Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Analise élémentaire, article 1

Solution d’un paradoxe que présentent les équations du deuxième degré ; par un Abonné.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 118-120).

ANALISE ÉLÉMENTAIRE.

Solution d’un paradoxe que présentent les équations
du deuxième degré ;

Par un Abonné.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit l’équation

$ax^{2}+bx+c=0,\qquad$(1)

on en tire, comme l’on sait,

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$^[1]$\qquad$(2)

Si l’on suppose $a=0,$ l’équation (1) se réduit à

$bx+c=0,\qquad$qui donne$\qquad x=-{\frac {c}{b}},$

et la formule (2) donne

$x={\frac {-b\pm b}{0}},$

ce qui donne ces deux valeurs $x={\frac {0}{0}}$ et $x=\infty \,;$ et il s’agit d’expliquer l’origine de ces deux valeurs, et pourquoi elles ne sont ni l’une ni l’autre celle qui doit répondre à ce cas.

Pour cela, remarquons d’abord que la supposition de $a=0$ ne fait nécessairement évanouir le terme $ax^{2}$ qu’autant qu’on suppose tacitement que $x$ est une quantité finie ; car, si l’on pose à la fois $a=0$ et $x=\infty ,$ loin qu’alors le terme $ax^{2}$ devienne nécessairement nul, il pourra avoir alors une valeur infinie.

Si l’on rejette cette valeur, il ne reste plus que la valeur $x={\frac {0}{0}}$ qui renferme bien implicitement la valeur $x=-{\frac {c}{b}}\,;$ et si l’on nous demande pourquoi elle prend cette sorte de masque, nous répondrons que les formules analitiques ne pouvant jamais se trouver en défaut, il faut nécessairement qu’il en soit ainsi toutes les fois qu’on emploie à la recherche d’une inconnue un procédé susceptible de donner pour cette inconnue plus au moins de valeurs quelle n’en doit réellement avoir, puisque l’analise n’a aucune raison pour exclure ou admettre quelques-unes de ces valeurs de préférence à d’autres.

Pour faire éclore la valeur $x=-{\frac {c}{b}}$ de la formule (2), on a communément recours au développement du radical en série : c’est à peu près employer une machine à vapeur à haute pression pour soulever une mouche. On parvient de suite au but en multipliant les deux termes de la fraction valeur de $x$ par $-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\,;$ elle devient ainsi

$x={\frac {2c}{-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}$^[2] ;

et alors en posant $a=0,$ on obtient de suite

$x=\infty ,\qquad x=-{\frac {c}{b}},$

comme cela doit être.

1. La manière la plus correcte de parvenir à ce résultat semble être la suivante : en multipliant l’équation (1) par $4a,$ et transposant, elle devient
   $4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac\,;$

   puis, en ajoutant $b^{2}$ à chaque membre,

   $(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac,$

   d’où

   $2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}},$

   équation qui, résolue par rapport à $x,$ donne le résultat (2).

   Nous faisons cette observation, parce que nous ayons quelquefois vu tourmenter de pauvres jeunes-gens dans des examens, en leur interdisant la faculté de diviser ou de multiplier par $a$ avant de résoudre l’équation, apparemment pour les rendre systématiquement maladroits.

   Nous ne voyons pas non plus trop bien pourquoi on est dans l’usage de mettre cette formule sous la forme

   $x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\,;$

   à moins cependant que ce ne soit pour la rendre un peu plus embarrassante à écrire et pour donner un peu plus de travail au calculateur, dans le cas des applications numériques, lorsque ni $b$ ni $c$ ne sont divisibles par $a$.

   J. D. G.
2. On obtient immédiatement les valeurs de $x$ sous cette forme, en divisant l’équation (1) par $x^{2},$ résolvant l’équation résultante par rapport à ${\frac {1}{x}},$ et concluant ensuite la valeur de $x.$
   J. D. G.