ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Sur la sommation des termes du développement
des puissances d’un binome, pour faire suite aux articles
insérés à la page 359 du tome XII.e et à la page 163
du tome XIII.e des Annales ;
Par
M. Querret, ancien chef d’institution.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Représentons par
le coefficient numérique du terme affecté des
dans le développement de
et soit la suite
![{\displaystyle M_{1}a,\ M_{2}a^{2},\ M_{3}a^{3},\ M_{4}a^{4},\ldots M_{r}a^{r},\ldots \,;\qquad (\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efeceb695e9ac88cc64a6a248574a37ff4b7ee82)
désignant le rang du terme
et appelons cette suite ![{\displaystyle (\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d81badd7a55f3f177d0c2aa63d4c8d87401393d8)
Soit formée une seconde suite
dont le premier terme soit le premier terme de
augmenté de
dont le second terme soit le second terme des
augmenté du premier terme de
multiplié par
dont le troisième terme soit le troisième terme de
augmenté du second terme de
multiplié par
et ainsi de suite, ; en disposant dans une même colonne toutes les parties d’un même terme de cette deuxième suite, et en disposant ces termes de gauche à droite, suivant leur rang, elle sera
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{r|r|r|r|r}M_{1}a&M_{2}a^{2}&M_{3}a^{3}&M_{4}a^{4}&\ldots \qquad M_{r}a^{r}\qquad \ldots \\+b&+M_{1}ab&+M_{2}a^{2}b&+M_{3}a^{3}b&\ldots +M_{r-1}a^{r-1}b\ldots \\&+\qquad b^{2}&+M_{1}ab^{2}&+M_{2}a^{2}b^{2}&\ldots +M_{r-2}a^{r-2}b^{2}\ldots \\&&+\qquad b^{3}&+M_{1}ab^{3}&\ldots +M_{r-3}a^{r-3}b^{3}\ldots \\&&&+\qquad b^{4}&\ldots +M_{r-4}a^{r-4}b^{4}\ldots \\&&&&\ldots +\ldots \\&&&&+\ldots \end{array}}\right\}(\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733859a0a8f8ce9de07323195a1fb60522f2f492)
Nous appellerons cette suite la somme première de
en désignant ses termes consécutifs par ![{\displaystyle \Sigma (1,1),\ \Sigma (1,2),\ \Sigma (1,3)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afaababb1b7d07af5cbe60ef7025104745fb10fb)
![{\displaystyle \Sigma 2(1,r),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f05b8c384324fb6280f5174fd2b59a8f7c03a0)
Si on opère sur la série (\beta), pour trouver une troisième série
comme on avait opéré sur
pour trouver
on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{r|r|r|r}M_{1}a&M_{2}a^{2}&M_{3}a^{3}&M_{4}a^{4}\ldots \qquad M_{r}a^{r}\qquad \ldots \\+2b&+2M_{1}ab&+2M_{2}a^{2}b&+2M_{3}a^{3}b\ldots +2M_{r-1}a^{r-1}b\ldots \\&+\quad 3b^{2}&+3M_{1}ab^{2}&+3M_{2}a^{2}b^{2}\ldots +3M_{r-2}a^{r-2}b^{2}\ldots \\&&+\qquad 4b^{3}&+4M_{1}ab^{3}\ldots +4M_{r-3}a^{r-3}b^{3}\ldots \\&&&+\qquad 5b^{4}\ldots +5M_{r-4}a^{r-4}b^{4}\ldots \\&&&\ldots \ldots \\&&&+(r+1)b^{r}\ldots \end{array}}\right\}(\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b25906ed73590c74b11f8cf6c099b5283d3a18)
Nous appellerons indistinctement cette nouvelle suite la somme première de
ou la somme seconde de
et nous représenterons ses termes consécutifs par ![{\displaystyle \Sigma (2,1),\ \Sigma (2,2),\ \Sigma (2,3)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9854f901ad4c7440e41f0cb3f1dd02ed4b7418ac)
![{\displaystyle \Sigma (2,r)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1711d6acd3522a5ab3551f55bd68d1b94d84caba)
En opérant sur
comme sur les précédentes, nous formerons une suite
telle qu’on la voit ici
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{r|r|r|r}M_{1}a&M_{2}a^{2}&M_{3}a^{3}&M_{4}a^{4}\ldots \qquad M_{r}a^{r}\qquad \ldots \\+3b&+3M_{1}ab&+3M_{2}a^{2}b&+3M_{3}a^{3}b\ldots +3M_{r-1}a^{r-1}b\ldots \\&+\quad 6b^{2}&+6M_{1}ab^{2}&+6M_{2}a^{2}b^{2}\ldots +6M_{r-2}a^{r-2}b^{2}\ldots \\&&+\qquad 10b^{3}&+10M_{1}ab^{3}\ldots +10M_{r-3}a^{r-3}b^{3}\ldots \\&&&+\qquad 15b^{4}\ldots +15M_{r-4}a^{r-4}b^{4}\ldots \\&&&\ldots \ldots \\&&&+{\frac {(r+1)(r+2)}{2}}b^{r}\ldots \end{array}}\right\}(\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d64cc84c1144818314475f90f27ae117b1d1707)
Cette suite sera pareillement la somme première de
ou la somme seconde de
ou la somme troisième de
et nous représenterons ses termes consécutifs par ![{\displaystyle \Sigma (3,1),\ \Sigma (3,2),\ \Sigma (3,3)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e35713cca0fd46987a608c58e359aacb35f1e3)
![{\displaystyle \Sigma (3,r)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5584f2ee8f649da80ed97d6a1a3581bb7ec35b1)
On peut, par le même procédé, former tant d’autres suites
qu’on voudra, lesquelles seront dites les sommes quatrième, cinquième, sixième, … de la suite
et il résulte des lois de leur formation,
1.o Que, dans la somme première de
les coefficiens sont constans et égaux à l’unité ;
2.o Que ; dans la somme seconde, les coefficiens sont les nombres de la suite naturelle
3.o Que, dans la somme troisième, les coefficiens sont les nombres triangulaires
4.o Que, dans la somme quatrième, les coefficiens sont la somme des nombres tétraèdres
Et ainsi de suite.
De sorte que généralement, dans la somme n.me les coefficiens sont les nombres figurés du n.me ordre.
Si donc nous désignons, en général, par
le q.me nombre figuré du p.me ordre, et par
le r.me terme de la somme n.me de
nous aurons
(X)
Le terme général de cette série est ![{\displaystyle \varphi (n,i+1)M_{r-i}a^{r-i}b^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03456fce11f7c4a945b8a40d677f7627c9a12869)
Cela posé, on sait que
![{\displaystyle M_{r}={\frac {m-r+1}{r}}M_{r-1},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e832335fac519f548edf952983525012dd1f9e)
d’où
![{\displaystyle \quad M_{r-1}={\frac {r}{m-r+1}}M_{r}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213b492188bfdc0808a0d7184bd2ef9b588e7efe)
de là on tire, en changeant continuellement, en
en ![{\displaystyle r-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad04896104e929da32fad148e240b3fd8dfa874)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&M_{r-1}={\frac {r}{m-r+1}}M_{r},\\\\&M_{r-2}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}M_{r},\\\\&M_{r-3}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}M_{r},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&M_{r-i}={\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}\ldots {\frac {r-i+1}{m-r+i}}M_{r}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1ab8eb3db86e45daf918f36cc5584045a035d9)
Par la substitution de ces valeurs, la série (X) deviendra
![{\displaystyle \Sigma (n,r)=M_{r}\left\{a^{r}+{\frac {r}{m-r+1}}\varphi (n,2)a^{r-1}b+{\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}\varphi (n,3)a^{r-2}b^{2}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019b77f34d816a41e6493db4b39f3978c7d72986)
![{\displaystyle +{\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}\varphi (n,4)a^{r-3}b^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97025bd8fbf4e2b3345732c9f3f3d31262ec8347)
![{\displaystyle +{\frac {r}{m-r+1}}.{\frac {r-1}{m-r+2}}.{\frac {r-2}{m-r+3}}\ldots {\frac {r-i+1}{m-r+i}}\varphi (n,i+1)a^{r-i}b^{i}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51916bd3a880edf1bfaef6429ce3bbbb7c7543b0)
(Y)
Mais, à cause de la relation connue
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&m-r+1=\varphi (2,m-r+1)=\varphi (m-r+1,2),\\&(m-r+1)(m-r+2)=1.2\varphi (3,m-r+1)=1.2\varphi (m-r+1,3),\\&(m-r+1)(m-r+2)(m-r+3)=1.2.3\varphi (4,m-r+1)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =1.2.3\varphi (m-r+1,4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&(m-r+1)(m-r+2)\ldots (m-r+i)=1.2\ldots i\varphi (i+1,m-r+1)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =1.2\ldots i\varphi (m-r+1,i+1)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fb777f069a639276d9c19695bb9a6be0f32b09)
on a de plus
![{\displaystyle M_{r}={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-r+1}{r}}=\varphi (r+1,m-r+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdef49014225ca66c9040601df3acce596e4e04)
![{\displaystyle =\varphi (m-r+1,r+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1534be765fa3af8857a4d63d57a4e466f8bef2bb)
Au moyen de ces valeurs, la série (Y) deviendra
![{\displaystyle \Sigma (n,r)=M_{r}\left\{a^{r}+{\frac {r}{1}}{\frac {\varphi (n,2)}{\varphi (m-r+1,2)}}a^{r-1}b+{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}.{\frac {\varphi (n,3)}{\varphi (m-r+1,3)}}a^{r-2}b^{2}+\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9804f1568924354cb46c1a9547f25dc7a41ee6fb)
![{\displaystyle +{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}.{\frac {r-2}{3}}{\frac {\varphi (n,4)}{\varphi (m-r+1,4)}}a^{r-3}b^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e47c38ba96824ef36b2fdf43c93dc25ed858da)
![{\displaystyle +{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}\ldots {\frac {r-i+1}{i}}.{\frac {\varphi (n,i+1)}{\varphi (m-r+1,i+1)}}a^{r-i}b^{i}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b696799b8ec792f20f59225abc4a096651b0e50c)
(Z)
Telle est l’expression générale d’un terme d’un rang quelconque dans une somme quelconque.
Si présentement on suppose
la série (Z) deviendra
![{\displaystyle \Sigma (m-r+1,r)=M_{r}\left\{a^{r}+{\frac {r}{1}}a^{r-1}b+{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}a^{r-2}b^{2}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf93c4d67ed25a3ec252f8f6c96eb3da173f6d3)
![{\displaystyle \left.{\frac {r}{1}}.{\frac {r-1}{2}}\ldots {\frac {r-i+1}{i}}a^{r-i}b^{i}+\ldots +b^{r}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cdb89a16825087dc9b82048cf7e29016b4fc7a)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \Sigma (m-r+1,r)=M_{r}(a+b)^{r}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467a8342903af9a9b32ac2919a4511732c999551)
de là on conclura
![{\displaystyle (a+b+c)^{m}=\Sigma (1,m)+\Sigma (2,m-1)c+\Sigma (3,m-2)c^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a017a2e3fce7c7a7db54e59160ce71f15c22c4)
![{\displaystyle +\Sigma (i+1,m-i)c^{i}+\ldots +c^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa70efd2c2d65a453da689d1c77b482eff9f87ee)
ce qui démontre généralement les équations posées tome XIII, (pag. 164 et suiv.), sur lesquelles est fondée la méthode que nous avons développée en cet endroit pour l’extraction des racines.