ANALISE TRANSCENDANTE.
Essai sur un nouveau mode d’exposition des principes
du calcul différentiel ;
Par M.
Servois, professeur aux écoles d’artillerie.
[1]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
« À mesure que (l’analise) s’étend et s’enrichit de
nouvelles méthodes, elle devient plus compliquée,
et l’on ne peut la simplifier qu’en généralisant
et en réduisant, tout à la fois, les méthodes qui
peuvent être susceptibles de ces avantages. »
(Mécanique analitique, page 338.)
1. Je commence par fixer quelques notations et par donner quelques définitions.
J’exprime
Par des fonctions quelconques de la quanttité quelconque : je les appelle Fonctions monômes simples.
Par des fonctions de fonctions de ce sont des Fonctions monômes composées.
Par la fonction marquée par prise successivement 1 fois, 2 fois, 3 fois …, de la quantité : ce sont des Fonctions monômes du 1.er, du 2.e du 3.e… du ordre : est l’exposant de l’ordre de la fonction.
Par des fonctions de dont la définition complète est donnée par l’équation générale
(1)
ce sont des Fonctions inverses ou d’Ordre négatif.
Si la quantité sous le signe fonctionnaire, c’est-à-dire, le sujet de la fonction, est polynôme, on le met entre parenthèses. Ainsi, désigne la fonction du binôme Lorsque le sujet de la fonction est regardé comme complexe, on emploie, avec les parenthèses, des virgules interposées entre les sujets partiels. Ainsi
exprime la fonction des quantités
Si ; c’est-à-dire, si le sujet n’est pris qu’une fois, la fonction est le facteur 1. Si ou si le sujet est pris fois, la fonction est le facteur
En supposant que le sujet soit complexe, par exemple,
étant des quantités variables, arbitraires ou indépendantes qui reçoivent respectivement les accroissemens invariables ou constans quelconques si on a
)
la fonction est ce qu’on appelle l’état varié de Je propose, avec Arbogast (Calculs des dérivations, n.° 442) de désigner cette fonction particulière par la lettre ; et j’adopte les définitions suivantes
Si la fonction est ce qu’on appelle la différence de à laquelle est consacrée, depuis long-temps, la lettre Ainsi ; on a les definitions
(3)
On conclut de là, sur-le-champ, cette autre expression de l’état varié
(4)
Quand le sujet est complexe, on a souvent besoin d’exprimer que la fonction, n’est prise que par rapport à un seul sujet partiel.
Si donc l’on veut exprimer que la fonction n’est prise que par rapport à on écrira si la fonction ne doit atteindre que ocx on écrira et ainsi de suite. sont donc les fonctions partielles de Ainsi, étant un facteur, on aura la définition suivante du facteur partiel
De même, d’après (2), (3), on aura les définitions suivantes des états partiels partiels et des différences partielles
(5)
est toujours égal à car, l’expression, elle-même indique qu’on ne prend pas la fonction de et par conséquent qu’à cet égard ne subit aucune modification. Ainsi
(6)
Toute fonction inverse admet un complément arbitraire, lorsque la fonction directe du 1.er ordre a la propriété d’annuler dans son sujet certains termes, ou d’y rendre égaux à l’unité certains facteurs.
Ainsi, par exemple, la différence annulant, entre autres, les termes constans, la fonction inverse prend, à cet égard, pour complément additionnel, la constante arbitraire
On a coutume de désigner par
des fonctions de qu’on appelle intégrales, et dont la définition est dans l’équation
et, comme on a aussi (1)
il s’ensuit que
(7)
Par la même raison, étant la notation du logarithme naturel et celle de la base du système, on aura
Donc aussi
(8)
On trouvera de même
(9)
car on a
Pour prévenir toute méprise, le produit de par sera représenté par L’expression signifierait la fonction du produit de par La puissance de sera indiquée par
L’expression il désignant la fonction de la puissance de
2. Soit
(10)
c’est-à-dire, supposons que la fonction de est telle que, pour la former, il faut, à la fonction de ajouter (algébriquement) une seconde fonction de la même lettre, puis une troisième marquée par et ainsi de suite. La fonction est alors de la classe des fonctions polynômes. On peut indiquer cette signification de la fonction par une notation très-expressive, qui a le grand avantage de permettre de traiter les fonctions polynômes comme des fonctions monômes, sans perdre de vue de quelle manière elles sont composées. On écrit pour cela
il en résulte qu’on a aussi
(11)
Si est une autre fonction polynôme de donnée par l’équation
on pourra aussi exprimer qu’on prend la fonction de en écrivant
(12)
et ainsi de suite.
Rien n’empêche qu’une, plusieurs ou toutes les fonctions monômes composantes ne soient des facteurs. Dans le dernier cas, après en avoir averti, on saura, sans équivoque (11), (12), que sont les produits de multiplié par le polynôme
ou par le produit
3. Soit
(13)
Les fonctions qui, comme sont telles que la fonction de somme (algébrique) d’un nombre quelconque de quantités est à la somme des fonctions pareilles de chacune de ces quantités seront appelées distributives.
Ainsi, parce que
le facteur l’état varié sont des fonctions distributives ; mais, comme on n’a pas
les sinus, les logarithmes naturels,… ne sont point des fonctions distributives.
4. Soit
(14)
Les fonctions qui, comme et sont telles qu’elles donnent des résultats identiques, quel que soit l’ordre dans lequel on les applique au sujet, seront appelées commutatives entre elles.
Ainsi ; parce qu’on a
les facteurs constans, le facteur constant et l’état varié sont des fonctions commutatives entre elles ; mais comme, étant toujours constant et variable, on n’a pas
il s’ensuit que le sinus avec le facteur constant, l’état varié ou la différence avec le facteur variable, … n’appartiennent point à la classe des fonctions commutatives entre elles.
5. On recueille de ces simples notions plusieurs théorèmes importans.
Si deux fonctions simples sont distributives, la fonction monôme composée sera aussi distributive ; car puisque, par hypothèse
on aura évidemment
Il suit de là immédiatement que les différens ordres d’une fonction distributive sont aussi des fonctions distributives.
6. Si les fonctions monômes composantes de la fonction polynôme sont distributives, la fonction polynôme aura aussi la même propriété ; car, d’après la définition (10) on aura
mais, parce que sont distributives, cette équation deviendra
On dira la même chose (n.o 5) des différens ordres de la même fonction.
7. Si les fonctions sont commutatives entre elles deux à deux, de manière qu’on ait
et si ensuite, ayant pris un certain nombre de ces fonctions, on en forme toutes les fonctions monômes composées que peut fournir la permutation entre eux des signes fonctionnaires, toutes les fonctions monômes composées résultantes seront équivalentes.
Ainsi, par exemple, si l’on prend les trois premières on aura
Pour le démontrer généralement, considérons la fonction monôme
on pourra, sans en changer la valeur, permuter entre elles deux lettres fonctionnaires consécutives quelconques par exemple. Car, soit
on aura
or, par hypothèse,
donc
et, en prenant, de part et d’autre, la fonction composée,
Il suit de là que chaque lettre fonctionnaire peut être amenée à quelle place on veut de la combinaison première, et partant qu’on peut faire subir aux lettres fonctionnaires toutes les permutations possibles, sans altérer la valeur de la fonction composée.
On conclut évidemment de ce théorème que si, avec les lettres fonctionnaires cornmutatives entre elles deux à deux
on forme, à volonté, de nouvelles fonctions, composées de deux, de trois,… lettres, telles que
toutes celles-ci seront aussi commutatives entre elles et avec la première.
8. Si et sont commutatives entre elles, elles le seront avecr leurs inverses qui seront aussi commutatives entre elles, c’est-à-dire, que, si l’on a
(15)
on aura aussi
En effet, on a (1)
or, (15)
donc
et, en prenant de part et d’autre la fonction ,
C’est le premier des théorèmes (16), et le deuxième se démontrerait de la même manière. Quant au troisième on a (1)
et, d’après le premier des théorèmes (16),
laquelle devient le troisième théorème (16), en y changeant en
9. Des théorèmes (n.os 7, 8) on conclut, sans discussion, les formules qui suivent.
Quand étant commutatives entre elles, sont des nombres entiers positifs, on a
(17)
puis, en désignant par
(18)
enfin, en désignant par
(19)
10. Si les fonctions monômes d’une fonction polynôme sont à la fois distributives et commutatives entre elles, tous les ordres de la fonction polynôme seront des fonctions distributives (on le sait déjà d’après le n.o 6) et commutatives, non seulement avec les différens ordres des composantes, mais aussi avec tous les ordres des fonctions distributives qui sont commutatives avec ces dernières.
Soit
et supposons que les distributives . soient commutatives tant
entre elles qu’avec une distributive quelconque On aura (n.o 6)
On trouvera de même
Ajoutant à cela la considération fournie par la formule (17), la proposition se trouvera complètement démontrée.
11. Si les fonctions monômes de deux fonctions polynômes sont distributives et commutatives entre elles, les deux fonctions polynômes seront distributives (n.o 6) et commutatives entre elles.
Soient, en effet,
on aura évidemment
(20)
or, d’après l’hypothèse, ces deux développemens sont composés de termes identiques deux à deux ; on a donc
Si l’on fait ensuite
en supposant distributives et commutatives entre elles et avec
sera commutative avec
et par conséquent on aura (n.o 7)
et ainsi du reste.
12. Le développement des fonctions monômes composées, telles que (n.o 11) dont les fonctions simples sont des fonctions polynômes, lorsque d’ailleurs les fonctions monômes qui composent ces dernières sont distributives et commutatives entre elles, ne présente aucune difficulté. On a, dans les équations {20), le type de celui de on passe, par le même procédé, de celui-ci à celui de
et ainsi de suite ; on sait donc développer les fonctions comprises dans la formule
(21)
Le développement général d’un ordre quelconque d’une fonction polynôme aux fonctions monômes distributives et commutatives, ressortit à la théorie générale du développement des fonctions en séries, dont nous allons exposer les principes.
13. Je suppose qu’on ait respectivement
(22)
J’écris la suite indéfinie d’équations
(23)
équations que je rends identiques, en supposan,
(24)
Je prends la somme des produits respectifs des équations (23)
par et j’obtiens, en réduisant,
(25)
Les équations (24) donnent ensuite, sur-le-champ,
(26)
Or, de celles-ci (26) on tire facilement les coefficens
de l’équation (25), exprimés par les seules fonctions
des constantes On a, en effet,
(27)
Voilà la série (25), de forme très-générale, établie analitiquement, par un procédé fort naturel et qui a l’apparence de la plus grande simplicité ; de sorte qu’il semble qu’il n’y ait plus qu’à descendre de là aux différens cas particuliers. Mais on a bientôt remarqué que ce procédé présente aussi de graves inconvéniens.
Le premier est de conduire péniblement, même dans les cas les plus simples, à la loi qui règne entre les coefficiens
le deuxième, et il est majeur, est de ne rien donner dans le cas peut-être le plus utile, celui de l’égalité, en tout ou en partie, entre les constantes
car, alors les coefficiens prennent, tous ou partie, la forme indéterminée
C’est ce qui a lieu, en particulier, quand toutes les fonctions
sont égales, et par conséquent lorsqu’il s’agit de développer suivant les puissances d’une autre fonction ou bien encore, quand les fonctions
étant différentes les unes des autres, sont toutes de la forme Cependant, après un examen réfléchi, on reconnaît que ces inconvéniens ne sont pas insurmontables, et qu’ils disparaissent quand on modifie un peu le procédé ; et, en particulier, quand on n’attaque pas d’abord le problème général. Voici ce que j’ai trouvé de plus simple à cet égard.
14. Dans je considère seule comme variable, ayant pour accroissement arbitraire et constant. J’écris l’équation identique
laquelle, en faisant
(28)
devient
(29)
Je prends les différences successives de l’équation (29), par rapport à seule ; et pour cela je fais observer qu’en général (3)
ou bien
(30)
après quoi j’ai successivement
d’où, je tire, par transposition,
(31)
prenant enfin la somme des produits respectifs de ces équations (31) par
il vient en réduisant, et ayant égard à l’équation (29),
ou bien, en transposant,
(32)
On peut donner à ce développement plusieurs autres formes, très-remarquables.
D’abord je fais relation qui donne, parce que est constante,
par conséquent l’expression
devient évidemment
les différences étant prises par rapport à qui varie de on a ainsi
(33)
Dans ce nouveau développement, je change en alors le premier membre devient (2)
dans le second, devient Après cela je change en alors devient et devient les différences étant prises par rapport à qui varie de il vient ainsi
(34)
Ici je fais d’où et j’ai
(35)
Dans l’équation (35), je fais ce que j’exprimerai, relativement aux fonctions
en écrivant
puis je change en et j’ai
(36)
15. La série (33) est aussi donnée par le procédé du n.o 13, quand on fait
mais il est bien plus difficile d’arriver à la forme générale et bien simple
qui comprend tous les coefficiens. On conclut sur-lechamp de cette série la possibilité du développement de suivant les puissances entières et positives de bien que le procédé du n.o 13 ne donne rien à cet égard. En effet, les produits
étant développés, sont tous de la forme
de sorte qu’après ce développement, il s’agirait simplement d’ordonner par rapport aux puissances
et, sans calcul, on aperçoit déjà que le coefficient de la première puissance
serait la série
(37)
Il ne serait même pas difficile de les déterminer tous d’après cette seule considération ; mais il sera, plus court d’en faire la recherche par un procédé analogue à celui qui vient d’être employé (n.o 14).
D’abord je prends la somme des produits respectifs des équations (31) par
ce qui donne, en réduisant et multipliant par
(38)
Ici je fais
notation d’après laquelle on aura
et, en général
(39)
C’est la définition complète d’une nouvelle fonction de polynôme et même infinitinôme, en général, que j’appelle la différentielle de
Il s’ensuit, sur-le-champ, que
et, en général
(40)
sont les différentielles de différens ordres de
Cela étant, l’équation (38) devient
(41)
Je prends les différences successives de celle-ci, et j’ai, eu égard à la formule (30),
Je prends la somme des produits respectifs de ces équations par
et j’ai, en réduisant
équation qui, d’après les notations fixées (39), (40), devient
ou bien
(42)
Je fais sur celle-ci les mêmes opérations que sur l’équation (41) ; c’est-à-dire, que je prends la somme des produits respectifs de ses différences successives par
ce qui me donne, en réduisant, et ayant toujours égard aux notations (39), (40),
(43)
Le procédé détaillé pour passer de l’équation (41) à l’équation (42) sert évidemment de formule pour passer de celle-ci à l’équation (43), puis de cette dernière à une nouvelle, et ainsi de suite ; de sorte que c’est par une induction rigoureuse qu’on obtient la suite indéfinie d’équations
En prenant la somme de leurs produits respectifs par
il vient, en ayant égard à l’équation primitive (29),
d’où en transposant,
(44)
Série bien analogue avec la série (32) et qui, comme cette dernière, prend, d’après les mêmes procédés, plusieurs formes différentes, savoir ;
(45)
(46)
(47)
(48)
16. Je m’empresse d’appliquer ces formules au développement des différent ordres d’une même fonction.
Soit
la différence constante de étant on aura (3)
Si la fonction est distribuiive, cette expression se changera en
(49)
Admettons l’hypothèse, et faisons un moment
(50)
D’après les théorèmes (n.os 5, 6), et seront des fonctions distributives ; et, au lieu de (49), nous aurons
puis ; en prenant la différence de celle-ci,
Si la fonction est commutative avec les facteurs constans, elle le sera aussi, en vertu du théorème (n.o 10), avec la fonction binôme (50) c’est-à-dire, qu’on aura
Admettons encore l’hypothèse ; parce que est distributive, nous aurons, d’après (50),
ainsi, l’équation (51) devient
On trouverait de même
et, par une induction manifeste
expression qui, si l’on veut faire usage de la notation proposée (n.o 2), devient
Or, on a (6)
donc, par la formule (36), on aura
(53)
Actuellement, d’après la définition (39) et la formule (52), on trouve
(54)
Je désignerai, en général, la fonction polynôme, qui est ici entre parenthèses, par sera ainsi la notation d’une fonction déterminée de dont la définition complète sera donnée par l’équation
(55)
La fonction s’appellera logarithme et sera une fonction monôme composée qui s’énoncera : logarithme de de Il est clair (n.o 10) que la fonction est non seulement distributive, mais commutative avec la fonction et le facteur constant. Il n’en est pas de même de la fonction simple
Ainsi, l’équation (54) devient
De celle-ci on conclut sur-le-champ
(56)
par conséquent, en faisant dans on a, d’après la formule (48), cet autre développement de :
(57)
Tirons quelques conséquences importantes. Dans (57) l’accroissement étant arbitraire, je le fais égal à l’unité, et j’ai
(58)
Je compare cette expression, terme à terme, avec celle de l’équation (57) et, parce que est absolument indéterminé, j’obtiens la relation
(59)
Soit une fonction distributive et commutative avec et les facteurs constats ; prenons de part et d’autre de l’équation (58) la fonction nous aurons, eu égard à la formule (18, n.o 9),
Développons chaque terme du second membre de celle-ci, par la même formule (58), et nous aurons visiblement
(60)
d’ailleurs., toujours, d’après, (58), on a cette autre expression
donc, en comparant terme à terme avec (60) ; nous aurons à cause de l’indéterminée , la relation
(61)
Supposons
prenons, de part et d’autre, la fonction inverse et nous aurons (1)
et par conséquent, d’après la formule (58),
(62)
Soient encore et deux fonctions dîstributives et commutatives
tant entre elles, qu’avec les facteurs constans ; et étant des exposans arbitraires, on a sur-le-champ (1)
(63)
mais (61), (59) on a aussi
donc (63) on aura, en employant la notation (n.o 2)
(64)
et, d’après (62)
(65)
Faisons quelques hypothèses particulières, sur la forme de la fonction et d’abord soit
en supposant on aura sur-le-champ, d’après (53), (58), (55)
(66)
Soit
Je prends, de part et d’autre, la fonction inverse et j’ai
laquelle, en faisant,
devient
et d’après la formule (66), j’obtiendrai
Dans celles-ci, je mets pour et leurs expressions d’hypothèse puis je prends, dans la première et la seconde, de part et d’autre la fonction et j’ai
(67)
Soit
On fera et on aura (67) les développemens relatifs à
Dans ceux-ci, au lieu des différens ordres on mettra leurs déveioppemens donnés par les mêmes équations (67) ; d’après
On voit, sans qu’il soit besoin d’insister, comment on arriverait aux deux développemens de l’ordre de la fonction polynôme quelconque, aux fonctions distributives et commutatives ; c’est-à-dire, qu’on sait développer la fonction
17. Je vais appliquer ces généralités aux fonctions données par la considération des différences des quantités variables, fonctions que j’appellerai fonctions différentielles.
En considérant comme fonction des deux seules variables (ce que nous dirons pourra s’appliquer sans peine aux fonctions d’un plus grand nombre), ses fonctions différentielles, totales ou partielles, sont (n.o 1)
On voit que, d’après la notation proposée (n.o 1), pour les fonctions partielles, en général, nous exprimons les différentielles partielles par
Les définitions des fonctions différentielles totales (3), (4), (39), exprimées d’après la notation proposée (n.o 2) pour les fonctions polynômes, seront
(69)
Elles serviront de formules pour exprimer les fonctions différentielles partielles, en y changeant simplement
en
ou en
respectivement.
Ajoutons la formule qui établit la communication entre les fonctions totales et les fonctions partielles : c’est
(70)
Elle est évidemment vraie ; car, pour avoir
il suffit de changer d’abord en c’est-à-dire, de prendre
d’abord ensuite, dans le résultat, de changer en c’est-à-dire, de prendre l’état varié
selon de
Cela posé, il est facile de voir d’abord que toutes les fonctions différentielles sont distributives. En effet, les états variés
le sont évidemment, ainsi que les facteurs constans. Or, d’après leurs définitions (69), les différences et différentielles totales ou partielles sont des fonctions polynômes dont les composantes sont des ordres d’états variés et des facteurs constans ; donc, en vertu du théorème (n.o 6), elles sont elles-mêmes distributives.
En second lieu, tous les états variés sont commutatifs avec le facteur constant ; il est même très-remarquable que tout état varié est commutatif avec toute fonction d’ordre constant ; c’est-à-dire ; qu’on a
Il est fort indifférent, en effet, de changer d’abord en par exemple, dans la fonction puis de prendre la fonction ou bien de prendre d’abord la fonction de pour y changer ensuite en Il suit de là que les états variés sont commutatifs, tant entre eux qu’avec toutes les différences et différentielles.
En troisième lieu, les différences et différentielles, étant commutatives avec les états variés, et étant des fonctions polynômes composées d’états variés qui sont commutatifs avec les facteurs constans, seront, en vertu du théorème (n.o 10), commutatives avec Les facteurs constans.
En quatrième lieu, d’après la définition de la différence partielle
celle-ci sera commutative avec
et
(n.o 10), puisque ces dernières sont commutatives avec
et les facteurs constans.
En cinquième lieu, d’après la définition de la différentielle partielle
celle-ci sera commutative avec
(n.o 10), puisque cette dernière l’est avec les différens ordres de
et avec les facteurs constans.
De toutes ces observations réunies, il résulte que toutes les fonctions différentielles et leurs différens ordres, positifs ou négatifs, sont des fonctions commutatives, tant entre elles qu’avec les facteurs constans, On pourra y ajouter les fonctions intégrales
ainsi que leurs differens ordres ; puisque ces fonctions ne sont que des différences et différentielles d’ordres négatifs (n.o 1).
Ainsi, toutes les formules données dans l’article précédent sont immédiatement applicables à toutes ces fonctions. On en recueille sur-le-champ plusieurs expressions abrégées dont voici les plus remarquables.
Dans la formule (46), je mets au lieu de je compare avec l’équation (62), et j’ai
(71)
et par conséquent aussi
(72)
D’après les expressions précédentes et la définition
(69), on a sur-le-champ
(73)
En comparant les définitions (69) de la différentielle avec la formule (55) on obtient
74)
Si, dans la formule
on met, au lieu de
l’expression équivalente
qui elle-même (69) est équivalente à
on aura
(75)
Si, dans
on met, au lieu de
l’expression (70), on aura
(76)
or, d’après la formule (61) et les expressions (72), on a
donc, au lieu de(76), on aura
(77)
Si, dansl’équation (64), on change en
respectivement, on aura
équation qui, d’après (62), deviendra
(78)
On sait (n.os 11, 18) développer toutes ces expressions abrégées.
C’est ici le lieu de faire observer qu’on peut former, en combinant les fonctions différentielles entre elles et avec les facteurs eonstans, une infinité de fonctions différentielles nouvelles qui toutes, d’après nos théorèmes généraux (n.os 5 … 10) seraient distributives et commutatives, tant entre elles qu’avec les facteurs constans.
Ainsi, en affectant des notations particulières à des fonctions polynômes, telles, par exemple, que
on formerait de nouveaux algorithmes qui auraient toutes leurs lois théoriques et pratiques dans les formules (n.o 16). Le Calcul des variations, en particulier, est le résultat d’une considération de cette espèce.
Les facteurs, étant des fonctions éminemment distributives et commutatives entre elles, sont visiblement compris comme cas particuliers dans nos formules. Alors l’expression
z est le logarithme naturel du facteur qui multiplie l’autre expression
est la même chose que l’expression vulgaire
(n.o 1). Il n’est pas même nécessaire d’aller chercher ailleurs une théorie des logarithmes ; elle est toute entière dans la définition (55) et les formules (59), (61), (62). Par la même raison, les moyens de développement fournis par les élémens, pour élever un polynôme quelconque à une puissance quelconque, sont tous des cas particuliers de ceux qui conduisent au développement de la formule (68).
18. Nous avons, dans ce qui précède, esquissé l’ensemble des lois qui rapprochent et mettent en communication toutes les fonctions différentielles, c’est-à-dire, la théorie la plus générale du calcul différentiel. La pratique de ce calcul, laquelle, est autre chose que l’exécution des opérations indiquées dans les définitions, ne formerait pas une branche séparée, si on n’avait pas remarqué que, pour certaines classes de fonctions variables, les fonctions différentielles réduites se présentent sous des formes beaucoup plus simples qu’on n’aurait pu le préjuger. D’ailleurs les fonctions, variables en général, eu égard à l’état actuel de l’analise, se composent d’un assez petit nombre d’autres fonctions qu’on appelle élémentaires, et dont il suffit de connaître les fonctions différentielles pour être en état, d’après les règles du calcul ordinaire, de trouver celles des premières. Il serait déplacé d’entrer ici dans aucun détail concernant les états variés et les différences des fonctions élémentaires ; je me borne à la recherche de leurs différentielles.
Les fonctions élémentaires simples d’une seule variable sont les fonctions monômes
dans lesquelles on attribue à une différence constante. Les fonctions élémentaires composées sont
Il y a, pour faire dépendre les différentielles de celles-ci, et, en général, des fonctions composées, de celles des fonctions simples, un théorème important qu’il faut préliminairement établir.
Soient , et sont des fonctions quelconques. En supposant que la différence de est la constante on a, par la formule (47)
Ici est arbitraire ; partant, je puis faire
(79)
et j’aurai
(80)
mais, d’après la formule (46), eu égard à l’hypothèse (79), on a
donc
Je développe le second membre de celle-ci, par la même formule (46), et j’ai pour cette autre expression
laquelle, comparée avec la première (80), donne sur-le-champ, à cause de l’indéterminée
(81)
Si on avait en donnant à la différence constante il est clair qu’on aurait, par la formule (81)
et ainsi de suite.
Cela posé, d’après la formule (56), en y supposant que la fonction devienne le facteur et que soit égal à l’unité, nous avons
(82)
étant la variation constante de Dans cette hypothèse, on a par conséquent, d’après la définition (39)
D’ailleurs, d’après (59) on a
donc, au lieu de (82), on aura
(83)
Supposons ensuite
Nous aurons, d’après le théorème (81)
Mais, d’après (83), puisque par hypothèse, on a
donc, on aura
(84)
c’est-à-dire, la formule pour différencier les exponentiels.
Si on fait attention que
et par conséquent que
la formule (84) deviendra
dans laquelle, si on fait
ce qui est permis, on aura
(85)
c’est l’expression de ce théorème : la différentielle d’une variable est toujours égale à cette fonction multipliée par la différentielle de son logarithme.
On en conclut sur-le-champ
(86)
c’est la formule pour différencier les logarithmes naturels, en faisant attention que
d’après les formules (85), (86), on aura
(87)
c’est la formule de différentiation des puissances.
Puisque
on aura (85)
donc, d’après (86)
(88)
c’est la formule de différentiation des produits.
Soit
(89)
est une constante, est variable, et sa différence constante est 1. On a
puis, en développant, par les formules trigonométriques connues les cosinus et sinus de et en réduisant
par conséquent, en général
donc, d’après la définition (39), on aura
et, en comparant avec la formule (55),
(90)
D’ailleurs (88)
(91)
Mais d’une part, en différenciant la formule connue
d’après (87), on trouve
(92)
et par conséquent
(93)
D’autre part, en se rappelant que on a, par la formule (83)
donc, en substituant cette expression et celle (93) dans (91), et comparant avec (90), on aura
et de là en faisant
on tire
(94)
puis, en mettant cette expression dans (92),
(95)
Si on changeait ici en , on aurait ces formules
Ici la différente de est 1 ; si était fonction d’une autre variable, on aurait, en vertu du théorème (81)
(96)
Dans ces formules ; la quantité est un arc arbitraire.
La constante quoique impliquée d’imaginaires, est facilement ramenée à une forme toute réelle. En effet, à cause de la formule connue
on a
et, en développant la dernière expression d’après une formule logarithmique connue, puis en divisant par
(97)
Ainsi, quand on ne saurait pas d’ailleurs que cette expression de est égale à on aurait toujours le moyen, d’après les équations (96), et (97), de différencier les fonctions trigonométriques. Au surplus, par les seuls élémens, on démontre que (voyez, Théorie des fonctions analitiques, n.o 28 de la 1.re édition, et n.o 23 de la seconde).
19. Nous avons vu naître le calcul différentiel du simple développement des fonctions d’une variable suivant les puissances de cette variable : ce calcul va nous servir maintenant à nous élever à quelque chose de plus général.
Supposons qu’on donne, entre les variables l’équatïônr et l’équation On peut du moins imaginer qu’on ait tiré de la première celle-ci et qu’entre cette dernière et la seconde, on ait éliminé , pour avoir ; de manière que l’hypothèse revient à donner les trois équations
(98)
Alors, d’après la formule (45), on aura
(99)
Dans celle-ci, est une arbitraire qui a pour différence constante Je différencie l’équation (99), par rapport à seul, et j’ai
(100)
puis je suppose qu’en faisant dans on trouve entre autres et réciproquement ; on aura (98)
Ensuite, je fais dans (100), et cette équation devient
(101)
d’où
L’équation (101) est la même que (81), trouvée d’une autre manière. Je divise l’équation (100) par je différencie par rapport à et j’ai
(102)
dans celle-ci, je fais et j’ai
J’opère sur l’équation (102) comme j’ai fait sur (99) et (100), c’est-à-dire, je divise par je différencie, je fais et j’ai
L’induction est manifeste, et l’on voit que j’aurai, en général,
(103)
Il y a, dans cette expression, un nombre de différentielles subordonnées. Elle est fort simple, mais on en découvre une autre qui se prête mieux aux développemens que la pratique exige, en employant un procédé qui n’est pas dépourvu d’élégance.
Je fais, pour abréger,
Je multiplie successivement l’équation (99) par je fais d’ailleurs attention qu’en général
relation qui se vérifie aisément, d’après la formule (87) ; et j’ai
(104)
Or, d’après la formule (45), on a
(105)
puis, en différenciant par rapport à
(106)
Il suit d’abord de (106) que
et seront respectivement des formes
(107)
de cette dernière on conclut que, étant un nombre entier plus grand que 0, il manque, dans le développement de suivant les puissances ascendantes de le terme multiplié par puis ultérieurement que, étant aussi un nombre plus grand que 0, il manquera, dans le développement de le terme multiplié par D’ailleurs, il est évident (107) que, tantque sera égal à ou plus grand, ce développement ne renfermera point des puissances négatives de Mais, d’après la formule (87), étant positif, est nul, quand et est de la forme étant plus grand que zéro, quand Donc, en prenant la différence de l’expression tous les termes où a un exposant moindre que seront détruits, tous les autres prendront la forme puisque, le terme en manquant, dans tous les autres, l’exposant de est plus grand que par conséquent, lorsqu’on fera on aura toujours
(108)
Il suit, en second lieu, de l’équation (106), que l’expression
est toujours de la forme
mais (87) donc, quand on fera on aura toujours
Je fais à présent l’application de ces deux observations importantes à la suite d’équations (104).
Je fais dans la première ; le premier terme, à cause de (109), devient et les suivans s’anéantissent, donc
J’indiquerai par le 0, placé en flanc d’une expression, qu’il faut faire, dans son développement,
Je différencie une fois la seconde équation (104), puis je fais le premier terme
est nul (108) ; le second
devient (109) ; tous les suivans s’évanouissent ; donc
Je différencie deux fois de suite la troisième équation (104), puis je fais les deux premiers termes du second membre, étant dans le cas de (108), sont nuls ; le troisième se réduit à d’après (109) ; les suivans sont visiblement nuls ; donc
Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin pour conclure en toute rigueur qu’en général
(110)
ainsi l’équation (99) devient
(111)
ou bien, si l’on veut mettre, pour et les expressions correspondantes et
(112)
C’est la formule du professeur Burman (voyez Mémoires de l’Institut, 1.re classe, tome II, page 16) ; dans le second des deux mémoires dont ceci est l’extrait, je l’avais déduite de la célèbre formule de Lagrange pour le retour des suites.
Dans l’expression (110) du terme général des coefficiens de la formule (111), on pourra mettre, avant les différentiations, au lieu de son expression en si la forme de l’équation
le permet ; sinon, après les différentiations, il faudra substituer pour
ce que deviennent ces fonctions, quand et s’anéantissent à la fois ; ce qui sera possible, en général, d’après l’équation
Si l’équation donnée entre et est simplement on aura d’après (105)
en supposant toutefois que l’équation ne donne pour qu’une seule valeur égale à C’est ce qu’il faudra substituer au lieu de
après les développemens.
Si l’équation donnée entre et est par exemple
qui donne en effet quand et réciproquement ; l’équation (111) devient
(113)
Celle-ci, quand on fait est la formule de Lagrange que nous venons de rappeler.
Soit, entre les variables et la relation
(114)
qui donne quand et réciproquement.
Dans la fonction donnée et dans (114), je regarde seul comme variable et j’ai, d’après la formule (113).
(115)
et les coefficiens de sont des fonctions de que je développe suivant les puissances de par le moyen de la formule (45) et j’ai, en faisant d’ailleurs pour abréger
Je substitue ces résultats dans (115), j’ordonne suivant les puissances de et j’ai
(116)
équation dans laquelle le terme général des coefficiens est
(117)
Telle est (116) une formule très-étendue, dont j’ai fait, dans mes deux mémoires, de nombreuses applications. J’y étais parvenu immédiatement, et par une méthode bien différente : celle de l’élimination des fonctions arbitraires, par les différentiations partielles ; méthode qui, maniée par les Laplace, les Lagrange, etc.,
a fourni les plus brillans résultats ; et qui, dans la matière dont nous nous occupons, permet d’aborder avec succès ce problème très-genéral : Une équation étant donnée entre plusieurs variables, développer une fonction proposée d’une ou de plusieurs de ces variables en série ordonnée suivant les puissances de l’une d’entr’elles, ou suivant les puissances et produits de plusieurs d’entr’elles. Je ne puis donner ici qu’une idée de la manière de procéder, en en faisant l’application à un cas peu compliqué.
Soit donnée l’équation.
(118)
Il s’agit de développer suivant les puissances et produits de
La résolution de l’équation (118) donnerait pour une expression de la forme n’ayant d’ailleurs entr’elles aucune équation de condition ; ainsi, on peut considérer comme fonction des trois variables indépendantes dont les différences sont constantes et égales à l’unité, Cela étant, on sait, et il serait d’ailleurs facile de le conclure de la formule (78, n.o 17), qu’on a, en désignant, pour plus de simplicité, par
(119)
Le zéro, en flanc de signifie qu’il faut faire égales à zéro les variables après les développemens.
Je différencie successivement par rapport à et j’ai, en faisant attention au théorème (81),
J’élimine entre celles-ci et j’ai
(120)
Je différencie successivement l’équation (118) suivant et j’écris les résultats comme il suit
J’élimine entre ces trois dernières le facteur polynôme commun à leurs premiers membres ; et j’ai
(124)
Je mets ces expressions (124) dans les équations (120), et j’ai
(125)
Comme la fonction est arbitraire, celles-ci donnent
(126)
Quand on fait, dans (118), il vient Supposons que cette équation donne ; on aura et, d’après les équations (125),
Voilà déjà les trois premiers termes du développement (119) entièrement déterminés. Pour passer outre, on différencie les équations (125), la première suivant et la seconde suivant et on a, pour des expressions qui contiennent linéaîrement les différentielles, selon de et On élimine Les différentielles suivant et par le moyen des équations (124), (125), (126) ; et, réductions faites, il vient
(127)
Dans celles-ci, on satisfait à l’hypothèse qui donne et, d’après (123)
et on a les trois coefficiens différentiels
On continue de la même manière ; c’est-à-dire, on différencie les équations (127), suivant et pour avoir
Dans les résultats, les différentielles selon et de
sont éliminées par les équations (125), (126) ;
le sont d’après (124) ; on élimine les deux autres
qui sont la même chose que
respectivement, après avoir différencié suivant les équations (124).
Ensuite on satisfait à l’hypothèse qui donne
et, ce qu’il faut bien remarquer, en général
comme il est aisé de le conclure de l’équation (123) ; et on a les quatre coefficiens
La route à suivre pour continuer indéfiniment est suffisamment reconnue ; et il est visible que tout se réduit à des différentiations, suivant et des derniers résultats obtenus, et à l’élimination des différentielles, suivant et de
d’après (125), et des différentielles de la forme
d’après les équations (124) différenciées, suivant autant de fois qu’il est nécessaire.
Supposons actuellement, en particulier et partant
en faisant cette hypothèse dans (125) et (126), on aura d’abord
et comme, d’après (125), (126),
Il viendra, en réduisant,
(128)
On trouvera, de la même manière
(129)
Cela étant, en différenciant successivement, par rapport à la première (125), on aura, eu égard à (128),
et, en général
(130)
On différenciera ensuite l’équation (130) successivement par rapport à et, en faisant attention à (129), on trouvera
et, en général
(131)
C’est le terme général des coefficiens de développement cherché, où il n’y a plus qu’à satisfaire à la condition qui (118) donne Alors, dans notre terme général (131), se change en les différentielles partielles suivant deviennent totales ; il est alors
(132)
on a enfin (119)
(133)
Je m’abstiendrai de faire des applications des formules de développement qu’on vient de lire, pour ne pas excéder les limites que je me suis prescrites. En effet, mon projet a été uniquement d’offrir un aperçu un peu détaillé de la manière dont j’ai traité les principes du calcul différentiel, dans la 1.re partie du travail que j’ai eu l’honneur de présenter à la 1.re classe de l’institut ; les applications des formules de développement des fonctions en séries sont l’objet d’une seconde partie. J’y suis parvenu à déduire de ces formules, sans avoir besoin de recourir à aucune notation nouvelle, les formules principales fondées jusqu’ici sur l’analise combinatoire ou sur le calcul des dérivations. MM. les Commissaires de la classe ont bien voulu dire, à cet égard, dans leur rapport :
« En rappelant ainsi au calcul différentiel des méthodes variées, et dont quelques-unes ne paraissent pas très-convenables à l’état actuel de l’analise, (l’auteur) a fait une chose très-utile pour la science. Il faut bien que tous les faits nouveaux, dès qu’ils composent un ensemble, quoiqu’ils ne semblent point avoir en eux-mêmes une très-grande importance, soient ramenés aux théories qui forment le corps de la science, et dont il est le plus à propos d’encourager la culture. »
Il serait encore plus étranger à mon dessein d’entrer dans aucun détail concernant la 3.me partie, dans laquelle je m’occupe de la recherche des moyens pratiques les plus simples de développer ultérieurement, et jusqu’à ce qu’on ait mis en évidence les différences constantes, les différentielles des fonctions composées, dont l’ensemble est donné immédiatement par un premier développement, c’est-à-dire, par les formules de la seconde partie.
Mais il pourra n’être pas inutile maintenant de jeter un coup-d’œil général sur les divers systèmes qui, jusqu’ici, ont été suivis dans l’exposition des principes du calcul différentiel ; les réflexions que cet examen fera naître seront tout à fait propres à faire ressortir les avantages de la théorie qui vient d’être exposée, à prévenir de fausses interprétations, et enfin à réfuter les objections auxquelles cette théorie a pu et pourrait encore donner naissance.