Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Algèbre élémentaire, article 1

Sur la sommation des termes du développement des puissances d’un binôme, pour faire suite aux articles insérés à la page 359 du XII^e volume et à la page 163 du XIII.^e ; par M. Querret.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 189-194).

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Sur la sommation des termes du développement
des puissances d’un binome, pour faire suite aux articles
insérés à la page 359 du tome XII.^e et à la page 163
du tome XIII.^e des Annales ;

Par M. Querret, ancien chef d’institution.

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Représentons par $M_{i}$ le coefficient numérique du terme affecté des $a^{i}x^{m-i},$ dans le développement de $(x+a)^{m}\,;$ et soit la suite

$M_{1}a,\ M_{2}a^{2},\ M_{3}a^{3},\ M_{4}a^{4},\ldots M_{r}a^{r},\ldots \,;\qquad (\alpha )$

$r$ désignant le rang du terme $M_{r}a^{r}\,;$ et appelons cette suite $(\alpha ).$

Soit formée une seconde suite $(\beta )$ dont le premier terme soit le premier terme de $(\alpha )$ augmenté de $b\,;$ dont le second terme soit le second terme des $(\alpha )$ augmenté du premier terme de $(\beta )$ multiplié par $b\,;$ dont le troisième terme soit le troisième terme de $(\alpha )$ augmenté du second terme de $(\beta )$ multiplié par $b,$ et ainsi de suite, ; en disposant dans une même colonne toutes les parties d’un même terme de cette deuxième suite, et en disposant ces termes de gauche à droite, suivant leur rang, elle sera

$\left.{\begin{array}{r|r|r|r|r}M_{1}a&M_{2}a^{2}&M_{3}a^{3}&M_{4}a^{4}&\ldots \qquad M_{r}a^{r}\qquad \ldots \\+b&+M_{1}ab&+M_{2}a^{2}b&+M_{3}a^{3}b&\ldots +M_{r-1}a^{r-1}b\ldots \\&+\qquad b^{2}&+M_{1}ab^{2}&+M_{2}a^{2}b^{2}&\ldots +M_{r-2}a^{r-2}b^{2}\ldots \\&&+\qquad b^{3}&+M_{1}ab^{3}&\ldots +M_{r-3}a^{r-3}b^{3}\ldots \\&&&+\qquad b^{4}&\ldots +M_{r-4}a^{r-4}b^{4}\ldots \\&&&&\ldots +\ldots \\&&&&+\ldots \end{array}}\right\}(\beta )$

Nous appellerons cette suite la somme première de $(\alpha ),$ en désignant ses termes consécutifs par $\Sigma (1,1),\ \Sigma (1,2),\ \Sigma (1,3)\ldots$$\Sigma 2(1,r),\ldots$

Si on opère sur la série (\beta), pour trouver une troisième série $(\gamma )$ comme on avait opéré sur $(\alpha )$ pour trouver $(\beta ),$ on aura

$\left.{\begin{array}{r|r|r|r}M_{1}a&M_{2}a^{2}&M_{3}a^{3}&M_{4}a^{4}\ldots \qquad M_{r}a^{r}\qquad \ldots \\+2b&+2M_{1}ab&+2M_{2}a^{2}b&+2M_{3}a^{3}b\ldots +2M_{r-1}a^{r-1}b\ldots \\&+\quad 3b^{2}&+3M_{1}ab^{2}&+3M_{2}a^{2}b^{2}\ldots +3M_{r-2}a^{r-2}b^{2}\ldots \\&&+\qquad 4b^{3}&+4M_{1}ab^{3}\ldots +4M_{r-3}a^{r-3}b^{3}\ldots \\&&&+\qquad 5b^{4}\ldots +5M_{r-4}a^{r-4}b^{4}\ldots \\&&&\ldots \ldots \\&&&+(r+1)b^{r}\ldots \end{array}}\right\}(\gamma )$

Nous appellerons indistinctement cette nouvelle suite la somme première de $(\beta )$ ou la somme seconde de $(\alpha ),$ et nous représenterons ses termes consécutifs par $\Sigma (2,1),\ \Sigma (2,2),\ \Sigma (2,3)\ldots$$\Sigma (2,r)\ldots$

En opérant sur $(\gamma ),$ comme sur les précédentes, nous formerons une suite $(\gamma )$ telle qu’on la voit ici

$\left.{\begin{array}{r|r|r|r}M_{1}a&M_{2}a^{2}&M_{3}a^{3}&M_{4}a^{4}\ldots \qquad M_{r}a^{r}\qquad \ldots \\+3b&+3M_{1}ab&+3M_{2}a^{2}b&+3M_{3}a^{3}b\ldots +3M_{r-1}a^{r-1}b\ldots \\&+\quad 6b^{2}&+6M_{1}ab^{2}&+6M_{2}a^{2}b^{2}\ldots +6M_{r-2}a^{r-2}b^{2}\ldots \\&&+\qquad 10b^{3}&+10M_{1}ab^{3}\ldots +10M_{r-3}a^{r-3}b^{3}\ldots \\&&&+\qquad 15b^{4}\ldots +15M_{r-4}a^{r-4}b^{4}\ldots \\&&&\ldots \ldots \\&&&+{\frac {(r+1)(r+2)}{2}}b^{r}\ldots \end{array}}\right\}(\delta )$

Cette suite sera pareillement la somme première de $(\gamma )$ ou la somme seconde de $(\beta )$ ou la somme troisième de $(\alpha ),$ et nous représenterons ses termes consécutifs par $\Sigma (3,1),\ \Sigma (3,2),\ \Sigma (3,3)\ldots$$\Sigma (3,r)\ldots$

On peut, par le même procédé, former tant d’autres suites $(\varepsilon ),(\zeta ),(\eta ),\ldots$ qu’on voudra, lesquelles seront dites les sommes quatrième, cinquième, sixième, … de la suite $(\alpha )\,;$ et il résulte des lois de leur formation,

1.^o Que, dans la somme première de $(\alpha ),$ les coefficiens sont constans et égaux à l’unité ;

2.^o Que ; dans la somme seconde, les coefficiens sont les nombres de la suite naturelle $1,2,3,\ldots \,;$

3.^o Que, dans la somme troisième, les coefficiens sont les nombres triangulaires $1,3,6,10,\ldots \,;$

4.^o Que, dans la somme quatrième, les coefficiens sont la somme des nombres tétraèdres $1,4,10,20,\ldots \,;$

Et ainsi de suite.

De sorte que généralement, dans la somme n.^me les coefficiens sont les nombres figurés du n.^me ordre.

Si donc nous désignons, en général, par $\varphi (p,q)$ le q.^me nombre figuré du p.^me ordre, et par $\Sigma (n,r)$ le r.^me terme de la somme n.^me de $(\alpha ),$ nous aurons

$\Sigma (n,r)=M_{r}a^{r}+\varphi (n,2)M_{r-1}a^{r-1}b+\varphi (n,3)M_{r-2}a^{r-2}b^{2}+\ldots \varphi (n,r+1)b^{r}.$(X)

Le terme général de cette série est $\varphi (n,i+1)M_{r-i}a^{r-i}b^{i}.$

Cela posé, on sait que

$M_{r}={\frac {m-r+1}{r}}M_{r-1},\quad$d’où$\quad M_{r-1}={\frac {r}{m-r+1}}M_{r}\,;$

de là on tire, en changeant continuellement, en $r$ en $r-1$

${\begin{aligned}&M_{r-1}={\frac {r}{m-r+1}}M_{r},\\\\&M_{r-2}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}M_{r},\\\\&M_{r-3}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}M_{r},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&M_{r-i}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}\ldots {\frac {r-i+1}{m-r+i}}M_{r}.\end{aligned}}$

Par la substitution de ces valeurs, la série (X) deviendra

$\Sigma (n,r)=M_{r}\left\{a^{r}+{\frac {r}{m-r+1}}\varphi (n,2)a^{r-1}b+{\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}\varphi (n,3)a^{r-2}b^{2}\right.$

$+{\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}\varphi (n,4)a^{r-3}b^{3}+\ldots$

$+{\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}\ldots {\frac {r-i+1}{m-r+i}}\varphi (n,i+1)a^{r-i}b^{i}+\ldots$

$\left.+{\frac {\varphi (n,r+1)}{M_{r}}}b^{r}\right\}.$(Y)

Mais, à cause de la relation connue $\varphi (p,q)=\varphi (q,p),$ on a

${\begin{aligned}&m-r+1=\varphi (2,m-r+1)=\varphi (m-r+1,2),\\&(m-r+1)(m-r+2)=1.2\varphi (3,m-r+1)=1.2\varphi (m-r+1,3),\\&(m-r+1)(m-r+2)(m-r+3)=1.2.3\varphi (4,m-r+1)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =1.2.3\varphi (m-r+1,4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&(m-r+1)(m-r+2)\ldots (m-r+i)=1.2\ldots i\varphi (i+1,m-r+1)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =1.2\ldots i\varphi (m-r+1,i+1)\,;\end{aligned}}$

on a de plus

$M_{r}={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-r+1}{r}}=\varphi (r+1,m-r+1)$

$=\varphi (m-r+1,r+1)$

Au moyen de ces valeurs, la série (Y) deviendra

$\Sigma (n,r)=M_{r}\left\{a^{r}+{\frac {r}{1}}{\frac {\varphi (n,2)}{\varphi (m-r+1,2)}}a^{r-1}b+{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}.{\frac {\varphi (n,3)}{\varphi (m-r+1,3)}}a^{r-2}b^{2}+\right.$

$+{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}.{\frac {r-2}{3}}{\frac {\varphi (n,4)}{\varphi (m-r+1,4)}}a^{r-3}b^{3}+\ldots$

$+{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}\ldots {\frac {r-i+1}{i}}.{\frac {\varphi (n,i+1)}{\varphi (m-r+1,i+1)}}a^{r-i}b^{i}+\ldots$

$\left.+{\frac {\varphi (n,r+1)}{\varphi (m-r+1,r+1)}}b^{r}\right\}.$(Z)

Telle est l’expression générale d’un terme d’un rang quelconque dans une somme quelconque.

Si présentement on suppose $n=m-r+1,$ la série (Z) deviendra

$\Sigma (m-r+1,r)=M_{r}\left\{a^{r}+{\frac {r}{1}}a^{r-1}b+{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}a^{r-2}b^{2}+\ldots \right.$

$\left.{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}\ldots {\frac {r-i+1}{i}}a^{r-i}b^{i}+\ldots +b^{r}\right\}$

c’est-à-dire,

$\Sigma (m-r+1,r)=M_{r}(a+b)^{r}\,;$

de là on conclura

$(a+b+c)^{m}=\Sigma (1,m)+\Sigma (2,m-1)c+\Sigma (3,m-2)c^{2}+\ldots$

$+\Sigma (i+1,m-i)c^{i}+\ldots +c^{m}\,;$

ce qui démontre généralement les équations posées tome XIII, (pag. 164 et suiv.), sur lesquelles est fondée la méthode que nous avons développée en cet endroit pour l’extraction des racines.