Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Analise transcendante, article 1

Sommation de diverses séries de fonctions circulaires ; par M. W. H. Talbot.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 14, 1823-1824 (p. 88-95).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution des problèmes d’analise transcendante, proposés
à la page 247 du XIII.^e volume du présent recueil ;

Par M. W. H. Talbot, membre de la société philosophique
de Cambridge.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I. Pour sommer la série

$S={\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-{\frac {a^{7}\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

posons $\operatorname {Cos} .x={\frac {1}{2}}(u+v),$ avec la relation $uv=1\,;$ nous aurons, comme l’on sait,

$\operatorname {Cos} .nx={\frac {1}{2}}\left(u^{n}+v^{n}\right)\,;$

de sorte qu’en posant

${\begin{aligned}&U={\frac {au}{1}}-{\frac {a^{3}u^{3}}{3}}+{\frac {a^{5}u^{5}}{5}}-{\frac {a^{7}u^{7}}{7}}+\ldots ,\\\\&V={\frac {av}{1}}-{\frac {a^{3}v^{3}}{3}}+{\frac {a^{5}v^{5}}{5}}-{\frac {a^{7}v^{7}}{7}}+\ldots ,\end{aligned}}$

nous aurons

$S={\frac {1}{2}}(U+V)\,;$

cela donne

$U=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=au),\qquad V=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=av)\,;$

mais, en renversant le théorème connu,

$\operatorname {Tang} .(p+q)={\frac {\operatorname {Tang} .p+\operatorname {Tang} .q}{1-\operatorname {Tang} .p\operatorname {Tang} .q}},$

on a

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=p')+\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=q')=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {p'+q'}{1-p'q'}}\right),$

et par suite,

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=au)+\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=av)=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a(u+v)}{1-a^{2}uv}}\right)\,;$

remettant donc $2\operatorname {Cos} .r$ pour $u+v$ et $1$ pour $uv,$ il viendra finalement

$S={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right).$

II. Pour sommer la seconde série

$S={\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

nous poserons encore $\operatorname {Cos} .x={\frac {1}{2}}(u+v),$ avec la condition $uv=1\,;$ alors, en posant

${\begin{aligned}&U=u+{\frac {1}{2}}.{\frac {u^{3}}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {u^{5}}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {u^{7}}{7}}+\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=u),\\\\&V=v+{\frac {1}{2}}.{\frac {v^{3}}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {v^{5}}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {v^{7}}{7}}+\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=v),\end{aligned}}$

nous aurons

$S={\frac {1}{2}}(U+V)={\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=u)+\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=v)\right\}\,;$

donc

$\left.{\begin{aligned}&u=\operatorname {Sin} .U\\&v=\operatorname {Sin} .V\end{aligned}}\right\}\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad \left\{{\begin{aligned}&{\sqrt {1-u^{2}}}=\operatorname {Cos} .U,\\&{\sqrt {1-v^{2}}}=\operatorname {Cos} .V,\end{aligned}}\right.$

donc aussi

$\operatorname {Sin} .2S=\operatorname {Sin} .(U+V)=u{\sqrt {1-v^{2}}}+v{\sqrt {1-u^{2}}},$

ou, en quarrant

$\operatorname {Sin} .^{2}2S=u^{2}\left(1-v^{2}\right)+v^{2}\left(1-u^{2}\right)+2uv{\sqrt {(1-u^{2})(1-v^{2})}},$

en développant et observant que $uv=1,$ et que conséquemment

$u^{2}+v^{2}=(u+v)^{2}-2uv=(u+v)^{2}-2=4\operatorname {Cos} .^{2}x-2,$

on trouvera

$\operatorname {Sin} .^{2}2S=4\operatorname {Cos} .^{2}x-4+2{\sqrt {4-4\operatorname {Cos} .^{2}x}}=4\operatorname {Sin} .x-4\operatorname {Sin} .^{2}x,$

donc

$\operatorname {Sin} .2S=2{\sqrt {\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .^{2}x}}\quad$et$\quad 2S=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=2{\sqrt {\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .^{2}x}}\right),$

c’est-à-dire,

$S={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=2{\sqrt {\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .^{2}x}}\right).$^[1]

III. Pour sommer la troisième série

$S={\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-\ldots ,$

faisant d’abord, comme ci-dessus,

$\operatorname {Cos} .x={\frac {1}{2}}(u+v),\qquad uv=1\,;$

en posant

${\begin{aligned}&U={\frac {u\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {u^{2}\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {u^{3}\operatorname {Cos} .3y}{3}}-{\frac {u^{4}\operatorname {Cos} .4y}{4}}+\ldots ,\\\\&V={\frac {v\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {v^{2}\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {v^{3}\operatorname {Cos} .3y}{3}}-{\frac {v^{4}\operatorname {Cos} .4y}{4}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

nous aurons

$S={\frac {1}{2}}(U+V)\,;$

de sorte que tout se réduira à sommer les séries $U$ et $V.$

Pour y parvenir, nous poserons

$\operatorname {Cos} .y={\frac {1}{2}}(p+q),\qquad pq=1\,;$

alors, en faisant

${\begin{aligned}&P={\frac {up}{1}}-{\frac {u^{2}p^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}p^{3}}{3}}-{\frac {u^{4}p^{4}}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .(1+up),\\\\&Q={\frac {uq}{1}}-{\frac {u^{2}q^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}q^{3}}{3}}-{\frac {u^{4}q^{4}}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .(1+uq),\\\\&P'={\frac {vp}{1}}-{\frac {v^{2}p^{2}}{2}}+{\frac {v^{3}p^{3}}{3}}-{\frac {v^{4}p^{4}}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .(1+vp),\\\\&Q'={\frac {vq}{1}}-{\frac {v^{2}q^{2}}{2}}+{\frac {v^{3}q^{3}}{3}}-{\frac {v^{4}q^{4}}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .(1+vq).\end{aligned}}$

nous aurons

${\begin{aligned}&U={\frac {1}{2}}(P+Q)={\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .(1+up)+\operatorname {Log} .(1+uq)\right\},\\&V={\frac {1}{2}}(P'+Q')={\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .(1+vp)+\operatorname {Log} .(1+vq)\right\}\,;\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}&U={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .(1+up)(1+uq)={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .\left[1+(p+q)u+u^{2}\right],\\\\&V={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .(1+vp)(1+vq)={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .\left[1+(p+q)v+v^{2}\right],\end{aligned}}$

ou encore

$2U=\operatorname {Log} .\left(1+2u\operatorname {Cos} .y+u^{2}\right),\qquad 2V=\operatorname {Log} .\left(1+2v\operatorname {Cos} .y+v^{2}\right)\,;$

donc

$4S=2U+2V=\operatorname {Log} .\left(1+2u\operatorname {Cos} .y+u^{2}\right)+\operatorname {Log} .\left(1+2v\operatorname {Cos} .y+v^{2}\right)\,;$

c’est-à-dire,

$4S=\operatorname {Log} .\left(1+2u\operatorname {Cos} .y+u^{2}\right)\left(1+2v\operatorname {Cos} .y+v^{2}\right)\,;$

en développant et se rappelant que $uv=1,$ cela donnera

$4S=\operatorname {Log} .\left[2+u^{2}+v^{2}+4(u+v)\operatorname {Cos} .y+4\operatorname {Cos} .^{2}y\right]\,;$

mais

$u+v=2\operatorname {Cos} .x,\qquad u^{2}+v^{2}=(u+v)^{2}-2=4\operatorname {Cos} .^{2}x-2\,;$

donc

$4S=\operatorname {Log} .4\left(\operatorname {Cos} .^{2}x+2\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} ^{2}y\right)=\operatorname {Log} .4(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y)^{2}$

ou

$4S=2\operatorname {Log} .(2\operatorname {Cos} .x+2\operatorname {Cos} .y),$

d’où finalement

$S={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .2(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y)={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y).$

Nous ayons donc, en résumé,

1.^o  ${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}-\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {2a\operatorname {Cos} .x}{1-a^{2}}}\right),$

2.^o  ${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x-1),$

3.^o  ${\frac {\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x\operatorname {Cos} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y).$

Il est aisé de parvenir, en suivant la même marche, à des sommes de séries beaucoup plus compliquées. Nous nous bornerons à en rapporter deux exemples, en nous dispensant de développer les calculs qui sont en tout semblables à ceux qu’on a vu ci-dessus.

On trouve, en premier lieu,

${\frac {a\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x\operatorname {Cos} .5y}{5}}-\ldots$

$={\frac {1}{4}}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Tang} .={\frac {4a\left(1-a^{2}\right)\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{\left(1+a^{2}\right)-4a^{2}\left(\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{2}y\right)}}\right\}.$

Dans le cas de $y=0$ ou $\operatorname {Cos} .y=1,$ cette somme devient celle de la première de nos trois séries, quoique sous une forme un peu différente.

On trouve, en second lieu,

${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\sqrt {\left(1+a^{2}\right)^{2}-4a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}x}}-a^{2}\right)$

qui se change immédiatement dans la seconde série, lorsqu’on, fait $a=1.$

Si, dans ces diverses séries, on attribue à $x,y,a$ des valeurs particulières, on en fera dériver une multitude d’autres plus ou moins remarquables. La troisième, par exemple, en supposant $y=x,$ devient

${\frac {\operatorname {Cos} ^{2}.x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .x.$

On trouve, plus généralement,

${\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{4}}\operatorname {Log} .\left\{\left(1-a^{2}\right)^{2}+4a\left(1+a\right)^{2}\operatorname {Cos} .^{2}x\right\}.$

Rome (mai 1823).

1. M. Querret trouve (tom. XIII, pag. 357)
   $S={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1),$

   résultat inconciliable avec celui que nous venons d’obtenir. Afin donc de découvrir quel est celui des deux qui doit être admis, recourons à des cas particuliers. Si, dans la série, nous faisons, tour-à-tour, $x=0$ et $x={\frac {\varpi }{2}}$ elle deviendra, dans le premier cas,

   ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {1}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {1}{7}}+\ldots$

   développement connu de ${\frac {\varpi }{2}},$ tandis que, dans le second, elle deviendra zéro ; et c’est aussi ce que donne notre formule sommatoire ; tandis que celle de M. Querret donne constamment, dans les mêmes circonstances,

   $S={\frac {\varpi }{2}}.$

   L’erreur de cet habile géomètre paraît provenir de ce qu’après avoir posé (page 356)

   $\operatorname {Sin} .P=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,$

   il en conclut ensuite

   $\operatorname {Cos} .P={\sqrt {-2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}},$

   tandis qu’on doit avoir

   $\operatorname {Cos} .P={\sqrt {2\operatorname {Sin} .x\left(\operatorname {Sin} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Cos} .x\right)}}.$

   On est facilement exposé à ces sortes de méprises par l’emploi explicite des imaginaires, à raison de la complication des calculs. La méthode que nous employons ici n’est pas sujette à cet inconvénient.

   Il y a, au surplus, une faute d’impression à la page 360, où le cosinus est devenu un sinus.