Solution du problème proposé à la page 200
du VIII.e volume de ce recueil ;
Par
M. Tédenat, correspondant de l’académie royale
des sciences.
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PROBLÈME. Donner la théorie du mouvement d’une échelle, posant, par son extrémité inférieure, sur un pavé horizontal, et appuyant, par son extrémité supérieure, contre un mur vertical, en ayant égard au frottement ?
Solution. Soit une ligne pesante (fig. 11) représentant une
échelle, appuyée par son extrémité sur une ligne horizontale
et par son extrémité sur la verticale À moins que ne fût dans une situation horizontale ou dans une situation verticale,
elle glisserait nécessairement sans l’effet du frottement qui a lieu
en et en Pour estimer cet effet, aux deux lignes
substituons-en deux autres perpendiculaires entre elles,
comme les premières ; et faisant avec elles un angle tel que la
partie de l’effort de la gravité perdue, à raison de sa décomposition
dans le sens des deux nouveaux axes soit équivalente
à l’effet du frottement dans le sens des premiers l’angle
est ce qu’on appelle, pour cette raison, l’angle
du frottement.
Supposons tout le poids de la verge, que nous représenterons
par réuni en son centre de gravité que, pour plus de généralité, nous supposerons différent de son milieu. Soient
et l’angle d’où
L’effort de la pesanteur en peut être décomposé en deux autres
agissant en lesquels sont respectivement
Ce dernier, décomposé parallèlement à et donnera pour
ses composantes
Ce dernier effort, perpendiculaire à la ligne ou plan est
détruit par la résistance de ce plan ; et on en pourra dire autant
de l’effort exercé en Cela posé :
L’équation générale de l’équilibre (Voyez la Mécanique analitique)
donnera, en faisant
mais
partant
donc
ce qui donne
comme on l’a trouvé, par une méthode tout-à-fait différente, à la
page 199 du précédent volume.
Pour appliquer au mouvement de l’échelle la formule générale
de l’équilibre, il suffit d’ajouter aux termes ci-dessus les deux suivans
exprimant les forces accélératrices des deux extrémités
de l’échelle, dans le sens des axes c’est-à-dire, en n’ayant
d’abord aucun égard à l’effet du frottement.
Si l’on fait, dans cette hypothèse,
on aura
ou
(A)
Mais, la ligne étant constante, l’équation de condition
donnera, dans un instant quelconque
ou
Cette équation, combinée avec l’équation (A), donne
Ainsi, la force accélératrice des deux points extrêmes sera variable ;
ils parcourront respectivement les deux droites Le milieu
de décrira un arc de cercle dont le diamètre sera égal à cette
même droite. Les autres points décriront des arcs d’ellipses qui
auront leur grand axe suivant pour la moitié inférieure, et
suivant pour la moitié supérieure.
Si l’on veut connaître les vitesses des points extrêmes, on les
trouvera en intégrant les équations suivantes
La première donne
et on tire de la seconde
ce qui s’accorde avec le principe des forces vives
Pour avoir égard au frottement, il suffit de rapporter le mouvement aux axes Conservons les deux lettres
pour les deux axes et prenons pour en posant, pour abréger,
nous aurons
mais
donc, l’équation, ramenée aux premiers axes, deviendra
faisant, pour abréger,
et conservant l’angle on aura
Cette équation a la même forme que l’équation, (A) déjà traitée :
elle donnera
On déduit de la première
et de la seconde
En faisant ces deux dernières formules deviennent celles qu’on
a déjà trouvées ci-dessus ; lorsqu’on n’a pas égard au frottement.
On déterminera d’ailleurs les constantes par les conditions
qu’au commencement du mouvement on a
On doit avoir aussi, au commencement du mouvement
Cette dernière condition donne
ou
comme cela doit être ; parce que, lorsque l’angle est tel, l’effet
du frottement détruit l’effort de la pesanteur, ou la force accélératrice, comme on l’a vu ci-dessus et en l’endroit déjà cité de
ce recueil.
Les diverses positions que prend dans son mouvement la ligne
pesante se coupent consécutivement en une suite de points formant une courbe continue, dont on peut être curieux de connaître
l’équation.
Soient (fig. 12) deux positions consécutives infiniment
voisines de la droite mobile, dont soit le point d’intersection ; ce
point sera l’un de ceux de la courbe cherchée. Faisons l’angle et désignons respectivement par les perpendiculaires abaissées du point sur les droites prises pour axes des coordonnées ; nous aurons
c’est-à-dire,
Or, au point d’intersection l’équation doit convenir également
aux deux droites il faut donc qu’elle soit indépendante
de l’angle et qu’elle ne soit composée que des seules quantités
qui sont communes aux deux positions ; il faut donc que
et demeurent constans tandis que varie, c’est-à-dire, que la
différentielle de l’équation ci-dessus, prise par rapport à seulement,
doit avoir lieu en même temps qu’elle. Cette différentielle étant
il ne s’agit plus que d’éliminer entre elle et l’équation primitive.
Pour y parvenir, regardons comme les deux inconnues
de ces équations ; nous en tirerons aisément
donc
donc enfin l’équation de la courbe cherchée est
[1]
Il est facile de s’assurer que cette courbe (fig. 13) a quatre
points de rebroussement situés sur les deux axes à des distances de
l’origine égales à ; et qu’elle est symétrique non seulement par
rapport à ces axes, mais encore par rapport aux deux droites qui
divisent en deux parties égales les angles des coordonnées. On en
concevra facilement la raison en remarquant (fig. 13) que, théoriquement parlant, les droites devant être considérées comme
s’étendant indéfiniment de part et d’autre du point le mouvement
des extrémités et de la droite mobile n’est pas borné à
ce point ; mais que l’extrémité peut passer à gauche et l’extrémité
au-dessous suivant les prolongemens de et
Il est d’ailleurs évident que la courbe est à la fois circonscrite
à toutes les ellipses décrites par les points de et, en particulier,
au cercle décrit par son milieu.