Solution du problème proposé à la page 200
du VIII.e volume de ce recueil ;
Par
M. Tédenat, correspondant de l’académie royale
des sciences.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
PROBLÈME. Donner la théorie du mouvement d’une échelle, posant, par son extrémité inférieure, sur un pavé horizontal, et appuyant, par son extrémité supérieure, contre un mur vertical, en ayant égard au frottement ?
Solution. Soit une ligne pesante
(fig. 11) représentant une
échelle, appuyée par son extrémité
sur une ligne horizontale
et par son extrémité
sur la verticale
À moins que
ne fût dans une situation horizontale ou dans une situation verticale,
elle glisserait nécessairement sans l’effet du frottement qui a lieu
en
et en
Pour estimer cet effet, aux deux lignes
substituons-en deux autres
perpendiculaires entre elles,
comme les premières ; et faisant avec elles un angle
tel que la
partie de l’effort de la gravité perdue, à raison de sa décomposition
dans le sens des deux nouveaux axes
soit équivalente
à l’effet du frottement dans le sens des premiers
l’angle
est ce qu’on appelle, pour cette raison, l’angle
du frottement.
Supposons tout le poids de la verge, que nous représenterons
par
réuni en son centre de gravité
que, pour plus de généralité, nous supposerons différent de son milieu. Soient
et l’angle
d’où
L’effort de la pesanteur en
peut être décomposé en deux autres
agissant en
lesquels sont respectivement
![{\displaystyle gm.{\frac {a}{a+b}},\qquad gm.{\frac {b}{a+b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34fb9ebb9df311f0f2fdcbbed6069ad41fe4ca2)
Ce dernier, décomposé parallèlement à
et
donnera pour
ses composantes
![{\displaystyle gm.{\frac {b}{a+b}}\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad gm.{\frac {b}{a+b}}\operatorname {Cos} .\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99030f5435fbd26208018eb033d2042d9da41a79)
Ce dernier effort, perpendiculaire à la ligne ou plan
est
détruit par la résistance de ce plan ; et on en pourra dire autant
de l’effort exercé en
Cela posé :
L’équation générale de l’équilibre (Voyez la Mécanique analitique)
![{\displaystyle Y\partial y+X\partial x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903ec34ebc6607099e3652decd56d03488aea000)
donnera, en faisant ![{\displaystyle \mathrm {A'C} =u,\ \mathrm {B'C} =z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0847187e211d8e7c1c09a840ffd6f39bb436a3)
![{\displaystyle gm.{\frac {a}{a+b}}\operatorname {Cos} .\beta .\partial u+gm.{\frac {b}{a+b}}\operatorname {Sin} .\beta \partial z=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13ee93ca4cab4bd874b23e0124a9116985d5846)
mais
![{\displaystyle u=(a+b)\operatorname {Sin} .\phi ',\qquad z=(a+b)\operatorname {Cos} .\phi '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0332eb222abf887148972d4474a1d9b91730ff2b)
partant
![{\displaystyle \partial u=(a+b)\operatorname {Cos} .(\phi +\beta )\partial \phi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c88c5c874bae2401acee92ee60e20678395473)
![{\displaystyle \partial z=(a+b)\operatorname {Sin} .(\phi +\beta )\partial \phi '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49adc8523f5adc7ac4ba55d47d4aa016907afbc)
donc
![{\displaystyle a\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\phi +\beta )=b\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\phi +\beta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e5c3255321ae68e30dfeb4f97b7e5ea6c09306)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}=\operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .(\phi +\beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853489622dc19db7175fb0a6870ff1a8794f832f)
comme on l’a trouvé, par une méthode tout-à-fait différente, à la
page 199 du précédent volume.
Pour appliquer au mouvement de l’échelle la formule générale
de l’équilibre, il suffit d’ajouter aux termes ci-dessus les deux suivans
exprimant les forces accélératrices des deux extrémités
de l’échelle, dans le sens des axes
c’est-à-dire, en n’ayant
d’abord aucun égard à l’effet du frottement.
Si l’on fait, dans cette hypothèse,
![{\displaystyle gm.{\frac {a}{a+b}}=g',\qquad \operatorname {Cos} .\beta =1,\qquad \operatorname {Sin} .\beta =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ee5e0c81815f3deb2b77a68807de926593ac87)
on aura
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-g'\right)\partial y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}\partial x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0663f14c74edba702747ae4fa034866734e5af83)
ou
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-g'\right)\operatorname {Cos} .\phi -{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}\operatorname {Sin} .\phi =0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af52dbac28b1e2ed8bb64c1c0e32aa53d87189bd)
(A)
Mais, la ligne
étant constante, l’équation de condition
donnera, dans un instant quelconque
![{\displaystyle (y-\operatorname {d} ^{2}y)^{2}+(x+\operatorname {d} ^{2}x)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872f20992ea80d3c3fc443ca49a6dce4f9ca9cbe)
ou
![{\displaystyle y{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4454b729f7d222aaf5e9dc3dc0ff16a47614fd)
Cette équation, combinée avec l’équation (A), donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=g'\operatorname {Cos} .^{2}\phi \qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} t^{2}}}=-g'\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8150c287c24a92682c1bd99720eaf38733d50d8)
Ainsi, la force accélératrice des deux points extrêmes sera variable ;
ils parcourront respectivement les deux droites
Le milieu
de
décrira un arc de cercle dont le diamètre sera égal à cette
même droite. Les autres points décriront des arcs d’ellipses qui
auront leur grand axe suivant
pour la moitié inférieure, et
suivant
pour la moitié supérieure.
Si l’on veut connaître les vitesses des points extrêmes, on les
trouvera en intégrant les équations suivantes
![{\displaystyle \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-g'r\operatorname {d} \phi \operatorname {Cos} .\phi \operatorname {Sin} .^{2}\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067da39591572047bded8472092e01fadf4613a1)
La première donne
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=k-{\frac {g'r}{3}}\left(2+\operatorname {Cos} .^{2}\phi \right)\operatorname {Sin} .\phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b82886a272c5454c0a7a45e1e0f96d73c3f671)
et on tire de la seconde
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=k'-{\frac {g'r}{3}}\operatorname {Sin} .^{3}\phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbb1f6f80c8e5130dd827176824c045d02c217a)
ce qui s’accorde avec le principe des forces vives
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=C-2g'y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e42cfbfda03df3ae95c6c882ecdfc6d41b4c7be)
Pour avoir égard au frottement, il suffit de rapporter le mouvement aux axes
Conservons les deux lettres
pour les deux axes
et prenons
pour
en posant, pour abréger,
![{\displaystyle gm.{\frac {b}{a+b}}=g'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73491449ca7e0f8bf1311434c4a3b8df4ab8305)
nous aurons
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} t^{2}}}-g'\operatorname {Cos} .\beta \right)\operatorname {Cos} .\phi '-\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}+g''\operatorname {Sin} .\beta \right)\operatorname {Sin} .\phi '=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4220c034d96c4381665a1555cb531afeceaf2e4a)
mais
![{\displaystyle u={\frac {y}{\operatorname {Cos} .\beta }},\qquad z={\frac {x}{\operatorname {Cos} .\beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697a848742924356f1860ffb85d2c316495e5c9a)
donc, l’équation, ramenée aux premiers axes, deviendra
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-g'\operatorname {Cos} .^{2}\beta \right)\operatorname {Cos} .(\phi +\beta )-\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+g''\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta \right)\operatorname {Sin} .(\phi +\beta )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3fa2e97f0425bc5bc41f8da3b3c34de3e92664)
faisant, pour abréger,
![{\displaystyle g'\operatorname {Cos} .^{2}\beta =\xi ,\qquad g''\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta =\xi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df21a9ddd759cd19306e28ad27d73f7667a3ddf1)
et conservant l’angle
on aura
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-\xi \right)\operatorname {Cos} .\phi '-\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}-\xi '\right)\operatorname {Sin} .\phi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d077f9fec70361e988574ab7a79af9d7f6157c)
Cette équation a la même forme que l’équation, (A) déjà traitée :
elle donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=\xi \operatorname {Cos} .^{2}\phi '-\xi '\operatorname {Sin} .\phi '\operatorname {Cos} .\phi ',\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=\xi '\operatorname {Sin} .^{2}\phi '-\xi \operatorname {Sin} .\phi '\operatorname {Cos} .\phi '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d079922640e5b1abdb08782ee766f2e3bf71693)
On déduit de la première
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=k-{\frac {\xi }{3}}\left(2+\operatorname {Cos} .^{2}\phi '\right)\operatorname {Sin} .\phi '+{\frac {\xi '}{3}}\operatorname {Sin} .^{3}\phi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf79dbeba7d0e926e1dc644d68faf6794cc77f9)
et de la seconde
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=k'+{\frac {\xi }{3}}\operatorname {Sin} .^{3}\phi '+{\frac {\xi '}{3}}\left(2-\operatorname {Sin} .^{2}\phi '\right)\operatorname {Cos} .\phi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1a4ceed6aa59126fbdf7b809d53add9aefa559)
En faisant
ces deux dernières formules deviennent celles qu’on
a déjà trouvées ci-dessus ; lorsqu’on n’a pas égard au frottement.
On déterminera d’ailleurs les constantes
par les conditions
qu’au commencement du mouvement on a
On doit avoir aussi, au commencement du mouvement ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bda2be5276b701556cf67986fb682f879bbaf8)
Cette dernière condition donne
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}=\operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .(\phi +\beta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841b011abe8cee5feaac4a78f764e29ba97924ac)
ou
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\phi ={\frac {a\operatorname {Tang} .^{2}\beta -b}{(a+b)\operatorname {Tang} .\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fd7735cdce7401641e919c62f8d5b21a4d0d41)
comme cela doit être ; parce que, lorsque l’angle
est tel, l’effet
du frottement détruit l’effort de la pesanteur, ou la force accélératrice, comme on l’a vu ci-dessus et en l’endroit déjà cité de
ce recueil.
Les diverses positions que prend dans son mouvement la ligne
pesante
se coupent consécutivement en une suite de points formant une courbe continue, dont on peut être curieux de connaître
l’équation.
Soient
(fig. 12) deux positions consécutives infiniment
voisines de la droite mobile, dont
soit le point d’intersection ; ce
point sera l’un de ceux de la courbe cherchée. Faisons
l’angle
et désignons respectivement par
les perpendiculaires
abaissées du point
sur les droites
prises pour axes des coordonnées ; nous aurons
![{\displaystyle a=\mathrm {AB=MA+MB} ={\frac {x}{\operatorname {Cos} .\phi }}+{\frac {y}{\operatorname {Sin} .\phi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05b2d7674edd019dcfd5969dfb66efb4cb00380)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle x\operatorname {Sin} .\phi +y\operatorname {Cos} .\phi =a\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd3dbb8c47c69b40a70109d7554c8aee8cc515d)
Or, au point d’intersection
l’équation doit convenir également
aux deux droites
il faut donc qu’elle soit indépendante
de l’angle
et qu’elle ne soit composée que des seules quantités
qui sont communes aux deux positions ; il faut donc que
et
demeurent constans tandis que
varie, c’est-à-dire, que la
différentielle de l’équation ci-dessus, prise par rapport à
seulement,
doit avoir lieu en même temps qu’elle. Cette différentielle étant
![{\displaystyle x\operatorname {Cos} .\phi -y\operatorname {Sin} .\phi =a\left(\operatorname {Cos} .^{2}\phi -\operatorname {Sin} .^{2}\phi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2bb4290d4a9e475630032de274e1e5305ac66d)
il ne s’agit plus que d’éliminer
entre elle et l’équation primitive.
Pour y parvenir, regardons
comme les deux inconnues
de ces équations ; nous en tirerons aisément
![{\displaystyle x=a\operatorname {Cos} .^{3}\phi ,\qquad y=a\operatorname {Sin} .^{3}\phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdbc1c3bc10e102131309cdad805499cc306d8b)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .^{2}\phi =\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}},\qquad \operatorname {Sin} .^{2}\phi =\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1e49dd0490cfa0c71e7721f562b98b70497f07)
donc enfin l’équation de la courbe cherchée est
[1]
Il est facile de s’assurer que cette courbe (fig. 13) a quatre
points de rebroussement situés sur les deux axes à des distances de
l’origine égales à
; et qu’elle est symétrique non seulement par
rapport à ces axes, mais encore par rapport aux deux droites qui
divisent en deux parties égales les angles des coordonnées. On en
concevra facilement la raison en remarquant (fig. 13) que, théoriquement parlant, les droites
devant être considérées comme
s’étendant indéfiniment de part et d’autre du point
le mouvement
des extrémités
et
de la droite mobile
n’est pas borné à
ce point ; mais que l’extrémité
peut passer à gauche et l’extrémité
au-dessous suivant les prolongemens de
et
Il est d’ailleurs évident que la courbe est à la fois circonscrite
à toutes les ellipses décrites par les points de
et, en particulier,
au cercle décrit par son milieu.