ANALISE TRANSCENDANTE.
Note sur l’intégration d’une classe particulière d’équations ;
Par
M. J. L.
Woisard, professeur aux écoles d’artillerie.
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Soit une équation différentielle du premier ordre de la forme
(1)
dans laquelle et sont supposées des fonctions de ou si ces fonctions sont telles qu’on ait
(2)
l’intégration pourra être exécutée avec la plus grande facilité, ainsi qu’on va le voir.
En différentiant la proposée, elle prendra la forme
(3)
et étant des fonctions de et Remplaçant dans cette équation par et par elle deviendra
ou bien
équation qui est satisfaite en posant
d’où
(4)
Si, dans la même équation (3), on met pour sa valeur et pour sa valeur elle deviendra
ou bien
équation qui est satisfaite en posant
d’où
(5)
donc l’intégrale complète de l’équation (1) résultera de l’élimination de entre les équations (4) et (5). Cette équation renfermera deux constantes arbitraires et mais elles n’équivaudront réellement qu’à une seule ; car, en mettant pour et dans l’équation (1) les valeurs données par les équations (4) et (5), on obtient entre ces deux constantes, l’équation de relation
Soit prise, pour exemple, l’équation
dans laquelle les fonctions et satisfont à la condition que nous avons supposé avoir lieu. Pour en avoir l’intégrale, il suffira d’éliminer entre les deux équations
ce qui donnera
équation dans laquelle les deux constantes et seront liées par la relation de sorte qu’on pourra écrire
comme on peut d’ailleurs le vérifier par la différentiation et l’élimination de [1].
La classe d’équations que nous venons de considérer comprend toutes celles dont l’intégrale complète représente une suite de courbes égales et parallèles.
Metz, 16 juin 1824.