ANALISE INDÉTERMINÉE.
Résolution générale de l’équation indéterminée
du premier degré à deux inconnues ;
Par
M. le Comte Guillaume
Libri, de Florence.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
La résolution générale de l’équation indéterminée du premier degré, à deux inconnues, paraît avoir été trouvée pour la première fois par les Indiens. Les commentateurs de Bhasker ou Bhascara-Acharya[1], attribuent cette découverte à Arya-Bhatta, géomètre indien, que l’on croit presque contemporain de Diophante ; mais les ouvrages de cet auteur ayant été perdus, il est difficile de juger du degré de généralité qu’il avait donné à sa solution. Cependant, nous possédons le traité d’algèbre de Bramegupta (qui, d’après les calculs de M. Bentley, a été composé au commencement du septième siècle de l’ère chrétienne) où l’on trouve la résolution générale de l’équation du premier degré à deux inconnues. Cette résolution est exposée aussi dans les ouvrages de Bhascara-Acharya, et dans ceux de tous les analistes indiens plus modernes. La méthode dont ils ont fait usage est semblable à celle que Bachet de Méziriac publia en France en 1624. On sait qu’elle consiste à réduire l’équation proposée
à l’équation
et à résoudre celle-ci, en cherchant le plus grand commun diviseur entre
et ![{\displaystyle c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b8d90daa52ffa8e5988459b6f10ef4d64ee5da)
Lagrange a résolu l’équation dont il s’agit à l’aide des fractions continues, et M. Gauss l’a réduite à sa théorie des congruences ; mais toutes ces méthodes, qui dans le fond sont identiques entre elles, n’ont pas toute la généralité qu’on pourrait désirer. En effet, il est clair que les racines d’une équation à plusieurs inconnues, de même que celles d’une équation à une seule inconnue, doivent être fonctions de ses coefficiens exprimés généralement ; et cependant, même pour résoudre l’équation du premier degré à deux inconnues, qui est la plus simple de toutes, il faut connaître les coefficiens en nombres, ce qui montre combien les méthodes connues sont imparfaites.
La note que nous publions ici a pour objet de donner l’expression générale des racines entières d’une équation du premier degré à deux inconnues, en fonction de ses coefficiens. Elle est extraite d’un mémoire sur la théorie des nombres, présenté à l’Académie royale des sciences de Paris, et qui doit paraître dans le recueil des Savans étrangers. Notre méthode s’applique à toutes les équations indéterminées ; elle sert aussi à résoudre directement, et avec simplicité, les équations desquelles dépend la division du cercle, et à traiter beaucoup d’autres questions ; mais ces recherches ne sont pas de nature à trouver place ici, et nous les réservons pour une autre circonstance.
Étant donné l’équation à une seule inconnue
![{\displaystyle (1)\qquad \qquad x^{m}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0af63f03bba86eee093daa8c1f0a05337f880b7)
si l’on représente par
les sommes des puissances
ièmes,
ièmes,
ièmes,
ièmes, … de ses racines, on aura
![{\displaystyle P_{n}=P_{n-m}=P_{n-2m}=P_{n-3m}=\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a64dd9cf0e2ebab52fdd5a237412f20c8ebd58)
de sorte que, si
est un multiple de
on obtient
et, dans le cas contraire, on trouve
En exprimant les racines de l’équation (1) en fonctions circulaires, on aura
![{\displaystyle P_{n}=\left\{{\begin{aligned}&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {0.\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {0.\varpi }{m}}\right)^{n}\\\\+&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{m}}\right)^{n}\\\\+&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {4\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi }{m}}\right)^{n}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2u\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2u\varpi }{m}}\right)^{n}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2(m-1)\varpi }{m}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2(m-1)\varpi }{m}}\right)^{n}\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6141df00900f2b5d8ee40d1c2d9ebb810077f3)
Si l’on transforme le second membre, au moyen de la relation connue
et qu’on néglige les imaginaires qui, dans le cas actuel, doivent nécessairement se détruire, on obtiendra
![{\displaystyle P_{n}=\operatorname {Cos} .{\frac {0n\varpi }{m}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2n\varpi }{m}}+\operatorname {Cos} .{\frac {4n\varpi }{m}}+\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {2un\varpi }{m}}+\ldots \operatorname {Cos} .{\frac {2(m-1)n\varpi }{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfec7fe5358b37415c230c468b968f2082739ea)
c’est-à-dire,
(2)
[2]
et la valeur de cette expression sera
ou zéro, suivant que le nombre
sera entier ou fractionnaire.
On sait qu’étant proposé de résoudre l’équation
en nombres entiers, il suffit de trouver une valeur a de
comprise entre zéro et
car les autres s’en déduisent en ajoutant à celle-là un multiple quelconque de
de sorte qu’on a, en général,
étant un nombre entier quelconque.
Maintenant il faut observer que si, dans l’équation (2), on fait
et que l’on donne à
successivement toutes les valeurs
on obtiendra l’intégrale
![{\displaystyle \sum _{x=0}^{x=c}\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b5d8bdc48bdf8af0145318179544a8056361d5)
![{\displaystyle \left.+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(c-1)(ax+b)\varpi }{c}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eec26789fbd8eec9cdaef946a819f46f4009802)
qui aura pour valeur
répété autant de fois que la quantité
a de valeurs entières, lorsqu’on y fait
égal à un nombre entier moindre que
d’où il suit que la formule
(3)
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8f611adff6a1deb7ffafabb15c67d69de1b824)
![{\displaystyle \left.+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(c-1)(ax+b)\varpi }{c}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f769bd59ab29640d133e3724f6f5c067f1a642)
exprimera le nombre des solutions de l’équation
en supposant qu’on ne prenne pour
que des nombres entiers plus petits que ![{\displaystyle c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b8d90daa52ffa8e5988459b6f10ef4d64ee5da)
Si l’on considère le terme général de la série (3), on aura l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2u}{c}}\left(b+ac-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi -\operatorname {Sin} .{\frac {2u}{c}}\left(b-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi }{2c\operatorname {Sin} .{\frac {2ua\varpi }{c}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b5a8fb69a527994ad56ca6c6272a86560242f3)
dans le second membre de laquelle le numérateur est toujours zéro ; mais dont le dénominateur ne peut se réduire à zéro que lorsque
et
ont un diviseur commun, plus grand que l’unité, puisque
est toujours plus petit que
Il résulte de là que, si
et
sont premiers entre eux, tous les termes de la série (3) s’évanouissent, excepté le premier, dont la valeur se réduit à
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}={\frac {c}{c}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ed29dc072ea9a611f16cf6177b45b7eb9fa27d)
Mais, si
et
ont un facteur commun
on supposera
et, en faisant
on obtiendra
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\operatorname {Cos} .{\frac {2n(ax+b)\varpi }{c}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2n}{c}}\left(b+ac-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi -\operatorname {Sin} .{\frac {2n}{c}}\left(b-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi }{2c\operatorname {Sin} .{\frac {2na\varpi }{c}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d286f7d2f2beb2298ac7701d5167f9b46d2c1d49)
![{\displaystyle ={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2\left(b+ang-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi }{g}}-\operatorname {Sin} .{\frac {2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right)\varpi }{g}}}{2ng\operatorname {Sin} .{\frac {a\varpi }{g}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfaf207e09e09644f4c2e0f331ca31d5f4e62d7)
Cette expression se réduit
en vertu de l’hypothèse
On devra donc différentier le numérateur et le dénominateur par rapport à
pour en avoir la valeur déterminée, et l’on trouvera
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .2\left(b+ang-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}-\operatorname {Sin} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}}{2ng\operatorname {Sin} .{\frac {a\varpi }{g}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13355963093c226c3f192fb03a6c90b285704002)
![{\displaystyle ={\frac {2\left(ng-{\frac {1}{2}}\right){\frac {\varpi }{g}}\operatorname {Cos} .2\left(b+ang-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}+{\frac {\varpi }{g}}\operatorname {Cos} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}}{2ng.{\frac {\varpi }{g}}.\operatorname {Cos} .{\frac {a\varpi }{g}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd303db18f7996b359eb4af86de5de34df3829a)
![{\displaystyle ={\frac {2ng\varpi .\operatorname {Cos} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}}{2ng\varpi .\operatorname {Cos} .{\frac {a\varpi }{g}}}}={\frac {\operatorname {Cos} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{g}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {a\varpi }{g}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25ca7f9d6f063ee01a8cda75c272f3179081d55)
![{\displaystyle ={\frac {\operatorname {Cos} .2\left(b-{\frac {mg}{2}}\right){\frac {\varpi }{g}}}{\operatorname {Cos} .m\varpi }}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {2b\varpi }{g}}.\operatorname {Cos} .m\varpi +\operatorname {Sin} .{\frac {2b\varpi }{g}}.\operatorname {Sin} .m\varpi }{\operatorname {Cos} .m\varpi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a660eced38f094b5d32e4192da841420e5ac87ee)
![{\displaystyle =\operatorname {Cos} .{\frac {2b\varpi }{g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b015d17eca95b29ab2aaaebb6c0b4dcdef88f295)
Si, au lieu de prendre
on fait, en général,
étant un nombre entier quelconque, on trouve
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}\operatorname {Cos} .2en.{\frac {ax+b}{c}}\varpi =\operatorname {Cos} .{\frac {2eb\varpi }{g}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04fd2b9bb3c5b1ba0deebbec3ab019ec0d18b2c)
et, comme le nombre
est compris
fois dans
on pourra faire successivement
et la valeur de l’intégrale (3) sera exprimée (dans le cas actuel, où l’on suppose que
et
ont un commun diviseur
) par la série
![{\displaystyle 1+\operatorname {Cos} .{\frac {2b\varpi }{g}}+\operatorname {Cos} .{\frac {4b\varpi }{g}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(g-1)\varpi }{g}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c44009e4efa252db05fcda149b91533ae86e43)
dont la somme
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .2\left(b-{\frac {1}{2}}{\frac {b}{g}}\right)\varpi +\operatorname {Sin} .{\frac {b\varpi }{g}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {b\varpi }{g}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7716730531f1763b22b746cee4888183ea46e38a)
a pour valeur
lorsque
est un nombre entier, et se réduit à zéro, dans le cas contraire.
De là résulte 1.o que l’équation
a toujours une solution entière, et plus petite que
lorsque
et
n’ont d’autres diviseurs communs que l’unité ;
2.o Que si
et
ont un commun diviseur
différent de l’unité, qui ne divise point
cette équation n’admet aucune solution entière ;
3.o Qu’enfin, si
est un nombre entier, on trouvera pour
un nombre
de valeurs entières, plus petites que
qui satisferont à l’équation proposée.
Puisque l’intégrale (3) représente le nombre des solutions entières de l’équation
en prenant pour
des valeurs moindres que
il est clair que la formule
(4)
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x\left\{\operatorname {Cos} .{\frac {0(ax+b)\varpi }{c}}+\operatorname {Cos} .{\frac {2(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8c4c52f64bb4a814cec7a07e440f5ad28a9140)
![{\displaystyle \left.+\operatorname {Cos} .{\frac {2u(ax+b)\varpi }{c}}+\ldots +\operatorname {Cos} .{\frac {2(c-1)(ax+b)\varpi }{c}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e447775b7f0699743bdf20ea7aea7546660e79)
![{\displaystyle ={\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x\left\{1+\operatorname {Cos} .2\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots +\operatorname {Cos} .2u\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239ab821e64e1126cfd18ec530beaa0f3690e1e8)
![{\displaystyle \left.+\operatorname {Cos} .2(c-1)\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13f6014b24a963bca9a505309636232c464ddf8)
exprimera la somme des valeurs de
entières et moindres que
qui satisfont à l’équation
lorsqu’elle est résoluble et que, lorsqu’elle ne l’est pas, cette intégrale se réduit à zéro.
Nous avons démontré que, si
et
ont un facteur commun, différent de l’unité, qui ne divise pas
l’équation
n’admet aucune solution entière, et comme, si ce facteur commun divise aussi
on peut toujours le supprimer, il sera permis dans en cas, de supposer que
et
sont premiers entre eux ; et alors on sera assuré qu’il existe toujours une valeur entière de
comprise entre zéro et
y qui satisfait à l’équation dont il s’agit, et qu’il n’en existe qu’une seule.
Actuellement, pour trouver cette valeur de
on considérera le terme général de l’intégrale (4), et on aura
(5)
![{\displaystyle \qquad {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x.\operatorname {Cos} .2u{\frac {ax+b}{c}}\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caee0a5ea01f3aa3deb02330de4ba1952931f00c)
![{\displaystyle ={\frac {(c-1)\operatorname {Sin} .2u\left(b+ca-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Sin} .2u\left(b+{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2c\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c3f562b4180da4ddf471e0b34a3a356d0325f7)
![{\displaystyle +{\frac {\operatorname {Cos} .2u(ca+b-a){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .2u(b+a){\frac {\varpi }{c}}}{c\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808861f4d11de416a4cbb21966b6a1311271c0e4)
Il faudra faire successivement
et ajouter au résultat le premier terme de la série (4) qui est
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x={\frac {c(c-1)}{2c}}={\frac {c-1}{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83daded7bd923f4f4e46896f3d36c154d00b5aaa)
Puisque
et
sont premiers entre eux, et que
est plus petit que
il s’ensuit que le dénominateur
du second membre de l’équation (5) ne pourra jamais s’évanouir ; on obtiendra, par conséquent, en faisant les réductions nécessaires,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {(c-1)\operatorname {Sin} .2u\left(b+ca-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Sin} .2u\left(b+{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2c.\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}\\\\&+{\frac {\operatorname {Cos} .2u(b+ca-a){\frac {\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .2u(b+a){\frac {\varpi }{c}}}{c\left(2\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}\right\}={\frac {\operatorname {Sin} .2u\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2.\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e85aed9a7919a48ee0b88a083dad8b178fb4448)
et partant
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}\sum _{x=0}^{x=c}x\left\{1+\operatorname {Cos} .2\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\operatorname {Cos} .4\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411690fe5bc003798208fd4a4d64c363538abd12)
![{\displaystyle \left.+\operatorname {Cos} .2u\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi +\ldots +\operatorname {Cos} .2(c-1)\left({\frac {ax+b}{c}}\right)\varpi \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf0a2d995209577a6a1afe4e3269ad6022fa78b)
![{\displaystyle ={\frac {c-1}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .2\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {a\varpi }{c}}}}+{\frac {\operatorname {Sin} .4\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {2a\varpi }{c}}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28366144c9ed99e734cb04a306199da873400628)
![{\displaystyle +{\frac {\operatorname {Sin} .2u\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}+\ldots +{\frac {\operatorname {Sin} .2(c-1)\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{2\operatorname {Sin} .{\frac {(c-1)a\varpi }{c}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fed1095860518cbbba1f4ccc71ce9eb63afb97)
![{\displaystyle ={\frac {c-1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{u=1}^{u=c}{\frac {\operatorname {Sin} .2u\left(b-{\frac {1}{2}}a\right){\frac {\varpi }{c}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {ua\varpi }{c}}}}=\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a531e5f270e38a34abc7b84164fd6cc7b68fbc1f)
Cette formule très-simple donne pour
la plus petite valeur de
qui satisfasse à l’équation
en nombres entiers ; et toutes les autres valeurs sont exprimées par l’équation
étant un nombre entier quelconque.
Soit proposé, par exemple, de résoudre en nombres entiers, l’équation
![{\displaystyle 3x+1=4y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314382608b30bceebd1c2ddc6664bfeaac2fa6a7)
on aura, en comparant à l’équation générale ![{\displaystyle ax+b=cy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c5e604ada53b376e6c8798c8cc73c5a9342cba)
![{\displaystyle a=3,\quad b=1,\quad c=4\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b2c24f5bf6938fb46f737135839169977775ae)
et par conséquent
![{\displaystyle \alpha ={\frac {4-1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{u=1}^{u=4}.{\frac {\operatorname {Sin} .2u\left(1-{\frac {3}{2}}\right){\frac {\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {3u\varpi }{4}}}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{u=1}^{u=4}.{\frac {\operatorname {Sin} .u{\frac {\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .3u{\frac {\varpi }{4}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30549f3c45a71cd98f7e0ebc43975eb848168cd4)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {3\varpi }{4}}}}+{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {6\varpi }{4}}}}+{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {3\varpi }{4}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {9\varpi }{4}}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13128fd8405984b775036700c667b7d4ba6c6fe2)
![{\displaystyle ={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-1+1)={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}={\frac {2}{2}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9da87320e740545e6d946d3f74554b6f02932b3)
et toutes les valeurs de
qui résolvent l’équation
seront données par l’équation
comme on le sait d’ailleurs.
La valeur de
peut, en général, se calculer à l’aide des tables du sinus. Il est vrai que, par ce moyen, on n’obtiendra, le plus souvent, que des valeurs fractionnaires approchées ; mais comme, d’après ce qui précède,
ne peut avoir que des valeurs entières, on en trouvera la valeur exacte en substituant à cette valeur approchée le nombre entier le plus voisin.
On peut observer que, puisqu’on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .(2b-a){\frac {u\varpi }{c}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {au\varpi }{c}}}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Cos} .{\frac {au\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Sin} .{\frac {au\varpi }{c}}}{\operatorname {Sin} .{\frac {au\varpi }{c}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c437b41a0cb5769143e2fb8fb7855d1727e374a8)
![{\displaystyle =\operatorname {Sin} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Cot} .{\frac {au\varpi }{c}}-\operatorname {Cos} .{\frac {2bu\varpi }{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12c708bdd6a9bbf19873a6fe2a2a4254984e1a8)
et que d’ailleurs
![{\displaystyle \sum _{u=1}^{u=c}\operatorname {Cos} .{\frac {2bu\varpi }{c}}=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1376109572c24133318c4f2de0801f9bd33a778a)
on pourra écrire
![{\displaystyle \alpha ={\frac {c-1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{u=1}^{u=c}.\operatorname {Sin} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Cot} .{\frac {au\varpi }{c}}+{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa742ec6af1c0f7e70fe01150d9a180461b4ce0)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left\{c+\sum _{u=1}^{u=c}.\operatorname {Sin} .{\frac {2bu\varpi }{c}}.\operatorname {Cot} .{\frac {au\varpi }{c}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520a7a917e541ad1e7cce8c165e921c41a0c631a)
On pourra faire usage de cette expression, aussi bien que de la précédente, pour résoudre l’équation proposée[3].