ANALISE TRANSCENDANTE.
Note sur l’article de la page 88 du présent volume ;
Par
M. W. H. Talbot, membre de la société philosophique
de Cambridge.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Au Rédacteur des Annales ;
Monsieur,
Permettez-moi de relever quelques légères inexactitudes qui se sont glissées dans l’impression de l’article de la page 88 de votre XIV.e volume.
En posant
![{\displaystyle S={\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae5c962687b778a1906d19c3d5a5be6b91928e3)
on trouve
![{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=2{\sqrt {\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .^{2}x}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a116d0b5d2641e00a2a7022761f1ec430d36ec)
à ce sinus répond le cosinus
![{\displaystyle {\sqrt {1-4\operatorname {Sin} .x+4\operatorname {Sin} .^{2}x}}=\pm (1-2\operatorname {Sin} .x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0473f7a2fe37a42e8673925de1d4c8b424c9def)
ce qui donnerait en général
![{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Cos} .=\pm (1-2\operatorname {Sin} .x)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a0220cb955f29b6a762cd721369c55eaea3092)
Mais, d’après la forme de la série, aux valeurs
et
doivent répondre respectivement
et
d’où il suit que c’est le signe inférieur qu’il faut prendre, et qu’on doit avoir
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78616490c2c6442b6fa54f54b41de6193b8aebf4)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf495313fbb683f1ae7d4a92e6a46160f0de1a16)
et non pas
comme il avait été annoncé au bas de la page 94. Je remarquerai, en passant, que, dans la note de la page 91, on a mis une première fois
au lieu de ![{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf044c61926a53776ca78151a111c70633277ec)
Par de semblables considérations, on trouve pour la somme de la série de la page 95,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15a681097ed1caffa0171908f025b4f1d6f6471)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\sqrt {\left(1+a^{2}\right)^{2}-4a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}x}}-a^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d34485c17ce1ccc2dee37c50f12f407a11c689)
et non pas
comme dans le texte, où d’ailleurs on a écrit
pour
hors du radical ; car il faut que cette somme rentre dans la précédente en y faisant ![{\displaystyle a=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87aaf9fe1b82ddb0ba04b257c04f6d0eb4697a5)
À la même page 95, dans le dénominateur du second membre de la première équation, un signe plus a été omis entre
et
Même page encore, à la troisième équation, le premier membre doit être
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}4x}{4}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {\operatorname {Log} } .4\operatorname {Cos} .x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11124ee2004e6c0443c1a99fa31708b26f339d0)
Enfin, dans la dernière équation de la même page un
a pris la place de
et ce second membre doit être
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .\left\{\left(1-a^{2}\right)+4a(1+a)^{2}\operatorname {Cos} .^{2}x\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6398d236441dff0d8799f88905df9c92b15504b)
On vérifie cette correction en posant
d’où
il vient ainsi
![{\displaystyle {\frac {a}{1}}-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{3}}{3}}-{\frac {a^{4}}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .a(1+a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e844fab9146668e84111f2fe7f10aaae60c4f29a)
comme cela doit être.
J’allais fermer ma lettre lorsque la remarque suivante m’a frappé. On a, comme l’on sait.
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .2p=2\operatorname {Cos} .^{2}p-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50a600651e4f5fe40f2a63c518851beed72e113)
d’où il résulte
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=p')={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .=2p'^{2}-1\right):}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74f5648c2388b2dd59c404e6eebaaa2c18304d4)
puis donc qu’on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb804c24dc4e0883f21e830da08a85a7f903ee80)
on aura aussi
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .={\sqrt {\operatorname {Sin} .x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce6c45021cbab1fb403769925cac4c04574378d)
résultat extrêmement simple.
Voici une singulière conséquence de ce résultat. On a
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=p)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=p)={\frac {\pi }{2}}-\left({\frac {p}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{3}}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {p^{5}}{5}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c567d6e8975be724958cd1c2120fb24ced49377)
en faisant donc
on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f94368b01a899bc64e3cd1484703b34c68282d4)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\left({\frac {\operatorname {Sin} .^{\frac {1}{2}}x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Sin} .^{\frac {3}{2}}x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Sin} .^{\frac {5}{2}}x}{5}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fadcab44d564fd4c43a26332b5e77101347d3d2)
équation d’où on tire cette valeur remarquable du quart de la circonférence
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left\{{\begin{array}{lrl}&&\left(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Sin} .^{\frac {1}{2}}x\right)\\\\+&{\frac {1}{2}}&\left(\operatorname {Cos} .3x+\operatorname {Sin} .^{\frac {3}{2}}x\right)\\\\+&{\frac {1.3}{2.4}}&\left(\operatorname {Cos} .5x+\operatorname {Sin} .^{\frac {5}{2}}x\right)\\\\+&{\frac {1.3.5}{2.4.6}}&\left(\operatorname {Cos} .7x+\operatorname {Sin} .^{\frac {7}{2}}x\right)\\+&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70dbdfa7485da4a4e60cefa84279be5e71862624)
quel que soit l’arc
[1].
Agréez, etc.
Milan, octobre 1823.