Solution du premier des deux problèmes de combinaisons
proposés à la page 204 de ce volume ;
Par
M. Frédéric Sarrus, docteur ès sciences.
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PROBLÈME. De combien de manières peut-on choisir n lettres parmi m lettres, desquelles il s’en trouve un nombre égales à a, un nombre égales à b, un nombre égales à c, et ainsi de suite ? ou, en d’autres termes, combien le monôme dans lequel admet-il de diviseurs de dimensions ?
Solution. On sait que tous les termes et les seuls termes du
produit
sont les diviseurs du monôme lesquels ne s’y trouvent chacun qu’une seule fois ; d’où il résulte que les diviseurs de dimensions de ce monôme sont les termes de dimensions du produit dont il s’agit.
Or, si l’on pose auquel cas ce même
produit deviendra
ou encore
le nombre de ses termes de dimensions ni le nombre des dimensions de ces termes ne changera pas ; et il arrivera seulement
que chacun d’eux se réduira à d’où il résulte qu’ils se réduiront tous à ce terme affecté d’un coefficient égal au nombre cherché.
Le nombre cherché est donc le coefficient numérique de dans
le développement du produit
Qu’on demande, par exemple, le nombre des diviseurs de trois
dimensions du produit on développera le produit
ce qui donnera
et le coefficient de dans le développement, sera le nombre des diviseurs de trois dimensions de ces diviseurs sont, en effet,
Comme il y a autant de manières de choisir facteurs parmi
que d’en laisser on voit que le produit aura toujours autant de diviseurs de dimensions qu’il en aura de
dimensions. Dans le développement du produit de nos polynômes
en il arrivera donc que les termes également distans des extrêmes auront constamment des coefficiens égaux ; cela résulte d’ailleurs de la nature même de l’opération.
Si le nombre n’était supérieur à aucun des exposans
il est aisé de voir qu’on pourrait supposer ces exposans
plus grands qu’ils ne le sont en effet sans rien changer au résultat
final ; il ferait donc permis aussi de les supposer infinis ; auquel cas, en désignant par le nombre des lettres le
produit à développer deviendrait
ou
ou enfin
or, le développement de cette puissance est
donc, le nombre des diviseurs de dimensions du monôme dans lequel il y a lettres et où sont des exposans quelconques est
Or, si l’on demandait le nombre des termes du polynôme complet et homogène de dimensions qu’on peut fermer avec sortes de lettres en nombre indéfini de chaque sorte, le problème
reviendrait évidemment à celui-ci ; donc le nombre de ces termes est
Soit présentement une équation complète du me degré entre inconnues dont on demande le nombre des termes ;
en introduisant dans chacun de ses termes une puissance d’une
me inconnue, du degré nécessaire pour les rendre tous
homogènes et de dimensions, son premier membre deviendra un
polynôme homogène de dimensions, formé avec sortes de lettres ; le nombre des termes de la proposée est donc ce que
devient la formule ci-dessus, en y changeant en ou
en c’est-à-dire que le nombre des termes d’une équation complète de me degré entre inconnues, comme aussi le nombre de ceux d’une équation complète du me degré entre inconnues est
Cette démonstration d’un théorème d’ailleurs assez important nous
paraît beaucoup plus courte et plus claire que celle de M. G. Fornier, rapportée par M. Gergonne, à la page 115, du IV.e volume de ce recueil.