QUESTIONS RÉSOLUES.
Solution des deux problèmes de géométrie proposés à
la page 60 de ce volume.
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Solution du premier problème ;
Par un Abonné.
Le problème proposé revient évidemment à celui-ci :
PROBLÈME. Déterminer, en fonction des trois angles plans d’un angle trièdre, 1.o l’angle générateur du cône droit inscrit ; 2.o l’angle générateur du cône droit circonscrit ; 3.o enfin, l’angle que forment entre eux les axes de ces deux cônes ?
Ce problème se trouvant implicitement résolu dans un article inséré à la page 329 du précédent volume des Annales ; je n’aurai pour ainsi dire ici d’autre tâche à remplir qu’à en faire ressortir la solution demandée ; et je serai conséquemment dans le cas d’y renvoyer fréquemment[1].
Solution. Soient les trois angles plans de l’angle trièdre dont il s’agit ; l’angle générateur du cône droit inscrit ; l’angle générateur du cône droit circonscrit, et l’angle que forment les axes de ces deux cônes. Soient faits, pour abréger,
Si, dans le mémoire côté, on suppose que les trois axes sont les arêtes de notre angle trièdre, on aura
[2]
I. Si, dans l’équation (R), (Annales, tom. V, pag. 331), on substitue pour les valeurs données par les équations (13),
(pag. 337), en ayant égard aux conventions ci-dessus, il viendra
Si l’on suppose ensuite que la droite désignée par dans cette équation est l’axe du cône droit inscrit, lequel doit conséquemment faire, avec les trois faces de l’angle trièdre, des angles égaux entre eux et à l’angle générateur de ce cône, on aura
par suite de quoi notre équation donnera
(1)
II. Si, dans la formule (7), (tom. V, pag. 334), on prend pour l’axe du cône droit circonscrit, lequel doit faire avec les trois arêtes de l’angle trièdre des angles égaux entre eux et à l’angle générateur de ce cône, on aura
en conséquence, cette formule donnera
(2)
III. Si enfin, dans l’équation (19), (tom : V, pag, 338), on substitue pour les valeurs données par les équations (14), (tom. V, pag, 337), il viendra
prenant alors pour l’axe du cône inscrit, et pour celui du cône circonscrit, ce qui donnera, à la fois,
cette équation donnera
(3)
formule dans laquelle il ne sera plus question que de substituer pour les valeurs trouvées ci-dessus (I, II).[3]
IV. De l’expression (1) de on conclut aisément
(4)
et par suite
(5)
or, on trouve aisément
donc enfin
(6)
formule commode pour le calcul par logarithmes.
Si dans cette dernière formule, on suppose le rayon de la sphère infini, il viendra
(7)
expression connue du rayon du cercle inscrit au triaagle rectiligne, en fonction de ses trois eôtés.
V. De l’expression (2) de on conclut aisément
(8)
et, par suite,
(9)
ou, en mettant pour sa valeur ci-dessus, et extrayant la racine quarrée,
(10)
formule commode par le calcul par logarithmes.
Si, dans celle dernière formule, on suppose le rayon de la sphère infini, elle deviendra
(11)
expression connue du rayon du cercle circonscrit au triangle rectiligne, en fonction de ces trois côtés.