Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Analise transcendante, article 7

Deuxième mémoire sur le même sujet ; par le même.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 10, 1820 (p. 361-378).

ANALISE TRANSCENDANTE.

De l’intégration approchée des équations différentielles ;

Par M. le professeur Kramp, correspondant de l’académie
royale des sciences, doyen de la faculté des sciences de
Strasbourg, Chevalier de l’Ordre royal de la Légion d’honneur.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

(Deuxième mémoire).^[1]

I. Dans un précédent mémoire nous nous sommes occupés de l’intégration approchée de l’équation

$y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$

dont l’intégrale rigoureuse est

$y=e^{-x}\int e^{x}Q\operatorname {d} x.$

Si l’on fait

$\int e^{x}Q\operatorname {d} x=A+X,$

cette intégrale devient

$y=Ae^{-x}+Xe^{-x}\,;$

désignant par $q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ ce que devient Q dans les suppositions particulières de $x=0,1,2,3,\ldots ,$ nous avons vu que l’intégrale de cette équation, où la quantité $y$ pourrait être représentée par une expression de cette forme

$y=Aq_{0}+Bq_{1}+Cq_{2}+Dq_{3}+\ldots \,;$

et qu’on avait alors, pour le diviseur

${\begin{alignedat}{2}&{\text{Deux}}\,;&2y=&q_{0}+q_{2}\,;\\&{\text{Trois}}\,;&6y=&2q_{0}-3q_{1}+6q_{2}+q_{3}\,;\\&{\text{Quatre}}\,;&6y=&q_{0}-2q_{1}+3q_{2}+2q_{3}+2q_{4}\,;\\&{\text{Cinq}}\,;&60y=&7q_{0}-25q_{1}+50q_{2}-40q_{3}+55q_{4}+13q_{5}\,;\\&{\text{Six}}\,;&360y=&19q_{0}-72q_{1}+135q_{2}-80q_{3}+45q_{4}+216q_{5}+97q_{6}\,;\\&{\text{Sept}}\,;&5040y=&216q_{0}-1246q_{1}+3528q_{2}-5670q_{3}+6440q_{4}\\&&&-3906q_{5}+4536q_{6}+1142q_{7}\,;\\&{\text{Huit}}\,;&40320y=&600q_{0}-3072q_{1}+6832q_{2}-5376q_{3}-3360q_{4}\\&&&+17920q_{5}-14448q_{6}+31488q_{7}+9736q_{8}\,;\\&{\text{Neuf}}\,;&15120y=&260q_{0}-2115q_{1}+8218q_{2}-1927q_{3}+30744q_{4}\\&&&-34030q_{5}+28560q_{6}-14778q_{7}+14148q_{8}+3391q_{9}\,;\end{alignedat}}$

et ainsi de suite. Ces résultats ne sont pas seulement approximatifs ; mais ils sont exacts, à la rigueur, toutes les fois que la fonction $Q$ est une puissance de $x$ à exposant entier et positif ce qui rend la quantité $e^{x}Q\operatorname {d} x$ intégrable par elle-même. Si cette condition n’est pas remplie, les résultats que nous venons de donner ne seront qu’approximatifs, mais de manière qu’en se servant seulement du diviseur six on aura du moins, dans les cas ordinaires, l’intégrale jusqu’à cinq décimales au moins ; et qu’avec le divisear neuf on pourra aller jusqu’à douze.

2. On rend celle équation un peu plus générale en affectant ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ du facteur constant $n\,;$ elle devient alors

$y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q.$

Nous avons déjà remarqué qu’elle se réduit facilement à la première, par la simple supposition $x=nx',$ qui donne

$y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x'}}=Q'\,;$

$Q'$ étant une fonction de $x',$ plus ou moins différente de la première. Ce procédé fort simple est en effet plus que suffisant dans toutes les intégrations particulières des équations de la forme

$y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$

dans lesquelles $Q$ est une fonction de $x\,;$ mais on serait forcé de le reconnaître insuffisant dans les équations des ordres plus élevés, telles que

$y+A{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+B{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=Q,$

$y+A{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+B{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+C{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}=Q,$

et ainsi des autres. On sera donc obligé, dans tous les cas, d’avoir des solutions qui donnent immédiatement en $A,B,C,\ldots$ la véritable valeur de l’inconnue $y.$

3. La solution de ce cas est plus longue, sans être beaucoup plus difficile. En posant

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+\ldots ,$

on a

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+\ldots ,$

et

$n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=nB+2nCx+3nDx^{2}+4nEx^{3}+\ldots ,$

substituant donc dans l’équation

$y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$

elle deviendra

$Q=(A+nB)+(B+2nC)x+(C+3nD)x^{2}+(D+4nE)x^{3}+\ldots$

En désignant encore ici par $q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ ce que devient $Q,$ lorsqu’on y fait successivement $x=0,1,2,3,\ldots$ et faisant

${\begin{array}{rl}\Delta q=&q_{1}-q_{0},\\2\Delta ^{2}q=&q_{2}-2q_{1}+q_{0},\\6\Delta ^{3}q=&q_{3}-3q_{2}+3q_{1}-q_{0},\\24\Delta ^{4}q=&q_{4}-4q_{3}+6q_{2}-4q_{1}+q_{0},\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

on aura les différences consécutives $\Delta q,2\Delta ^{2}q,6\Delta ^{3}q,\ldots$ de la manière qui suit :

${\begin{array}{rl}q=&A+nB,\\\Delta \ q=&B+(1+2n)C+(1+3n)D+(1+4n)E+(1+5n)F+(1+6n)G+\ldots ,\\\Delta ^{2}q=&C+(3+3n)D+(7+12n)E+(15+35n)F+(31+90n)G+\ldots ,\\\Delta ^{3}q=&D+(6+4n)E+(25+30n)F+(90+150n)G+\ldots ,\\\Delta ^{4}q=&E+(10+5n)F+(65+60n)G+\ldots ,\\\Delta ^{5}q=&F+(15+6n)G+\ldots ,\\\Delta ^{6}q=&G+\ldots ,\end{array}}$

. . . . . . . . . .

On regardera les quantités $q,\Delta q,\Delta ^{2}q,\Delta ^{3}q,\ldots$ comme données et les coefficiens $A,B,C,D,\ldots$ comme les inconnues du problème. Il sera donc facile de trouver celles-ci, en commençant par la dernière, pour laquelle j’ai pris le douzième coefficient, désigné par la lettre $N.$ De celle-ci on remontera à $M\,;$ de $M$ on ira jusqu’à $L,$ et ainsi de suite. On aura ainsi les valeurs des douze premiers coefficiens $A,B,C,\ldots N,$ ainsi qu’il suit :

1.^o Coefficient A.

${\begin{aligned}A=q&-n\Delta q+n(1+2n)\Delta ^{2}q-n\left(2+6n+6n^{2}\right)\Delta ^{3}q\\&+n\left(6+22n+36n^{2}+24n^{3}\right)\Delta ^{4}q\\&-n\left(24+100n+210n^{2}+240n^{3}+120n^{4}\right)\Delta ^{5}q\\&+n\left(120+548n+1350n^{2}+2040n^{3}+1800n^{4}+720n^{5}\right)\Delta ^{6}q\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-n\left(720+3528n+9744n^{2}+17640n^{3}+21000n^{4}\right.\\&\qquad \left.+15120n^{5}+5040n^{6}\right)\Delta ^{7}q\\&+n\left(5040+26136n+78792n^{2}+162456n^{3}+2325200n^{4}\right.\\&\qquad \left.+231840n^{5}+741120n^{6}+40320n^{7}\right)\Delta ^{8}q\\&-n\left(40320+219168n+708744n^{2}+161481n^{3}\right.\\&\qquad +2693880n^{4}+3265920n^{5}+2731840n^{6}\\&\qquad \left.+1451520n^{7}+362880n^{8}\right)\Delta ^{9}q\\&+n\left(362880+2053152n+7036200n^{2}+17368320n^{3}\right.\\&\qquad +32319000n^{4}+45554560n^{5}+47628000n^{6}\\&\qquad \left.+35078400n^{7}+16329600n^{8}+3628800n^{9}\right)\Delta ^{10}q\\&-n\left(3628800+21257280n+76521456n^{2}+201828000n^{3}\right.\\&\qquad +410031600n^{4}+649479600n^{5}+795175920n^{6}\\&\qquad +731808000n^{7}+479001600n^{8}+199584000n^{9}\\&\qquad \left.+39916800n^{10}\right)\Delta ^{11}q\\&+n\left(39916800+241087680n+905507856n^{2}\right.\\&\qquad +2526193824n^{3}+5519487600n^{4}+9604465200n^{5}\\&\qquad +13293292320n^{6}+14411295360n^{7}+11855289600n^{8}\\&\qquad \left.+6985440000n^{9}+2634508800n^{10}+479001600n^{11}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

2.^o Coefficient B.

${\begin{aligned}B=\Delta q&-(1+2n)\Delta ^{2}q+n\left(2+6n+6n^{2}\right)\Delta ^{3}q-\left(6+22n+36n^{2}+24n^{3}\right)\Delta ^{4}q\\&+\left(24+100n+210n^{2}+240n^{3}+120n^{4}\right)\Delta ^{5}q\\&-\left(120+548n+1350n^{2}+2040n^{3}+1800n^{4}+720n^{5}\right)\Delta ^{6}q\\&+\left(720+3528n+9744n^{2}+17640n^{3}+21000n^{4}+15120n^{5}+5040n^{6}\right)\Delta ^{7}q\\&-\left(5040+26136n+78792n^{2}+162456n^{3}+2325200n^{4}\right.\\&\qquad \left.+231840n^{5}+741120n^{6}+40320n^{7}\right)\Delta ^{8}q\\&+\left(40320+219168n+708744n^{2}+161481n^{3}+2693880n^{4}\right.\\&\qquad \left.+3265920n^{5}+2731840n^{6}+1451520n^{7}+362880n^{8}\right)\Delta ^{9}q\\&-\left(362880+2053152n+7036200n^{2}+17368320n^{3}+32319000n^{4}\right.\\&\qquad +45554560n^{5}+47628000n^{6}+35078400n^{7}\\&\qquad \left.+16329600n^{8}+3628800n^{9}\right)\Delta ^{10}q\\&+\left(3628800+21257280n+76521456n^{2}+201828000n^{3}\right.\\&\qquad +410031600n^{4}+649479600n^{5}+795175920n^{6}\\&\qquad +731808000n^{7}+479001600n^{8}+199584000n^{9}\\&\qquad \left.+39916800n^{10}\right)\Delta ^{11}q\\&-\left(39916800+241087680n+905507856n^{2}+2526193824n^{3}\right.\\&\qquad +5519487600n^{4}+9604465200n^{5}+13293292320n^{6}\\&\qquad +14411295360n^{7}+11855289600n^{8}+6985440000n^{9}\\&\qquad \left.+2634508800n^{10}+479001600n^{11}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

3.^o Coefficient C.

${\begin{aligned}C=\Delta ^{2}q&-\left(3+3n\right)\Delta ^{3}q+\left(11+18n+12n^{2}\right)\Delta ^{4}q-\left(50+105n+120n^{2}+60n^{3}\right)\Delta ^{5}q\\&+\left(274+675n+1020n^{2}+900n^{3}+360n^{4}\right)\Delta ^{6}q\\&-\left(1764+4872n+8820n^{2}+10500n^{3}+7560n^{4}+2520n^{5}\right)\Delta ^{7}q\\&+\left(13068+39396n+81228^{2}+117600n^{3}+115920n^{4}\right)\\&\qquad \left.+70560n^{5}+80160n^{6}+n^{7}\right)\Delta ^{8}q\\&-\left(109584+354372n+807408n^{2}+1396940n^{3}\right)\\&\qquad \left.1632960n^{4}+1375920n^{5}+725760n^{6}+181440n^{7}\right)\Delta ^{9}q\\&+\left(1026576+3518100n+8684160n^{2}+16159500n^{3}\right.\\&\qquad +22778280n^{4}+23814000n^{5}+17539200n^{6}\\&\qquad \left.+8164800n^{7}+1814400n^{8}\right)\Delta ^{10}q\\&-\left(10628640+38260728n+100914000n^{2}+2050158n^{3}\right.\\&\qquad +324739800n^{4}+397587960n^{5}+365904000n^{6}\\&\qquad \left.+239500800n^{7}+99792000n^{8}+19958400n^{9}\right)\Delta ^{11}q\\&+\left(120543840+452753928n+1263096912n^{2}\right.\\&\qquad +2759748800n^{3}+4802232600n^{4}+6646646160n^{5}\\&\qquad +7205647680n^{6}+5927644800n^{7}+3492720000n^{8}\\&\qquad \left.+1317254400n^{9}+239500800n^{10}\right)\Delta ^{12}q.\\\end{aligned}}$

4.^o Coefficient D.

${\begin{aligned}D&=\Delta ^{3}q-(6+4n)\Delta ^{4}q+\left(35+40n+20n^{2}\right)\Delta ^{5}q\\&\qquad -\left(225+340n+300n^{2}+120n^{3}\right)\Delta ^{6}q\\&+\left(1624+2940n+3500n^{2}+2520n^{3}+840n^{4}\right)\Delta ^{7}q\\&-\left(13132+27076n+39200n^{2}+38640n^{2}+23520n^{4}+6720n^{5}\right)\Delta ^{8}q\\&+\left(118124+269136n+448980n^{2}+544320n^{3}+458640n^{4}\right.\\&\qquad \left.+241920n^{5}+60480n^{6}\right)\Delta ^{9}q\\&-\left(1172700+2894720n+5386500n^{2}+7592760n^{3}\right.\\&\qquad \left.+7938000n^{4}+5846400n^{5}+2721600n^{6}+604800n^{7}\right)\Delta ^{10}q\\&+\left(12753576+33638000n+683386040n^{2}+108246600n^{3}\right.\\&\qquad +132529320n^{4}+121968000n^{5}+79833600n^{6}\\&\qquad \left.+33264000n^{7}+6652800n^{8}\right)\Delta ^{11}q\\&-\left(150917976+421032304n+919914600n^{2}\right.\\&\qquad +1600744200n^{3}+2215548720n^{4}\\&\qquad +2401882560n^{5}+1975881600n^{6}\\&\qquad +1164240000n^{7}+439084800n^{8}\\&\qquad \left.+79833600n^{9}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

5.^o Coefficient E.

${\begin{aligned}E&=\Delta ^{4}q-(10+5n)\Delta ^{5}q+\left(86+75n+30n^{2}\right)\Delta ^{6}q\\&-\left(735+875n+630n^{2}+210n^{3}\right)\Delta ^{7}q\\&+\left(6769+9800n+9660n^{2}+5880n^{3}+1680n^{4}\right)\Delta ^{8}q\\&-\left(67284+112245n+136080n^{2}+114660n^{3}+6048n^{4}\right.\\&\qquad \left.+13720n^{5}\right)\Delta ^{9}q\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+\left(723680+1346625n+1898190n^{2}+1984500n^{3}\right.\\&\qquad \left.+1461600n^{4}+680400n^{5}+151200n^{6}\right)\Delta ^{10}q\\&-\left(8409500+17084650n+27061650n^{2}+33132330n^{3}\right.\\&\qquad +30492000n^{4}+19958400n^{5}+8316000n^{6}\\&\qquad \left.+1663200n^{7}\right)\Delta ^{11}q\\&+\left(105258076+229978650n+400186050n^{2}+553887180n^{3}\right.\\&\qquad +600470640n^{4}+493970400n^{5}+291060000n^{6}\\&\qquad +\left.109771200n^{7}+19958400n^{8}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

6.^o Coefficient F.

${\begin{aligned}F&=\Delta ^{5}q-(15+6n)\Delta ^{10}q+\left(175+126n+42n^{2}\right)\Delta ^{7}q\\&-\left(1960+1932n+1176n^{2}+336n^{3}\right)\Delta ^{8}q\\&+\left(22449+27216n+22932n^{2}+12096n^{3}+3024n^{4}\right)\Delta ^{9}q\\&-\left(269325+379638n+396900n^{2}+292320n^{3}\right.\\&\qquad \left.+136080n^{4}+30240n^{5}\right)\Delta ^{10}q\\&+\left(3416930+5412330n+6626466n^{2}+6098400n^{3}\right.\\&\qquad \left.+3991680n^{4}+1663200n^{5}+332640n^{6}\right)\Delta ^{11}q\\&-\left(45995730+80037210n+110777436n^{2}+120094128n^{3}\right.\\&\qquad +98794080n^{4}+58212000n^{5}+21954240n^{6}\\&\qquad \left.+3991680n^{7}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

7.^o Coefficient G.

${\begin{aligned}G&=\Delta ^{6}q--(21+7n)\Delta ^{7}q+\left(322+169n+56n^{2}\right)\Delta ^{8}q\\&-\left(4536+3822n+2016n^{2}+504n^{3}\right)\Delta ^{9}q\\&+\left(63273+16150n+48720n^{2}+22680n^{3}+5040n^{4}\right)\Delta ^{10}q\\&-\left(902055+1104411n+1016400n^{2}+665280n^{3}+277200n^{4}\right.\\&\qquad \left.+55440n^{5}\right)\Delta ^{11}q\\&+\left(13339535+18462906n+20015688n^{2}+16465680n^{3}\right.\\&\qquad \left.+9702000n^{4}+3659040n^{5}+665280n^{6}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

8.^o Coefficient H.

${\begin{aligned}H&=\Delta ^{7}q-(28+8n)\Delta ^{8}q+\left(546+288n+72n^{2}\right)\Delta ^{9}q\\&+\left(9450+6960n+3240n^{2}+720n^{3}\right)\Delta ^{10}q\\&+\left(157773+145200n+95040n^{2}+39600n^{3}+7920n^{4}\right)\Delta ^{11}q\\&-\left(2637558+2859384n+2352241n^{2}+1386000n^{3}\right.\\&\qquad \left.+322720n^{4}+95040n^{5}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

9.^o Coefficient I.

${\begin{aligned}I&=\Delta ^{8}q-(36+9n)\Delta ^{9}q+\left(870+405n+90n^{2}\right)\Delta ^{10}q\\&-\left(18150+11880n+4950n^{2}+990n^{3}\right)\Delta ^{11}q\\&+\left(357423+294030n+173250n^{2}+65340n^{3}+11880n^{4}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

10.^o Coefficient K.

${\begin{aligned}K&=\Delta ^{9}q-(45+10n)\Delta ^{10}q+\left(1320+550n+110n^{2}\right)\Delta ^{11}q\\&\qquad +\left(32670+19250n+7260n^{2}+1320n^{3}\right)\Delta ^{12}q\\\end{aligned}}$

$L=\Delta ^{10}q-(55+11)\Delta ^{11}q+\left(1925+726n+132n^{2}\right)\Delta ^{12}q.$

12.^o Coefficient M.

$M=\Delta ^{11}q-(66+12n)\Delta ^{12}q.$

13.^o Coefficient N.

$N=\Delta ^{12}q.$

4. Les valeurs des coefficiens de cette longue série de résultats se présentent très-facilement ; pour peu qu’un ait sous les yeux la table de ceux des facultés numériques, telle que je l’ai donnée dans mon Analise des réfractions, et dont je vais donner une copie, continuée jusqu’à douze. La voici :

${\begin{array}{l|c|r|r|r|r|r|r}{\text{I.}}&1&&&&&&\\{\text{II.}}&1&1&&&&&\\{\text{III.}}&1&3&2&&&&\\{\text{IV.}}&1&6&11&6&&&\\{\text{V.}}&1&10&35&50&24&&\\{\text{VI.}}&1&15&85&225&274&120&\\{\text{VII.}}&1&21&175&735&1624&1764&720\\{\text{VIII.}}&1&28&322&1960&6769&13132&13068\\{\text{IX.}}&1&3G&546&4536&22449&67284&118124\\{\text{X.}}&1&45&870&9430&63273&269325&723680\\{\text{XI.}}&1&55&1320&18150&157773&902035&3416930\\{\text{XII.}}&1&66&1925&32670&357423&2637558&13339535\\\end{array}}$

${\begin{array}{l|r|r|r|r|r}{\text{VIII.}}&5040\\{\text{IX.}}&109584&40300\\{\text{X.}}&1172700&1026576&362880\\{\text{XI.}}&8409500&1273576&10628640&3628800\\{\text{XII.}}&45995730&105258076&150917976&120543840&39916800.\\\end{array}}$

5. Supposons à présent qu’on demande la partie de la série qui fait connaître le quatrième coefficient, ou $D.$ Cette série commence par la troisième différence de $q,$ ou par $\Delta ^{3}q,$ qui est multipliée par l’unité seule.

Le second terme sera la différence plus élevée d’une unité, ou bien $\Delta ^{4}q.$ Pour trouver les nombres qui multiplient cette quatrième différence ; on prendra ceux de la quatrième faculté, ou de $4!,$ à commencer par le troisième terme de cette faculté ; on aura $6,1\,;$ on les multipliera, le premier, par $1,$ le second, par $4\,;$ on aura les produits $6.1,\ 1.4\,;$ il en résultera $6+4n\,;$ c’est le coefficient de $\Delta ^{4}q.$

Le troisième terme sera $\Delta ^{5}q,$ multiplié par une fonction trinôme de $n.$ Pour trouver les coefficiens de cette fonction, prenez, dans la faculté suivante, ou dans $5!,$ les termes, à commencer depuis le troisième ; c’est-à-dire, $35,10,1\,;$ multipliez ces trois termes, le premier par $1,$ le second par $4,$ et le troisième par $4\times 5=20\,;$ vous aurez $35.1,\ 10.4,\ 1.20\,;$ c’est-à-dire, $35,40,20\,;$ il en résultera $35+40n+20n^{2}\,;$ c’est le coefficient de $\Delta ^{5}q.$

Le quatrième sera $\Delta ^{6}q,$ multiplié par une fonction quadrinome de $n.$ Prenez, dans la faculté suivante, ou dans $6!,$ les termes à commencer depuis le quatrième, savoir ; $225,85,15,1\,;$ multipliez ces quatre nombres, le premier, par $1,$ le second, par $4,$ le troisième, par $4.5=20,$ et le quatrième, par $4.5.6=120\,;$ vous

aurez les produits $225.1,\ 85.4,\ 15.20,\ 1.120\,;$ c’est-à-dire, $225,340.$

$300,120\,;$ il en résultera le quadrinome $225+340n+300n^{2}+120n^{3}$ c’est le coefficient de $\Delta ^{6}q.$

Le cinquième sera $\Delta ^{7}q,$ multiplié par une fonction pentanome de $n.$ Prenez, dans la faculté suivante, ou dans $7!,$ les termes à commencer depuis le cinquième, savoir, $1624,735,175,21,1\,;$ multipliez ces cinq nombres, le premier, par $1,$ le second, par $4,$ le troisième, par $4.5=20,$ le quatrième, par $4.5.6=120,$ le cinquième, par $4.5.6.7=840,$ vous aurez les produits $1624,2940,$ $3500,2520,840.$ Il en resulte le polynôme $1624+2940n$$+3500n^{2}+2520n^{3}+840n^{4}$ : c’est le coefficient de $\Delta ^{7}q.$

Le sixième sera $\Delta ^{8}q,$ multiplié par une fonction hexanome de $n.$ Prenez, dans la faculté suivante, ou dans $8!,$ les termes à commencer depuis le sixième, savoir ; $13132,67699,1960,322,$ $28,1\,;$ multipliez-les par ceux de la progression hyper-géométrique, $1,4,20,120,840,6720;$ vous aurez pour produits les coefficiens du polynôme $13132+27076n+39200n^{2}$$+38640n^{3}+23520n^{4}+6720n^{5}\,;$ ce sera le coefficient de $\Delta ^{8}q.$

On continuera de la même manière, tant qu’on voudra, c’est-à-dire, jusqu’à la douzième faculté ; c’est là où nous avons arrêté nos calculs.

6. Quant à la progression par laquelle il faudra multiplier les nombres pris dans la table générale des facultés, il faudra remarquer que

Pour $A$ c’est la série hyper géométrique ordinaire, savoir ;

$1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800.$

Pour $B$ c’est la même série.

Pour $C$ c’est cette même série, à partir du second terme et divisée par $2\,;$ c’est-à-dire,

$1,3,12,60,360,2520,20160,181440,1814400,19958400.$

Pour $D$ c’est cette dernière, à partir du second terme, et divisée par $3\,;$ c’est-à-dire,

$1,4,20,120,840,6720,60480,604800,6652800.$

Pour $E$ c’est la précédente, à partir de son second terme, et divisée par $4,$ c’est-à-dire.

$1,5,30,210,1680,15120,151200,1663200.$

Pour $F$ c’est $1,6,42,336,3024,30240,332640.$

${\begin{array}{lr}{\text{Pour }}G{\text{ c’est }}\ldots &1,7,56,504,5040,55440\,;\\{\text{Pour }}H{\text{ c’est }}\ldots &1,8,72,720,7920\,;\\{\text{Pour }}I\ \ {\text{ c’est }}\ldots &1,9,90,990\,;\\{\text{Pour }}K\ {\text{ c’est }}\ldots &1,10,110\,;\\{\text{Pour }}L\ \ {\text{ c’est }}\ldots &1,11\,;\\{\text{Pour }}M{\text{ c’est }}\ldots &1\,;\\\end{array}}$

7. Soit $n=2.$ On aura

$y+2{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q\,;$

et la valeur intégrale et rigoureuse de $y$ sera

$y={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}\int e^{\frac {x}{2}}Q\operatorname {d} x\,;$

dans cette même supposition, on aura

${\begin{array}{lr}A=&q-2\Delta q+10\Delta ^{2}q-76\Delta ^{3}q+772\Delta ^{4}q-9808\Delta ^{5}q\qquad \qquad \qquad \\&+149552\Delta ^{6}q-2660544\Delta ^{7}q\\B=&\Delta q-5\Delta ^{2}q+38\Delta ^{3}q-386\Delta ^{4}q+4904\Delta ^{5}q\qquad \qquad \qquad \qquad \\&-74776\Delta ^{6}q+1330272\Delta ^{7}q\\C=&\Delta ^{2}q-9\Delta ^{3}q+95\Delta ^{4}q-1220\Delta ^{5}q+18664\Delta ^{6}q-332388\Delta ^{7}q\\D=&\Delta ^{3}q-14\Delta ^{4}q+195\Delta ^{5}q-3065\Delta ^{6}q+55104\Delta ^{7}q\\E=&\Delta ^{4}q-20\Delta ^{5}q+355\Delta ^{6}q-6685\Delta ^{7}q\\F=&\Delta ^{5}q-27\Delta ^{6}q+595\Delta ^{7}q\\G=&\Delta ^{6}q-35\Delta ^{7}q\\H=&\Delta ^{7}q\\\end{array}}$

d’où on conclura

${\begin{aligned}y=&q+(x-2)\Delta q+\left(x^{2}-5x+10\right)\Delta ^{2}q+\left(x^{3}-9x^{2}+38x-76\right)\Delta ^{3}q\\&+\left(x^{4}-14x^{3}+95x^{2}-386x+772\right)\Delta ^{4}q\\&+\left(x^{5}-20x^{4}+195x^{3}-1220x^{2}+4904x-9808\right)\Delta ^{5}q\\&+\left(x^{6}-27x^{5}+355x^{4}-3065x^{3}+18664x^{2}-74776x+149652\right)\Delta ^{6}q\\&+\left(x^{7}-35x^{6}+595x^{5}-6685x^{4}+55104x^{3}-332388x^{2}+1330272x\right.\\&\qquad \left.-2660544\right)\Delta ^{7}q+\ldots \end{aligned}}$

On aura ainsi

${\begin{array}{ll}{\text{Pour }}x=&3\ldots y=q+\Delta q+4\Delta ^{2}q-16\Delta ^{3}q\\{\text{Pour }}x=&4\ldots y=q+2\Delta q+6\Delta ^{2}q-4\Delta ^{3}q+108\Delta ^{4}q\\{\text{Pour }}x=&5\ldots y=q+3\Delta q+10\Delta ^{2}q+14\Delta ^{3}q+92\Delta ^{4}q-788\Delta ^{5}q\\{\text{Pour }}x=&6\ldots y=q+4\Delta q+16\Delta ^{2}q+44\Delta ^{3}q+148\Delta ^{4}q-328\Delta ^{5}q\\&\qquad \qquad \qquad +7644\Delta ^{6}q\\{\text{Pour }}x=&7\ldots y=q+5\Delta q+24\Delta ^{2}q+92\Delta ^{3}q+324\Delta ^{4}q-6588\Delta ^{5}q\\&\qquad \qquad \qquad -233324\Delta ^{6}q-79672\Delta ^{7}\\\end{array}}$

et ainsi de suite.

Et enfin en mettant pour $\Delta q,\Delta ^{2}q,\Delta ^{3}q,\Delta ^{4}q,\ldots$ leurs valeur en $q,q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ d’après les formules connues, on aura

${\begin{alignedat}{2}{\text{Pour }}x=&3\ldots &3y=&14q-33q_{1}+30q_{2}-8q_{3}\\{\text{Pour }}x=&4\ldots &6y=&43q-144q_{1}+192q_{2}-112q_{3}+27q_{4}\\{\text{Pour }}x=&5\ldots &120y=&1303q-5680q_{1}+10250q_{2}-9340q_{3}+4375q_{4}\\&&&-788q_{5}\\{\text{Pour }}x=&6\ldots &90y=&1534q-8208q_{1}+18675q_{2}-22880q_{3}+15930q_{4}\\&&&-5904q_{5}+943q_{6}\\\end{alignedat}}$

et ainsi de suite.

8. Exemple. Soit $Q=x^{3},$ l’équation sera

$y+2{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=x^{3},$

elle aura pour intégrale complète

$y=Ae^{-{\frac {x}{2}}}+x^{3}-6x^{2}+24x-48.$

La méthode actuelle donne $q_{0}=0,\ q_{1}=1,\ q_{2}=8,\ q_{3}=27,$$q_{4}=64,\ q_{5}=125,\ q_{6}=216,\ldots$

On aura donc, pour $x=3,$

$3y=14q-33q_{1}+30q_{2}-8q_{3}=-33+240-216=-9\,;$

donc $y=-3.$

Pour $x=4,$ on aura

$6y=-144+1536-3024+1728=+96\,;$

donc $y=16.$

Pour $x=5,$ on aura

$120y=-5680+82000-252180+28000-9800=5640\,;$

donc $y=47.$

Pour $x=6,$ on aura

$90y=-8208+149400-617760+1019520-738000$

$+203688=+8640\,;$

donc $y=96.$ Et ainsi de suite.

Or, toutes ces valeurs, tant de $x$ que de $y,$ sont visiblement comprises sous la loi générale

$x^{3}-6x^{2}+24x-48\,;$

ainsi l’intégrale complète sera

$y=Ae^{-{\frac {x}{2}}}+x^{3}-6x^{2}+24x-48.$

9. La méthode est sur-tout infiniment précieuse dans les cas innombrables où la différentielle

$2y=e^{-{\frac {x}{2}}}\int e^{\frac {x}{2}}Q\operatorname {d} x,$

ou, plus généralement,

$ny=e^{-{\frac {x}{n}}}\int e^{\frac {x}{n}}Q\operatorname {d} x,$

n’est pas intégrable à la rigueur ; parce qu’alors elle fait connaître la véritable valeur de l’inconnue ou de la variable $y,$ avec une approximation beaucoup plus rapide que toute autre méthode connue ; ce que nous ferons voir dans le premier mémoire qui suivra celui-ci.

1. Voyez la page 317 du présent volume.