Solution du deuxième problème ;
Par
M. Bérard, principal et professeur de mathématiques
du collège de Briançon, membre de plusieurs sociétés
savantes.
§. 1.
Trouver le rayon de la sphère inscrite à un tétraèdre ?
Soient
le tétraèdre donné ;
![{\displaystyle Aire\mathrm {BCD} =A,\quad Aire\mathrm {CDA} =B,\quad Aire\mathrm {DAB} =C,\quad Aire\mathrm {ABC} =D\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cefccb8b84e733c9b12aae808db04c9e5e20cbf1)
le volume du tétraèdre ;
le rayon de la sphère inscrite ;
![{\displaystyle \mathrm {AD} =a,\quad \mathrm {BD} =b,\quad \mathrm {CD} =c,\quad \mathrm {BC} =d,\quad \mathrm {CA} =e,\quad \mathrm {AB} =f\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3fbb36533c3eca57dc17c4a0d4e635e06e1277)
le centre de la sphère inscrite,
ses coordonnées respectivement parallèles à
le sommet
étant l’origine ;
les perpendiculaires abaissées des sommets
sur les plans des faces opposées
Enfin,
les angles que forment deux à deux les arêtes
En concevant le tétraèdre comme composé de quatre autres ayant leur sommet commun au point
et ayant pour bases les quatre faces
du premier ; leur hauteur commune sera le rayon cherché
et l’on aura conséquemment
![{\displaystyle T=(A+B+C+D).{\frac {r}{3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1aa07f4ed69553caba3e2267b56eb554d2232c)
d’où on tire
![{\displaystyle r={\frac {3T}{A+B+C+D}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7062d66a3e8c7d4a0ca273c3706ec2e5df422fba)
(1)
est la diagonale d’un parallélipipède, dont les arêtes concourant en
sont égales à
et dans lequel les distances entre les faces opposées sont toutes égales à
En conséquence, les triangles rectangles semblables donnent
![{\displaystyle a'={\frac {ar}{g}},\qquad b'={\frac {br}{h}},\qquad c'={\frac {cr}{k}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5cf3773406e1dc1ad75e6b64ef58dab0c0e4cb)
(2)
Voilà donc les coordonnées du centre déterminées. On sait d’ailleurs que
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2bc}},\quad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {c^{2}+a^{2}+e^{2}}{2ca}},\quad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}+f^{2}}{2ab}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9063946ebb6a4c5aad84be08c6d679e20dfa4c)
![{\displaystyle T={\tfrac {1}{6}}abc{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c0c4a189727c40dbed63f23f76d6406501f13f)
![{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bc\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad B={\tfrac {1}{2}}ca\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad C={\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fb787af3e17e44da8ef34f9e45f41bec3a26aa)
![{\displaystyle D={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2e^{2}f^{2}+2f^{2}d^{2}+2d^{2}e^{2}-d^{4}-e^{4}-f^{4}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb43c38bf6cf2c57a85123e45f7a9cf78a8dde2)
![{\displaystyle g={\frac {3T}{A}},\qquad h={\frac {3T}{B}},\qquad k={\frac {3T}{C}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a5b0ad12a7bbe9d2675c8e856cfe19634c25a4)
au moyen de quoi
peuvent, sans difficulté, être exprimés en fonction des six arêtes.
Les équations de
sont
![{\displaystyle {\frac {x}{a'}}={\frac {y}{b'}}={\frac {z}{c'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde9bb405e6c560d4b27d12174b11c5c9075c9bc)
ou
![{\displaystyle {\frac {gx}{a}}={\frac {hy}{b}}={\frac {kz}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f98d0ddc6ce046ce1c4af8da9721831f18ea38f)
ou
![{\displaystyle {\frac {x}{Aa}}={\frac {y}{Bb}}={\frac {z}{Cc}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72a67a0ae7a07f7d704008d0958e020355978f9)
ou enfin
![{\displaystyle {\frac {x}{\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {y}{\operatorname {Sin} .\beta }}={\frac {z}{\operatorname {Sin} .\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b29d54a44d8c2452f38b7a6f4ba00ca07b59e6)
§. II.
Trouver le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ?
Tout étant d’ailleurs comme ci-dessus, soient de plus
le centre et
le rayon de la sphère circonscrite en désignant par
les coordonnées du centre de cette sphère, respectivement parallèles aux arêtes
son équation sera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(x-a'')^{2}+2(y-b'')(z-c'')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(y-b'')^{2}+2(z-c'')(x-a'')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(z-c'')^{2}+2(x-a'')(y-b'')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}=R^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1ee78f1cd47e734afe7fdd7a4b4182973793d4)
(4)
Pour exprimer que cette sphère passe par les quatre sommets
il faudra écrire que son équation est également satisfaite par chacun des quatre systèmes de valeurs
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}x=0,&y=0,&z=0,\\x=a,&y=0,&z=0,\\x=0,&y=b,&z=0,\\x=0,&y=0,&z=c.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d31ebd26ce05168834c3b036f1e6c435d64c52)
Cela donne
![{\displaystyle a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}+2b''c''\operatorname {Cos} .\alpha +2c''a''\operatorname {Cos} .\beta +2a''b''\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be437db552a09f8cf636741a34f3afa2e870123)
(5)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(a-a'')^{2}+b''^{2}+c''^{2}+2b''c''\operatorname {Cos} .\alpha -2c''(a-a'')\operatorname {Cos} .\beta -2b''(a-a'')\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},\\&a''^{2}+(b-b'')^{2}+c''^{2}-2c''(b-b'')\operatorname {Cos} .\alpha +2c''a''\operatorname {Cos} .\beta -2a''(b-b'')\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},\\&a''^{2}+b''^{2}+(c-c'')^{2}-2b''(c-c'')\operatorname {Cos} .\alpha -2a''(c-c'')\operatorname {Cos} .\beta +2a''b''\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2}.\\\end{aligned}}\right\}{\text{(6)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56cd932226c91d5fb725c4b2dc82aec924598e40)
Retranchant l’équation (5) de chacune des équations (6), celles-ci deviendront, en divisant la première par
la seconde par
et la troisième par ![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2a''+2c''\operatorname {Cos} .\beta +2b''\operatorname {Cos} .\gamma =&a,\\2b''+2a''\operatorname {Cos} .\gamma +2c''\operatorname {Cos} .\alpha =&b,\\2c''+2b''\operatorname {Cos} .\alpha +2a''\operatorname {Cos} .\beta =&c.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9779e9adcb9ed9155b213ad90cee44894d3a7898)
En se rappelant que
![{\displaystyle 1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {36T^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a389ec1fe3c7cb081bcababa3b50eb110f5d5d)
(7)
on en tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}a''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{a\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -b\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)-c\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\right\},\\b''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{b\operatorname {Sin} .^{2}\beta -c\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)-a\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\right\},\\c''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{c\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -a\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)-b\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\right\},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d7cc83e4b508f8d328d3c57c917c6b1f6d5d8f)
substituant ces valeurs dans l’équation (5), et ayant toujours égard à l’équation (7), il viendra
![{\displaystyle R^{2}={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{144T^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2bc\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\\+&b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2ca\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\\+&c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2ab\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\\\end{aligned}}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136a031d08926fbe71cd936c7f96e57a79e8d712)
(8)
§. III.
Trouver la distance entre les centres des sphères inscrite et circonscrite
à un même tétraèdre ?
En représentant par
cette distance, et conservant d’ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus, on aura
![{\displaystyle D^{2}=\left\{{\begin{aligned}&(a'-a'')^{2}+2(b'-b'')(c'-c'')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(b'-b'')^{2}+2(c'-c'')(a'-a'')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(c'-c'')^{2}+2(a'-a'')(b'-b'')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec6521839775db37edd123146d4b146f569ea0)
(9)
formule dans laquelle il n’est plus question que de substituer pour les coordonnées des deux centres les valeurs trouvées ci-dessus, et qui se simplifierait peut-être, en y introduisant les rayons
et
[1]