TRIGONOMÉTRIE.
Sur l’aire du triangle sphérique ;
Par
M. Tédenat, correspondant de l’institut, recteur de
l’académie de Nismes.
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Tout le monde connaît le beau théorème de Cavalleri, sur l’aire du triangle sphérique, et on le trouve démontré très-simplement dans la plupart des traités élémentaires ; mais les jeunes-gens qui étudient le calcul différentiel ne seront peut-être pas fâchés d’en trouver ici la démonstration suivante, fondue sur les principes de ce calcul.
Soient
(fig. 2) les trois côtés d’un triangle sphérique
les trois angles respectivement opposés, et
son aire.
Si le côté
et l’angle
restant fixes, l’angle
vient à croitre de la quantité arbitraire
de manière que le côté
devienne
que
devienne
et l’aire du triangle
on aura, par la Série de Taylor,
![{\displaystyle S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83af7ea2ad08b89db3b0200ec0c88a7769c65d9e)
![{\displaystyle b'=b+{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}b}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots =b+Mi.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54a2b8f4a2689e1a7d8e0a05c5ccdd0850a70e3)
Du sommet
comme pôle, soient décrits, entre les côtés de l’angle
les arcs de parallèles
et des points
et
soient abaissées sur le rayon
de la sphère les perpendiculaires
on pourra toujours prendre
assez petit, sans être nul, pour avoir
![{\displaystyle S'>S+C'Am'\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b57afc9e00943c1e79e65d9c630ef04044fcb67)
et
![{\displaystyle \qquad S'<S+CAm\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c889b626f240f3846fb831d8e1c869c0771c59)
mais, en prenant le rayon de la sphère pour unité, et remarquant que
sont respectivement les flèches des calotes dont les portions de fuseaux
et
font partie, nous aurons
![{\displaystyle CAm=i(1-\operatorname {Cos} .b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9821b8d9c50b4b7fd2e5f840bf9197ee5eedc94)
![{\displaystyle C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b')=i\left\{1-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .Mi+\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .Mi\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34702426c7a8609ae599fd60216adebcc1c963d)
mais, on a d’ailleurs
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .Mi=1-{\frac {M^{2}i^{2}}{1.2}}+\ldots \qquad \operatorname {Sin} .Mi={\frac {Mi}{1}}-{\frac {M^{3}i^{3}}{1.2.3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db30f83ed013c85cf4b55e26eb846ed83ff1e3e)
d’où, l’on voit qu’en substituant,
prendra cette forme
![{\displaystyle C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b+Ni).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b818d59d417c872c2f499ab2a48132814909162)
Ainsi, en résumé, l’on aura
![{\displaystyle S'<S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95456f143fe9f3970a070b59adf4e07bca338b14)
![{\displaystyle S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83af7ea2ad08b89db3b0200ec0c88a7769c65d9e)
![{\displaystyle S'>S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}}+2N{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ce5d62a7b43496ca1d6359478c7d8f40ed0d4d)
d’où on conclura, par le Théorème d’Arbogast,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}=1-\operatorname {Cos} .b.\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e183405c32e8d98edf88e5fdfb979335b946dcb8)
Présentement on a, par les formules connues
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .c={\frac {\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}{\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7483a0575eca490e709c6f4efc33ea6ca56d1b)
ce qui donne, à cause de
et
constans et de
fonction de ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .A+(\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b0b8ff89f161aa2d06e4a6a40eb63859d43c66)
Mais, on a aussi
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c368e6a8de401300c730fb28933bb183ab4707c7)
donc, en substituant et divisant par ![{\displaystyle \operatorname {Sin} .C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e021ed60001ec1c2d4fd6769d417886d9052def)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}+\operatorname {Cos} .b=0\,;\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113697889765ea6f33539ea0c7e0537cfcd654b8)
éliminant donc
entre cette équation et l’équation (1), il viendra
![{\displaystyle \operatorname {d} S=\operatorname {d} A+\operatorname {d} C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5259672c3b865579387e98c3cb244c0340659e)
d’où, en intégrant,
![{\displaystyle S=A+C+Const.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2a59076bdfa1806c9fef4af8f4e8578f80e97d)
Pour déterminer la constante, on remarquera que, si l’on a
on aura
et
; d’où
![{\displaystyle Const.=B-\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0fdd9eda2cdfcfe28bfaf94ea16e7b0d7769838)
et conséquemment
![{\displaystyle S=A+B+C-\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee29035be2b9fc7b08628f507099bf1d7940c8fd)
On aurait pu parvenir plus brièvement au but en employant le langage des infiniment petits. On aurait d’abord substitué
à
; on aurait remarqué que
c’est-à-dire, le triangle sphérique
étant infiniment petit, le triangle curviligne
était infiniment petit du second ordre ; qu’ainsi l’on pouvait poser simplement
![{\displaystyle \operatorname {d} S=CAm=\operatorname {d} A(1-\operatorname {Cos} .b)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a7ced461f27562e52c9a9a804d8d88888a04ca)
mais, dans le petit triangle sphérique
où l’angle
est le supplément du même angle de
on a
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .b={\frac {\operatorname {Cos} .C'-\operatorname {Cos} .\operatorname {d} A\operatorname {Cos} .C}{\operatorname {Sin} .\operatorname {d} A\operatorname {Sin} .C}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76382a67b15dba6b228c7d2239d2705c54a9a3b1)
Or, on a
et
d’où
donc enfin
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .b=-{\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3059ce500ac7e9b6927a12f47f7204a02d84d29)
ou, en substituant,
![{\displaystyle \operatorname {d} S=\operatorname {d} A+\operatorname {d} C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5259672c3b865579387e98c3cb244c0340659e)
comme ci-dessus.