Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Astronomie, article 2

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 197-201).

ASTRONOMIE.

Recherche des élémens d’une ellipse, dont le foyer et
trois points sont connus ;

Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soient $\mathrm {F}$ le foyer et $\mathrm {P,Q,R}$ trois points donnés sur le périmètre d’une ellipse, et soit $\mathrm {EF}$ une droite fixe, dirigée d’une manière quelconque, dans le plan de ces quatre points. Il s’agit de déterminer les élémens de la courbe.

Les données du problème sont au nombre de six ; savoir : les trois angles $\mathrm {EFP,EFQ,EFR,}$ et les trois rayons vecteurs $\mathrm {FP,FQ,FR.}$ Soient donc

${\begin{aligned}P=Ang.\mathrm {EFP} &,\qquad p=ray.\ vec.\mathrm {FP} ,\\Q=Ang.\mathrm {EFQ} &,\qquad q=ray.\ vec.\mathrm {FQ} ,\\R=Ang.\mathrm {EFR} &,\qquad r=ray.\ vec.\mathrm {FR} .\\\end{aligned}}$

Les inconnues du problème sont au nombre de trois ; savoir ; l’angle $\mathrm {EFA}$ que fait la direction $\mathrm {FA}$ du grand axe de l’ellipse avec la droite fixe $\mathrm {EF} ,$ le demi-grand axe de l’orbite et son excentricité. Soient donc

$\phi =Ang.EFA,$

$a=$ le demi-grand axe,

$\operatorname {Sin} .\lambda =$ l’excentricité, divisée par le demi-grand axe.

En supposant que le point $\mathrm {A}$ est l’aphélie, on aura

$\mathrm {AF} =a(1+\operatorname {Sin} .\lambda )$

${\begin{aligned}Ang.\mathrm {AFP} &=P-\phi ,\\Ang.\mathrm {AFP} &=Q-\phi ,\\Ang.\mathrm {AFR} &=R-\phi .\\\end{aligned}}$

Et, par les propriétés connues de l’ellipse, on trouvera

${\begin{aligned}p&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}},\\q&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}},\\r&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}}.\\\end{aligned}}$

Divisant successivement la première de ces deux équations par les deux autres, il vient

${\begin{aligned}{\frac {p}{q}}&={\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}},\\{\frac {p}{r}}&={\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}}.\\\end{aligned}}$

Il en résulte les deux équations qui suivent

${\begin{aligned}p-q&=\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )\right\}\operatorname {Sin} .\lambda ,\\p-r&=\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )\right\}\operatorname {Sin} .\lambda .\\\end{aligned}}$

En égalant entre elles les valeurs de $\operatorname {Sin} .\lambda$ tirées de ces deux équations, il vient

$\operatorname {Sin} .\lambda ={\frac {p-q}{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )}}$

$={\frac {p-r}{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )}},$

et par conséquent

$(p-q)\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )\right\}$

$=(p-r)\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )\right\}$

en développant $\operatorname {Cos} .(P-\phi ),\operatorname {Cos} .(Q-\phi ),\operatorname {Cos} .(R-\phi ),$ et divisant ensuite par $\operatorname {Cos} .\phi ,$ on tire de cette équation

$\operatorname {Tang} .\phi =-{\frac {p(r-q)\operatorname {Cos} .P+q(p-r)\operatorname {Cos} .Q+r(q-p)\operatorname {Cos} .R}{p(r-q)\operatorname {Sin} .P+q(p-r)\operatorname {Sin} .Q+r(q-p)\operatorname {Sin} .R}}.$

On déduit de là, après les réductions

${\begin{aligned}\operatorname {Tang} .(P-\phi )&={\tfrac {p(r-q)+q(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-P)+r(q-p).\operatorname {Cos} .(R-P)}{q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P)}},\\\operatorname {Tang} .(Q-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Cos} .(P-Q)+q(p-r)+r(q-p)\operatorname {Cos} .(R-Q)}{p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)}},\\\operatorname {Tang} .(R-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Cos} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-R)+r(q-p)}{p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)}}.\\\end{aligned}}$

La nature du problème exige que des tangentes on passe aux cosinus. On y parvient moyennant une certaine fonction, qu’en attendant nous représenterons par $F^{2},$ et dont la valeur, que nous nous réservons de simplifier plus loin, peut être exprimée ainsi qu’il suit :

$F^{2}=\left\{{\begin{aligned}(r-q)^{2}p^{2}&+2rq(p-r)(q-p)\operatorname {Cos} .(R-Q)\\+(p-q)^{2}r^{2}&+2pr(q-p)(r-q)\operatorname {Cos} .(P-R)\\+(q-p)^{2}r^{2}&+2qp(r-q)(p-r)\operatorname {Cos} .(Q-P).\\\end{aligned}}\right.$

On trouve alors

$\operatorname {Sin} .\lambda ={\frac {F}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}\,;$

et ensuite

${\begin{aligned}F\operatorname {Cos} .(P-\phi )&=q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P),\\F\operatorname {Cos} .(Q-\phi )&=r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)+p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q),\\F\operatorname {Cos} .(R-\phi )&=p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)\,;\\\end{aligned}}$

d’où encore

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )&={\tfrac {q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-P)+r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-P)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}},\\\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )&={\tfrac {r(q-p)\operatorname {Sin} .(R-Q)+p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-Q)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}},\\\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )&={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Sin} .(P-R)+q(p-r)\operatorname {Sin} .(Q-R)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}.\\\end{aligned}}$

De là résulte l’égalité suivante

${\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}{qr}}={\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}{rp}}={\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}{pq}}\,;$

attendu que ces trois expressions se réduisent également à

${\frac {\operatorname {Sin} .(Q-P)+\operatorname {Sin} .(R-Q)+\operatorname {Sin} .(P-R)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}.$

Il ne reste plus à déterminer que le demi-grand axe de l’orbite. On a

$a={\frac {pqr}{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}.{\frac {\operatorname {Sin} .(Q-P)+\operatorname {Sin} .(R-Q)+\operatorname {Sin} .(P-R)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}$^[1]

En remarquant que

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(R-Q)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(R-Q),\\\operatorname {Cos} .(P-R)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(P-R),\\\operatorname {Cos} .(Q-P)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(Q-P)\,;\\\end{aligned}}$

l’expression de $F^{2}$ donnée ci-dessus peut être réduite à cette forme plus simple

${\begin{aligned}F^{2}&=4qr(p-q)(p-r)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(R-Q)\\&+4rp(q-r)(q-p)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(P-R)\\&+4pq(r-p)(r-q)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(Q-P)\\\end{aligned}}$

on pourra aussi écrire

$\operatorname {Tang} .\phi ={\tfrac {p(r-q)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}P+q(p-r)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}Q+r(q-p)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}R}{p(r-q)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}P\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}P+q(p-r)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}Q\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}Q+r(q-p)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}R\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}R}}.$^[2]

1. Il convient de remarquer que le numérateur $\operatorname {Sin} .(Q-P)+\operatorname {Sin} .(R-Q)$$+\operatorname {Sin} .(P-R)$ peut être réduit à la forme suivante, plus commode pour le calcul par logarithmes,
   $-4\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(Q-P)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(R-Q)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(P-R).$

   On peut remarquer aussi que le dénominateur $pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)$ $+rp\operatorname {Sin} .(P-R)$ n’est autre chose que le double de l’aire du triangle qui a ses sommets aux trois points donnés.

   J. D. G.
2. Si, dans l’application à un cas particulier, on trouve $\operatorname {Sin} .\lambda =1$ ou, ce qui revient au même
   $F=pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R),$

   on en conclura que la courbe est une parabole. Il serait aisé de faire voir que cette équation de relation revient à celle qui a été donnée à la page 157 de ce volume. On pourrait en faire usage, pour simplifier, dans ce cas, la valeur de $\operatorname {Tang} .\phi .$

   J. D. G.