Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Trigonométrie, article 1

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TRIGONOMÉTRIE.

Sur l’aire du triangle sphérique ;

Par M. Tédenat, correspondant de l’institut, recteur de
l’académie de Nismes.
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Tout le monde connaît le beau théorème de Cavalleri, sur l’aire du triangle sphérique, et on le trouve démontré très-simplement dans la plupart des traités élémentaires ; mais les jeunes-gens qui étudient le calcul différentiel ne seront peut-être pas fâchés d’en trouver ici la démonstration suivante, fondue sur les principes de ce calcul.

Soient (fig. 2) les trois côtés d’un triangle sphérique les trois angles respectivement opposés, et son aire.

Si le côté et l’angle restant fixes, l’angle vient à croitre de la quantité arbitraire de manière que le côté devienne que devienne et l’aire du triangle on aura, par la Série de Taylor,

Du sommet comme pôle, soient décrits, entre les côtés de l’angle les arcs de parallèles et des points et soient abaissées sur le rayon de la sphère les perpendiculaires on pourra toujours prendre assez petit, sans être nul, pour avoir

et

mais, en prenant le rayon de la sphère pour unité, et remarquant que sont respectivement les flèches des calotes dont les portions de fuseaux et font partie, nous aurons

mais, on a d’ailleurs

d’où, l’on voit qu’en substituant, prendra cette forme

Ainsi, en résumé, l’on aura

d’où on conclura, par le Théorème d’Arbogast,

Présentement on a, par les formules connues

ce qui donne, à cause de et constans et de fonction de

Mais, on a aussi

donc, en substituant et divisant par

éliminant donc entre cette équation et l’équation (1), il viendra

d’où, en intégrant,

Pour déterminer la constante, on remarquera que, si l’on a on aura et  ; d’où

et conséquemment

On aurait pu parvenir plus brièvement au but en employant le langage des infiniment petits. On aurait d’abord substitué à  ; on aurait remarqué que c’est-à-dire, le triangle sphérique étant infiniment petit, le triangle curviligne était infiniment petit du second ordre ; qu’ainsi l’on pouvait poser simplement

mais, dans le petit triangle sphérique où l’angle est le supplément du même angle de on a

Or, on a et d’où donc enfin

ou, en substituant,

comme ci-dessus.