ANALISE INDÉTERMINÉE.
Théorème sur les puissances des nombres ;
Par
M. Frégier, professeur de mathématiques au collège
de Troye, ancien élève de l’école polytechnique.
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THÉORÈME. « Toute puissance
d’un nombre quelconque
est égale à la somme des termes d’une progression par différences ;
dont le premier terme est
dont le nombre des termes est
et dont la raison est égale à la somme des termes de la progression géométrique
»
Démonstration. Désignons par
la somme des termes de la
progression arithmétique dont il s’agit, et par
la raison de cette
progression ; puisque son premier terme est
et le nombre de
ses termes
son dernier terme sera
d’où il suit
qu’on aura
![{\displaystyle S=\left[1+(a-1)d\right]{\frac {a}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1337d9218768d14dfe523ddae3c9e4d77662856)
mais, par hypothèse, on a
![{\displaystyle d=2a+2a^{2}+\ldots 2a^{m-2}=2{\frac {a^{m-1}-1}{a-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d921f9c2e26249ad5eee837bbdfa1b732971b0)
donc
![{\displaystyle (a-1)d=2\left(a^{m-1}-1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f8b3884246ee218b32f4f6308ab8aa1a1df181)
ce qui donne, en substituant
![{\displaystyle S=a^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203009058947bf10f306d3e8a9fcf8ba448fa978)
comme l’énonce le théorème.
Si
on aura
d’où
![{\displaystyle a^{2}=1+3+5+7+\ldots +(2a-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fac9f3463a58b32c5ff8a2ba9eb325689be7809)
propriété connue.
Mais, si
ce qui donne
on aura
![{\displaystyle a^{3}=1+(3+2a)+(5+4a)+(7+6a)+\ldots +\left[(2a-1)+2(a-1)a\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626b752ce80d0ac98e9ec44099f38e4c7644ddb2)
propriété curieuse des nombres cubes, qu’il est d’ailleurs facile de
vérifier immédiatement.
En faisant successivement
on a
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}1&=1^{3}=1,\\8&=2^{3}=1+7,\\27&=3^{3}=1+9+17,\\64&=4^{3}=1+11+21+31,\\125&=5^{3}=1+13+25+37+49,\\216&=6^{3}=1+15+29+43+57+71,\\343&=7^{3}=1+17+33+49+65+91+107,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a649d5b75e9284ee5121826be5dfe5fb1b2fc4b6)
Chacun de ces cubes forme donc une progression arithmétique dont
le premier terme est l’unité, dont le nombre des termes est la racine
du cube, et dont la raison est double de cette racine augmentée
d’une unité.