ANALISE TRANSCENDANTE.
Mémoire sur l’intégration des équations linéaires ;
Par
M. Henri Gerner Schmidten.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
L’intégration d’une équation différentielle ne consiste, à proprement
parler, qu’à trouver la fonction la plus générale qui satisfasse à
l’équation proposée ; et des cas particuliers peuvent seuls donner naissance à des questions relatives à l’évaluation de cette fonction. Pour
résoudre ce dernier problème, il faut, en effet, absolument connaître la valeur arithmétique de chacune des quantités dont se
compose la fonction dont il s’agit ; et alors il faut avoir autant de
méthodes d’évaluation différentes qu’il peut y avoir de relations différentes entre ces mêmes quantités.
De là naît l’impossibilité de donner des méthodes d’évaluation
qui soient propres à des équations générales, ainsi que celle de
parcourir l’infinie variété des équations particulières qui peuvent s’y
trouver implicitement comprises ; d’où il paraît naturel de conclure
que l’unique moyen d’avancer cette partie de l’analise et de surmonter les difficultés qu’elle présente, est de trouver des méthodes
propres à développer la même fonction sous plusieurs formes
différentes, parmi lesquelles on puisse choisir celle qui conviendra
le mieux à chaque cas particulier. Ces fonctions doivent d’ailleurs
être aussi simples que la nature des équations qui leur donnent
naissance peut le comporter ; et les séries qu’elles forment doivent en outre offrir une loi facile à saisir. La méthode qu’offre la
série de Taylor (jusqu’ici la seule générale que nous ayons) n’étant
d’ailleurs applicable qu’à des cas très-particuliers ; comme il est
naturel que les intégrales se compliquent, de plus en plus, à
mesure que les équations sont plus générales ; on se trouve fondé à
considérer l’intégration des équations non linéaires comme surpassant,
généralement parlant, les forces de l’analise.
Soit, en effet, une fonction d’un certain nombre de variables
indépendantes, donnée par l’équation différentielle
étant une fonction qui contient les coefficiens différentiels ou aux différences de l’ordre le plus élevé qui soient dans l’équation proposée, et étant une autre fonction quelconque des variables indépendantes des coefficiens différentiels ou aux différences ; on aura l’équation intégrale
signifiant la fonction inverse de et étant la fonction la plus générale qui satisfasse à l’équation
Au moyen de cette relation implicite, on trouvera facilement la
valeur explicite de par des substitutions successives ; ce sera
Maintenant, il se peut que chaque substitution rapproche cette
série de la véritable valeur de mais il se peut aussi qu’elle l’en
éloigne ; et alors on devra donner une autre forme à la série ; ce
qui est toujours possible d’autant de manières différentes qu’il y
en aura de partager l’équation entre les deux termes
et
On voit cependant que la valeur de restera, en général,
très compliquée, à moins que et ne soient linéaires par
rapport à , ce qui embrasse déjà une classe d’équation
étendue et très-importante : celle des équations linéaires.
On a, dans ce cas,
et je me propose d’en exposer les principales conséquences, en commençant par la partie la plus simple, qui sert en même temps de base au reste.
§. I.
Des équations différentielles à deux variables.
Le résultat le plus général qu’on ait obtenu sur ces équations, est le théorème de Lagrange, au moyen duquel on sait ramener
l’équation la plus générale à une autre qui ne renferme pas de
terme indépendant de la fonction inconnue. De plus, on intègre
sans difficulté, par des fonctions exponentielles ou algébriques les
équations de la forme
et par des intégrales définies celles de la forme
mais les méthodes qu’a donné Euler pour intégrer les équations, par l’introduction d’une nouvelle variable, ne s’emploient avec succès
que lorsque les intégrales en sont déjà données par des séries ; et
l’on n’a pas de moyen direct de trouver la forme de la série qui
satisfait à une équation proposée.
D’ailleurs, on voit facilement qu’en général il doit être impossible
d’intégrer une équation sous forme finie, puisqu’il n’y a qu’une
suite infinie qui puisse embrasser, dans sa généralité, toutes les
sortes de transcendantes que l’intégrale peut comporter, et dont
un petit nombre seulement a été introduit dans le langage
analitique.
Si l’on savait transformer l’équation proposée en une différentielle
complète, on la ramènerait ainsi à une autre d’un ordre moins
élevé ; et, en continuant de la même manière, on parviendrait
enfin à l’expression générale de la fonction inconnue. Il s’agirait
donc de mettre l’équation proposée
dans laquelle sont des fonctions de , sous la forme
étant des fonctions de qu’il faut déterminer en effectuant les différentiations, et comparant ensuite les coefficiens à ceux de l’équation proposée. Cette méthode conduit à un système de équations simultanées, et toutes non linéaires, à l’exception de celle-ci
et par conséquent beaucoup plus difficiles à résoudre que l’équation proposée. Ces opérations ont quelque analogie avec celles que
l’on fait, avec tout aussi peu de succès, sur les équations algébriques des degrés supérieurs, à une seule inconnue, dans le dessein
de les résoudre. Cependant on est parvenu, par des considérations
particulières, à présenter, sous forme finie, les racines des quatre
premiers degrés de celles-ci ; mais il faut observer que cela ne
s’exécute qu’au moyen de transcendantes particulières pour chaque
degré, auxquelles, à raison du fréquent usage qu’on en fait, on
a cru devoir affecter des symboles particuliers, qui leur donnent,
du moins, quant aux notations, l’apparence de fonctions finies.
Ainsi, par exemple, la racine quarrée est déjà une transcendante
à l’égard de la racine de l’équation du premier degré ; de sorte
que l’on ne doit chercher, par aucune analogie, à présenter l’intégrale de l’équation du second ordre sous forme finie, au moyen
des fonctions exponentielles qui représentent, en général, celle du
premier ordre. En. effet, si l’on compare les quantités avec , dans l’équation du second ordre, on aura
en posant donc
ce qui donne
si l’on fait ensuite
il viendra
(1)
c’est-à-dire l’équation proposée. En faisant, au contraire
on aurait
d’où, en posant,
on conclurait
(2)
Ainsi l’on fait dépendre l’équation (1) de (2) ; mais ce résultat n’est que très-particulier, et ne donne pas lieu à d’autres tranformations, attendu que le même procédé, appliqué à (2), reconduit à (1).
On pourrait encore former des équations par les quantités données
comme on forme des équations algébriques au
moyen de leurs racines ; mais ces recherches ne conduisent qu’à des
cas particuliers et peu utiles. Cependant, il nous sera facile de
découvrir les cas les plus généraux ou la détermination des quantités
dépend seulement d’opérations algébriques. Il
nous suffit pour cela de considérer l’équation du troisième ordre,
pour laquelle on aura, en employant les notations de Lagrange, les relations suivantes :
Il faut donc, par exemple, qu’on ait
d’où
en aura de même
étant des constantes. On doit encore avoir l’équation
qui revient à
étant une nouvelle constante. Posant donc
on aura
forme qui devient exponentielle, lorsque
Cette forme est seulement déduite de la considération des deux
coefficiens ; mais on trouvera facilement que, pour un ordre quelconque, la relation entre les quantités
que
nous avons établie, réduira chaque coefficient à une quantité algébrique, multipliée ou non par une puissance de la variable indépendante telle que l’exposant est toujours celui de la différentielle correspondante étant La détermination des quantités
inconnues dépendra, en tous cas, d’une équation du degré et,
si l’on sait résoudre celle-ci, on a l’intégrale de l’équation
ou de celle-ci
comme on le sait depuis long-temps.
On voit ainsi que l’introduction des quantités
auxquelles, par analogie, on pourrait donner le nom de racines,
ne facilite l’intégration que dans des cas particuliers, et qu’il faut
modifier le procédé pour obtenir des résultats généraux. En observant que la détermination d’un nombre de ces quantités que nous
appellerons pour un moment racines, conduit à une équation de
l’ordre on pourrait partager l’équation proposée en deux parties,
à chacune desquelles on donnerait la forme de différentielle parfaite, par le moyen d’équations des deux ordres et En
effet, soit l’équation proposée
on lui donnera la forme
et faisant, pour abréger, le second membre on aura l’intégrale générale
étant des constantes, de sortes que, si l’on représente par la partie indépendante de on aura
Comme on peut choisir à son gré, on peut trouver un grand nombre de formes différentes, par le seul changement de cette quantité ; et l’on trouverait une infinité de formes différentes, en partageant autrement l’équation proposée. Par exemple, si l’on savait la partager en deux du même ordre, dont chacune fût facilement intégrable, on lui donnerait la forme
et l’on en trouverait l’intégrale complète de deux manières. Ces recherches n’ont, comme l’on voit, aucune difficulté ; et c’est pour
cette raison que je ne m’arrête pas à discuter les formules générales, dont l’usage s’entendra beaucoup mieux par des exemples particuliers.
Quoique l’on ait, dans ce qui précède, une méthode générale
et directe pour trouver, d’une infinité de manières différentes,
l’intégrale d’une équation proposée ; on trouve encore de grandes
difficultés relativement à l’évaluation de cette intégrale, sur-tout
lorsque l’équation est d’un ordre un peu élevé.
Toutefois cette méthode embrasse sous un seul point de vue toutes celles qui ont été données jusqu’ici, et résout, d’une manière satisfaisante, un grand nombre d’équations qu’on ne saurait
intégrer sans son secours, ou du moins dont on n’obtiendrait l’intégration que par des tâtonnemens plus ou moins heureux. Au
surplus, après avoir présenté les intégrales sous la forme de séries,
on peut tenter d’employer la méthode d’Euler, pour les ramener
à des intégrales définies, mais ces recherches étant de leur nature très-particulières, ce ne saurait être ici le lieu de s’en
occuper.
Je vais maintenant appliquer ces principes généraux à l’équation
du premier ordre, dont la forme est
d’où l’on formera celle-ci :
en comparant ; on aura
dont l’intégrale est
c’est-à-dire,
étant une constante arbitraire ; et, après avoir trouvé on aura
étant une nouvelle constante, mais l’intégrale n’en contient pourtant qu’une, attendu que disparaît dans le second terme.
Telle est donc l’intégrale complète la plus simple de l’équation
du premier ordre, et l’on voit qu’elle se présente nécessairement
sous la forme d’une série infinie, à moins que l’on n’adopte quelque nouveau symbole pour représenter la valeur de On trouve,
en effet,
ce qui revient à
suivant le signe qu’on a adopté pour la fonction exponentielle, qui est la transcendante la plus simple qui, en général, puisse représenter l’intégrale de l’équation du premier ordre. Malgré cette forme, qu’on a employée avec beaucoup de succès, on trouve encore des difficultés très-grandes, et même insurmontables, à évaluer les intégrales de cet ordre ; et si l’on observe combien ces fonctions, que l’on connaît sous le nom de quadratures, sont limitées vis-à-vis des intégrales des ordres supérieurs, l’on doit s’attendre à d’autant moins de succès pour l’évaluation de ces dernières formes. Aussi, je ne m’occuperai presque pas des équations supérieures au second ordre qui ne conduiraient à des résultats satisfaisans que dans des cas très-particuliers ; et d’ailleurs les applications les plus importantes de l’analise ne conduisent, en général, qu’à des équations du premier ou tout au plus du second ordre.
L’intégrale générale de l’équation du second ordre doit être regardée comme une transcendante irréductible, qui ne s’abaisse aux
quadratures que dans des cas très-particuliers ; mais ici je me propose seulement de développée quelques-unes des formes générales
les plus remarquables qu’on peut lui donner ; et alors les cas où
elles sont susceptibles de simplification se montrent facilement.
Soit l’équation
on, peut lui donner la forme
Mais nous avons déjà observé que, dans ce cas, la détermination des racines mène à une équation de la forme
ou à une autre qui est ce que devient la proposée, dans le cas de Nous ayons donc très-peu gagné, et par conséquent, nous mettrons de préférence l’équation sous cette forme
qui donne
et ensuite
et étant des constantes arbitraires. En posant donc
il viendra
On trouve une forme qui est quelquefois plus simple en posant
l’équation
d’où, en comparant
ou
En intégrant, on aura
d’où, en posant
on tirera
Si les fonctions sont soumises à la seule condition de rendre
égale à une constante on trouve facilement
et étant de nouvelles constantes arbitraires.
On pourrait encore parvenir à un grand nombre d’autres formules ; mais, ces recherches n’ayant aucune difficulté, d’après ce
qui précède, je ne donnerai plus qu’un seul exemple, dont l’emploi devient nécessaire dans des cas particuliers, comme je le ferai
voir ensuite. En mettant l’équation proposée sous la forme
et supposant d’ailleurs que chacun des deux membres s’intègre facilement, on fera
d’où
représentant ensuite par la partie indépendante de , on aura
On verra facilement que les grandes difficultés attachées à cette
méthode tiennent principalement aux signes d’intégration, lorsque
les fonctions
sont un peu générales ; mais on
trouvera, en même temps, qu’il doit nécessairement y avoir de
ces signes dans l’intégrale complète, qui ne saurait sans cela contenir des constantes arbitraires. Donc, s’il y avait des questions ou
l’on n’eût besoin que d’une intégrale particulière, on parviendrait
bien plus aisément à l’expression de la fonction inconnue, en mettant l’équation sous la forme
dans laquelle
en employant alors les notations de Lagrange ; on aurait
Il serait facile aussi de présenter un grand nombre de formes pour les intégrales des équations supérieures ; mais les raisons que
j’ai données plus haut me les font passer sous silence ; et je vais
m’occuper de quelques exemples particuliers qui sont plus propres
à montrer l’usage et l’esprit de la méthode.
Nous avons vu quelles sont les équations les plus générales qui
s’intègrent immédiatement, sous forme finie, par des fonctions exponentielles ou par des puissances ; je vais faire voir maintenant
quelle est l’équation la plus générale dont l’intégrale se développe
par une ou plusieurs séries de puissances ascendantes ou descendantes
de la variable indépendante.
Pour cela, il faut que l’équation soit réductible à la forme
d’où l’on trouvera facilement
par des substitutions successives, on aura séries, dont chacune, divisée par une certaine puissance, procède seulement suivant les puissances ascendantes de Pour abréger, et attendu que toutes ont la même forme, je n’en développe qu’une seule, savoir :
En commençant l’intégration par rapport au second membre de l’équation, on obtiendrait séries semblables, qui procéderaient suivant les puissances descendantes de On trouvera d’ailleurs facilement que l’équation revient à celle-ci :
, étant des constantes.
Pour le cas où , on a présenté l’intégrale de cette équation
par un procédé qu’il ne serait pas difficile d’étendre à celle-ci ;
mais encore, dans ce cas, la méthode directe a des avantages,
comme je le ferai voir par un exemple. Soit l’équation très-simple
on aura
d’où
ce qu’on trouverait aussi par la méthode des coefficiens indéterminés ; mais, dans le cas où on n’y réussirait pas ; car alors il s’introduit des quantités infinies dans la série, ce qui annonce un changement de forme (Calcul des fonctions, leçon XVIII) ; il s’agit donc de savoir quelle est la forme de la valeur de qui répond à ce cas ; or, on trouve alors
c’est-à-dire,
, étant des constantes qui se déterminent par l’équation
d’où
ce qui donne
Cette équation se recommande particulièrement à raison de l’application à la physique qu’elle peut offrir. Si, en effet, on y suppose on obtient celle qui détermine la figure d’une large goutte de mercure abandonnée à elle-même sur un disque de verre horizontal (Voyez le Supplément à la théorie de l’action capillaire), et à laquelle M. Laplace satisfait par une intégrale définie, sans constante arbitraire, qui revient à la dernière des séries que nous venons de présenter. L’on voit que la difficulté consiste seulement à trouver la forme que prend l’intégrale cherchée ; car, après cela, les coefficiens se déterminent aisément par la méthode des différences, comme M. Lacroix l’a présenté (Traité des différences et des séries, pag. 216 et suiv.).
Je n’ajouterai plus qu’un seul exemple qui suffira pour éclaircir
les principes, qui n’ont d’ailleurs aucune difficulté ; et l’on verra
qu’en général les équations, qui ne sont pas trop compliquées, ont
déjà des intégrales très-prolixes ; c’est pourquoi je me bornerai seulement à faire voir les formes que celles-ci doivent avoir, et à
indiquer la marche qu’il faut suivre pour déterminer les coefficiens.
Soit donc l’équation
on aura
d’où
où il faut remarquer que chacun des termes de la dernière série se déduit de son correspondant dans la première, par le simple changement du signe de Quant aux coefficiens
ils se déterminent, en général, au moyen de l’équation
dont l’intégration entraîne déjà des calculs assez longs. On pourrait maintenant tenter de ramener les séries obtenues à une forme finie, par des intégrales définies ; mais ces recherches, comme je l’observerai, sont d’une nature très-particulière ; d’autant plus que la
méthode d’Euler exige toujours que les constantes satisfassent à
certaines conditions arithmétiques, au défaut desquelles elles ne sont
pas applicables.
Il faut observer que l’intégrale précédente devient incomplète
lorsque car alors les deux séries sont identiques, et l’intégrée doit par conséquent changer de forme. En effet, on trouve
pour ce cas
ce qui introduit nécessairement des puissances de la variable indépendante. Le cas de ou de annonce aussi un changement de forme ; car alors l’équation proposée prend la forme très-simple
ce qui réduit l’intégrale à des séries à simple entrée.
Mais un autre cas donne lieu à des calculs très-compliqués ;
savoir : celui de ou pour lequel il s’introduit dans
l’intégrale des puissances de la variable indépendante, dont les coefficiens ne se déterminent que par des équations aux différences finies
à trois variables. En effet, pour ce cas qui se présente aussi sous
la forme,
la première des séries que nous avons trouvées devient, abstraction faite du multiplicateur
On trouvera que l’équation aux différences finies, d’où dépend la détermination des coefficiens, devient assez compliquée, quoiqu’elle ne soit pas difficile à former ; et que les difficultés de son intégration, qui tiennent sans doute à la nature du problème, consistent principalement dans l’extrême longueur des calculs. C’est pourquoi je me dispense d’entrer ici dans le détail de ces opérations, qui n’offriraient d’ailleurs aucun principe ou artifice de calcul digne d’être remarqués, et qui ne pourraient conséquemment mériter de l’intérêt que par les applications.
Les principes que j’ai exposés au commencement de ce mémoire,
et que je viens d’appliquer à l’intégration des équations différentielles,
conduisent aussi à celle des équations aux différences finies, ainsi
que je vais présentement le faire voir.
§. II.
Des équations aux différences finies à deux variables.
Les équations aux différences finies à deux variables peuvent
être envisagées sous deux points de vue, dont l’un répond proprement au nom qu’on leur donne, tandis que l’autre les représente comme exprimant les relations entre des valeurs successives
d’une même variable. C’est sous ce dernier point de vue que Lagrange (Calcul des fonctions, leçon XVIII) les a considérées comme
étant d’une nature tout-à-fait différente de celle des équations différentielles. Aussi cette forme conduit-elle aux résultats les plus généraux
et les plus utiles qu’on puisse obtenir. Cependant, il ne
sera peut-être pas inutile d’exposer ceux qu’offre la première forme ;
soit pour choisir, dans des cas particuliers, celui qui convient le
mieux à l’objet qu’on a en vue, soit pour réunir sous un point de
vue unique des méthodes qui, au premier aspect, pourraient
sembler différentes.
Dans ce cas, on peut envisager la différence et l’intégrale finie
comme des fonctions linéaires de la différentielle et de l’intégrale
qui y répond ; et cette relation a donné lieu à une infinité de
formes créées par l’analogie, et puis rigoureusement vérifiées par
des considérations générales. Mais, comme ces recherches sortent
de mon sujet, je me permets seulement d’exposer ici une liaison
entre la différentielle et la différence, qui correspond parfaitement
à celle qui existe entre les fonctions exponentielles et les puissances,
indépendamment des expressions en séries.
En effet, si l’on observe que l’équation
par la supposition de se change dans celle-ci ;
qui revient à
on trouve que la génération de cette dernière quantité à beaucoup d’analogie avec celle de
étant
Comme les intégrations aux différences finies sont, en général
beaucoup plus difficiles à effectuer que celles aux différentielles ;
on verra que la méthode générale exposée au commencement de
ce mémoire s’applique, avec d’autant moins de succès, aux équations qui nous occupent présentement, que la considération des
valeurs successives, qui réduit l’intégration à des éliminations, offre
des résultats plus simples et plus généraux, c’est pourquoi je ne
traiterai que brièvement de cette espèce d’équations.
Soit donc l’équation
on en aurait l’intégrale complète, si l’on pouvait trouver quantités
qui satisfissent à l’équation
étant
suivant les notations adoptées. Mais on
s’assurera facilement que la comparaison entre les coefficiens respectifs de
conduiraient, en général, à des
équations très compliquées, et par conséquent, qu’il faut laisser
un ou plusieurs coefficiens indéterminés suivant le même procédé
que nous avons employé plus haut.
L’équation du premier ordre s’intègre, en général, sans difficulté. Soit, en effet,
en faisant
on aura, pour déterminer l’équation
ou
d’où l’on tire, en prenant les logarithmes et intégrant,
ce qui revient à
suivant la notation de Vandermonde.
Maintenant, on trouve aisément
étant une fonction dont la différence
L’équation du second ordre ne s’intègre que sous la forme d’une
série infinie ; et, pour les raisons que j’ai développées plus haut,
je me bornerai à un seul exemple. Il faut d’ailleurs observer que
cette équation s’intègre d’une manière très-élégante par les fractions continues.
Soit donc la proposée
on fera
ce qui donnera
ou
et l’on aura
Faisant donc la parti indépendante de égale à on trouvera
Un exemple très-simple est
on a, pour ce cas,
et, en supposant et constantes,
Cette intégrale change de forme lorsque ou et, dans ce dernier cas, on s’assurera aisément qu’elle se réduit à la forme finie, comme toute le équation linéaire à coefficiens constans.
Il faut encore jeter un coup-d’œil sur les équations qui renferment à la fois des différences et des différentielles par rapport
à la même variable.
§. III.
Des équations aux différences mêlées à deux variables.
L’équation aux différences mêlées de l’ordre renfermant en
général termes, je ne considère ici que celle du premier ordre, dont l’intégration comporte encore de grandes difficultés. Il est d’ailleurs facile de s’assurer que l’intégration d’une
équation quelconque, à coefficiens constans, dépend seulement
d’opérations algébriques.
Soit donc l’équation du premier ordre
il faut tâcher de la rendre en différences ou en différentielles complètes ; mais on verra qu’en général cela est impossible ; car la forme la plus générale qu’on puisse lui donner est
par laquelle on ne saurait satisfaire à trois conditions. En effet
en comparant, on trouve
On tire des deux premières
et, pour satisfaire à la dernière relation, il faut mettre l’équation sous la forme
d’où on tire, en représentant par le coefficient de dans le second membre,
étant une constante, et une fonction telle que Si ensuite on représente par la partie indépendante de on aura, en sous-entendant les indices,
On trouve facilement une seconde forme générale, en mettant l’équation proposée sous la forme d’une différentielle complète ; mais, dans tous les cas, la succession alternative des signes et soumet ces formules générales à des difficultés qui font ressortir les avantages des travaux de MM. Biot et Poisson sur le même sujet.
Après avoir développé les principales conséquences des principes
généraux, relativement aux équations à deux variables, il me reste
maintenant à traiter des équations aux différences partielles.
§. IV.
Des équations linéaires aux différences partielles.
Parmi le petit nombre des résultats généraux auxquels on est
parvenu, relativement à l’intégration des équations linéaires, il faut
principalement remarquer celui qui ramène l’intégration d’une équation quelconque à ne dépendre que de celle d’une équation qui ne
contient pas de terme indépendant de la fonction inconnue. Cependant,
on ne sait que rarement intégrer immédiatement, sous forme finie,
une équation à plusieurs variables, pas même dans les cas analogues
à ceux où l’on intègre les équations à deux variables, par des
fonctions connues, comme, par exemple, lorsque les coefficiens
sont constans. L’introduction de nouvelles variables conduit quelquefois à des résultats satisfaisans, qui sont pourtant très-particuliers,
et exigent le plus souvent que l’intégrale soit donnée en série infinie, seule forme à laquelle toute intégrale soit réductible. On
sait que la série de Taylor donne le moyen d’intégrer les équations,
soit à deux, soit à plusieurs variables ; mais nous avons vu qu’en
général elle est inapplicable à celles-là, et à plus forte raison à
celles-ci. C’est pourquoi on a formé des séries qui procèdent suivant
des différentielles ascendantes, forme beaucoup plus avantageuse et
toujours possible, à l’exception de quelques cas particuliers, analogues à ceux où la série de Taylor se trouve en défaut ; mais,
quelque élégans que soient les résultats obtenus par cette méthode,
on peut se demander si elle conduit toujours aux formes les plus
simples des intégrales, qui se développent, comme on sait, d’une
infinité de manières différentes. Il est donc important d’avoir une
méthode générale et directe pour cet objet ; et c’est une telle méthode que je me propose d’exposer suivant les principes établis
au commencement de ce mémoire ; mais il faut commencer par
la discussion du cas où l’équation s’intègre immédiatement sous
forme finie, ou du moins par celui où son intégrale se ramène à
celle d’une équation du premier ordre ; et l’on verra ainsi pourquoi on ne peut obtenir cet avantage que dans des cas particuliers.
Supposons, pour abréger, qu’une équation de l’ordre à variables indépendantes, contienne les variables indépendantes dans
tous ses termes ; elle renfermera, en général, un nombre de coefficiens exprimé par
et il s’agira de lui donner telle forme que l’on parvienne à l’intégrale complète par l’intégration de équations du premier ordre ; mais chacune de ces équations ne renfermant, en général, que coefficiens, il n’est pas possible d’introduire, de cette manière, plus de quantités indéterminées dans l’équation proposée ; et, à moins qu’on n’ait
il devient impossible d’y satisfaire, en général. En effet, si l’on fait, pour abréger,
étant des fonctions quelconques des variables indépendantes ; on formera l’équation
qui renferme
quantités indéterminées. Dans tous les cas particuliers ou elles satisfont aux coefficiens de l’équation proposée,
on sait ramener celle-ci à des équations du premier ordre. Il est
d’ailleurs facile de voir qu’un terme indépendant de ne changerait
en rien ce procédé. Mais l’équation à deux variables est la seule
qu’on puisse toujours mettre sous cette forme, quoique la détermination des quantités
mène, en général à des
équations plus difficiles à traiter que la proposée elle-même, ainsi
que nous l’avons déjà vu ; mais l’équation générale du second ordre
a déjà conditions de trop ; et plus les ordres sont élevés,
et plus aussi le nombre des conditions surpasse celui des quantités
à déterminer. Pour satisfaire à toutes les conditions, on introduit
souvent avec succès de nouvelles variables, par rapport auxquelles
on obtient alors des intégrales définies on indéfinies ; mais, le plus
souvent, ces recherches conduisent à des équations plus difficiles
que celles qu’on s’était d’abord proposées. Il faut d’ailleurs observer que, pour le cas des coefficiens constans, les quantités
prennent les mêmes propriétés que de simples
facteurs, comme l’a fait voir M. Brisson.
Maintenant, après avoir observé combien sont particuliers les cas
où une équation s’intègre immédiatement sous forme finie, je vais
reprendre le principe général, pour exposer les principales modifications qu’il doit subir pour devenir applicable aux équations partielles, et, en particulier, à celles qui ne renferment que deux
variables indépendantes. Il s’agit seulement de partager l’équation
de la manière la plus avantageuse, et pour cela, ce qui paraît le plus
simple est de déterminer autant de
coefficiens que possible,
par des équations du premier ordre, comme nous venons de
l’exposer, et puis de transporter les termes indéterminés de l’autre
côté, ce qui donne à l’équation proposée la forme
étant une fonction quelconque linéaire de
, et le premier
membre étant du premier ordre par rapport à
On trouve facilement celle-ci, en fonction de avec une fonction
arbitraire de variables ; et, en continuant ainsi, on parvient
à la valeur de en fonction de avec fonctions arbitraires. Soit alors
on trouvera
Il est facile de voir que les quantités
se
déterminent d’une infinité de manières différentes, et, par conséquent, donnent lieu à autant de formes différentes ; mais il est
impossible de donner des règles générales pour le partage de l’équation, et chaque cas particulier indique, sans difficulté, le parti le
plus avantageux que l’on puisse tirer du principe général. Cependant,
il existe, dans tous les ordres, une classe d’équations qui donne
lieu à des considérations trop étendues pour ne pas les exposer ici.
Soit donc l’équation
et étant des fonctions quelconques linéaires de telles seulement que les coefficiens différentiels et les variables indépendantes
qui sont contenues dans la première ne doivent pas se trouver dans
la seconde. Alors on trouvera facilement qu’il est toujours possible
de satisfaire à l’équation par une série de la forme
étant seulement fonctions des variables indépendantes renfermées dans et des fonctions des variables indépendantes renfermées dans mais on voit, en même temps, que cette forme ne peut être générale que lorsque ou ne contient qu’une seule variable indépendante ; car l’intégrale générale doit contenir des fonctions arbitraires de toutes les variables indépendantes moins une, ce qui n’est possible ici que dans le cas que nous avons indiqué. C’est pourquoi je suppose que ne contient qu’une seule variable indépendante, et alors l’intégrale peut être générale, comme on s’en assurera facilement par le principe des substitutions successives ; mais aussi je ferai voir qu’on peut satisfaire à l’équation proposée de beaucoup d’autres manières. En effet, pour déterminer les quantités on n’a que la condition
Or, pour avoir l’intégrale complète, il faut avoir fonctions arbitraires, étant l’ordre de l’équation proposée ; il faut donc absolument qu’un nombre des quantités soient indéterminées, étant seulement fonctions d’une variable, ce qui est impossible, à moins qu’on n’ait
conditions qui introduisent constantes arbitraires, assujetties seulement à ne pas rendre égales entre elles deux des quantités
Il s’agit donc seulement de satisfaire aux équations
ce à quoi on parvient facilement en supposant
les relations entre
étant des équations ordinaires de l’ordre pour lesquelles il s’agit seulement d’avoir une intégrale particulière ; désignant donc par la fonction inverse de on aura ainsi
et l’intégrale complète
et étant la même chose que et
et ainsi des autres.
Par le théorème de Parseval, on peut encore ramener chacune des séries
à ne dépendre que de celles-ci :
dont la dernière conduit à une équation à variables indépendantes, la proposée en renfermant mais les imaginaires que cette méthode introduit la rendent peu susceptible d’application.
On peut encoie satisfaire à la forme
de beaucoup d’autres manières ; ainsi, si l’on ne veut pas de fonctions arbitraires, la manière la plus simple de satisfaire à l’équation
sera de faire
or, ces équations étant toutes semblables, il suffira de considérer celle-ci :
à laquelle on satisfera de la manière la plus générale, en posant
étant une constante arbitraire ; et l’on trouvera, en intégrant ces équations,
Soient donc des constantes arbitraires, et
des fonctions quelconques de celles-ci ; on peut faire
ou, si l’on veut,
ou
étant une fonction arbitraire de
Il est sans doute superflu de faire voir la variété infinie qu’on
pourrait donner aux intégrales de l’équation proposée, en laissant
indéterminées deux ou un plus grand nombre de quantités
et en comparant de différentes manières les autres termes
de la série.
Il faut encore observer qu’il n’est pas nécessaire que les fonctions
et contiennent seulement des différentielles pour que les
méthodes précédentes soient applicables ; elles le sont encore, lorsque
ces fonctions contiennent des différentielles négatives, c’est-à-dire,
des intégrales ; mais ce cas donne lieu à des observations qui ne
s’exposent pas d’une manière assez claire lorsqu’on demeure dans
les généralités, ainsi que je le fais ici ; et, comme elles je présentent d’ailleurs d’elles-mêmes assez facilement, je n’en parlerai
qu’en traitant, en particulier, des équations à trois variables ; et
alors je ferai voir l’usage des facteurs pour ramener une équation
à cette forme, lorsque cela est possible. Je parlerai aussi, plus
bas, du cas où les coefficiens sont des fonctions quelconques de
la somme des variables indépendantes. Je ne ferai ici qu’une seule
observation sur l’équation à coefficiens constans. Elle consiste en
ce que si l’on pose l’équation
étant une fonction linéaire quelconque de , à coefficiens constans, et une fonction quelconque des variables indépendantes ; en représentant par la fonction la plus générale qui satisfasse à, l’équation
on aura, par les principes qui ont été suffisamment développés par M. Servois,
?, qui a la forme d’un polynôme, pourra être développée par toutes les méthodes connues pour le développement des fonctions purement algébriques ; et l’on parviendra ainsi directement, d’après ces principes, à tous les résultats de M. Français.
Je vais présentement m’occuper de l’équation à deux variables
indépendantes, et, en particulier, de celle du second ordre, afin
d’éclaircir mieux les considérations générales que je viens d’exposer.
Eh général, toutes les équations du premier ordre se ramènent
à des équations ordinaires, et il serait ainsi inutile d’y appliquer
immédiatement le principe des substitutions successives, quoiqu’il
devienne nécessaire pour intégrer celle-ci.
Soit donc l’équation
étant des fonctions quelconques de et il s’agit de lui donner la forme
en supposant
Pour cela, on trouvera les conditions
Or, comme, en général, il est impossible de satisfaire à toutes ces conditions, il est nécessaire de mettre l’équation sous une autre forme
Faisons, par exemple,
on pourra toujours déterminer de manière que toutes ces conditions soient remplies. Après avoir intégré les deux équations du premier ordre, on aura un résultat
renfermant deux fonctions arbitraires, et étant une fonction lineaire qui contient des signes d’intégration par rapport à et ; on aura, en conséquence,
mais on tombe souvent sur des difficultés insurmontables, sur tout lorsque l’intégration des équations du premier ordre conduit à des équations non linéaires ; c’est pourquoi je considère encore l’équation générale du second ordre sous un autre point de vue. Par la méthode que M. Laplace a indiquée, on sait ramener toute équation du second ordre à l’une des formes suivantes :
où sont des fonctions quelconques de et qui se déduisent des variables indépendantes de l’équation proposée par l’intégration de deux équations du premier ordre.
Je commence par la première ; et, en faisant
je lui donne la forme
On voit que cette équation s’intègre immédiatement sous forme finie lorsque En supposant respectivement et fonctions arbitraires de et et faisant,
on trouvera
c’est-à-dire,
(1)
Il est facile de trouver, pour cette intégrale, une infinité d’autres
formes plus ou moins simples ; mais je n’en présenterai qu’une
seule, qui est quelquefois préférable à celle-ci.
En faisant
et étant des fonctions arbitraires de et de respectivement, on aura
d’où
(2)
La forme la plus simple qui intègre l’équation (B) s’obtient de la
manière suivante : faisant
étant fonction arbitraire de on aura,
d’où
les dérivations se rapportant à Cette forme, quoiqu’elle contienne seulement une fonction arbitraire n’en est pas moins générale, corme l’on sait ; et il était facile de trouver une autre forme qui en contint deux. Pour cela, il fallait commencer l’intégration par rapport à
Maintenant, après avoir présenté des formes générales, pour
l’intégration des équations à trois variables, il peut être intéressant
de discuter les cas les plus étendus qui soient susceptibles de simplification. Les méthodes dont on se sert pour cet effet consistent
à introduire de nouvelles variables, par rapport auxquelles on
obtient des intégrales, définies au indéfinies ; et les plus générales
sont celle de Parceval et celle qui conduit à l’intégrale complète
par une somme indéfinie d’intégrales particulières. Cependant, ces
méthodes en laissent toujours à désirer d’autres, dans le cas où
il est possible d’en avoir ; aussi connaît-on, pour certains cas particuliers, plusieurs autres méthodes fort élégantes.
Prenons l’équation
étant des fonctions quelconques de ; alors on trouvera facilement, pour la forme (1), et en observant qu’en général
qu’une valeur satisfait à l’équation proposée, de même que et étant des fonctions indéterminées de Faisant, pour abréger, et observant que
on aura, pour déterminer et les équations à deux variables
En faisant
et représentant par des fonctions arbitraires de on aura
Si la quantité de la forme générale, était une fonction quelconque de on trouverait aisément que la série qui la renferme se
ramènerait à l’intégrale de l’équation
sans constantes arbitraires. Il faut observer que ces principes s’appliquent à une équation d’un ordre quelconque, entre un nombre quelconque de variables.
Soit l’équation
étant des fonctions quelconques de et une fonction quelconque de Quoiqu’elle n’ait pas la forme que nous avons traitée plus haut, il est facile de la lui donner par des facteurs. En effet, on a, par la formule (2),
et étant des fonctions de et, par l’introduction des fonctions arbitraires et par les substitutions successives, on en trouve facilement l’intégrale complète
séries qui se ramènent à la forme finie, par le théorème de Parseval et l’intégration des deux équations du premier ordre à deux variables.
On peut encore intégrer l’équation proposée par une infinité d’intégrales particulières, comme nous l’avons dit plus haut. En effet, si l’on fait
on aura
d’où
de là on conclura facilement, en substituant les valeurs de et
On ne peut, que dans un cas particulier, savoir, lorsque
appliquer à (b) la méthode par laquelle nous avons réduit (a) à
une équation du second ordre à deux variables.
Pour donner un exemple de l’intégration par d’autres méthodes,
il faut nécessairement choisir une équation moins générale. Je vais
employer les principes donnés par Euler, pour intégrer les équations
à deux variables et par lesquels on peut aussi intégrer quelques
équations partielles, sans les réduire auparavant à des équations
ordinaires du second ordre. Soit donc L’équation
étant des constantes, et une fonction de Alors on a
Maintenant il faut observer qu’entre les limites et on a
en supposant que les constantes sont telles que l’intégrale ne devienne pas infinie entre ces limites, et que les mêmes conditions sont remplies dans le présent problème. En faisant
on aura, entre ces limites
en supposant
où est la fonction dérivée de pour trouver la valeur de la première série, on fera,
d’où l’on conclura
et, en observant que
et faisant de plus
on aura
et en faisant
on aura ensuite
l’intégrale étant prise entre et
Prenons encore l’équation
étant des fonctions quelconques, les deux premières de et les deux dernières de Alors, en faisant
on aura
Par le théorème de Parseval, et par la méthode générale exposée plus haut, on déduit cette série à l’intégrale d’une équation ordinaire du second ordre ; mais, dans un cas assez étendu, elle se réduit à la forme finie, par la méthode qu’a indiqué M. Laplace (Journal polytechnique, cahier VIII).
En effet, lorsque on a
et, si l’on donne à la série
la forme
c’est-à-dire d’une fonction arbitraire de en observant que, entre et on a
on trouvera facilement que l’intégrale de l’équation
où est une fonction quelconque de devient
l’intégrale étant prise entre et
Dans ce qui précède, je crois en avoir dit assez pour éelaircir
le principe duquel je suis parti ; et il me paraît superflu d’y ajouter
plus d’exemples et de développemens, sur-tout pour les ordres
supérieurs, qui doivent naturellement avoir des intégrales très-compliquées ; à moins que les équations ne soient très-particulières ;
les raisons que j’ai déduites plus haut me dispensent également de
traiter des équations aux différences finies à plusieurs variables. Il
est d’ailleurs impossible de donner des règles pour les cas particuliers qui admettent des simplifications dans les méthodes générales ; mais ces simplifications se présentent d’elles-mêmes sans
difficulté. Depuis long-temps on se sert du principe des substitutions successives, comme d’une méthode d’approximation, fondée
sur des valeurs particulières des quantités qui entrent dans l’équation proposée ; et on l’a employée, faute de méthodes plus rigoureuses ; c’est pourquoi je me suis sur-tout attaché à l’exposer sous
un point de vue qui doit la faire considérer comme la seule méthode générale qui existe pour l’intégration des équations ; j’ai tâché
ensuite d’en déduire les principales conséquences, indépendamment
de la nature particulière des fonctions qu’on a introduites dans
la langue analitique, par des motifs le plus souvent étrangers à
cette branche de l’analise ; et, conformément aux idées de M. Lacroix (Calc. diff. et intég., tom. II, pag. 576), j’ai indiqué les classes qui ont des propriétés communes, et qui jouissent de
l’avantage de se ramener à d’autres plus simples. J’ai, plus d’une
fois, observé que, dans certains cas, on parvient plus brièvement
au but par des considérations particulières ; mais il n’en est pas
pour cela moins nécessaire, suivant la remarque de l’illustre Lagrange, de généraliser et de réduire les théories, à mesure que la
science s’étend et s’enrichit de procédés nouveaux.