Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 11/Trigonométrie, article 2

Sommation d’une série procédant suivant les tangentes d’une suite d’arcs sous-doubles les unes des autres ; par M. Sarrus et un Abonné.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 11, 1821 (p. 195-198).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration du théorème d’analise transcendante,
énoncé à la page 388 du X.^e volume des Annales ;

Par M. Frédéric Sarrus,
Et par un ancien Élève de l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

M. Sarrus attaque la question d’une manière tout-à-fait synthétique. Il remarque d’abord que l’on a, par les théories connues,

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .z&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}},\\\\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{4}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}},\\\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-2}}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-1}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n-1}}},\\\\\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n-1}}}&=2\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n}}}\,;\end{aligned}}$

d’où, en multipliant et réduisant,

$\operatorname {Sin} .z=2^{n}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}}\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {z}{2^{n}}}.$

Mais comme, à mesure que $n$ augmente, $\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}$ tend sans cesse à devenir ${\frac {z}{2^{n}}}\,;$ il s’ensuit que, dans le même cas, $2^{n}\operatorname {Sin} .{\frac {z}{2^{n}}}$ tend sans cesse à se confondre avec l’arc $z\,;$ de sorte qu’en faisant $n$ infini, on a rigoureusement

$\operatorname {Sin} .z=z\operatorname {Cos} .{\frac {z}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {z}{8}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z}{16}}.\operatorname {Cos} .{\frac {z}{32}}\ldots \,;$

formule dont le second membre a une infinité de facteurs tendant sans cesse vers l’unité, quel que soit l’arc $z,$ ce qui en garantit la convergence.

En prenant les différentielles logarithmiques des deux membres, on tire de là, en transposant,

${\frac {1}{z}}=\operatorname {Cot} .z+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{2}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {z}{8}}+\ldots \qquad$(I)

Si l’on pose ensuite $z={\frac {\varpi }{2}},\ \varpi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, en observant que $\operatorname {Cot} .{\frac {\varpi }{2}}=0$ et divisant par $2,$ on aura

${\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{16}}+\ldots ,\qquad$(II)

qui est précisément la formule à démontrer.

M. Sarrus observe que ces deux séries, l’une et l’autre très-régulières, convergent rapidement toutes deux vers des progressions décroissantes par quotiens ayant $4$ pour raison ; de sorte qu’en prenant pour $n$ un très-grand nombre, la dernière, par exemple, pourra être sensiblement remplacée par cette formule finie

${\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2^{n}}}+{\frac {2}{3.2^{n}}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2^{n+1}}}.$

L’anonyme, au contraire, parvient à son but par un procédé tout-à-fait analitique, et conséquemment inverse de celui de M. Sarrus. Il cherche généralement quelle fonction, finie peut être équivalente à la série infinie

${\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{16}}+\ldots ,$

où $x$ désigne un arc quelconque. Posant donc cette série égale une certaine variable $y,$ multipliant par $\operatorname {d} x$ et intégrant, il obtient

$\int y\operatorname {d} x=C-\left\{\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}+\ldots \right\}\,;$

ou bien

$\int y\operatorname {d} x=C-\operatorname {Log} .\left(\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{32}}\ldots \right)\,;$

observant ensuite que

$\operatorname {Cos} .{\frac {x}{4}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{8}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{16}}\operatorname {Cos} .{\frac {x}{32}}\ldots ={\frac {\operatorname {Sin} .x}{x\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}}},$

il en conclut que

$\int y\operatorname {d} x=C-\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Sin} .x}{x\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}}}=C-\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{2}}-\operatorname {Log} .x\,;$

d’où, en différentiant et divisant par $\operatorname {d} x,$

$y={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{2}}-\operatorname {Cot} .x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cot} .{\frac {x}{2}}\,;$

ce qui donne, en remettant pour $y$ sa valeur et transposant,

${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cot} .{\frac {x}{2}}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {x}{16}}+\ldots \,;$

formule qui est générale quel que soit l’arc $x.$

Si ensuite on suppose $x={\frac {\varpi }{2}},$ on tombe précisément sur la formule proposée à démontrer.