GÉOMÉTRIE TRANSCENDANTE.
Mémoire sur les développantes successives d’une même
courbe quelconque ;
Par un Ancien élève de l’école polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Nous nous proposons ici de démontrer quelques théorèmes relatifs
aux développantes successives des courbes quelconques, continues
ou discontinues. Quelques-uns des objets qui vont nous occuper ont
déjà été traité par L’Hôpital, Bernouilli, Euler, et récemment par
M. Poinsot. Mais, comme il peut n’être pas sans intérêt de montrer
comment on parvient au même but par des routes diverses,
nous reprendrons de nouveau les questions traitées par ces illustres
géomètres, pour en former un tout avec ce qui nous appartient en
propre dans ce mémoire. Le lecteur y trouvera d’ailleurs l’avantage
de n’avoir pas besoin de recourir à d’autres écrits pour entendre
complètement celui-ci.
THÉORÈME 1. Si l’on forme la développante d’un arc de courbe quelconque, puis la développante de cette développante, puis la développante de cette dernière courbe, et ainsi de suite ; en faisant commencer ces développantes consécutives à une même extrémité de la courbe primitive ; on obtiendra ainsi une suite d’arcs de courbes partant d’un même point, alternativement normales et tangentes en ce point à la courbe primitive, et ayant conséquemment pour tangentes et normales communes en ce même point deux droites indéfinies perpendiculaires l’une à l’autre.
Or, 1.o en prenant avec des signes contraires les arcs qui vont dans des directions opposées, la somme infinie des arcs tangens à l’arc primitif est égale à la projection de l’arc donné sur sa tangente à l’extrémité opposée à celle de laquelle partent toutes les développantes.
2.o En prenant également avec des signes contraires les arcs qui vont dans des directions opposées, la somme infinie des développantes normales à la courbe primitive sera égale à la projection de l’arc donné sur sa normale à l’extrémité opposée à celle de laquelle partent toutes les développantes.
Soit
(fig. 1) un arc de courbe quelconque, dont
et
soient la tangente et la normale à l’extrémité
et dont
et
soient la tangente et la normale à l’autre extrémité
Soient
de plus
les projections de l’arc sur ces deux dernières
droites.
Soient
une série d’arcs, tels que
chacun soit la développante de celui qui le précède immédiatement.
Il s’agit de démontrer, 1.o que
![{\displaystyle {\rm {AB_{0}-AB_{2}+AB_{4}-AB_{6}+\ldots =B_{0}A'\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3608be8f1711a9c5c36e64578ef09bc695d5b0f5)
2.o que
![{\displaystyle {\rm {AB_{1}-AB_{3}+AB_{5}-AB_{7}+\ldots =B_{0}A''.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739f4fae3e432b9fa7965335ed0d9f00c7ad2f06)
On doit remarquer que le théorème ne suppose pas nécessairement
que l’arc primitif
soit soumis à une loi analitique ; de manière
qu’on peut même lui substituer une portion de polygone quelconque,
rectiligne, curviligne ou mixtiligne.
M. Poinsot a déjà remarqué la vérité du théorème, dans le cas
où l’arc primitif est un arc de cercle ; il s’agit de faire voir qu’il
a lieu également, lorsque l’arc primitif est une ligne quelconque.
Démonstration. Soit pris sur l’arc primitif
à partir de son
extrémité
une partie variable
soit
la tangente
correspondante, terminée en
à la développante
de
soit fait
soit
la tangente à
en
terminée
en
à sa développante
soit fait
et ainsi de
suite. Soit enfin
l’angle variable que fait la tangente
en
avec la tangente
en
Soient de plus pris
pour les axes des coordonnées.
Cela posé, les choses étant d’ailleurs (fig. 2) comme nous les
avons supposées (fig. 1) ; concevons que l’arc
augmente
de la quantité
l’arc
augmentera de la
quantité
et l’on aura l’angle
De plus,
l’arc
pouvant être considéré comme une ligne droite, le
triangle
rectangle en
donnera
![{\displaystyle {\rm {M_{1}M'_{1}=M'_{0}M_{1}}}Cos.{\rm {M'_{0}M_{1}M'_{1}=M'_{0}M_{1}}}Sin.{\rm {M_{1}M'_{0}M'_{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668978cd83b74fbe2feea0b080a61a23b1a1b59f)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {d} S_{1}=\left(S_{0}+\operatorname {d} S_{0}\right)\operatorname {Sin} .\operatorname {d} \phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e66e2598693ecb44ff48bec85c6d32204b8ac89)
ou simplement
![{\displaystyle \operatorname {d} S_{1}=S_{0}\operatorname {d} \phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4238ff8724a61dd8dc9ef1b9335143d6b20035ec)
d’où
![{\displaystyle S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3920ff3cc149155ac4ea1a499d44ab5a13cb8968)
l’intégrale devant s’évanouir en même temps que ![{\displaystyle \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b065a61a08fe84742ade270b4dbd8c087510e6)
D’après cela, il est clair qu’on devra avoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}=&\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\\S_{2}=&\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\\S_{3}=&\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\S_{n}=&\int ^{n}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7288af2e0f67055f67ce9dd2d2b7bd574b1ad237)
Si l’on développe ces intégrales au moyen de l’intégration par parties ;
en se rappelant qu’elles doivent s’évanouir en même temps que
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}=&\phi S_{0}-\int \phi \operatorname {d} S_{0},\\S_{2}=&{\frac {\phi ^{2}}{2!}}S_{0}-{\frac {\phi }{1!}}\int \phi \operatorname {d} S_{0}+\int {\frac {\phi ^{2}}{2!}}\operatorname {d} S_{0},\\S_{3}=&{\frac {\phi ^{3}}{3!}}S_{0}-{\frac {\phi ^{2}}{2!}}\int \phi \operatorname {d} S_{0}+{\frac {\phi }{1}}\int {\frac {\phi ^{2}}{2!}}\operatorname {d} S_{0}-\int {\frac {\phi ^{3}}{3!}}\operatorname {d} S_{0},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\S_{n}=&{\frac {\phi ^{n}}{n!}}S_{0}-{\frac {\phi ^{n-1}}{(n-1)!}}\int \phi \operatorname {d} S_{0}+\ldots \pm {\frac {\phi }{1!}}\int {\frac {\phi ^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {d} S_{0}\mp \int {\frac {\phi ^{n}}{2!}}\operatorname {d} S_{0}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1f075bf0e3d4aecee227fc27ed9be13668928e)
La série infinie des arcs de rangs pairs, pris avec leurs signes, est
![{\displaystyle S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c8d3bb4ab2dc5ebb0b8202eb067d2fa199e3ca)
Si l’on y substitue pour
les valeurs ci-dessus, il
viendra ; en réunissant ce qui multiplie chaque intégrale,
![{\displaystyle S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91256b60673296b2c2d0b2f18f12743aaadf381e)
![{\displaystyle \left(1-{\frac {\phi ^{2}}{2!}}+{\frac {\phi ^{4}}{4!}}-{\frac {\phi ^{6}}{6!}}+\ldots \right)\left(S_{0}-\int {\frac {\phi ^{2}}{2!}}\operatorname {d} S_{0}+\int {\frac {\phi ^{4}}{4!}}\operatorname {d} S_{0}-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba9d7fb973e9333b8fb48b589ffac87408b303b)
![{\displaystyle +\left({\frac {\phi }{1}}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}+{\frac {\phi ^{5}}{5!}}-\ldots \right)\left(\int {\frac {\phi }{1}}\operatorname {d} S_{0}-\int {\frac {\phi ^{3}}{3!}}\operatorname {d} S_{0}+\int {\frac {\phi ^{5}}{5!}}\operatorname {d} S_{0}-\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e8e6f48160a216728c58195da071df3d14c436)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91256b60673296b2c2d0b2f18f12743aaadf381e)
![{\displaystyle \left(S_{0}-\int {\frac {\phi ^{2}}{2!}}\operatorname {d} S_{0}+\int {\frac {\phi ^{4}}{4!}}\operatorname {d} S_{0}-\int {\frac {\phi ^{6}}{6!}}\operatorname {d} S_{0}+\ldots \right)\operatorname {Cos} .\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59bc72d63970b8441442c7dbcb09da9ff96e94e6)
![{\displaystyle +\left(\int {\frac {\phi }{1}}\operatorname {d} S_{0}-\int {\frac {\phi ^{3}}{3!}}\operatorname {d} S_{0}+\int {\frac {\phi ^{5}}{5!}}\operatorname {d} S_{0}-\ldots \right)\operatorname {Sin} .\phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f3c584c950d0cc7fffd5bac120d4b202962bf3)
ou, en faisant tout passer sous le même signe d’intégration, ce
qui est permis, puisque les limites sont les mêmes,
![{\displaystyle S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots =\operatorname {Cos} .\phi \int \operatorname {d} S_{0}\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\phi \int \operatorname {d} S_{0}\operatorname {Sin} .\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ea0e9fff4278cc2d1f2d230a4ce3d4ac910767)
Or,
et
sont les projections de la courbe primitive sur les tangente et normale au point
en représentant donc
respectivement ces projections par
et
on aura
![{\displaystyle S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots =x\operatorname {Cos} .\phi +y\operatorname {Sin} .\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed581c999e0dcf26cbc6c82c779464e50182e072)
et on trouverait pareillement
![{\displaystyle S_{1}-S_{3}+S_{5}-S_{7}+\ldots =x\operatorname {Sin} .\phi -y\operatorname {Sin} .\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1c6bbb17b4e54faf4ae0086fac33ffc5dcd429)
Or, ce sont précisément là les formules au moyen desquelles on
passe d’un système rectangulaire à un autre système rectangulaire formant un angle
avec le premier, d’où il suit que ces deux
séries ne sont autre chose que les projections de l’arc
sur
la tangente et sur la normale à son autre extrémité
ainsi que
l’énonce le théorème.
Les développemens de
d’où nous avons conclu
ce théorème, ne supposent aucunement que la relation entre les deux
variables
et
puisse être exprimée par une fonction analitique,
unique et continue ; ils ne sont fondés, en effet, que sur le principe
d’intégration par parties, lequel a toujours lieu quel que puisse être
le genre de dépendance entre
et
Il faut seulement observer
que, dans les séries
![{\displaystyle S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9466cfbc56ed53996b186e2464edd354b180b84f)
![{\displaystyle S_{1}-S_{3}+S_{5}-S_{7}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dac673d73c51f40b45a81aef6885364b6e7ad4)
les arcs
doivent se mesurer en prenant négativement les portions de développantes qui répondraient à des décroissemens de l’angle
c’est-à-dire, à des mouvemens de la tangente
inverses de son mouvement primitif.
Avant de passer à d’autres propositions qu’on peut conclure du
précédent théorème, nous ferons remarquer que les arcs de développantes consécutifs, correspondant à un angle donné
doivent
nécessairement décroitre sans cesse, de manière à devenir enfin
moindres que toute longueur donnée ; du moins tant que l’arc primitif n’est pas infini ; car, puisque chacune des séries
![{\displaystyle S_{0}-S_{2}+S_{4}-S_{6}+\ldots =S_{0}-\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2}+\int ^{4}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{4}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d23eec599260d79f5c4b7bda38419559edeac4)
![{\displaystyle S_{1}-S_{3}+S_{5}-S_{7}+\ldots =\int S_{0}\operatorname {d} x-\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bac84814be4db64d08a808720b27591c4fa46a3)
se décompose en d’autres dont la sommation ne dépend que de
celles de
de
et des intégrales
lesquelles s’obtiennent toujours, quel que soit
lorsque
n’est
pas infini ; il s’ensuit que ces séries en
sont
toujours convergentes, et qu’ainsi les arcs dont on vient de parler finissent par s’approcher indéfiniment de zéro.
On parviendrait à la même conclusion, en formant la somme
![{\displaystyle S_{0}+S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+\ldots =e^{\phi }\int e^{-\phi }\operatorname {d} S_{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d51d7b17384049f9d1537e656a1631ed08603ae)
cette intégrale devant, en effet, être finie, tant que
le sera
lui-même, on est certain que la série dont elle exprime la valeur
est convergente, et qu’ainsi les longueurs des développemens successifs,
faits dans le même sens, finissent par décroitre indéfiniment.
THÉORÈME II. Si l’on forme la développante d’un arc de courbe quelconque, puis la développante de cette développante, puis la développante de cette dernière courbe, et ainsi de suite, en alternant constamment la direction du mouvement de la tangente ; c’est-à-dire, en faisant commencer chaque développante au point où finit celle qui la précède immédiatement ; ces développantes se trouveront toutes comprises entre la tangente à l’une des extrémités de l’arc primitif et la normale à son autre extrémité. Cela posé,
1.o Si les deux droites indéfinies qui comprennent toutes ces courbes sont convergentes, auquel cas les développantes auront des longueurs sans cesse décroissantes ; ces développantes tendront aussi sans cesse à devenir des épicycloïdes intérieurs ;
2.o Si ces droites sont parallèles, les développantes tendront sans cesse à devenir des cycloïdes ;
3.o Enfin, si ces mêmes droites sont divergentes, les développantes tendront sans cesse à devenir des épicycloïdes extérieures.
Soient
une suite indéfinie d’arcs de
courbes (fig. 3), dont le premier est quelconque et dont chacun
est la développante de celui qui le précède immédiatement ; de telle
sorte que le premier développement se fasse de
vers
le
second de
vers
le troisième de
vers
et ainsi de
suite. Les points
se trouveront tous sur la normale
à la courbe primitive au point
laquelle est rencontrée en
par la normale à son autre extrémité
et les points
seront tous situés sur la tangente menée à la courbe primitive, par cette dernière extrémité, laquelle se trouve coupée en
par la tangente à son autre extrémité
Soit fait l’angle
les deux droites
seront convergentes, parallèles ou divergentes, suivant que l’angle
sera aigu, droit ou obtus. Il s’agit donc de démontrer que les
développantes consécutives tendront à devenir des épicycloïdes intérieurs dans le premier cas, des cycloïdes dans le second et des
épicycloïdes extérieures dans le troisième.
Ici encore, comme dans le précédent théorème, l’arc primitif
peut n’être point assujetti à la loi de continuité ; ce peut être même
une portion de polygone quelconque, rectiligne, curviligne ou
mixtiligne.
Soient
une suite d’arcs variables consécutifs et correspondant, développans les uns des autres ; et soit
l’angle que fait la tangente
au point
avec la tangente
au point
Soient enfin
les longueurs totales des développantes
Nous aurons d’abord, comme dans le précédent théorème,
![{\displaystyle S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394d9ab17d35f584d9f88798160271bcb5617ed7)
l’intégrale s’éyanouissant avec
On aurait de même
![{\displaystyle S_{2}=\int {\overline {\rm {M_{1}A_{2}}}}.\operatorname {d} \phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82e6e55dda0f88e46b481c70e2fcb845d2ec3ae)
mais
donc
![{\displaystyle S_{2}=\int \left(\Sigma _{1}-S_{1}\right)\operatorname {d} \phi =\Sigma _{1}\phi -\int S_{1}\operatorname {d} \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c99bbd46d597c215926128628c0e97286bf2efe)
Ces valeurs de
indiquent, en général, comment on peut
passer d’une développante à la suivante ; et l’on voit qu’on peut poser
cette suite d’équations
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,&S_{2}=\phi \Sigma _{1}-\int S_{1}\operatorname {d} \phi ,\\S_{3}=\int S_{2}\operatorname {d} \phi ,&S_{4}=\phi \Sigma _{3}-\int S_{3}\operatorname {d} \phi ,\\S_{5}=\int S_{4}\operatorname {d} \phi ,&S_{6}=\phi \Sigma _{5}-\int S_{5}\operatorname {d} \phi ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c3e477cdf3828e8ec82f43a6cb88c558e7ca84)
Si l’on fait les substitutions, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,&S_{2}=\phi \Sigma _{1}-\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\\S_{3}={\frac {\phi ^{2}}{2!}}\Sigma _{1}-\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},&S_{4}=\phi \Sigma _{3}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{1}+\int ^{4}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{4},\\S_{5}={\frac {\phi ^{2}}{2!}}\Sigma _{3}-{\frac {\phi ^{4}}{4!}}\Sigma _{1}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5},&S_{6}=\phi \Sigma _{5}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{3}+{\frac {\phi ^{5}}{5!}}\Sigma _{1}-\int ^{6}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{6},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7a73cce8830215916e3d50524c507d5c9aba26)
La loi de ses développemens se trouve suffisamment établie, par les
équations même qui ont servi à les obtenir : on passe d’un arc
de numéro pair au suivant, en intégrant à partir de
et de
ce dernier à l’arc de numéro pair qui vient après, en retranchant
une intégrale semblable du terme correspondant de la suite
![{\displaystyle \phi \Sigma _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dd21367e5c2b60050c820239322ead45e32639)
Comme les développantes de numéros impairs
entrent seules avec les intégrales successives
![{\displaystyle \int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\int ^{4}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a67c6964f7c614afc1799c084788d2963f38b15)
dans les expressions de tous ces arcs, nous allons examiner seulement comment varient ces développantes. Comme
n’est autre
chose que la valeur de
qui répond à l’arc
il s’ensuit
qu’on doit avoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Sigma _{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,\\&\Sigma _{3}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{1}-\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},\\&\Sigma _{5}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{3}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}\Sigma _{1}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\Sigma _{2n+1}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}\Sigma _{2n-1}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}\Sigma _{2n-3}+{\frac {\omega ^{6}}{6!}}\Sigma _{2n-5}-\ldots \pm {\frac {\omega ^{2n}}{(2n)!}}\Sigma \mp \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247e5158b94ffe4ff53280b03f136ab8f2157bdd)
Pour avoir le développement du terme général
après qu’on
en a éliminé tous ceux
qui le précèdent,
soient multipliées ces équations, excepté la dernière, par des coefficiens
et formons-en la somme,
en égalant à zéro les quantités qui multiplient
![{\displaystyle \Sigma _{2n-1},\Sigma _{2n-3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d05527148113c421966bbc51d2b1ec741ee4a6)
nous aurons ainsi
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dc5b0bdba073cec9f4ea70a0ab688f35193fa)
![{\displaystyle \pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf63dc220a58593b78b470497577dd13786caa)
les coefficiens
étant déterminés par les
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2}={\frac {\omega ^{2}}{2!}},\\&a_{4}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}a_{2}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}},\\&a_{6}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}a_{4}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}a_{2}+{\frac {\omega ^{6}}{6!}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&a_{2n}={\frac {\omega ^{2}}{2!}}a_{2n-2}-{\frac {\omega ^{4}}{4!}}a_{2n-4}+{\frac {\omega ^{6}}{6!}}a_{2n-6}-\ldots \pm {\frac {\omega ^{2n-2}}{(2n-2)!}}a_{2}\mp {\frac {\omega ^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13df712f7dd9026f484abf493705102e5f9a3ec0)
Comme tous ces coefficiens contiendront des termes homogènes en
nous ferons
les nouveaux coefficiens
se trouveront ainsi donnés par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{2}={\frac {1}{2!}},\\&A_{4}={\frac {A^{2}}{2!}}-{\frac {1}{4!}},\\&A_{6}={\frac {A^{4}}{2!}}-{\frac {A^{2}}{4!}}+{\frac {1}{6!}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&A_{2n}={\frac {A^{2n-2}}{2!}}-{\frac {A^{2n-4}}{4!}}+{\frac {A^{2n-6}}{6!}}-\ldots \pm {\frac {A^{2}}{(2n-2)!}}\mp {\frac {1}{(2n)!}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1029b1ad27d133e1cc3d32330a148d42d05519e2)
L’inspection de l’équation qui donne le coefficient
en fonction
des précédens suffit pour faire voir que les nombres
sont les coefficiens du développement de
car, en posant
![{\displaystyle 1=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)\left(1+A_{2}x^{2}+A_{4}x^{4}+A_{6}x^{6}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67365eefd9827f1d9a80c090c408fa92ae797fdd)
le terme général du produit, égalé à zéro, donnera pour
la
valeur précédente.
Les coefficiens du développement des
peuvent s’obtenir d’une
manière qui en fait connaître la loi ; il suffit de multiplier
par le produit indéfini
![{\displaystyle \left\{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left({\frac {x}{5q}}\right)^{2}\right\}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda03e165cf9daddda9def4ca9736f87a9ef04c8)
désignant le quart du cercle, ou
Ce produit étant convergent
pour
on peut poser, dans cette limite de
![{\displaystyle {\frac {1}{\left\{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left({\frac {x}{5q}}\right)^{2}\right\}\ldots }}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93917b3819a8e271fc4e5cd087f0dff5b4be55fd)
![{\displaystyle 1+A_{2}x^{2}+A_{4}x^{4}+A_{6}x^{6}+\ldots +A_{2n}x^{2n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ed549b5aba25d30af4591a227d58d20080f86c)
mais, à cause de la convergence du produit qui donne le cosinus,
on peut appliquer, à la fraction précédente, la décomposition en fractions simples, et poser, en vertu de ce que
est une fonction paire,
![{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {Cos} .x}}={\frac {B_{1}}{\left\{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}\right\}}}+{\frac {B_{3}}{\left\{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}\right\}}}+\ldots {\frac {B_{m}}{\left\{1-\left({\frac {x}{mq}}\right)^{2}\right\}+\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b34e581d09d367acbd15b4132c675aa013a79b0)
représentant un nombre impair quelconque. On déterminera
par la valeur que prendra
pour
En différentiant les deux termes on a
![{\displaystyle {\frac {\frac {2x}{(mq)^{2}}}{\operatorname {Sin} .x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fdd1b4ef88d05da0f237e82206c4c8dcd40d55)
faisant
on a, suivant que
est divisible par deux
seulement ou par quatre,
![{\displaystyle B_{m}=\pm {\frac {2}{mq}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0151902ab7318854a2f396b58816001d733652)
ainsi
![{\displaystyle {\tfrac {1}{\operatorname {Cos} .x}}={\tfrac {2}{q}}\left\{{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{q}}\right)^{2}}}-{\tfrac {1}{3}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{3q}}\right)^{2}}}+{\tfrac {1}{5}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{5q}}\right)^{2}}}-\ldots \pm {\tfrac {1}{m}}{\tfrac {1}{1-\left({\frac {x}{mq}}\right)^{2}}}\mp \ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9771dd4525d89aba1df71c09f6767ae9d0dd5059)
On obtiendra donc le terme général de
en développant toutes
ces fractions en progression, et en réunissant les coefficiens de
dans les progressions. Il viendra ainsi
![{\displaystyle A_{2n}={\frac {2}{q}}\left\{{\frac {1}{q^{2n}}}-{\frac {1}{3}}{\frac {1}{(3q)^{2n}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {1}{(5q)^{2n}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {1}{(7q)^{2n}}}-\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff466d9d414a252dd51874b83c9891842488eee7)
ou bien, en mettant
en facteur commun, et multipliant de
part et d’autre par ![{\displaystyle \omega ^{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcfab018ff99683de9f13f88920c414e438abc4)
[1] et telle est l’expression générale des coefficiens
qui,
comme on l’a vu, donnent la valeur de la développante
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57506eca2d6fb50173591a4fc0eb0ccdee6a360b)
savoir
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dc5b0bdba073cec9f4ea70a0ab688f35193fa)
![{\displaystyle \pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf63dc220a58593b78b470497577dd13786caa)
Pour appliquer cette formule à la démonstration du théorème
énoncé, nous prendrons d’abord le cas le plus simple, c’est-à-dire,
celui où l’angle
il est visible qu’alors
tendra vers la
limite constante
puisqu’alors
sera l’unité, et que la série
numérique qui entre dans l’expression de
converge très-promptement vers l’unité. Et, comme les premiers coefficiens
n’affectent que les intégrales
qui, comme on l’a démontré, décroissent indéfiniment ; il en résulte
que, pour
très-grand, on aura sensiblement
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}={\frac {2}{q}}\left\{\int S_{0}\operatorname {d} \phi -\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacd04c1e51da9fb0739a2ff497dba44b34504b9)
La série formée par ces intégrales a été trouvée (Théor. 1) égale
à la projection de la courbe primitive sur la dernière normale
Dans le cas où
cette projection devient la distance
entre deux parallèles qui comprennent les développantes. En la
désignant par
on a, à la limite,
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}={\frac {2D}{q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db42e0288980e9f7d4d2b5a6c3dcf28a8de9836)
ainsi, les longueurs des développantes finissent par être constantes
L’équation de ces courbes limites est, d’après cela, facile à obtenir,
puisque la relation entre les arcs et les angles
est donnée, pour
les développantes de numéros pairs, par
![{\displaystyle S_{2n}=\phi \Sigma _{2n-1}-{\tfrac {\phi ^{2}}{2!}}\Sigma _{2n-3}+{\tfrac {\phi ^{4}}{4!}}\Sigma _{2n-4}-\ldots \pm {\tfrac {\phi ^{2n-1}}{(2n-1)!}}\Sigma _{1}\mp \int ^{2n}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab63580abc09a51e20a8c404a80da582ae7ac3d)
On a démontré que les intégrales
dont toutes les origines
étalent
décroissaient indéfiniment ; ce dernier terme disparaitra
donc à la limite. De plus, les arcs
ne s’écartant
sensiblement de
que lorsqu’ils portent sur la portion négligeable
de la série : on peut écrire, pour
infini,
![{\displaystyle S_{2n}={\frac {2D}{q}}\left({\frac {\phi }{1}}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}+{\frac {\phi ^{5}}{5!}}-{\frac {\phi ^{7}}{7!}}+\ldots \right)={\frac {2D}{q}}\operatorname {Sin} .\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49bc45dd817800883952f4335825a089e697d36)
Cette relation appartient à la cycloïde dont la longueur totale est
ou
et dont le demi-grand axe est
Il résulte d’ailleurs
du mode de génération des développantes de numéros impairs qu’elles
seront aussi des cycloïdes égales ; c’est d’ailleurs ce que l’on trouverait
directement, par l’expression de
Reprenons présentement le cas général, où l’angle
formé par
les normales extrêmes, est quelconque. On a vu qu’une développante de numéro impair quelconque était donnée par la formule
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}=a_{2n}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -a_{2n-2}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+a_{2n-4}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dc5b0bdba073cec9f4ea70a0ab688f35193fa)
![{\displaystyle \pm \int ^{2n+1}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf63dc220a58593b78b470497577dd13786caa)
et qu’on avait généralement
![{\displaystyle a_{2n}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n}\left\{1-{\frac {1}{3^{2n+1}}}+{\frac {1}{5^{2n+1}}}-{\frac {1}{7^{2n+1}}}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d950cff59b0eb976764d580f76d8875eb6a8fa)
Pour
très-grand, la série se réduit à l’unité, et l’on a, à la limite
![{\displaystyle a_{2n}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe963ba36fcb3940f6b01aabe127d749229650a)
on peut donc, en vertu de la convergence de la série
![{\displaystyle \int S_{0}\operatorname {d} \phi -\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512888e018ed7162c09061fd577512117a511bd2)
poser, pour
infini
![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}={\frac {2}{q}}\left({\frac {\omega }{q}}\right)^{2n}\left\{{\frac {q}{\omega }}\int S_{0}\operatorname {d} \phi -\left({\frac {q}{\omega }}\right)^{3}\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3}+\left({\frac {q}{\omega }}\right)^{5}\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5}-\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4dfb2d8d474186b529cb79cb74205be3a63e3c)
}}
On conclut de là que le rapport
de deux développantes
successives d’ordre impair est, à la limite, égal à
mais comme
on a, pour un arc variable, correspondant à l’angle ![{\displaystyle \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d29807959b8784f00e4d77130fd93d90a628df)
![{\displaystyle S_{2n}=\phi \Sigma _{2n-1}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{2n-3}+\ldots \pm {\frac {\phi ^{2n-1}}{(2n-1)!}}\Sigma _{1}\mp \int ^{2n}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11be10a3277d337418d60352a57b258d227480e)
on pourra poser, à la limite,
![{\displaystyle S^{2n}={\tfrac {\omega }{q}}\Sigma _{2n+1}=\left\{{\tfrac {\phi }{1}}{\tfrac {q}{\omega }}-{\tfrac {\phi ^{3}}{3!}}\left({\tfrac {q}{\omega }}\right)^{3}+{\tfrac {\phi ^{5}}{5!}}\left({\tfrac {q}{\omega }}\right)^{5}-\ldots \right\}=\Sigma _{2n+1}.{\tfrac {\omega }{q}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {\phi q}{\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34c805b327f8f1954f6927dba40f19449b3d2a1)
En faisant, dans cette équation,
on aura l’arc total
on peut donc écrire
![{\displaystyle S_{2n}=\Sigma _{2n}.\operatorname {Sin} .\left({\frac {\phi q}{\omega }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae622e472b8c60215d408f882bd9676f4dbbb852)
Telle est donc l’équation de la courbe vers laquelle tendent les
développantes d’ordre pair. On trouverait, soit en intégrant cette
équation, soit en prenant directement la formule qui donne ![{\displaystyle S_{2n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021f0d3a8e61676912644afaae535b1d2da861c9)
, ou ![{\displaystyle \Sigma _{2n+1}-S_{2n+1}=\Sigma _{2n+1}.\operatorname {Sin} .{\frac {(\varpi -\phi )q}{\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4871f6d098adec72fc7fd8e29367cbd08746ea17)
Cette équation, comparée avec la précédente, qui donne
fait
voir que la courbe limite est telle que sa développante est une
courbe semblable, mais dans une position inverse. Le rapport de
grandeur des arcs correspondans, dans l’un à
et dans l’autre à
est
![{\displaystyle {\frac {\Sigma _{2n}}{\Sigma _{2n+1}}}={\frac {q}{\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c606449f2676e9a0a8ea26bd94801ac7cbc5443b)
On peut faire voir assez simplement, par des considérations géométriques, que l’épicycloïde est la courbe qui jouit de cette propriété, et qui a pour équation
Concevons, en effet, une épicycloïde
(fig. 4) décrite par la
demi-révolution d’un cercle dont le rayon est
sur
; et proposons-nous de trouver le centre de courbure pour un point
de cette
courbe. On sait que la normale au point
passe par le point de
contact des deux cercles ; il ne reste donc, pour connaître le rayon
de courbure, qu’à chercher le point d’intersection de deux normales
consécutives.
Soient
et
Si le rayon
tourne de
la
normale
tournera de
; or, il est facile de voir que
![{\displaystyle \beta R=2\alpha r,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201bdb6e6b8bcdb785e7d8d84c8281ba312a2030)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} \alpha ={\frac {R}{2r}}\operatorname {d} \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83569ccd51166daa4808c33fa1e3046d429e74f1)
;
l’angle des deux normales consécutives sera donc
![{\displaystyle \operatorname {d} \beta +{\frac {R}{2r}}\operatorname {d} \beta \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755e3df2e1e7b56a982c9544aacd367b7d142908)
ou
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} \beta .{\frac {R+2r}{2r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372dffbaa41005610730a3603b60261fabe273aa)
Le point
s’est déplacé, dans le sens du cercle fixe
de
pour avoir ce déplacement, mesuré perpendiculairement à la
normale, on le multipliera par
ou par
ce qui fera
Or, à la limite, ce même déplacement est égal à
multiplié
par l’angle des deux normales ; on a donc,
![{\displaystyle {\overline {\rm {PN}}}.\operatorname {d} \beta {\frac {R+2r}{2r}}=\operatorname {d} \beta .{\frac {R}{2r}}.{\overline {\rm {MP}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4629c7188b6ab5326ae62eb085f0902262c12cc3)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\overline {\rm {MP}}}{\overline {\rm {NP}}}}={\frac {R+2r}{2r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b4f939b67cfaa5700e6156f3622c94b86b7422)
Il est facile de conclure du rapport constant des deux lignes
que, si l’on décrit, au-dessous du cercle générateur, un
autre cercle, dont le diamètre soit à celui du premier dans le rapport
c’est-à-dire, dans le rapport des distances au centre
le
point
de la développée se trouvera toujours sur ce cercle ; et
comme l’arc
sera toujours égal à
le point
décrira
une nouvelle épicycloïde semblable ; mais réduite, dans le rapport
On peut aisément se convaincre, d’après cela, que cette
propriété identifie l’épicycloïde avec la courbe limite de notre théorème ; car, en désignant par
l’arc
et par
l’angle décrit
par la normale ou la tangente, on aura
![{\displaystyle {\rm {AN}}=S={\rm {MN={\overline {\rm {QS}}}\operatorname {Sin} .\alpha \,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f27ba70e3c90341a4bf6afbc0133ee5d241139a)
mais
et
est précisément la courbe totale
en
l’appelant donc
on a
![{\displaystyle S=\Sigma \operatorname {Sin} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518c221e144f9f23d15334c3924be25b99fc4ead)
l’angle
dont la tangente
a tourné, est précisément
ou
on a donc
![{\displaystyle \phi =\alpha .{\frac {R+2r}{R}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b8bee994cd201fa8efe109c22397438b17f4a6)
d’où
Si
est l’angle total formé par les tangentes extrêmes ; comme
qui lui correspond
on aura
![{\displaystyle q={\frac {R}{R+2r}}\omega ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5891a0c8249d1fa555ab2b233a66275674e68d)
d’où
![{\displaystyle \quad {\frac {R}{R+2r}}={\frac {q}{\omega }};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f41673a35e5a5e98013895d3a2d4e1c52e298f)
on a donc ; en substituant,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {q\phi }{\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166bff99bb326f04e4fc9da24841cd3c62509e9d)
d’où l’on conclut, pour l’équation de l’épicycloïde,
![{\displaystyle S=\Sigma \operatorname {Sin} .{\frac {q\phi }{\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8555753220561e0f6b42157c5340aac5809b188)
équation qui est précisément celle de la courbe vers laquelle tendent
les développantes successives. Et, comme les considérations précédentes s’appliquent aux épycîcloïdes intérieures, pourvu qu’on prenne
et
de signes contraires, on voit facilement que leurs équations
seront de même
![{\displaystyle S=\Sigma \operatorname {Sin} .{\frac {q\phi }{\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8555753220561e0f6b42157c5340aac5809b188)
l’angle
étant alors plus petit que
Le théorème se trouve donc
ainsi complètement démontré.
Paris, le 13 de juillet 1818.