Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Analise transcendante, article 8

Loi du développement de la tangente en fonction de l’arc ; par M. Bouvier.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 14, 1823-1824 (p. 347-350).

ANALISE TRANSCENDANTE.

Loi du développement de la tangente en fonction de l’arc ;

M. L. C. Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit qu’on divise l’une par l’autre les deux séries qui donnent le sinus et le cosinus en fonction de l’arc, ou qu’on emploie tout autre procédé, on obtient également

$\operatorname {Tang} .x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+{\frac {1382}{155925}}x^{11}+{\frac {21844}{6081075}}x^{13}+\ldots$

série connue depuis long-temps, mais qu’on n’a pas enseigné à prolonger à la seule inspection de ses premiers termes, faute de connaître la loi qui la régit.

Toute la difficulté se réduit à découvrir à quelle loi sont assujettis les coefficiens numériques consécutifs

$1,\ {\frac {1}{3}},\ {\frac {2}{15}},\ {\frac {17}{315}},\ {\frac {62}{2835}},\ {\frac {1382}{155925}},\ {\frac {21844}{6081075}},\ldots$

or, cette loi, la voici :

Un certain nombre de termes étant déjà calculé, prenez, dans la série de ces termes, le double de la somme des produits tant des extrêmes que des termes également distans des extrêmes, ajoutez-y le quarré du terme du milieu, si le nombre des termes est impair ; en divisant le résultat par l’exposant que doit avoir le terme que vous voulez calculer, vous obtiendrez le coefficient de ce terme. On trouve en effet successivement

${\begin{array}{cl}{\frac {1}{3}}&={\frac {1^{2}}{3}},\\\\{\frac {2}{15}}&={\frac {2.1.{\frac {1}{3}}}{5}},\\\\{\frac {17}{315}}&={\frac {2.1.{\frac {2}{15}}+\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}{7}},\\\\{\frac {62}{2835}}&={\frac {2\left(1.{\frac {17}{315}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {2}{15}}\right)}{9}},{\frac {1382}{155925}}&={\frac {2\left(1.{\frac {62}{2835}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {17}{315}}\right)+\left({\frac {2}{15}}\right)^{2}}{11}},\end{array}}$

${\begin{array}{cl}{\frac {21844}{6081075}}&={\frac {2\left(1.{\frac {1382}{155925}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {62}{2835}}+{\frac {2}{15}}.{\frac {17}{315}}\right)}{13}},\end{array}}$

et ainsi de suite^[1].

1. Ceci n’est encore qu’une induction, et c’est sans doute déjà beaucoup ; mais on peut prouver aisément que telle est en effet la loi de la série. Posons en effet
   $\operatorname {Tang} .x=Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+Fx^{11}+\ldots ,\qquad$(1)

   où l’on voit déjà que $A$ doit être égal à l’unité ; en différentiant deux fois consécutivement, il viendra

   ${\frac {1}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+11Fx^{10}+\ldots ,\qquad$(2)
   
   
   ${\frac {\operatorname {Tang} .x}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots ,\quad$(3)

   Comparant ensuite le produit des équations (1) et (2) à l’équation (3), on aura

   $\left(A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+\ldots \right)\left(Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+\ldots \right)$
   
   
   $=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots$

   ou, en développant le premier membre et ordonnant,

   ${\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}A^{2}x+AB&\\+3AB&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{3}+AC&\\+3B^{2}&\\+5AC&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{5}+AD&\\+3BC&\\+5BC&\\+7AD&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{7}+AE&\\+3BD&\\+5C^{2}&\\+7BD&\\+9AE&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{9}+AF&\\+3BE&\\+5CD&\\+7CD&\\+9BE&\\11AF&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{11}+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\end{aligned}}$
   $=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots$

   La loi de ces résultats est manifeste : on peut les prolonger en toute sécurité aussi loin qu’on le voudra, et on voit qu’ils donneront, en réduisant,

   ${\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}A^{2}x+4ABx^{3}+6AC&\\+3B^{2}&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{5}+8AD&\\+8BC&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{array}{rr|}x^{7}+10AE&\\+10BD&\\+5C^{2}&\end{array}}{\begin{array}{rr|}x^{9}+12AF&\\+12BE&\\+12CD&\end{array}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{11}+\ldots \end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}$
   $=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots$

   En exprimant donc que cette dernière équation a lieu quel que soit $x$ et réduisant, il viendra

   ${\begin{aligned}&3B=A^{2},\\\\&5Cx=2AB,\\\\&7Dx=2AC+B^{2},\\\\&9E=2(AD+BC),\\\\\end{aligned}}$
   ${\begin{aligned}&11F=2(AE+BD)+C^{2},\\\\&13G=2(AF+BE+CD),\\\\&15H=2(AG+BF+CE)+D^{2},\end{aligned}}$

   et ainsi de suite, ce qui démontre la loi annoncée.

   Ces résultats, auxquels il serait aisé de parvenir, sans rien emprunter du calcul différentiel, peuvent servir de supplément à ce qui a déjà été publié dans ce recueil (tom. III, pag. 344).

   J. D. G.