ANALISE TRANSCENDANTE.
Application du calcul aux différences partielles à la
résolution de quelques problèmes d’analise ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Le calcul aux différences partielles, qui doit son origine à des questions de géométrie et de mécanique, a été postérieurement appliqué, d’une manière très-heureuse, par des géomètres du premier ordre, à des questions de pure analise. Ce sont quelques essais de ce genre d’application que nous nous proposons de présenter ici, en employant successivement cette branche de calcul et au développement des fonctions polynomiales en séries, et au problème du retour des suites.
§. I.
Développement en séries des fonctions polynomiales.
M. Paoli s’est déjà proposé de déduire des seuls principes du calcul différentiel tout ce qui est nécessaire pour parvenir au développement en séries des fonctions polynomiales : c’est du même sujet que nous nous proposons de nous occuper ici. Notre méthode étant un peu plus simple que celle de l’illustre Italien, nos résultats doivent aussi être moins compliqués que les siens.
Soit
une fonction de
qu’il soit question de développer suivant
les puissances de
étant donnée par l’équation
![{\displaystyle y=a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8096a0ea7bbebc3e65ec8db136d598bf1e2a92cc)
On aura d’abord cette suite d’équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\left(a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f327a659fb7b8b4dc340dac40eaf6c71022be0)
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a}}&={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}&=\quad {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}},\\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{1}}}&={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a_{1}}}&=x\ \ {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}},\\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{2}}}&={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a_{2}}}&=x^{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}},\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{n}}}&={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a_{n}}}&=x^{n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\,;\end{array}}\right\}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d3274421a6e0bed6549aa1a2e57ef0ee3131d8)
dans lesquelles
sont traitées comme indépendantes.
Éliminant
entre chacune des équations (1) et la dernière, on trouve
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{n}}}&=x^{n}\quad {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a}},\\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{n}}}&=x^{n-1}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{n}}}&=x^{n-k}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{k}}}.\end{array}}\right\}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51eae57771c5384b2acd27a4440e41d5ece841cf)
Mettant ensuite dans
les valeurs de
données par les équations (1), on trouve
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}=a_{1}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a}}+2a_{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{2}}}+4a_{4}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755f9566c8397d68ae5f0a7c14abc05368ff586a)
(3)
Posons, pour abréger,
![{\displaystyle u=A,\ {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}=A_{1},\ {\frac {1}{2!}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x^{2}}}=A_{2},\ {\frac {1}{3!}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}u}{\operatorname {d} x^{3}}}=A_{3},\ldots {\frac {1}{n!}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}u}{\operatorname {d} x^{n}}}=A_{n}.\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9038edc909f1525ccd896b029d2784500b2fdca)
La première des équations (2) donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} ^{n-\alpha }u}{\operatorname {d} x^{n-\alpha }}}}{\operatorname {d} a_{n}}}={\frac {\operatorname {d} ^{n-\alpha }.\left(x^{n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a}}\right)}{\operatorname {d} x^{n-\alpha }}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e1df95abada6337be1e1548b95d16052a8ada1)
pourvu qu’après la différentiation on suppose
Partant
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} A_{n-\alpha }}{\operatorname {d} a_{n}}}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47931184c13dd2b1911140df2fe277599ba8448)
(4)
On tirerait de même de la dernière équation (2)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} A_{n+p}}{\operatorname {d} a_{n}}}={\frac {\operatorname {d} A_{k+p}}{\operatorname {d} a_{k}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a789a68245eb08276f714c4b3001fec8c7813d)
(5)
et enfin de l’équation (3)
![{\displaystyle nA_{n}=a_{1}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a}}+2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a_{2}}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc4f2da7b549c730f947232dfc5a4b696d5eb24)
(6)
équation qu’en vertu de l’équation de condition (5) qu’on peut changer en celle-ci,
![{\displaystyle nA_{n}=a_{1}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a}}+2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{n-2}}{\operatorname {d} a}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{n-3}}{\operatorname {d} a}}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322d1bdd43ab79451cec816bfe05a7f101e30c47)
(7)
ou encore
![{\displaystyle nA_{n}=a_{1}{\frac {\operatorname {d} A_{n+\alpha }}{\operatorname {d} a_{\alpha +1}}}+2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{n+\alpha }}{\operatorname {d} a_{\alpha +2}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{n+\alpha }}{\operatorname {d} a_{\alpha +3}}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933f7801fa5f6e375c5364e94f24657d50ebd091)
(8)
L’équation (6) exprime suivant quelle loi chacune des quantités
dérive de celle qui la précède immédiatement.
La formule (7), ne renfermant de différentiations que par rapport
à
permet d’employer les valeurs particulières ou numériques
de
et de faire ainsi les réductions à mesure
qu’elles se présenteront ; ce qui, dans bien de cas, la rendra
préférable.
Enfin, la formule (8) donne le moyen de revenir de l’une quelconque des quantités
à celle qui la précède. Elle
devient illusoire lorsque
; ce qu’il n’était pas difficile de
prévoir.
Au moyen de la relation que l’équation (8) établit entre les divers
coefficiens de
dans le développement de
on peut donner une
infinité de formes différentes à la formule (6). Nous avons rapporté
seulement les plus remarquables ; mais son emploi peut devenir
plus intéressant. En effet ; les équations (4) et (8) peuvent se concentrer en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}}}={\frac {\operatorname {d} A_{m-\alpha }}{\operatorname {d} a_{n-\alpha }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bc96ea773df20f572847ed2393a7152b409a9c)
de laquelle on tirera facilement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{2}}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m-\alpha }}{\operatorname {d} a_{n-\alpha }.\operatorname {d} a_{n}}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m-2\alpha }}{\left(\operatorname {d} a_{n-\alpha }\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61151254ca1c41d87be9b21564cf361cd27499b0)
et, en général,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{p}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{p}}}={\frac {\operatorname {d} ^{p}A_{m-p\alpha }}{\left(\operatorname {d} a_{n-\alpha }\right)^{p}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cc1570a5e1d8c43d131adcbd48cd756c47fe24)
Maintenant, on a
![{\displaystyle A_{m}=A_{m}+a_{n}{\frac {\operatorname {d} A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}}}+{\frac {a_{n}^{2}}{2!}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{2}}}+{\frac {a_{n}^{3}}{3!}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}A_{m}}{\operatorname {d} a_{n}^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1852461fc6da732d53cc3f7fa9b6e95bfdf2d9b5)
pourvu qu’après les différenciations on fasse
dans les quantités
du second membre. L’on aura donc, en vertu de l’équation (9)
![{\displaystyle A_{m}=A_{m}+a_{n}{\frac {\operatorname {d} A_{m-\alpha }}{\operatorname {d} a_{n-\alpha }}}+{\frac {a_{n}^{2}}{2!}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}A_{m-2\alpha }}{\left(\operatorname {d} a_{n-\alpha }\right)^{2}}}+{\frac {a_{n}^{3}}{3!}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}A_{m-3\alpha }}{\left(\operatorname {d} a_{n-\alpha }\right)^{3}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d58e82a59dc375aa603504f7a5ac25ec3abe18)
moyennant les mêmes restrictions ; et comme, dans la dernière équation, les différentiations ne sont plus relatives à
on trouvera la valeur de
dans la supposition de
quelconque, si l’on a les valeurs de
dans la supposition de
sans que pour cela on soit obligé de recommencer les calculs.
Par le moyen des formules précédentes, on pourra s’élever, de
proche en proche, à la valeur de
en fonction de
et des coefficiens différentiels de cette dernière quantité ; mais
cette marche, d’ailleurs très-laborieuse, ne serait fondée que sur
l’analogie. Voici, pour le même objet, une méthode en même
temps plus expéditive et plus rigoureuse.
Si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle t=a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8812d2dee62e5fb706f2e5c80cf594b6d6bb2a61)
on aura
![{\displaystyle y=a+tx\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cdd5b7c17530d3a7469d83e51482ea3135dda4)
et
![{\displaystyle \quad u=\operatorname {f} (a+tx)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eed5323a361f9d90382ea0d0713f4558a40e61a)
ou bien, en développant,
![{\displaystyle u=A+{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} a}}.tx+{\frac {\operatorname {d} ^{2}A}{\operatorname {d} a^{2}}}.{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}A}{\operatorname {d} a^{3}}}.{\frac {t^{3}x^{3}}{3!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fa54fd1edd5a99e2d75a2290152f2482d8db66)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}&={\frac {1}{n!}}{\frac {\operatorname {d} t^{n}}{\operatorname {d} a_{1}}},\\{\frac {t^{n-2}}{(n-2)!}}&={\frac {1}{n!}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}.t^{n}}{\operatorname {d} a_{1}^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\{\frac {t^{n-k}}{(n-k)!}}&={\frac {1}{n!}}{\frac {\operatorname {d} ^{k}.t^{n}}{\operatorname {d} a_{1}^{k}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a388056fcbdc127d07e883850f5ad6a7d176d7a6)
ainsi
![{\displaystyle u=A+{\frac {1}{n!}}\left(x{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} a}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}.t^{n}}{\operatorname {d} a_{1}^{n-1}}}+x^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}A}{\operatorname {d} a^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}.t^{n}}{\operatorname {d} a_{1}^{n-2}}}+\ldots +x^{n}{\frac {\operatorname {d} ^{n}A}{\operatorname {d} a^{n}}}.t^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7ad8d99fc9cb5554839e72734fce32fa73774a)
si donc l’on suppose
![{\displaystyle t^{n}=B+B_{1}x+B_{2}x^{2}+B_{3}x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e06e84671485ef2ec3076f06ad6f8b943a23661)
on aura
![{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}\left\{{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} a}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}.B_{n-1}}{\operatorname {d} a_{1}^{n-1}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}A}{\operatorname {d} a^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}.B_{n-2}}{\operatorname {d} a_{1}^{n-2}}}+\ldots +{\frac {\operatorname {d} ^{n}A}{\operatorname {d} a^{n}}}.B\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54196db9766d2797aeb1d19f796b9ce1a326a5e2)
ou, en renversant l’ordre des termes,
![{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{n}A}{\operatorname {d} a^{n}}}.B+{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}A}{\operatorname {d} a^{n-1}}}.{\frac {\operatorname {d} B_{1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+\ldots {\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} a}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}.B_{n-1}}{\operatorname {d} a_{1}^{n-1}}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81264299ccbe13bf7f02bb906406c7f6ef98192)
Mais, en suivant la marche qui nous a conduit aux formules
(6) et (7), nous trouverions
![{\displaystyle kB_{k}=a_{2}{\frac {\operatorname {d} B_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+2a_{3}{\frac {\operatorname {d} B_{k-1}}{\operatorname {d} a_{2}}}+3a_{4}{\frac {\operatorname {d} B_{k-1}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3d74a230a29513685dc20e6cbfb3e4ad5d99c3)
Partant, si l’on fait
![{\displaystyle B=C,\quad {\frac {\operatorname {d} B_{1}}{\operatorname {d} a_{1}}}=C_{1},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}B_{2}}{\operatorname {d} a_{1}^{2}}}=C_{2},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{k}B_{k}}{\operatorname {d} a_{1}^{k}}}=C_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d97d766c2153023e0855e2b2beb83fa0b3fb661)
on aura
![{\displaystyle kC_{k}=a_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{1}}}+2a_{3}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{2}}}+3a_{4}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597ac02ae5944a83bd8b4f394d57414ad3c22b21)
(10)
et
![{\displaystyle kC_{k}=a_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}^{2}}}+2a_{3}{\frac {\operatorname {d} ^{3}C_{k-2}}{\operatorname {d} a_{1}^{3}}}+3a_{4}{\frac {\operatorname {d} ^{4}C_{k-3}}{\operatorname {d} a_{1}^{4}}}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3dcbaf317fdc12c04e2a2653d608ea9d306bc5)
(11)
et par conséquent
![{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}\left(C{\frac {\operatorname {d} ^{n}A}{\operatorname {d} a^{n}}}+C_{1}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}A}{\operatorname {d} a^{n-1}}}+C_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}A}{\operatorname {d} a^{n-2}}}+\ldots +C_{n-1}{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} a}}\right)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cd24a52665c727aa0aabcc6aa89dd6846ea6c0)
(12)
La réunion de la formule (12) avec une des formules (10) et (11) remplit l’objet proposé.
Voici enfin une méthode très-simple, pour construire tout d’un
coup l’entier développement de
Soit fait
![{\displaystyle {\frac {1}{1-htx}}=1+htx+h^{2}t^{2}x^{2}+h^{3}t^{3}x^{3}+\ldots =H\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e88792e3299a8a96b0f99ec32b65af6cd4faf03)
on aura alors
(13)
pourvu que, dans le second membre, on fasse
après les differentiations. D’où l’on voit qu’étant donné le développement de
on aura très-facilement celui de
Supposons donc
![{\displaystyle H=1+E_{1}x+E_{2}x^{2}+E_{3}x^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58143b31da4baf18c2761d218640ed053a354f1d)
on trouvera facilement l’équation
![{\displaystyle E_{n}=h\left(a_{1}E_{n-1}+a_{2}E_{n-2}+a_{3}E_{n-3}+\ldots a_{n-1}E_{1}+a_{n}\right),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74de356b3c74f64c294dcbe817e4ed860a3c0e3)
(14)
pour déterminer chaque terme de
en fonction de ceux qui le précèdent.
Dans ce qui précède, nous avons supposé que
n’était fonction
que d’une seule quantité
qui n’était elle-même fonction que de
;
mais à présent supposons
![{\displaystyle u=\operatorname {f} (y,y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea00de915a571dc464418099543338e54f58dd32)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{2,0}x^{2}+\ldots &\\a_{0,1}z+a_{1,1}xz+\ldots &\\a_{0,2}z^{2}+\ldots &\\y'=b_{0,0}+b_{1,0}x+b_{2,0}x^{2}+\ldots &\\b_{0,1}z+b_{1,1}xz+\ldots &\\b_{0,2}z^{2}+\ldots &\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631c6ae047800d9f03612697d84eb151d7eb00a8)
et
étant la somme de tous les termes de la forme
que l’on peut faire, en prenant pour
tous les
nombres entiers positifs, zéro compris, pourront se mettre sous
cette forme
![{\displaystyle y=\Sigma \left(a_{m,n}x^{m}z^{n}\right),\qquad y'=\Sigma \left(b_{m,n}x^{m}z^{n}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbf894dc783b68a9b49bc3901a68fa1d238d857)
Cela posé, regardant comme entièrement indépendantes les diverses quantités
et différentiant dans cette vue, on trouvera facilement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}=\Sigma \left\{mx^{m-1}z^{n}\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y'}}\right)\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367c7e0c4ca8e2bf096e292c4f556e0a6764c26a)
(1)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}=\Sigma \left\{nx^{m}z^{n-1}\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y'}}\right)\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8236a965da92d8ad4a4bae1530623bdbfe27ef3)
(2)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{p,q}}}=x^{p}z^{q}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e62c7a11fc7e6628fa939833e7270bcecd77f33)
(3)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b_{p,q}}}=x^{p}z^{q}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y'}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fba55eff3928f4e0c0606efcde7d50ea4c5468)
(4)
En vertu de ces deux dernières équations, on peut changer (1) et (2) en celles-ci
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}=\Sigma \left\{m\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{m-1,n}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b_{m-1,n}}}\right)\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493cbb9090c241f7cb5d3a9fc49a9dbec8135fb8)
(5)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}=\Sigma \left\{n\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{m,n-1}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b_{m,n-1}}}\right)\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf44f76aadb2b026144b3ebc2850d353345fc6c)
(6)
Mettant, dans l’équation (3),
et
au lieu de
et
elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{p+h,q+k}}}=x^{p+h}z^{q+k}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad7b342f7208e518254a48d1b31c0c054e83405)
qui, comparé avec l’équation (3), donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{p+h,q+k}}}=x^{h}z^{k}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{p,q}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54aba5bad7ac5f95adeee96dddbec6cb9f8e5870)
(7)
et on tirera de même de l’équation (4)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b_{p+h,q+k}}}=x^{h}z^{k}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{p,q}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f8433e70de200463ffb7484057191fda35df0e)
(8)
Maintenant, représentons en général par
la valeur de
![{\displaystyle {\frac {1}{r!s!}}{\frac {\operatorname {d} ^{r+s}u}{\operatorname {d} x^{r}\operatorname {d} z^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9010d45525d4f989f7bb7d90dd6e0284e99525bf)
lorsqu’après les différentiations on y suppose
et
nuls. On aura d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=A_{0,0}+A_{1,0}x+A_{2,0}x^{2}+\ldots &\\+A_{0,1}z+A_{1,1}zx+\ldots &\\+A_{0,2}z^{2}+\ldots &\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99cf0c390dbbedc07a0c01fadf96b2e30627f2cb)
et ensuite, on tirera des équations (5), (6), (7), (8) les formule suivantes
![{\displaystyle rA_{r,s}=\Sigma \left\{m\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-1,s}}{\operatorname {d} a_{m-1,n}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-1,s}}{\operatorname {d} b_{m-1,n}}}\right)\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb8e77dda5824d98da685c9ad468f54844d133c)
(9)
![{\displaystyle sA_{r,s}=\Sigma \left\{n\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r,s-1}}{\operatorname {d} a_{m,n-1}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r,s-1}}{\operatorname {d} b_{m,n-1}}}\right)\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e87a5b47fbacfbf54343159ac599ea981b160f3)
(10)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} A_{f+h,g+k}}{\operatorname {d} a_{p+h,q+k}}}={\frac {\operatorname {d} A_{f,g}}{\operatorname {d} a_{p,q}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2318ed6b92aa182f9701dd6060d9c1c8ae8df4b7)
(11)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} A_{f+h,g+k}}{\operatorname {d} b_{p+h,q+k}}}={\frac {\operatorname {d} A_{f,g}}{\operatorname {d} b_{p,q}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9457a03e27479a91685e2c87c49a0d6351f3ba60)
(12)
au moyen des relations données par les équations (11), (12) on pourra donner une infinité de formes différentes aux formules (9), (10) : nous nous contenterons de rapporter les principales, qui sont
![{\displaystyle rA_{r,s}=\Sigma \left\{m\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-m,s-n}}{\operatorname {d} a_{0,0}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-m,s-n}}{\operatorname {d} b_{0,0}}}\right)\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e83c13e7e877f49825e4c939c7979fe472f4603)
(13)
![{\displaystyle sA_{r,s}=\Sigma \left\{n\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-m,s-n}}{\operatorname {d} a_{0,0}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-m,s-n}}{\operatorname {d} b_{0,0}}}\right)\right\},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b662bee1275d872b169cfb37e1e3239cb86115)
(14)
![{\displaystyle {\begin{array}{rlr}rA_{r,s}=&\Sigma \left\{m\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r+h,s+k}}{\operatorname {d} a_{m+h,n+k}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r+h,s+k}}{\operatorname {d} b_{m+h,n+k}}}\right)\right\},&(15)\\\\sA_{r,s}=&\Sigma \left\{n\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r+h,s+k}}{\operatorname {d} a_{m+h,n+k}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r+h,s+k}}{\operatorname {d} b_{m+h,n+k}}}\right)\right\},&(16)\\\\rB_{r}=&\Sigma '\left\{m\left(a'_{m}{\frac {\operatorname {d} B_{r-1}}{\operatorname {d} a_{m-1,0}}}+b'_{m}{\frac {\operatorname {d} B_{r-1}}{\operatorname {d} b_{m-1,0}}}\right)\right\},&(17)\\\\rB_{r}=&\Sigma '\left\{m\left(a'_{m}{\frac {\operatorname {d} B_{r-m}}{\operatorname {d} a_{0,0}}}+b'_{m}{\frac {\operatorname {d} B_{r-m}}{\operatorname {d} b_{0,0}}}\right)\right\},&(18)\\\\rB_{r}=&\Sigma '\left\{m\left(a'_{m}{\frac {\operatorname {d} B_{r+h}}{\operatorname {d} a_{m+h,0}}}+b'_{m}{\frac {\operatorname {d} B_{r+h}}{\operatorname {d} b_{m+h,0}}}\right)\right\}.&(19)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a7f91553747b36a95d06ffae661cbe59e91593)
Dans ces trois dernières formules, le signe
ne se rapporte qu’à
; et nous avons fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&B_{r}=A_{r,0}+{\frac {z}{x}}A_{r-1,1}+{\frac {z^{2}}{x^{2}}}A_{r-2,2}+\ldots {\frac {z^{r}}{x^{r}}}A_{0,r},\\\\&a'_{m}=a_{m,0}+{\frac {z}{x}}a_{m-1,1}+{\frac {z^{2}}{x^{2}}}a_{m-2,2}+\ldots {\frac {z^{m}}{x^{m}}}a_{0,m},\\\\&b'_{m}=b_{m,0}+{\frac {z}{x}}b_{m-1,1}+{\frac {z^{2}}{x^{2}}}b_{m-2,2}+\ldots {\frac {z^{m}}{x^{m}}}b_{0,m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5742e6d054c49a50753ca83591f418021bc1be4f)
Quant à la manière d’y parvenir, voici pour cela une méthode
que je crois plus simple que l’emploi des formules (9), (10),
(11), (12).
Les équations (1), (2) donnent
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}+{\frac {z}{x}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}=\Sigma \left\{(m+n)\left(x^{m-1}z^{n}\right)\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y'}}\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb692996766cafb998c8901adb246bd900e9ac35)
ou, en faisant ![{\displaystyle m+n=\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe871421cce1606077fd41465623b29bebe46bdf)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}+{\frac {z}{x}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}=\Sigma \left\{\alpha {\frac {z^{n}}{x^{n}}}x^{\alpha -1}\left(a_{\alpha -n,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}+b_{\alpha -n,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y'}}\right)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85eda892023f21282c3abf8603b7a2a590a2923)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}+{\frac {z}{x}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}=\Sigma '\left\{\alpha \left(a'_{\alpha }{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{\alpha -1,0}}}+b'_{\alpha }{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b_{\alpha -1,0}}}\right)\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d4f95df35797cf911959a199a1aa2cb3bcada0)
(20)
en mettant respectivement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{m-1,0}}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d4f8d60ee8c8c40d3f41f5ec5e8380ca48bace)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b_{m-1,0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b767acb7a51e8f47c98cd464aad08510c7b62f30)
à la place de
et
ce qui est permis, en vertu des équations (3) et (4) ; et le signe
ne se rapportant qu’à
Enfin, on tirera de l’équation (20) une formule qui ne différera de la formule (17) qu’en ce que
y sera au lieu de
Cette formule une fois trouvée, on en déduira facilement (18) et (19), au moyen des relations (11) et (12).
Enfin, l’on sait que le développement de
est égal à une suite
de termes de la forme
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{m+n}A_{0,0}}{\operatorname {d} a_{0,0}^{m}\operatorname {d} b_{0,0}^{n}}}.{\frac {\left(y-a_{0,0}\right)^{m}}{m!}}.{\frac {\left(y'-b_{0,0}\right)^{n}}{n!}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4119ed3fcd2a8f5a2201ad65bdc4d18d4f6bd15)
faisant ensuite
![{\displaystyle (y-h)^{p}(y'-k)^{p}=H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c53046840e3e57ef40a5e8c82a6c9c2442395fb)
on aura
![{\displaystyle {\frac {\left(y-a_{0,0}\right)^{p-r}\left(y'-b_{0,0}\right)^{p-s}}{(p-r)!(p-s)!}}={\frac {1}{p!p!}}{\frac {\operatorname {d} ^{r+s}H}{\operatorname {d} a_{0,0}^{r}\operatorname {d} b_{0,0}^{s}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b214858d10c07c624dc752a697547acaff9e82cc)
pourvu qu’après les différentiations l’on fasse
dans
le développement de
On déduira donc par là, du développement de
tous les termes de celui de
dans lesquels la somme des exposans de
et
ne sera pas plus grande que ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
Soit encore
![{\displaystyle H={\frac {1}{\left\{1-h\left(y-a_{0,0}\right)\right\}\left\{1-k\left(y'-b_{0,0}\right)\right\}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5b140f7319b8b572bd8b11ae7cba5f598dd937)
on aura
![{\displaystyle \left(y-a_{0,0}\right)^{m}\left(y'-b_{0,0}\right)^{n}={\frac {1}{m!n!}}{\frac {\operatorname {d} ^{m+n}.H}{\operatorname {d} h^{m}.\operatorname {d} k^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08845809f770769a6be526600cc4ad18f1886de9)
pourvu que, dans le développement de
on suppose
et
nuls après les différentiations ; ce qui fournit une autre méthode pour trouver le développement de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Nous pourrions donner, pour parvenir a ce même développement,
une infinité d’autres méthodes plus ou moins compliquées ; mais
nous nous sommes contentés de rapporter les plus simples. Nous
pourrions encore nous occuper du cas où
est fonction de plus
de deux fonctions
du cas où
seraient elles-mêmes
fonctions de plus de deux variables indépendantes
mais ces
divers cas ne présenteront aucune difficulté sérieuse à ceux qui auront
bien saisi l’esprit de notre méthode. Au surplus, de quelque
nombre d’application que nos formules puissent être susceptibles,
nous n’avons pas pensé qu’il dût être nécessaire d’en faire comprendre
l’usage par des exemples qui n’auraient fait que donner à
ce mémoire un surcroit d’étendue que nous avons sur-tout cherché
à éviter. Nous terminerons sur ce sujet en observant que, bien
que nous ayons supposé que
était fonction de
sans
on peut cependant étendre notre méthode à ce cas, et cela,
par un artifice ingénieux du à l’illustre auteur de la Mécanique céleste ;
il consiste à remplacer momentanément ces quantités par
d’autres, que l’on regardera comme constantes dans les différentiations.
On peut faire une semblable remarque pour le cas où
n’est fonction que de
seulement.
§. II.
Retour des suites.
Dans son Traité de calcul différentiel et intégral, (2.e édit.,
tom. I, pag. 298), M. Lacroix observe que, quelque élégant que
soit l’emploi du Théorème de Lagrange, dans l’opération du retour
des suites, il ne saurait être pourtant regardé comme indiquant la
loi des formules auxquelles il conduit.
Frappé de cette remarque, qui nous a paru très-fondée, nous
avons cherché une solution du problème qui ne fût pas sujette à
cet inconvénient ; et la suivante nous paraît remplir le but. À la
vérité, elle sera jugée peut-être moins générale et moins élégante
que celle de Lagrange ; mais aussi est-il bien loin de notre pensée
de prétendre lutter contre cet illustre géomètre.
Soit l’équation
![{\displaystyle a=a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a014dfc74f5e7dca61b2162550a14c5d82f7a0)
(1)
et proposons-nous d’en tirer la valeur de
ordonnée suivant les
puissances de
Cette valeur, quelle qu’elle soit, est évidemment
une fonction des quantités
que nous regarderons
comme indépendantes. Ainsi, différentiant successivement l’équation
(1), par rapport à chacune de ces quantités, et posant, pour
abréger,
![{\displaystyle k=a_{1}+2a_{2}z+3a_{3}z^{2}+4a_{4}z^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669457e4332ce5a0d2cf2471fe84e8ee2b34c0ea)
nous aurons
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}&k{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}-1&=0,\\&k{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{1}}}+z&=0,\\&k{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{2}}}+z^{2}&=0,\\&\ldots \ldots \ldots &\ldots \\&k{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{n}}}+z^{n}&=0.\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5793768e9f4cc1f258bc8ca934da0b2f98a928a)
(2)
Éliminant
entre la première des équations (2) et chacune des suivantes, on trouve
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{1}}}+z\ \ {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}&=0,\\{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{2}}}+z^{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}&=0,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \\{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{n}}}+z^{n}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}&=0.\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474e6aa83008b3187607e58d62599da12458e69f)
(3)
D’ailleurs, en remettant pour
sa valeur dans la première des équations (2), elle deviendra
![{\displaystyle 1=a_{1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}+2a_{2}z{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}+3a_{3}z^{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}+4a_{4}z^{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d3eed1b089aa47be6bdfee20c83b44b080a203)
ou bien, en vertu des équations (3),
![{\displaystyle a_{1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}=1+2a_{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{2}}}+4a_{4}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba79f905fa782fc73afbd35966d0232755a62ea)
(4)
Supposons
![{\displaystyle z=A_{1}a+A_{2}a^{2}+A_{3}a^{3}+A_{4}a^{4}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec320f93bcb7d9b5b14a624ed7eb0904a9fedcae)
en substituant cette valeur dans l’équation (4), la comparaison des termes semblables dans les deux membres donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1,\\2a_{1}&=2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{1}}{\operatorname {d} a_{2}}}+4a_{4}{\frac {\operatorname {d} A_{1}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots ,\\3a_{1}&=2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{2}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{2}}{\operatorname {d} a_{2}}}+4a_{4}{\frac {\operatorname {d} A_{2}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\na_{1}&=2a_{2}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3a_{3}{\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a_{2}}}+4a_{4}{\frac {\operatorname {d} A^{n-1}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14bfd060ea2370e1a172f8993201f3e56cd469e)
formules qui indiquent suivant quelle loi le coefficient d’une puissance quelconque de
dérive de celui de la puissance immédiatement inférieure.
L’équation (3) donne
![{\displaystyle z^{n}=-n{\frac {\operatorname {d} \int z\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a_{n-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a91613090555fbda8308ddf11ead2d9730c587)
ou ; en mettant pour
sa valeur,
![{\displaystyle z^{n}=-n{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {A_{1}}{2}}a^{2}+{\frac {A_{2}}{3}}a^{3}+{\frac {A_{3}}{4}}a^{4}+\ldots \right)}{\operatorname {d} a_{n-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92191192b40ce960c61b02b2687c60947cdca0b)
d’ailleurs
est de la forme
![{\displaystyle Ba^{n}+B_{1}a^{n+1}+B_{2}a^{n+2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf735bb505088844b2c5d25a28ac6292c25b596)
partant
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} A_{n-1-k}}{\operatorname {d} a_{n-1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21475d46b2e5a6e32fd139852491a237e64697c7)
tant que
ne sera pas nul ; et
![{\displaystyle z^{n}=-\left({\frac {\operatorname {d} A_{n-1}}{\operatorname {d} a_{n-1}}}a^{n}+{\frac {\operatorname {d} A_{n}}{\operatorname {d} a_{n-1}}}.{\frac {na^{n+1}}{n+1}}+{\frac {\operatorname {d} A_{n+1}}{\operatorname {d} a_{n-1}}}.{\frac {na^{n+2}}{n+2}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de12f0783a3257a7d175ff298d4088e031bfbdd0)
qui donnera facilement la valeur de
quand celle de
sera connue.
Souvent on a
![{\displaystyle a=b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}+b_{4}x^{4}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900d36658d0adc3651ca992a1bd93eb32331d7af)
et alors c’est suivant les puissances de
qu’il faut ordonner le développement de
Dans ce cas on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6400b26e9202649ad99cb249aeb022db8c6f285b)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}\left(b_{1}+2b_{2}x+3b_{3}x^{2}+4b_{4}x^{3}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815264a4cdee9b809e2265ffe338c348a53ee9a3)
On trouverait de même
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{1}}}&=x{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}},\\{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{2}}}&=x^{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}},\\{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{3}}}&=x^{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{n}}}&=x\ \ {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}},\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d13e031c0f80520dc9db4869088fdd005a07569)
(60)
partant
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=b_{1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}+2b_{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{1}}}+3b_{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{2}}}+4b_{4}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f2820096b80abf6a2db82c64d1038bae5e1164)
mettant, dans cette dernière équation, au lieu de
sa valeur tirée de l’équation (4), et multipliant par
on la changera en celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=b_{1}+2a_{1}b_{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{1}}}+3a_{1}b_{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{2}}}+\ldots &\\+2b_{1}a_{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{1}}}+3b_{1}a_{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{2}}}+\ldots &\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4456e8544c0670fc6cb0afa22cde3d5ea9515d16)
Supposant ensuite
![{\displaystyle z=C_{1}x+C_{2}x^{2}+C_{3}x^{3}+C_{4}x^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f83eb53edd49a9d6450b6b9a9593281d4a696009)
et mettant cette valeur dans la formule précédente ; on trouvera d’abord
![{\displaystyle a_{1}C_{1}=b_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae004ba89f52566d99aa3b4780f94bd6b37b569)
et ensuite, en général,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}na_{1}C_{n}=2a_{1}b_{2}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} b_{1}}}+3a_{1}b_{3}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} b_{2}}}+4a_{1}b_{4}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} b_{3}}}+\ldots &\\+2b_{1}a_{2}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3b_{1}a_{3}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} a_{2}}}+4b_{1}a_{4}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots &\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ea1b8dd06230c548a7cd49702fc765caf54aa9)
(7)
pour la loi qui lie les coefficiens de deux puissances quelconques consécutives de
dans le développement de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Si dans l’équation
![{\displaystyle z^{n}=-n{\frac {\operatorname {d} \int z\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a_{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd3f57c680d2bbdbe68001da453df4b865a4a8a)
on met pour
sa valeur
![{\displaystyle \operatorname {d} x\left(b_{1}+2b_{2}x+3b_{3}x^{2}+4b_{4}x^{3}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701d04756f1be9394bcab936f3c46e4c02b502df)
et pour
son développement ; on trouvera que le coefficient de
dans
est
![{\displaystyle -{\frac {n}{m}}\ .\ {\frac {\mathrm {d} \left(b_{1}C_{m-1}+2b_{2}C_{m-2}+3b_{3}C_{m-3}+\cdots \right)}{\mathrm {d} a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7423aba4f8d90d57edb2509e93dc4f120060d9)
D’où l’on voit qu’étant donné le développement de
, on en déduira facilement celui de
.