Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Combinaisons, article 2

Démonstration d’une formule d’algèbre, par la théorie des combinaisons ; par M. Vallès.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 16, 1826 (p. 263-264).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Démonstration du théorème d’analise énoncé à la page 64
du présent volume ;

Par M. Vallès, élève à l’École royale polytechnique^[1].

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Soient $p+q$ boules contenues dans une urne de laquelle il faille en extraire un nombre $p$ ou un nombre $q\,;$ cette extraction pourra se faire d’un nombre de manières exprimé par

${\frac {p+q}{1}}.{\frac {p+q-1}{2}}.{\frac {p+q-2}{3}}\ldots {\frac {p+1}{q}}={\frac {p+q}{1}}.{\frac {p+q-1}{2}}.{\frac {p+q-2}{3}}\ldots {\frac {q+1}{p}}.$

Supposons présentement que, sur ces $p+q$ boules, il s’en trouve $p$ blanches et $q$ noires, et que $p$ soit le nombre qu’il en faut extraire, elles pourront être toutes blanches, ou bien il y en aura $p-1$ blanches et $1$ noire, ou $p-2$ blanches et $2$ noires ou $p-3$ blanches et $3$ noires, et ainsi de suite, jusqu’à $3$ blanches et $p-3$ noires, ou $2$ blanches et $p-2$ noires, ou $1$ blanche et $p-1$ noires, ou enfin elles pourront toutes être noires, si du moins $q$ n’est pas moindre que $p.$

Or les divers nombres de manières dont ces divers genres d’extractions peuvent être faits sont tels qu’on le voit dans le tableau suivant :

$\ \ p\quad$ blanches et $0$ noires, de $1$ manière ;

$p-1$ blanches et $1$ noires, de ${\frac {p}{1}}.{\frac {q}{1}}$ manières ;

$p-2$ blanches et $2$ noires, de ${\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {q}{1}}.{\frac {q-1}{2}}$ manières ;

$p-3$ blanches et $3$ noires, de ${\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}.{\frac {q}{1}}.{\frac {q-1}{2}}.{\frac {q-2}{3}}$ manières ;

 

d’où l’on voit que le nombre des manières différentes d’extraire $p$ boules de l’urne pourra aussi être exprimé par

$1+{\frac {p}{1}}.{\frac {q}{1}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {q}{1}}.{\frac {q-1}{2}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}.{\frac {q}{1}}{\frac {q-1}{2}}.{\frac {q-2}{3}}+\ldots$

Il sera donc permis d’égaler cette expression à l’une ou à l’autre des deux expressions ci-dessus, et de cette égalité résultera le théorème qu’il s’agissait de démontrer.

Si, en particulier, on suppose q=p, on obtiendra ce résultat remarquable

$1+\left({\frac {p}{1}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}\right)^{2}+\ldots =$

${\frac {2p}{1}}.{\frac {2p-1}{2}}.{\frac {2p-2}{3}}.{\frac {2p-3}{4}}\ldots$

1. À la page 120 du présent volume, M. Lenthéric a déduit très-simplement la démonstration de ce théorème d’un beau théorème de M. Ampère ; mais nous avons pensé que le lecteur ne serait pas fâché d’en avoir une démonstration directe ; et, parmi plusieurs qui nous sont parvenues, nous avons cru devoir distinguer celle-ci qui, en même temps qu’elle n’exige aucun calcul, ouvre une voie pour découvrir facilement beaucoup d’autres théorèmes du même genre.
   J. D. G.