QUESTIONS RÉSOLUES.
Solution des deux problèmes de géométrie proposés à
la page 60 de ce volume.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Solution du premier problème ;
Par un Abonné.
Le problème proposé revient évidemment à celui-ci :
PROBLÈME. Déterminer, en fonction des trois angles plans d’un angle trièdre, 1.o l’angle générateur du cône droit inscrit ; 2.o l’angle générateur du cône droit circonscrit ; 3.o enfin, l’angle que forment entre eux les axes de ces deux cônes ?
Ce problème se trouvant implicitement résolu dans un article inséré à la page 329 du précédent volume des Annales ; je n’aurai pour ainsi dire ici d’autre tâche à remplir qu’à en faire ressortir la solution demandée ; et je serai conséquemment dans le cas d’y renvoyer fréquemment[1].
Solution. Soient
les trois angles plans de l’angle trièdre dont il s’agit ;
l’angle générateur du cône droit inscrit ;
l’angle générateur du cône droit circonscrit, et
l’angle que forment les axes de ces deux cônes. Soient faits, pour abréger,
![{\displaystyle 2s=a+b+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a2086c71bb09dc64c999b4ee366abb1c266a08)
![{\displaystyle \Delta ^{2}=1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfbc8bfa2f783007bdca50f940bda0f0516c3c4)
Si, dans le mémoire côté, on suppose que les trois axes sont les arêtes de notre angle trièdre, on aura
[2]
I. Si, dans l’équation (R), (Annales, tom. V, pag. 331), on substitue pour
les valeurs données par les équations (13),
(pag. 337), en ayant égard aux conventions ci-dessus, il viendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Sin} .^{2}(yz,r)+2\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .(zx,r)\operatorname {Sin} .(xy,r)\\&\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Sin} .^{2}(zx,r)+2\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .(xy,r)\operatorname {Sin} .(yz,r)\\&\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Sin} .^{2}(xy,r)+2\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .(yz,r)\operatorname {Sin} .(zx,r)\\\end{aligned}}\right\}=\Delta ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1343dbe648507e4eba7a15fcc402010d108377c1)
Si l’on suppose ensuite que la droite désignée par
dans cette équation est l’axe du cône droit inscrit, lequel doit conséquemment faire, avec les trois faces de l’angle trièdre, des angles égaux entre eux et à l’angle générateur
de ce cône, on aura
![{\displaystyle (xy,r)=(yz,r)=(zx,r)=r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63c4890b26c1d6800fac3804fc1bedccaecf6fa)
par suite de quoi notre équation donnera
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}r={\frac {\Delta ^{2}}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a+2\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .a\\+&\operatorname {Sin} .^{2}b+2\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .b\\+&\operatorname {Sin} .^{2}c+2\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .c\\\end{aligned}}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd73325bd8ab99b090ba6df87f898cb3ca686ef)
(1)
II. Si, dans la formule (7), (tom. V, pag. 334), on prend pour
l’axe du cône droit circonscrit, lequel doit faire avec les trois arêtes de l’angle trièdre des angles égaux entre eux et à l’angle générateur
de ce cône, on aura
![{\displaystyle (r,x)=(r,y)=(r,z)=R\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65a9635b85b5417ff3298927ae676d2344210a9)
en conséquence, cette formule donnera
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .^{2}R={\frac {\Delta ^{2}}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a-2(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)\\+&\operatorname {Sin} .^{2}b-2(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)\\+&\operatorname {Sin} .^{2}c-2(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)\\\end{aligned}}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c58ca5f96e9c8411965f784a509cddf4da2057b)
(2)
III. Si enfin, dans l’équation (19), (tom : V, pag, 338), on substitue pour
les valeurs données par les équations (14), (tom. V, pag, 337), il viendra
![{\displaystyle \Delta \operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .(yz,r)\operatorname {Cos} .(r',x)\\+&\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .(zx,r)\operatorname {Cos} .(r',y)\\+&\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .(xy,r)\operatorname {Cos} .(r',z)\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16530c6a304a1f576cbbebc7f0aae2f6fa8ea96)
prenant alors pour
l’axe du cône inscrit, et pour
celui du cône circonscrit, ce qui donnera, à la fois,
![{\displaystyle (yz,r)=(zx,r)=(xy,r)=r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56400404687d3aa569917a7b2c8605d7d7d5890c)
![{\displaystyle (r',x)=(r',y)=(r',z)=R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc419961f4fee7a1445104126b3816a66b29bfa)
![{\displaystyle (r,r')=D\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aff78b452faff17a9b07771816f61c089b1d6e)
cette équation donnera
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .D={\frac {1}{\Delta }}\left(\operatorname {Sin} .a+\operatorname {Sin} .b+\operatorname {Sin} .c\right)\operatorname {Sin} .r\operatorname {Cos} .R\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3c26b015f324e66ccefb223b3f6c7c90d54fdc)
(3)
formule dans laquelle il ne sera plus question que de substituer pour
les valeurs trouvées ci-dessus (I, II).[3]
IV. De l’expression (1) de
on conclut aisément
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .^{2}r={\frac {4\operatorname {Sin} .^{2}s}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a+2\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .a\\+&\operatorname {Sin} .^{2}b+2\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .b\\+&\operatorname {Sin} .^{2}c+2\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .c\\\end{aligned}}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669ebddc10b2bd6cf24756e8e0299a3fea446a31)
(4)
et par suite
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .^{2}r={\frac {\Delta ^{2}}{4\operatorname {Sin} .^{2}s}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102f9397314fa7dc2dcb52af4e982996647e36bf)
(5)
or, on trouve aisément
![{\displaystyle \Delta ^{2}=4\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ccad505f5bd9f7ff8eb4582c982b9a5e9af2708)
donc enfin
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .r={\frac {\sqrt {\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c)}}{\operatorname {Sin} .s}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd31e8be576907cead3510937bd1cd505dbef49d)
(6)
formule commode pour le calcul par logarithmes.
Si dans cette dernière formule, on suppose le rayon de la sphère infini, il viendra
![{\displaystyle r={\frac {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e580c561f245d1e9dbea3ba28a987e46dd4d1f)
(7)
expression connue du rayon du cercle inscrit au triaagle rectiligne, en fonction de ses trois eôtés.
V. De l’expression (2) de
on conclut aisément
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}R={\frac {16\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a-2(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)\\+&\operatorname {Sin} .^{2}b-2(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)\\+&\operatorname {Sin} .^{2}c-2(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)\\\end{aligned}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8e235bf18de143318eda625b5556a55c42b7b8)
(8)
et, par suite,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .^{2}R={\frac {16\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\Delta ^{2}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98cb0df37876237f002ebd4040748b00d233c54f)
(9)
ou, en mettant pour
sa valeur ci-dessus, et extrayant la racine quarrée,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .R={\frac {2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}c}{\sqrt {\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c)}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659650a6fb889693f75cf742d7d114b956548b4d)
(10)
formule commode par le calcul par logarithmes.
Si, dans celle dernière formule, on suppose le rayon de la sphère infini, elle deviendra
![{\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f255237464981945c2fc73db07ee42538fe08e)
(11)
expression connue du rayon du cercle circonscrit au triangle rectiligne, en fonction de ces trois côtés.