Démonstration du théorème d’analise indéterminée
énoncé à la page 228 de ce volume ;
Par
M. Frégier, professeur de mathématiques au collège
de Troye, ancien élève de l’école polytechnique.
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THÉORÈME. Toute puissance paire d’un nombre impair, diminué d’une unité, est toujours divisible par une puissance de deux supérieure de deux unités à celle qui divise son exposant.
Démonstration. Tout se réduit évidemment à démontrer que,
quels que soient d’ailleurs les trois nombres entiers positifs
l’expression
![{\displaystyle {\frac {(1+2a)^{2^{n}.k}-1}{2^{n+2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fe3340d1023bff6ed43b8efeed02cf08387676)
est toujours un nombre entier.
D’abord, comme on a
![{\displaystyle (1+2a)^{2^{n}.k}=\left\{(1+2a)^{k}\right\}^{2^{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b4f0d3de4ad8e6f6ad939d046ad746c0249250)
et comme d’ailleurs
est nécessairement un nombre impair,
que l’on peut représenter par
tout se réduit à démontrer
que l’expression
![{\displaystyle {\frac {(1+2A)^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372f2207fbe216e54595ad704e503043514e7060)
est un nombre entier.
On a, en second lieu,
![{\displaystyle (1+2A)^{2^{n}}=\left\{(1+2A)^{2}\right\}^{2^{n-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815a96fa50602df93d8da8136d31c5d66d6fb237)
mais
![{\displaystyle (1+2A)^{2}=1+4A+4A^{2}=1+4A(1+A)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652d8744e3856526990663817396690c8fd1b828)
et comme, quel que soit
est nécessairement un nombre
pair, que l’on peut représenter par
on aura
![{\displaystyle (1+2A)^{2}=1+8B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903c797e07e93e9c8ea8ea68877dbe093062b429)
et, par suite
![{\displaystyle (1+2A)^{2^{n}}=(1+8B)^{2^{n-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63116e61f2606fd53eb776dd9e19ad962832827)
tout se réduit donc à démontrer que la formule
![{\displaystyle {\frac {(1+8B)^{2^{n-1}}-1}{2^{n+2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe851bb3cef06a3aef65f5defce0e78c94d9d5e)
est un nombre entier.
Cela est d’abord évident, pour le cas où
; puisqu’alors elle
se réduit à
On trouve de plus
![{\displaystyle (1+8B)^{2}=1+16B+64B^{2}=1+16B(1+4B),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37eeabeb949c460c3a8157063904f8dc02e2cffd)
que l’on peut représenter par ![{\displaystyle 1+16B'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd6c52ef81d049ba81bd72f423f9f2a7e806be2)
![{\displaystyle (1+8B)^{4}=(1+16B')^{2}=1+32B'+256B'^{2}=1+32B'(1+8B'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6608ad79b20532e64bf9856914cc6a79783e6cdd)
que l’on peut représenter par
et ainsi de suite, ce qui
est déjà conforme à l’énoncé du théorème. Or, si, en général,
suivant cet énoncé, on a
![{\displaystyle (1+8B)^{2^{k-1}}=1+2^{k+2}G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0665179a025c998d0d6d305ed1e0c1be84eb7079)
on aura
![{\displaystyle (1+8B)^{2^{k}}=\left(1+2^{k+2}G\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c4163d7d46bcdccf5b1074c05592b5b7869f48)
ou
![{\displaystyle (1+8B)^{2^{k}}=1+2^{k+3}G+2^{2k+4}G^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7569a59f31ad153ea5434e5c08f5054bb27dfdc5)
ou encore
![{\displaystyle (1+8B)^{2^{k}}=1+2^{k+3}G\left(1+2^{k+1}G\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef403b6327a188be8597296d312b072e27396e1)
quantité de la forme
Il demeure donc établi que, si
la puissance
de
diminuée d’une unité, est divisible par
sa puissance
diminuée également d’une unité, le sera
par
puis donc que ces puissances
diminuées
d’une unité, le sont respectivement par
il s’ensuit que
sa puissance du degré
diminuée d’une unité, le sera par
l’expression
![{\displaystyle {\frac {(1+8B)^{2^{n-1}}-1}{2^{n+2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe851bb3cef06a3aef65f5defce0e78c94d9d5e)
est donc un nombre entier ; l’expression
![{\displaystyle {\frac {(1+2A)^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372f2207fbe216e54595ad704e503043514e7060)
en sera donc un aussi, et, conséquemment, il en sera de même de
![{\displaystyle {\frac {(1+2a)^{2^{n}.k}-1}{2^{n+2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fe3340d1023bff6ed43b8efeed02cf08387676)
le théorème est donc démontré en toute rigueur.
Soient les deux formules
![{\displaystyle {\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-1}{2^{p+2}}},\qquad {\frac {(1+2b)^{2^{q}.h}-1}{2^{q+2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b75756210937f791712f3421520ba0e4fc02f99)
elles seront l’une et l’autre des nombres entiers, par ce qui précède.
Si
n’est pas moindre que
à plus forte raison la formule
![{\displaystyle {\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-1}{2^{q+2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee570833ed0bab5e320d8667b203e05ab6710cd8)
sera aussi un nombre entier, d’où il suit que sa différence avec
la seconde des deux ci-dessus sera également un nombre entier.
Ainsi, la formule
![{\displaystyle {\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-(1+2b)^{2^{q}.h}}{2^{q+2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ce6689d80811fd2cf0e23b14e7961cc09ab407)
dans laquelle on suppose
est nécessairement un nombre
entier ; et l’on prouverait évidemment la même chose de la formule
![{\displaystyle {\frac {(1+2a)^{2^{p}.g}-(1+2b)^{2^{q}.h}}{2^{p+2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b26190758ab87e2cc948b5a96878e4d4d887183)
dans laquelle on aurait ![{\displaystyle q>p-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9ecef857d97d30e47d6d18572c41ff8699bc2d)
Si l’on suppose
on aura la formule
![{\displaystyle {\frac {\left[(1+2a)^{g}\right]^{2}-\left[(1+2b)^{h}\right]^{2}}{8}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789036706f5b3faf1b2f0a5583b67b906d00fc6b)
ou, plus simplement, la formule
![{\displaystyle {\frac {(1+2A)^{2}-(1+2B)^{2}}{8}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceef2af9635034ca840a85862b788679db43cb12)
qui devra être un nombre entier ; c’est-à-dire, que la différence de deux quarrés impairs est toujours divisible par huit.
Donc, la somme de deux nombres impairs multipliés par leur différence donne un produit divisible par huit ; d’où il suit encore
que la somme ou la différence de deux nombres impairs doit nécessairement être divisible par quatre[1].