ARITHMÉTIQUE.
Démonstration élémentaire de la valeur infinie
de la somme des inverses des nombres naturels ;
M. L. C.
Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.
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Soit posée
nous aurons évidemment
et par suite
ou
Mais, d’un autre côté, n’étant autre chose que dans laquelle on a augmenté tous les dénominateurs d’une unité, si avaient des valeurs finies, on devrait avoir
Cette relation étant donc incompatible avec la précédente, il en faut conclure que et sont infinis, et que conséquemment leur somme l’est aussi.
Il faudrait bien toutefois se garder de conclure de là que et que conséquemment
on n’a en effet qu’autant que ces deux infinies ne différent que d’une quantité finie qui s’évanouit devant eux ; et c’est précisément ce qui arrive ici ; car, comme l’on sait,
de sorte qu’on a réellement
et conséquemment
comme nous l’avions trouvé.