Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Géométrie élémentaire, article 1

Solution d’un problème sur les contacts des sphères et des plans ; par M. J. B. Durrande.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 6, 1816 (p. 17-18).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du premier des deux problèmes de géométrie
proposés à la page 299 du V.^e volume de ce recueil ;

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Problème. Construire quatre sphères telles que chacune d’elles touche les trois autres, et qui satisfassent de plus aux condition, suivantes ; savoir : 1.^o que les points de contact des trois premières avec la quatrième soient trois points donnés ; 2.^o que ces trois sphères soient tangentes à un même plan donné ?

Solution. Soient $\mathrm {A,B,C,D}$ les centres des quatre sphères cherchées, $a,b,c$ les points de contact donnés des trois premières. avec la quatrième, $a',b',c'$ les points de contact des mêmes sphères avec le plan donné. Ces trois derniers points sont inconnus, mais le plan qu’ils déterminent est connu.

Les droites $\mathrm {AB} ,ab,a'b',$ concourent, comme l’on sait, en un même point $\gamma$ du plan donné, lequel point n’est autre que le sommet du cône circonscrit aux deux sphères dont les centres sont $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Pour les mêmes raisons $\mathrm {BC} ,bc,b'c',$ concourront en un même point $\alpha$ et $\mathrm {CA,} ca,c'a'$ en un même point $\beta$ du même plan ; et il est encore connu que ces trois points $\alpha ,\beta ,\gamma$ appartiendront à une même ligne droite, intersection du plan donné avec celui du triangle donné $abc$ ; il est évident en outre que ces points $\alpha ,\beta ,\gamma$ seront assignables, comme intersection du plan donné avec les droites données $bc,ca,ab.$

Si l’on fait de ces mêmes points les centres de trois sphères ayant respectivement leurs rayons moyens proportionnels entre $\alpha b$ et $\alpha c,\ \beta c$ et $\beta a,\ \gamma a$ et $\gamma b,$ ces sphères seront aussi données ; et elles seront respectivement tangentes à celles dont les centres sont $\mathrm {A,B,C}$^[1]. Chacune de ces dernières sera donc déterminée à toucher deux des sphères dont les centres sont $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ à toucher le plan donné et à passer par l’un des points donnés $a,b,c,$ problème qu’on sait résoudre^[2]. Ces trois sphères étant ainsi construites, rien ne sera plus facile que de déterminer celle dont le centre est $\mathrm {D} .$

Nous n’indiquons ici que le procédé théorique ; les méthodes de la géométrie descriptive feront connaître la grandeur et la situation des parties cherchées.

1. Voyez la page 296 du V.^e volume de ce recueil.
2. Voyez le traité de Fermat : De tactionibus sphœricis ; voyez aussi les pages 349 et 353 du IV.^e volume de ce recueil.