir nous appellerons
ce nombre arbitraire
la base du développement de ![{\displaystyle {\frac {A}{B}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2002223024b2268e7e3f94ce753054413428dd52)
3. Il s’agit présentement, 1o. d’assigner les caractères auxquels
on pourra reconnaître à l’avance si le développement se terminera
ou si, au contraire, il se prolongera indéfiniment ; 2o. de reconnaître quand ce développement devra être immédiatement périodique
ou avoir ses périodes précédées de termes n’en faisant pas partie ;
3o. enfin de déterminer généralement tant le nombre des termes des
périodes que celui des termes de la partie non périodique dont elles
se trouvent précédées.
4. Pour y parvenir, soient désignés généralement par
le nombre
des termes qui précèdent la première période, et par
le nombre
des tenues dont chaque période est composée ; auquel cas on devra
avoir
; il est ciair qu’alors on pourra écrire
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+\ldots +{\frac {q_{m}}{b^{m}}}\\+&{\frac {q_{m+1}}{b^{m+1}}}+{\frac {q_{m+2}}{b^{m+2}}}+{\frac {q_{m+3}}{b^{m+3}}}+\ldots +{\frac {q_{m+n}}{b^{m+n}}}\\+&{\frac {q_{m+1}}{b^{m+n+1}}}+{\frac {q_{m+2}}{b^{m+n+2}}}+{\frac {q_{m+3}}{b^{m+n+3}}}+\ldots +{\frac {q_{m+n}}{b^{m+2n}}}\\+&{\frac {q_{m+1}}{b^{m+2n+1}}}+{\frac {q_{m+2}}{b^{m+2n+2}}}+{\frac {q_{m+3}}{b^{m+2n+3}}}+\ldots +{\frac {q_{m+n}}{b^{m+3n}}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\epsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3fc88159bc170b6bf6d384c2b6bfb2f6d1daf0)
ou encore
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}b^{m-1}+q_{2}b^{m-2}+q_{3}b^{m-3}+\ldots +q_{m}}{b^{m}}}\\+&{\frac {q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}}{b^{m+n}}}\\+&{\frac {q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}}{b^{m+2n}}}\\+&{\frac {q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}}{b^{m+3n}}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8cd81812593adaf49ab321d17631d112548b9a)
posant donc, pour abréger
![{\displaystyle q_{1}b^{m-1}+q_{2}b^{m-2}+q_{3}b^{m-3}+\ldots +q_{m}=M,\qquad (\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a138a4b03a249e41872450484ece629a56065a5)
![{\displaystyle q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}=N\,;\qquad (\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf2a32eff7eed003dbb67b51af2232fa86990e9)
il viendra enfin
![{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}+{\frac {N}{b^{m+2n}}}+{\frac {N}{b^{m+3n}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893e3910fdb2aa7817cc844821504b97ecaa98e6)
![{\displaystyle ={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}\left\{1+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)^{3}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a789b1f3ce1aa27a60b7b9cead333c9232df2ebd)
![{\displaystyle ={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}.{\frac {1}{1-{\frac {1}{b^{n}}}}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}.{\frac {b^{n}}{b^{n}-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab57c8fa5c81edaae074ed90db4e342cda7262e)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}={\frac {M\left(b^{n}-1\right)+N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}.\qquad (\varkappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc5cc0e9cc3ddca9692eb06f52ea33c5240d08a)
5. Cela posé, soit mise l’équation
sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {Ab^{m}\left(b^{n}-1\right)}{B}}=M\left(b^{n}-1\right)+N.\qquad (\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29b9807103f6e18b2370105deebf11bcd7e7b3c)
Il faut que le premier membre de cette équation soit un nombre
entier ; et, comme
et
sont supposés premiers entre eux, il
s’ensuit que
doit être divisible par
Soit donc fait
étant le produit des facteurs premiers de
qui se
trouvent dans
et
le produit de ceux qui ne s’y trouvent pas.
Attendu que
et
sont nécessairement premiers entre eux, il faudra que
![{\displaystyle {\frac {b^{m}}{C}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f04de7ffd2d9c95e013baa21f2677f2cf25918f)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {b^{n}-1}{D}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ed222bbc1af091007a82c3cc692d09f09feac7)
soient séparément des nombres entiers. Ainsi, 1o. le dénominateur de la fraction génératrice ne saurait renfermer aucun des facteurs premiers de la base de son développement à une puissance supérieure à celle dont l’exposant est le nombre de fois que ce facteur premier se trouve dans la base, multiplié par le nombre des termes qui précèdent la première période ; 2o. le produit des facteurs premiers du dénominateur de la fraction génératrice qui sont étrangers à la base de son développement, est toujours diviseur d’un nombre moindre d’une unité que la puissance de cette base dont le degré est marqué par le nombre des termes des périodes.
6. Dans le cas où le développement se termine, et où conséquemment
on a simplement
![{\displaystyle {\frac {Ab^{m}}{B}}=M\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75018404156df36a8a9ff34e87cba90a04c0f5c4)
d’où l’on voit qu’alors
doit être exactement divisible par
; et
dans le cas où ce développement est immédiatement périodique, et
où conséquemment
on a simplement
![{\displaystyle {\frac {A\left(b^{n}-1\right)}{B}}=N\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faae05bc7267acbea9c07a5f8c329b6b314fb447)
d’où l’on voit qu’alors
doit être exactement divisible par
Ainsi, 1o. lorsque le développement de la fraction génératrice se termine, son dénominateur est diviseur exact de quelque puissance de la base de ce développement, c’est-à-dire, qu’il ne contient aucun facteur premier étranger à cette base ; 2o. lorsque ce développement est immédiatement périodique, le dénominateur de la fraction génératrice, premier à la base, est nécessairement diviseur exact de quelque nombre moindre d’une unité qu’une puissance de cette base.[2]
7. Soit toujours
et
étant les mêmes que ci-dessus
(5). Soit
la moindre des puissances
qui soit divisible par C
et soit
la moindre des puissances de ce même nombre
qui,
diminuée d’une unité, devienne divisible par
; il suit de ce qui
a été dit ci-dessus, que le développement de
suivant la base
ne pourra avoir moins de
termes avant la première période,
ni moins de
termes à chaque période. Nous allons prouver de
plus que ce développement aura précisément
termes avant sa
première période, et que ses périodes seront précisément de
termes ;
et nous donnerons en même temps un procédé différent du premier
pour exécuter ce même développement.
8. Soient faits
![{\displaystyle CC'=b^{m},\ DD'=b^{n}-1,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283a456dfc48fcc8b346d14b50e00328110d25c9)
d’où
![{\displaystyle \quad CDC'D'=BC'D'=b^{m}\left(b^{n}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ae2a9ca36aab64a613412d9266fba27861bd01)
on aura alors
![{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {AC'D'}{BC'D'}}={\frac {AC'D'}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00bec47e4ab5bb10602ff2bc4af16aa59ec9ae9)
Soit divisé
par
et soient
le quotient et
le
reste de cette division ; nous aurons alors
![{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {M\left(b^{n}-1\right)+N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9b250304973a32e9bb9296262186cbf3d55b2b)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}+{\frac {N}{b^{m+2n}}}+{\frac {N}{b^{m+3n}}}+\ldots \qquad (\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493987ab197f150232e05dc0e5b96ee029292061)
Soit divisé
fois consécutivement
par
le quotient par
le nouveau quotient par
et ainsi de suite, en ne prenant
que les quotiens entiers ; soient
les restes de ces divisions et
leurs quotiens,
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}M=&Q_{m-1}b+q_{m},\\Q_{m-1}=&Q_{m-2}b+q_{m-1},\\Q_{m-2}=&Q_{m-3}b+q_{m-2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \\Q_{2}=&q_{1}b+q_{2},\\q_{1}=&0+q_{1},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1960785b3471db8a41b237d7b124a940823508)
en prenant la somme des produits respectifs de ces équations par
et réduisant, il viendra
![{\displaystyle M=q_{1}b^{m-1}+q_{2}b^{m-2}+q_{3}b^{m-3}+\ldots +q_{m}.\qquad (\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ab474a34d9d9d1fbb77f83e527830fc5b4ee29)
En opérant de la même manière sur
faisant
divisions
seulement, désignant par
les restes successifs et par
le dernier quotient, on aura pareillement
![{\displaystyle N=q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}\,;\qquad (\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a94d4fcf2b7629232d9424dbaf366e257128dc)
Substituant enfin ces valeurs de
et
dans l’équation
elle
prendra d’abord la forme
et ensuite la forme
; c’est-à-dire, que le
développement de la fraction
suivant la base
se trouvera être
exactement conditionné comme nous l’avons annoncé.
9. Il convient au surplus d’observer que la recherche des nombres
n’exige nullement la décomposition de
en facteurs
premiers. En cherchant successivement le plus grand commun diviseur entre
et
jusqu’à ce qu’on rencontre deux
puissances consécutives pour lesquelles ce diviseur soit le même ;
l’exposant de la moins élevée sera
et le diviseur sera
En
divisant
par
le quotient sera
; enfin, en divisant successivement
par
les binômes
,
jusqu’à ce qu’on
en rencontre un pour lequel la division réussisse, l’exposant de
dans ce binôme sera la valeur de
10. Pour donner un exemple de ce procédé, proposons-nous de
développer la fraction
suivant la base 3. Nous aurons ici
d’où
donc
et partant
![{\displaystyle {\tfrac {7}{72}}={\tfrac {0}{3}}+{\tfrac {0}{9}}+{\tfrac {2}{27}}+{\tfrac {1}{81}}+{\tfrac {2}{243}}+{\tfrac {1}{729}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a046b60ffe69f401c7c711d13975f9606432a2)
11. L’application de tout ce qui précède au développement des fractions en parties décimales est trop facile pour que nous croyons
nécessaire de nous y arrêter.