ASTRONOMIE.
Recherche des élémens d’une ellipse, dont le foyer et
trois points sont connus ;
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
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Soient le foyer et trois points donnés sur le périmètre d’une ellipse, et soit une droite fixe, dirigée d’une manière quelconque, dans le plan de ces quatre points. Il s’agit de déterminer les élémens de la courbe.
Les données du problème sont au nombre de six ; savoir : les trois angles et les trois rayons vecteurs Soient donc
Les inconnues du problème sont au nombre de trois ; savoir ; l’angle que fait la direction du grand axe de l’ellipse avec la droite fixe le demi-grand axe de l’orbite et son excentricité. Soient donc
le demi-grand axe,
l’excentricité, divisée par le demi-grand axe.
En supposant que le point est l’aphélie, on aura
Et, par les propriétés connues de l’ellipse, on trouvera
Divisant successivement la première de ces deux équations par les deux autres, il vient
Il en résulte les deux équations qui suivent
En égalant entre elles les valeurs de tirées de ces deux équations, il vient
et par conséquent
en développant et divisant ensuite par on tire de cette équation
On déduit de là, après les réductions
La nature du problème exige que des tangentes on passe aux cosinus. On y parvient moyennant une certaine fonction, qu’en attendant nous représenterons par et dont la valeur, que nous nous réservons de simplifier plus loin, peut être exprimée ainsi qu’il suit :
On trouve alors
et ensuite
d’où encore
De là résulte l’égalité suivante
attendu que ces trois expressions se réduisent également à
Il ne reste plus à déterminer que le demi-grand axe de l’orbite. On a
[1]
En remarquant que
l’expression de donnée ci-dessus peut être réduite à cette forme plus simple
on pourra aussi écrire
[2]