ANALISE TRANSCENDANTE.
M. Ampère, de l’Académie royale des sciences de Paris,
professeur de physique au Collége de France, etc.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
M. Kramp a donné le nom de Factorielles ou de Facultés numériques aux produits de la forme
![{\displaystyle x(x+p)(x+2p)(x+3p)\ldots (x+{\overline {n-1}}.p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0510ca166a5f51d40e76c3ecd829f084544e3c7e)
qui, sous la dénomination de Puissances du second ordre, avaient été déjà l’objet des travaux de Vandermonde[1]. Le nombre des facteurs est ce qu’on appelle le degré de la faculté, de sorte que
![{\displaystyle x,\ x(x+p),\ x(x+p)(x+2p),\ldots x(x+p)(x+2p)\ldots (x+{\overline {n-1}}.p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9462be46c4f3ba5c94bfa3d940d17a1c4c144f2)
sont dites les facultés du premier, du second, du troisième, du
me degré. Nous indiquerons généralement la faculté du
me degré par
étant une quantité prise à volonté, entière ou fractionnaire, positive ou négative,
Il suit de cette notation que
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&[{\overset {1}{x}}]\quad =x,\\&[{\overset {2}{x}}]\quad =[{\overset {1}{x}}](x+p),\\&[{\overset {3}{x}}]\quad =[{\overset {2}{x}}](x+2p),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&[{\overset {m+1}{x}}]=[{\overset {m}{x}}](x+mp).\end{aligned}}\right\}\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d0e17533ec07d51f0b5c8d7911d3bf01c1e413)
On peut énoncer ces facultés en disant :
faculté
faculté
faculté
faculté
pour ![{\displaystyle [{\overset {1}{x}}],\ [{\overset {2}{x}}],\ [{\overset {3}{x}}],\ldots [{\overset {n}{x}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2faa8af980b8d097c1ef869ad9f19e33ef6e37e)
Ces notations admises, il existe entre les facultés numériques et les puissances une analogie remarquable qui consiste en ce que la faculté d’un degré quelconque d’un binôme s’obtient en substituant aux puissances des deux termes du binôme, dans le développement de la puissance du même degré de ce binôme, les facultés des mêmes degrés de ses deux termes ; de telle sorte qu’en général
![{\displaystyle [{\overset {m}{x+y}}]=\left\{{\begin{aligned}&[{\overset {m}{x}}]+{\frac {m}{1}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {1}{y}}]+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {2}{y}}]+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+2}{n-1}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n-1}{y}}]\\&+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}[{\overset {m-n}{x}}][{\overset {n}{y}}]+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {2}{x}}][{\overset {m-2}{y}}]+{\frac {m}{1}}[{\overset {1}{x}}][{\overset {m-1}{y}}]+[{\overset {m}{y}}].\end{aligned}}\right\}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573f918261facf1e4a48201a126f44272c91ac1b)
La proposition est d’abord évidente pour les facultés des premiers degrés. On a en effet (1)
![{\displaystyle [{\overset {1}{x+y}}]=x+y=[{\overset {1}{x}}]+[{\overset {1}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8365284b1ff27e92e1b5be86cab35364558373cd)
![{\displaystyle [{\overset {2}{x+y}}]=(x+y)(x+y+p)=x(x+p)+2xy+y(y+p)=[{\overset {2}{x}}]+2[{\overset {1}{x}}][{\overset {1}{y}}]+[{\overset {2}{y}}]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0858c574ec2e23a4e5d5c7a038cc7bbf20eb8b)
de sorte que la démonstration de cette proposition se réduit à faire voir que, si elle a lieu pour la faculté du
.me degré, elle sera vraie aussi pour celle du
me.
Pour y parvenir, multiplions la quantité
par les deux membres de l’équation (2). Il est d’abord clair que le premier membre de l’équation-produit sera
Pour exécuter la multiplication par le second membre de l’équation (2), considérons tour à tour le multiplicande
comme
![{\displaystyle (x+mp)+y,\qquad \qquad \qquad \quad \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727e92b1810ffa0647137777b1d03cbc23e32066)
pour la multiplication par le 1.
er terme,
![{\displaystyle \left(x+{\overline {m-1}}.p\right)+(y+p),\ \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1cf954279e0ea27d49f8b8c03997802742cc01)
pour la multiplication par le 2.
e,
![{\displaystyle \left(x+{\overline {m-2}}.p\right)+(y+2p),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ddbc063734f6893fd0f2b48692cfff3a59de39)
pour la multiplication par le 3.
e,
![{\displaystyle \left(x+{\overline {m-n+1}}.p\right)+(y+{\overline {n-1}}.p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c42ec865d9557b2a4a917d8429646b1e3767ecb)
pour la multiplication par le
me,
![{\displaystyle \left(x+{\overline {m-n}}.p\right)+(y+{\overline {n}}.p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a953182c50e9f7b2d48aab4947f25f17c0b8f8)
pour la multiplication par le
me ;
on trouvera d’abord, pour les premiers termes du résultat,
![{\displaystyle [{\overset {m+1}{x+y}}]=[{\overset {m+1}{x}}]+[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6166fb30ab7e6874729efb5e1cf27fc8c30b355b)
![{\displaystyle \ +{\frac {m}{1}}[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]+{\frac {m}{1}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d78ca4a13951224d905c65e031464f095e41b0e)
![{\displaystyle \,+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2df7fe4155d7c4e90d9dfe3bc94902958a83dd7)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc2a4a37b3fd077a97346016ee7e540e767c661)
ce qui donne en effet, en opérant la réduction, entre les termes qui renferment les mêmes facultés,
![{\displaystyle [{\overset {m+1}{x+y}}]=[{\overset {m+1}{x}}]+{\frac {m+1}{1}}[{\overset {m}{x}}][{\overset {1}{y}}]+{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}[{\overset {m-1}{x}}][{\overset {2}{y}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8fdd3ca9ad6a9a456d414ba153da3b49b376ee)
![{\displaystyle +{\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}.{\frac {m-1}{3}}[{\overset {m-2}{x}}][{\overset {3}{y}}]+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4738a0d586d67cacc323d0efffc3a2d902bc088e)
qui est bien ce que devient l’équation (2), lorsqu’on y change
en ![{\displaystyle m+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c74772c8e5ec1739f84c517a095ac7deb60b8e8)
Mais, afin qu’il n’y ait point d’induction dans tout ceci, remarquons que
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+2}{n-1}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n-1}{y}}]\times \left(y+{\overline {n-1}}.p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1372557a82ae646033a7216f519c3e37e010ac)
![{\displaystyle ={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+2}{n-1}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc93bb8ca9ce9f6e9fd3783f8b683da7d93b2e7)
et que
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}[{\overset {m-n}{x}}][{\overset {n}{y}}]\times \left(x+{\overline {m-n}}.p\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408cfb416e3fe987a3659c0dbae04e96a2ae7a68)
![{\displaystyle ={\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03540a33992cd91f7e8829ba4a2e4eeba419c821)
et que ces termes du second membre seront les seuls en
or, en les réduisant en un seul, il vient
![{\displaystyle {\frac {m+1}{1}}.{\frac {m}{2}}.{\frac {m-1}{3}}\ldots {\frac {m-n+2}{n}}[{\overset {m-n+1}{x}}][{\overset {n}{y}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a69544896699849bfab7ae8bccbe7f4f03e4fe0)
qui est bien ce que devient le (n+1).me terme du second membre de l’équation (2), lorsqu’on y change
en
il demeure donc établi que, si la proposition est vraie pour
elle le sera également pour
or, nous avons prouvé qu’elle était vraie pour
et pour
cette proposition est donc vraie, quel que soit le nombre entier positif ![{\displaystyle m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd92c867d56467c0f878ef318eefcd701b8ec1a)
Adoptons
avec M. Kramp, comme le symbole du produit
en divisant, tour à tour, les deux membres du développement de
et de
par
il vient
![{\displaystyle {\frac {(x+y)^{m}}{m!}}={\frac {x^{m}}{m!}}+{\frac {y}{1}}.{\frac {x^{m-1}}{(m-1)!}}+\ldots +{\frac {y^{n}}{n!}}.{\frac {x^{m-n}}{(m-n)!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aadbdf0ef71492593e8be63dfe331f01fd33b61)
![{\displaystyle +{\frac {y^{m-1}}{(m-1)!}}.{\frac {x}{1}}+{\frac {y^{m}}{m!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f0da8a51cf3e37d91e473548160962ddf2295f)
(3)
![{\displaystyle {\frac {[{\overset {m}{x+y}}]}{m!}}={\frac {[{\overset {m}{x}}]}{m!}}+{\frac {[{\overset {1}{y}}]}{1}}.{\frac {[{\overset {m-1}{x}}]}{(m-1)!}}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{y}}]}{n!}}.{\frac {[{\overset {m-n}{x}}]}{(m-n)!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c8cbb048cf2487dc672bc67d5a43badfbd8d79)
![{\displaystyle +{\frac {[{\overset {m-1}{y}}]}{(m-1)!}}.{\frac {[{\overset {1}{x}}]}{1}}+{\frac {[{\overset {m}{y}}]}{m!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a038a47ea3d092283af443b4837c06db83289c6)
(4)
À l’aide de ces résultats, on peut démontrer commodément un théorème très-fécond en telles conséquences ; lequel consiste en ce que, si l’on a
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {f} (t)=1+{\frac {t}{1}}z+{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}z^{2}+{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}.{\frac {t+2p}{3}}z^{3}\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {t}{1}}.{\frac {t+p}{2}}.{\frac {t+2p}{3}}.{\frac {t+3p}{4}}z^{4}+\ldots \\\\&\operatorname {f} (u)=1+{\frac {u}{1}}z+{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}z^{2}+{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}.{\frac {u+2p}{3}}z^{3}\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {u}{1}}.{\frac {u+p}{2}}.{\frac {u+2p}{3}}.{\frac {u+3p}{4}}z^{4}+\ldots \end{aligned}}\right\}(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cc20e43d3394242530823d243319cfb48f88f7)
on aura
[2]![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
(6)
Les équations (5) peuvent, en effet, être écrites ainsi
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {f} (t)=1+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t}}]}{3!}}z^{3}+{\frac {[{\overset {4}{t}}]}{4!}}z^{4}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t}}]}{n!}}z^{n}+\ldots ,\\\\&\operatorname {f} (u)=1+{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{u}}]}{3}}z^{3}+{\frac {[{\overset {4}{u}}]}{4!}}z^{4}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{u}}]}{n!}}z^{n}+\ldots \end{aligned}}\right\}(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa2ea0cf7ecc085ff690dddc3d35d6fb7b2e8c8)
En les multipliant alors membre à membre, il viendra
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|r|r|r}\operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u)=1+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}&z+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}&z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t}}]}{3!}}&z^{3}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t}}]}{n!}}&z^{n}+\ldots \\\\+{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}&+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}&+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}&+{\frac {[{\overset {n-1}{t}}]}{(n-1)!}}{\frac {[{\overset {1}{u}}]}{1}}&+\ldots \\\\&+{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}&+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1}}{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}&+{\frac {[{\overset {n-2}{t}}]}{(n-2)!}}{\frac {[{\overset {2}{u}}]}{2!}}&+\ldots \\\\&&+{\frac {[{\overset {3}{u}}]}{3!}}&+\ldots \ldots &+\ldots \\\\&&&+{\frac {[{\overset {2}{t}}]}{2!}}{\frac {[{\overset {n-2}{u}}]}{(n-2)!}}&+\ldots \\\\&&&+{\frac {[{\overset {1}{t}}]}{1!}}{\frac {[{\overset {n-1}{u}}]}{(n-1)!}}&+\ldots \\\\&&&+{\frac {[{\overset {n}{u}}]}{n!}}&+\ldots \\\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cf2f17fdf4e2e916ba76df560177408004c7db)
développement qui, à l’aide de la formule (4), peut être écrit ainsi
![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u)=1+{\frac {[{\overset {1}{t+u}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{t+u}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t+u}}]}{3!}}z^{3}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t+u}}]}{n!}}z^{n}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b8e4a4e15d2cb70f3205dc1b33c42af2340720)
mais si, dans la première des formules (7) on change
en
elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {f} (t+u)=1+{\frac {[{\overset {1}{t+u}}]}{1}}z+{\frac {[{\overset {2}{t+u}}]}{2!}}z^{2}+{\frac {[{\overset {3}{t+u}}]}{3!}}z^{3}+\ldots +{\frac {[{\overset {n}{t+u}}]}{n!}}z^{n}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35daa429a5509c96b3c66f46d281567db29c98f9)
donc, en effet,
![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u)=\operatorname {f} (t+u),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0329adbdc575e12541fc47ffde3dae1e16a093b)
(6)
comme nous l’avions annoncé.
Si, dans cette dernière formule, on change
en
on aura
![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u+v)=\operatorname {f} (t+u+v)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52aa264fb14fd961f86206ddebd37a81782db98)
mais, en vertu de la même formule, on peut, dans le premier membre, remplacer
par
donc
![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u).\operatorname {f} (v)=\operatorname {f} (t+u+v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553c1ee2304f07b2b8647eafbdf97bbff728b2ef)
On peut de même, dans celle-ci, changer
en
en remplaçant ensuite, dans le premier membre,
par
puis dans l’équation résultante, changer
en
et ensuite
en
et ainsi de suite, de sorte qu’on a généralement
![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u).\operatorname {f} (v).\operatorname {f} (x)\ldots =\operatorname {f} (t+u+v+x+\ldots )\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88684b2c9178ccaa36490a1f5eaf6fd4d2c51ca1)
(8)
Si l’on suppose les quantités
toutes égales entre elles et à
et leur nombre égal à
cette équation deviendra
![{\displaystyle \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{n}=\operatorname {f} (nx).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6467e63682bfad45ec988b8e609ba8d34eba98d)
(9)
Or, comme ici
est quelconque, on peut changer
en
ce qui changera
en
et donnera en substituant, extrayant la racine et renversant
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\operatorname {f} (x)}}=\operatorname {f} \left({\frac {x}{n}}\right).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0d56e71157db9bb8bf203b088e4372f9a687c8)
(10)
En changeant, dans cette dernière équation,
en
elle devient
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\operatorname {f} (mx)}}=\operatorname {f} \left({\frac {m}{n}}x\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9755083ace1155ef1d912823dc18577299817eb3)
mais, en supposant
un nombre entier positif, on a (9)
![{\displaystyle \operatorname {f} (mx)=\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccce1dd6ee9e617d4443245e0392af313086056)
donc finalement
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fb8d0c6243eea7f4e244aaa0be42b89ca8e875)
ou
![{\displaystyle \quad \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{\frac {m}{n}}=\operatorname {f} \left({\frac {m}{n}}x\right).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d286f2cb62095aae55777ba3a4c7f12d9c512a3)
(11)
Voilà donc la formule (9), qui n’étoit d’abord démontrée que pour un exposant entier positif, qui se trouve l’être présentement pour un exposant fractionnaire positif, et par suite pour un exposant positif quelconque.
Si, dans L’équation (6), on fait
elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {f} (x).\operatorname {f} (-x)=\operatorname {f} (x-x)=\operatorname {f} (0)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d952b61c72fd3d8b129fe7062beedd0899cfc8a5)
or il est aisé de voir (5) que
donc
![{\displaystyle \operatorname {f} (-x)={\frac {1}{\operatorname {f} (x)}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9db97c935b61f6e674f62c7309a06989acbedb5)
(12)
Si ensuite nous changeons
en
nous aurons, en renversant,
![{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {f} (mx)}}=\operatorname {f} (-mx)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4ce44fbb85598bb6c53b1f51a8b688749b5135)
mais nous venons de prouver que, quelque nombre positif, entier ou fractionnaire ou même incommensurable qu’on, prenne pour
on a toujours
![{\displaystyle \operatorname {f} (mx)=\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccce1dd6ee9e617d4443245e0392af313086056)
donc, en substituant.
![{\displaystyle {\frac {1}{\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f72ba60fd2a3dbf816cff989027b691c4c8a49b)
ou
![{\displaystyle \quad \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{-m}=\operatorname {f} (-mx).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41dc2db1aeb34e5bd174a33474d5e459262cf73)
(13)
Ainsi la formule (9), qui n’était démontrée que pour une valeur positive de l’exposant, se trouve l’étre présentement pour une valeur réèlle quelconque de cet exposant.
Au moyen de ces résultats, la formule du binôme de Ne\thetaon se trouve démontrée pour toute valeur réelle de l’exposant. On a, en effet, par ce qui précède, quelque valeur réelle qu’on attribue à
![{\displaystyle \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m}=\operatorname {f} (mx)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ded36caef19879ae0fe210b671e65c04887a6b)
c’est-à-dire (5)
![{\displaystyle \left\{1+{\frac {x}{1}}z+{\frac {x}{1}}.{\frac {x+p}{2}}z^{2}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x+p}{2}}.{\frac {x+2p}{3}}z^{3}+\ldots \right\}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8a5241cfb7b9c871ab7d6dd881daebafeaed1c)
![{\displaystyle =1+{\frac {mx}{1}}z+{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}z^{2}+{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}.{\frac {mx+2p}{3}}z^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d5c3f795f69a0e06d1244c93fa0a911aa84d4e)
![{\displaystyle +{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}\ldots {\frac {mx+(n-1)p}{n}}z^{n}+\ldots (14)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20656ce7c712eda854cec6851ea8ce7164aecbb)
Faisant dans cette équation
et
elle deviendra
![{\displaystyle (1+z)^{m}=1+{\frac {m}{1}}z+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}z^{2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}z^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b810e79b285615bfb95ceb349dd7305edc71639b)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}z^{n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9981f0ce3475bd3292dbd0fd721cbc98b508d7b)
Changeant ensuite
en
et multipliant les deux membres par
on obtiendra, quel que soit le nombre réel ![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![{\displaystyle (x+a)^{m}=x^{m}+{\frac {m}{1}}ax^{m-1}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{2}x^{m-2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2debd3c94f6dfd35f11783745cb82b50ca0d23b)
![{\displaystyle +\ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}a^{n}x^{m-n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57806bcab7d9cbcc46720f5cfa30f152fda9b09)
(15)
Cette formule peut au surplus, pour le cas de l’exposant entier négatif, être déduite à priori de la théorie des combinaisons par un raisonnement fort analogue à celui que l’on emploie pour le cas de l’exposant entier positif ; et nous nous arrêterons d’autant plus volontiers à le faire voir, que cela nous donnera, chemin faisant, l’interprétation des coefficiens qui affectent alors les termes du développement, et la solution d’une question très-intéressante dans l’analise, celle du nombre des termes d’un polynôme homogène de degré quelconque, formé d’un nombre de lettres également quelconque.
Employons, avec Vandermonde, par abréviation, les symboles
comme les équivalens respectifs des polynômes homogènes symétriques
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a^{\alpha }+b^{\alpha }+c^{\alpha }+d^{\alpha }+e^{\alpha }+f^{\alpha }+g^{\alpha }+\ldots \\&a^{\alpha }b^{\beta }+a^{\beta }b^{\alpha }+a^{\alpha }c^{\beta }+a^{\beta }c^{\alpha }+b^{\alpha }c^{\beta }+b^{\beta }c^{\alpha }+\ldots \\&a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }+a^{\alpha }b^{\gamma }c^{\beta }+a^{\beta }b^{\alpha }c^{\gamma }+a^{\beta }b^{\gamma }c^{\alpha }+a^{\gamma }b^{\alpha }c^{\beta }+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2113b387999da846778116357d0095a05bf1327)
nous trouverons alors, en exécutant la multiplication,
![{\displaystyle \left(1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots \right)\left(1+b+b^{2}+b^{3}+\ldots \right)\left(1+c+c^{2}+c^{3}+\ldots \right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bcd124165df96ff4c94a9c36d7655f6da6f30e)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcccccccc}=1+\left(A\right)&+&\left(A^{2}\right)&+&\left(A^{3}\right)&+&\left(A^{4}\right)&+&\left(A^{5}\right)&+&\ldots \\&+&\left(AB\right)&+&\left(A^{2}B\right)&+&\left(A^{3}B\right)&+&\left(A^{4}B\right)&+&\ldots \\&&&+&\left(ABC\right)&+&\left(A^{2}B^{2}\right)&+&\left(A^{3}B^{2}\right)&+&\ldots \\&&&&&+&\left(A^{2}BC\right)&+&\left(A^{3}BC\right)&+&\ldots \\&&&&&+&\left(ABCD\right)&+&\left(A^{2}B^{2}C\right)&+&\ldots \\&&&&&&&+&\left(A^{2}BCD\right)&+&\ldots \\&&&&&&&+&\left(ABCDE\right)&+&\ldots \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f915668b873643f4075aaa0d3446aa77f270af1)
Si donc nous représentons généralement par
la somme des termes du
me degré de ce développement, nous aurons
(16)
Supposons présentement que toutes les lettres
deviennent égales entre elles et à
que les facteurs du premier membre sont au nombre de
et représentons généralement par
le nombre des produits de
facteurs que l’on peut faire avec
sortes de facteurs donnés, en admettant dans chaque produit la répétition d’une même sorte de facteur autant de fois qu’on voudra ; on aura ainsi
![{\displaystyle S_{1}=P_{1}z,\quad S_{2}=P_{2}z^{2},\quad S_{3}=P_{3}z^{3},\ldots S_{n}=P_{n}z^{n},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26cd8f5bb7c5e7c8decdd68e9ed09efe18679bc9)
et en conséquence l’équation (16) deviendra
![{\displaystyle \left(1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots \right)^{m}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f208dc7f27f5ec403e3c6661a4e9e9f3ee79a455)
ou
![{\displaystyle \quad \left({\frac {1}{1-z}}\right)^{m}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b7583160f90934d21094b2f80e8c8233230d1d)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {1}{(1-z)^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb60db6a81a483fd7a448c3346fc6e599745c8f5)
ou enfin
![{\displaystyle (1-z)^{m}=1+P_{1}z^{1}+P_{2}z^{2}+P_{3}z^{3}+\ldots +P_{n}z^{n}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c8ebae984eaabdb2f30ee6963369160ecf54e1)
(17)
voyons quelles sont les valeurs de
en fonction de
et pour cela cherchons d’abord comment
peut se déduire de ![{\displaystyle P_{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a8a098ef0809446ff6d5474ad26722c08379f4)
Distinguons dans
les termes qui contiennent un ou plusieurs facteurs égaux à
et ceux qui sont indépendans de cette lettre. Si dans ceux de la première sorte on supprime un facteur
on obtiendra évidemment
de sorte que l’ensemble de ces termes revient à
et que conséquemment leur nombre est
Si, dans ces mêmes termes affectés de
on met tour à tour à la place de
ou de ses puissances, les mêmes puissances de chacune des
autres lettres, on formera un nombre de termes du
me degré, indépendans de
égal à
Or, il est aisé de voir que, par un tel procédé, chacun des termes indépendans de
aura été formé
fois. Considérons en effet un quelconque
des termes de cette dernière sorte, où l’on doit avoir
on l’aura formé, tour à tour, par le changement
de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
en
![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64)
dans les
![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
produits
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&a^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots ,\\&a^{\beta -1}bc^{\gamma }d^{\delta }\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&ab^{\beta -1}c^{\gamma }d^{\delta }\ldots \,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea82f31a91d0019a4ce13123118327ff71c77fc7)
de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
en
![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
dans les
![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
produits
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&a^{\gamma }b^{\beta }d^{\delta }\ldots ,\\&a^{\gamma -1}cb^{\beta }d^{\delta }\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&ac^{\beta -1}b^{\beta }d^{\delta }\ldots \,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0332a1fcc6b017c60a39146cdb1e087a88cef854)
de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
en
![{\displaystyle d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b42a115d30706dde56ddece71bb4248da2115d6)
dans les
![{\displaystyle \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
produits
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&a^{\delta }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,\\&a^{\delta -1}db^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&ad^{\delta -1}b^{\beta }c^{\gamma }\ldots \,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfe4c3f23dc4d66d58cab1ac17e4ff0132379d0)
et ainsi de suite. Le produit
sera donc répété
fois ou
fois, et il en sera de même de chacun des autres produits indépendans de
Donc, puisque le nombre total des produits indépendans de
que nous avons formés est
et que chacun d’eux se trouve répété
fois, il en résulte que le nombre des produits réellement différens de
facteurs qui ne renferment pas
est seulement
en y ajoutant donc le nombre
des produits de
facteurs qui renferment cette lettre, nous aurons, pour le nombre total
des différens produits de
facteurs,
ou
c’est-à-dire, que nous aurons
![{\displaystyle P_{n}={\frac {m+n-1}{n}}P_{n-1}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb98b5c08fb44cef90e1f70cd3682926ce1da7f)
(18)
Observant donc que
et faisant successivement, ![{\displaystyle n=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba4db03e5186e479ecd9611484b8657140a7ff0)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&P_{1}={\frac {m}{1}},\\\\&P_{2}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}},\\\\&P_{3}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&P_{n}={\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cabdcd53d898f6bc56f9e00fd3606db653d52d8)
au moyen de quoi l’équation (17) deviendra
![{\displaystyle (1-z)^{-m}=1+{\frac {m}{1}}z+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}z^{2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}z^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cd8679f9fbf03b0134ac6731f6b5c3056e94c3)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}z^{n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc02357bfd9ccaad1a0af4d0718863829865319b)
ou en changeant
en
et multipliant ensuite les deux membres par ![{\displaystyle x^{-m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b020bf43b38c99b71cf8ed0c8719a5943cd5eeb)
![{\displaystyle (x+a)^{-m}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554c758c3de51307b8513a8a058fd5c6f1b0936e)
![{\displaystyle x^{-m}\left(1-{\frac {m}{1}}.{\frac {a}{x}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {a^{2}}{x^{2}}}-{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}.{\frac {a^{3}}{x^{3}}}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb332c6d98804d0ec777445af9eb6f3aaa6a9d56)
![{\displaystyle \left.+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}.{\frac {a^{n}}{x^{n}}}+\ldots \right).\qquad (19)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cf4fc378a0ec00b3d37b93d8fefc1ff7a968b1)
Ainsi, tandis que les coefficiens des termes du développement de
sont les nombres de produits différens d’un, de deux, de trois, … de
facteurs que l’on peut faire avec
sortes de facteurs, en excluant l’admission de plusieurs facteurs d’une même sorte dans un même produit, les coefficiens des termes du développement de
sont, au contraire, les nombres de produits différens d’un, de deux, de trois, … de
facteur que l’on peut faire avec
sortes de facteurs en admettant la répétition indéfinie de chaque sorte de facteurs dans chacun de ces produits.
Soit une équation complète au
me degré, entre
inconnues, si l’on introduit dans chacun de ses termes une puissance d’une
me inconnue, telle que tous ses termes se trouvent être alors du
me degré ; il est clair qu’alors ces termes seront, abstraction faite des coefficiens, les différens produits de
facteurs qu’on peut faire avec
sorte de facteurs, en admettant la répétition indéfinie de chaque sorte de facteurs dans un même produit ; d’où il suit que le nombre des termes d’une équation complète du
me degré entre
inconnues n’est autre chose que ce que devient la valeur de
lorsqu’on y change
en
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}\ldots {\frac {m+n}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e112f24f9239f86a5598b335eef26d76ff01b69e)
ou en multipliant haut et bas par ![{\displaystyle 1.2.3\ldots m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71db7db8fa6ed86e9961465f5ac935882784217b)
![{\displaystyle {\frac {(m+n)!}{m!n!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e0586fa8a50def90d50654df221dd74a409764)
résultat dont la symétrie prouve qu’il y a autant de termes dans une équation complète du
me degré entre
inconnues qu’il y en a dans une équation complète du
me degré entre
inconnues[3].
Passons au développement des fonctions exponentielles et logarithmiques. Si, dans l’équation (14) qui a lieu, quels que soient
on fait
et
elle devient
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots \right)^{At}=1+{\frac {At}{1}}+{\frac {A^{2}t^{2}}{2!}}+{\frac {A^{3}t^{3}}{3!}}+{\frac {A^{4}t^{4}}{4!}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7676b91a2d5f918fed4836da08819498783dea41)
ou en représentant par
la série du premier membre,
![{\displaystyle e^{At\ {\underline {\mathrm {pos} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a212986069496fa1906b4b00597974cb02a5636a)
ou
![{\displaystyle \left(e^{A}\right)^{t}=1+{\frac {At}{1}}+{\frac {A^{2}t^{2}}{2!}}+{\frac {A^{3}t^{3}}{3!}}+{\frac {A^{4}t^{4}}{4!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c090f727bc17f6f23e114d815fd85c12664ecefa)
Posant
auquel cas
sera le logarithme Népérien de
on aura
![{\displaystyle a^{t}=1+{\frac {t\operatorname {l} a}{1}}+{\frac {t^{2}\operatorname {l} a^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {l} a^{3}}{3!}}+{\frac {t^{4}\operatorname {l} a^{4}}{4!}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f842f7f0471112f93cf43764fa299addf17d59)
(20)
puis, en changeant
en ![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
![{\displaystyle e^{t}=1+{\frac {t}{1}}+{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9f1fe6d53dda2d32a121128aa9528c538ee5b4)
(21)
qui aura lieu quel que soit ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
En changeant, dans la formule (20),
en
elle devient
![{\displaystyle (1+x)^{t}=1+{\frac {t\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {t^{2}\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{3!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d8329899ffa33df9e5b893eaa5fe0d94986c69)
mais on a aussi (15)
![{\displaystyle (1+x)^{t}=1+{\frac {t}{1}}x+{\frac {t}{1}}.{\frac {t-1}{2}}x^{2}+{\frac {t}{1}}.{\frac {t-1}{2}}.{\frac {t-2}{3}}.x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7058b15dadb3c6216376e0f8aef1cbf18f74dde0)
donc en égalant ces valeurs, supprimant rimité de part et d’autre, et divisant ensuite par t,
![{\displaystyle \operatorname {l} (1+x)+t\left\{{\frac {\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{2!}}+{\frac {t\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{3!}}+{\frac {t^{2}\operatorname {l} ^{4}(1+x)}{4!}}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5b60361740c0aa9dd9c738f2f8caec18f4a984)
![{\displaystyle =x+{\frac {t-1}{2}}x^{2}+{\frac {t-1}{2}}.{\frac {t-2}{3}}.x^{3}+{\frac {t-1}{2}}.{\frac {t-2}{3}}.{\frac {t-3}{4}}.x^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e79633220463a67b9a2d46b4bab5c090e092636)
d’où en faisant ![{\displaystyle t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c)
![{\displaystyle \operatorname {l} (1+x)={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a52a0d6d3401c84f2d752053936daad4ec029f)
(22)
tel est donc le développement du logarithme Népérien de ![{\displaystyle 1+x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f06fffcc345af38d2d1430fe5176056b394bea2)
Terminons par le développement des fonctions circulaires[4]. Si, dans l’équation (21), on fait
elle deviendra
(23)
de sorte qu’en posant
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\varphi (x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\ldots ,\\\\&\psi (x)={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\ldots ,\end{aligned}}\right\}\quad (24)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac870be6784a7bcce177b7ec2c863b4338ea788d)
nous aurons
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}e^{+x{\sqrt {-1}}}=\varphi (x)+{\sqrt {-1}}.\psi (x),\\\\e^{-x{\sqrt {-1}}}=\varphi (x)-{\sqrt {-1}}.\psi (x)\,;\end{aligned}}\right\}\quad (25)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6520ddeb8bd69b0e9e123d3ab71bd2f453cca2c5)
d’où, en multipliant
![{\displaystyle 1=\left\{\varphi (x)\right\}^{2}+\left\{\psi (x)\right\}^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27d0590898f2b88b90e3beb136e618a92510ff5)
(26)
de sorte que
et
sont, pour chaque valeur de
les sinus et cosinus d’un certain angle. Cherchons à le déterminer.
En posant
dans les équations (24), elles donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (1)=1-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{6!}}+\ldots ,\\\\&\psi (1)={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{7!}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d1251935bde0d7f762aaf8d9bfc259558af043)
ce qui donne, en faisant aussi
dans l’équation (23),
![{\displaystyle e^{\pm {\sqrt {-1}}}=\varphi (1)\pm {\sqrt {-1}}.\psi (1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dc17fdc29671e14a433405b479e99847bdb7a5)
d’où
![{\displaystyle e^{\pm x{\sqrt {-1}}}=\varphi (x)\pm {\sqrt {-1}}.\psi (x)=\left\{\varphi (1)\pm {\sqrt {-1}}.\psi (1)\right\}^{x}\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d6d1ccdf878a70de515f871fec4c7299da911b)
(27)
et, comme on a (26)
![{\displaystyle \left\{\varphi (1)\right\}^{2}+\left\{\psi (1)\right\}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d63815dde2b9651288c31d9b0809d90301f83711)
il est permis de considérer
et
comme les sinus et cosinus d’un certain angle constant
et de poser, conséquemment
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .\alpha =\varphi (1)=1-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{6!}}+\ldots ,\\\\&\operatorname {Sin} .\alpha =\psi (1)={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{7!}}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90964580cc5d8498188b17bf1f010c0ab13c1e58)
l’équation (27) deviendra alors
![{\displaystyle \varphi (x)\pm {\sqrt {-1}}\psi (x)=\left\{\operatorname {Cos} .\alpha \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha \right\}^{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522d319d77d3f241d3e8e2595e3183fd5dbf1824)
ou, en vertu du théorème d’Euler,
![{\displaystyle \varphi (x)\pm {\sqrt {-1}}\psi (x)=\operatorname {Cos} .\alpha x\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07b0a2bc0683aeb84e8e8385b2474a676aeba05)
ce qui donne évidemment
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\varphi (x)=\operatorname {Cos} .\alpha x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots ,\\\\&\psi (x)=\operatorname {Sin} .\alpha x={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \,;\end{aligned}}\right\}\quad (28)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bfe499d632753bf3b321088c08c4c1f8267059)
il reste donc à déterminer l’angle constant ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
On a, comme l’on sait, en prenant
suffisamment petit
![{\displaystyle \alpha x\left\{{\begin{aligned}&>\operatorname {Sin} .\alpha x,\\&<\operatorname {Tang} .\alpha x={\frac {\operatorname {Sin} .\alpha x}{\operatorname {Cos} .\alpha x}}\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e8eb779235b0ab050f183f0e9e98ef882cebda)
donc on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .\alpha x}{\alpha x}}\left\{{\begin{aligned}&<1,\\&>\operatorname {Cos} .\alpha x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e748c09e24d32c181aa35d6254994a373c8a206f)
ou, en mettant pour
sa valeur ![{\displaystyle {\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6ffc60822dc1eebac3872d1a21eff252511e6f)
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots \right)\left\{{\begin{aligned}&<1,\\&>1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots \end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a684215d6da4f2675dbb9ea527d11f662d740a)
En supposant
décroissant indéfiniment, la première inégalité tendra sans cesse à devenir
ou
tandis que l’autre, au contraire, tendra sans cesse à devenir
ou
ces deux
inégalités ne sauraient donc subsister à la fois, qu’autant qu’on aura
; on a donc simplement (28)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d3cacb001ab3764da94531f384ea954d232679)