ANALISE TRANSCENDANTE.
Application du calcul aux différences partielles à la
résolution de quelques problèmes d’analise ;
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Le calcul aux différences partielles, qui doit son origine à des questions de géométrie et de mécanique, a été postérieurement appliqué, d’une manière très-heureuse, par des géomètres du premier ordre, à des questions de pure analise. Ce sont quelques essais de ce genre d’application que nous nous proposons de présenter ici, en employant successivement cette branche de calcul et au développement des fonctions polynomiales en séries, et au problème du retour des suites.
§. I.
Développement en séries des fonctions polynomiales.
M. Paoli s’est déjà proposé de déduire des seuls principes du calcul différentiel tout ce qui est nécessaire pour parvenir au développement en séries des fonctions polynomiales : c’est du même sujet que nous nous proposons de nous occuper ici. Notre méthode étant un peu plus simple que celle de l’illustre Italien, nos résultats doivent aussi être moins compliqués que les siens.
Soit une fonction de qu’il soit question de développer suivant
les puissances de étant donnée par l’équation
On aura d’abord cette suite d’équations
dans lesquelles sont traitées comme indépendantes.
Éliminant entre chacune des équations (1) et la dernière, on trouve
Mettant ensuite dans
les valeurs de données par les équations (1), on trouve
(3)
Posons, pour abréger,
La première des équations (2) donne
pourvu qu’après la différentiation on suppose Partant
(4)
On tirerait de même de la dernière équation (2)
(5)
et enfin de l’équation (3)
(6)
équation qu’en vertu de l’équation de condition (5) qu’on peut changer en celle-ci,
(7)
ou encore
(8)
L’équation (6) exprime suivant quelle loi chacune des quantités dérive de celle qui la précède immédiatement.
La formule (7), ne renfermant de différentiations que par rapport
à permet d’employer les valeurs particulières ou numériques
de et de faire ainsi les réductions à mesure
qu’elles se présenteront ; ce qui, dans bien de cas, la rendra
préférable.
Enfin, la formule (8) donne le moyen de revenir de l’une quelconque des quantités
à celle qui la précède. Elle
devient illusoire lorsque ; ce qu’il n’était pas difficile de
prévoir.
Au moyen de la relation que l’équation (8) établit entre les divers
coefficiens de dans le développement de on peut donner une
infinité de formes différentes à la formule (6). Nous avons rapporté
seulement les plus remarquables ; mais son emploi peut devenir
plus intéressant. En effet ; les équations (4) et (8) peuvent se concentrer en celle-ci
de laquelle on tirera facilement
et, en général,
Maintenant, on a
pourvu qu’après les différenciations on fasse dans les quantités du second membre. L’on aura donc, en vertu de l’équation (9)
moyennant les mêmes restrictions ; et comme, dans la dernière équation, les différentiations ne sont plus relatives à on trouvera la valeur de dans la supposition de quelconque, si l’on a les valeurs de dans la supposition de sans que pour cela on soit obligé de recommencer les calculs.
Par le moyen des formules précédentes, on pourra s’élever, de
proche en proche, à la valeur de en fonction de
et des coefficiens différentiels de cette dernière quantité ; mais
cette marche, d’ailleurs très-laborieuse, ne serait fondée que sur
l’analogie. Voici, pour le même objet, une méthode en même
temps plus expéditive et plus rigoureuse.
Si l’on fait, pour abréger,
on aura
et
ou bien, en développant,
On a d’ailleurs
ainsi
si donc l’on suppose
on aura
ou, en renversant l’ordre des termes,
Mais, en suivant la marche qui nous a conduit aux formules
(6) et (7), nous trouverions
Partant, si l’on fait
on aura
(10)
et
(11)
et par conséquent
(12)
La réunion de la formule (12) avec une des formules (10) et (11) remplit l’objet proposé.
Voici enfin une méthode très-simple, pour construire tout d’un
coup l’entier développement de Soit fait
on aura alors
(13)
pourvu que, dans le second membre, on fasse après les differentiations. D’où l’on voit qu’étant donné le développement de on aura très-facilement celui de Supposons donc
on trouvera facilement l’équation
(14)
pour déterminer chaque terme de en fonction de ceux qui le précèdent.
Dans ce qui précède, nous avons supposé que n’était fonction
que d’une seule quantité qui n’était elle-même fonction que de ;
mais à présent supposons
et étant la somme de tous les termes de la forme que l’on peut faire, en prenant pour tous les
nombres entiers positifs, zéro compris, pourront se mettre sous
cette forme
Cela posé, regardant comme entièrement indépendantes les diverses quantités et différentiant dans cette vue, on trouvera facilement
(1)
(2)
(3)
(4)
En vertu de ces deux dernières équations, on peut changer (1) et (2) en celles-ci
(5)
(6)
Mettant, dans l’équation (3), et au lieu de et elle deviendra
qui, comparé avec l’équation (3), donne
(7)
et on tirera de même de l’équation (4)
(8)
Maintenant, représentons en général par la valeur de
lorsqu’après les différentiations on y suppose et nuls. On aura d’abord
et ensuite, on tirera des équations (5), (6), (7), (8) les formule suivantes
(9)
(10)
(11)
(12)
au moyen des relations données par les équations (11), (12) on pourra donner une infinité de formes différentes aux formules (9), (10) : nous nous contenterons de rapporter les principales, qui sont
(13)
(14)
Dans ces trois dernières formules, le signe ne se rapporte qu’à ; et nous avons fait, pour abréger,
Quant à la manière d’y parvenir, voici pour cela une méthode
que je crois plus simple que l’emploi des formules (9), (10),
(11), (12).
Les équations (1), (2) donnent
ou, en faisant
ou encore
(20)
en mettant respectivement
et
à la place de et ce qui est permis, en vertu des équations (3) et (4) ; et le signe ne se rapportant qu’à Enfin, on tirera de l’équation (20) une formule qui ne différera de la formule (17) qu’en ce que y sera au lieu de Cette formule une fois trouvée, on en déduira facilement (18) et (19), au moyen des relations (11) et (12).
Enfin, l’on sait que le développement de est égal à une suite
de termes de la forme
faisant ensuite
on aura
pourvu qu’après les différentiations l’on fasse
dans
le développement de On déduira donc par là, du développement de tous les termes de celui de dans lesquels la somme des exposans de et ne sera pas plus grande que
Soit encore
on aura
pourvu que, dans le développement de on suppose et nuls après les différentiations ; ce qui fournit une autre méthode pour trouver le développement de
Nous pourrions donner, pour parvenir a ce même développement,
une infinité d’autres méthodes plus ou moins compliquées ; mais
nous nous sommes contentés de rapporter les plus simples. Nous
pourrions encore nous occuper du cas où est fonction de plus
de deux fonctions du cas où seraient elles-mêmes
fonctions de plus de deux variables indépendantes mais ces
divers cas ne présenteront aucune difficulté sérieuse à ceux qui auront
bien saisi l’esprit de notre méthode. Au surplus, de quelque
nombre d’application que nos formules puissent être susceptibles,
nous n’avons pas pensé qu’il dût être nécessaire d’en faire comprendre
l’usage par des exemples qui n’auraient fait que donner à
ce mémoire un surcroit d’étendue que nous avons sur-tout cherché
à éviter. Nous terminerons sur ce sujet en observant que, bien
que nous ayons supposé que était fonction de sans on peut cependant étendre notre méthode à ce cas, et cela,
par un artifice ingénieux du à l’illustre auteur de la Mécanique céleste ;
il consiste à remplacer momentanément ces quantités par
d’autres, que l’on regardera comme constantes dans les différentiations.
On peut faire une semblable remarque pour le cas où
n’est fonction que de seulement.
§. II.
Retour des suites.
Dans son Traité de calcul différentiel et intégral, (2.e édit.,
tom. I, pag. 298), M. Lacroix observe que, quelque élégant que
soit l’emploi du Théorème de Lagrange, dans l’opération du retour
des suites, il ne saurait être pourtant regardé comme indiquant la
loi des formules auxquelles il conduit.
Frappé de cette remarque, qui nous a paru très-fondée, nous
avons cherché une solution du problème qui ne fût pas sujette à
cet inconvénient ; et la suivante nous paraît remplir le but. À la
vérité, elle sera jugée peut-être moins générale et moins élégante
que celle de Lagrange ; mais aussi est-il bien loin de notre pensée
de prétendre lutter contre cet illustre géomètre.
Soit l’équation
(1)
et proposons-nous d’en tirer la valeur de ordonnée suivant les
puissances de Cette valeur, quelle qu’elle soit, est évidemment
une fonction des quantités que nous regarderons
comme indépendantes. Ainsi, différentiant successivement l’équation
(1), par rapport à chacune de ces quantités, et posant, pour
abréger,
nous aurons
(2)
Éliminant entre la première des équations (2) et chacune des suivantes, on trouve
(3)
D’ailleurs, en remettant pour sa valeur dans la première des équations (2), elle deviendra
ou bien, en vertu des équations (3),
(4)
Supposons
en substituant cette valeur dans l’équation (4), la comparaison des termes semblables dans les deux membres donnera
formules qui indiquent suivant quelle loi le coefficient d’une puissance quelconque de dérive de celui de la puissance immédiatement inférieure.
L’équation (3) donne
ou ; en mettant pour sa valeur,
d’ailleurs est de la forme
partant
tant que ne sera pas nul ; et
qui donnera facilement la valeur de quand celle de sera connue.
Souvent on a
et alors c’est suivant les puissances de qu’il faut ordonner le développement de Dans ce cas on a
ou bien
On trouverait de même
(60)
partant
mettant, dans cette dernière équation, au lieu de sa valeur tirée de l’équation (4), et multipliant par on la changera en celle-ci
Supposant ensuite
et mettant cette valeur dans la formule précédente ; on trouvera d’abord
et ensuite, en général,
(7)
pour la loi qui lie les coefficiens de deux puissances quelconques consécutives de dans le développement de
Si dans l’équation
on met pour sa valeur
et pour son développement ; on trouvera que le coefficient de dans est
D’où l’on voit qu’étant donné le développement de , on en déduira facilement celui de .